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高考数学微专题集专题25圆锥曲线的光学性质及其应用微点4圆锥曲线的光学性质综合训练(原卷版+解析)
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这是一份高考数学微专题集专题25圆锥曲线的光学性质及其应用微点4圆锥曲线的光学性质综合训练(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
微点4 圆锥曲线的光学性质综合训练
一、单选题
1．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（ ）
A．B．C．D．以上答案均有可能
(2023安徽·六安一中高三月考）
2．双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7B．C．D．
4．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线：，如图，一条平行于轴的光线从点发出，射向抛物线上的点，反射后经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于轴的方向射出至点，下列说法中正确的是（ ）
A．光路长度的最小值为10B．光路长度的最大值为10
C．光路长度恒等于10D．以上说法均不正确
(2023山西·长治市上党区第一中学校高二月考）
5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【评注】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则．
(2023·新疆·三模）
6．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
(2023甘肃省临洮中学高二月考）
7．抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则（ ）
A．B．13C．D．14
(2023安徽·高二月考）
8．圆锥曲线有着丰富的光学性质，比如抛物线就有这样的光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线C：在焦点F处朝相反的方向射出两条光线，一条光线射向C上的点P，反射后的光线经过点，另一条光线射向C上的点Q，反射后的光线经过点N，则点N的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
(2023·湖北武汉·模拟预测）
9．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）
A．B．－
C．±D．－
(2023陕西·千阳县中学高三月考）
10．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
11．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为上，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光由到再到所经过的路程为
D．若，直线与相切，则
(2023·四川资阳·高二期末）
12．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
(2023·重庆八中模拟预测）
13．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则平分
C．若，则
D．若，延长交直线于点，则，，三点共线
(2023·江苏·高三月考）
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线M：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过M上的点反射，再经M上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则( )
A．
B．
C．PB平分
D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过r上的点反射后，再经r上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则 （ ）
A．B．
C．PB平分D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
(2023·全国·高二月考）
16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．与之间的距离为4
三、填空题
(2023·江苏·华罗庚中学三模）
17．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为__________．
18．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.
19．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则______．
20．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
21．圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C：）过点，由点发出的平行于x轴的光线经过抛物线：反射到椭圆C上后，反射光线经点，则椭圆C的方程为___.
(2023·湖南·雅礼中学高三月考）
22．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左､右焦点.是上的动点，点，若的最大值为.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则：（1）椭圆的离心率为___________；（2）的取值范围为___________.
23．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则________，光线从点到经过的总路程为________．
四、解答题
24．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个点.也即：焦点为，的椭圆上任意一点处的切线与直线和直线所成的角相等.已知，，.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如下图的平面直角坐标系.
（1）求截口所在椭圆的方程；
（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点，若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为，.请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.
25．1.抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线，一光源在点，处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点，设，两点的坐标分别是，，，，
(1)证明：；
(2)求抛物线方程．
(2023河南开封·高二期末）
26．抛物线具有如下光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图，已知抛物线的焦点为，为坐标原点.一条平行于轴的光线从上方射向抛物线，经抛物线上，两点反射后，又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过向抛物线的准线做垂线，垂足为，证明：，，三点共线.
（2023·四川·树德中学高二月考）
27．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，设抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点任作一直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点(为坐标原点).求证：以线段为直径的圆经过点
（2023·内蒙古呼和浩特·高考模拟）
28．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点.设，两点的坐标分别是，.
（1）证明：；
（2）若四边形是平行四边形，且点的坐标为.求直线的方程.
(2023·盘锦市辽东湾实验高级中学（辽宁省实验中学辽东湾分校）高二月考）
29．汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）.其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）.定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm，灯深25cm（如图1）.设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系（如图2）抛物线上点P到焦点距离为5cm，且在x轴上方.研究以下问题：
(1)求抛物线C的标准方程和准线方程.
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点4 圆锥曲线的光学性质综合训练
专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用
微点4 圆锥曲线的光学性质综合训练
一、单选题
1．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（ ）
A．B．C．D．以上答案均有可能
(2023安徽·六安一中高三月考）
2．双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7B．C．D．
4．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线：，如图，一条平行于轴的光线从点发出，射向抛物线上的点，反射后经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于轴的方向射出至点，下列说法中正确的是（ ）
A．光路长度的最小值为10B．光路长度的最大值为10
C．光路长度恒等于10D．以上说法均不正确
(2023山西·长治市上党区第一中学校高二月考）
5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【评注】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则．
(2023·新疆·三模）
6．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
(2023甘肃省临洮中学高二月考）
7．抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则（ ）
A．B．13C．D．14
(2023安徽·高二月考）
8．圆锥曲线有着丰富的光学性质，比如抛物线就有这样的光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线C：在焦点F处朝相反的方向射出两条光线，一条光线射向C上的点P，反射后的光线经过点，另一条光线射向C上的点Q，反射后的光线经过点N，则点N的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
(2023·湖北武汉·模拟预测）
9．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）
A．B．－
C．±D．－
(2023陕西·千阳县中学高三月考）
10．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
11．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为上，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光由到再到所经过的路程为
D．若，直线与相切，则
(2023·四川资阳·高二期末）
12．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
(2023·重庆八中模拟预测）
13．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则平分
C．若，则
D．若，延长交直线于点，则，，三点共线
(2023·江苏·高三月考）
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线M：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过M上的点反射，再经M上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则( )
A．
B．
C．PB平分
D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过r上的点反射后，再经r上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则 （ ）
A．B．
C．PB平分D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
(2023·全国·高二月考）
16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．与之间的距离为4
三、填空题
(2023·江苏·华罗庚中学三模）
17．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为__________．
18．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.
19．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则______．
20．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
21．圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C：）过点，由点发出的平行于x轴的光线经过抛物线：反射到椭圆C上后，反射光线经点，则椭圆C的方程为___.
(2023·湖南·雅礼中学高三月考）
22．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左､右焦点.是上的动点，点，若的最大值为.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则：（1）椭圆的离心率为___________；（2）的取值范围为___________.
23．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则________，光线从点到经过的总路程为________．
四、解答题
24．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个点.也即：焦点为，的椭圆上任意一点处的切线与直线和直线所成的角相等.已知，，.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如下图的平面直角坐标系.
（1）求截口所在椭圆的方程；
（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点，若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为，.请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.
25．1.抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线，一光源在点，处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点，设，两点的坐标分别是，，，，
(1)证明：；
(2)求抛物线方程．
(2023河南开封·高二期末）
26．抛物线具有如下光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图，已知抛物线的焦点为，为坐标原点.一条平行于轴的光线从上方射向抛物线，经抛物线上，两点反射后，又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过向抛物线的准线做垂线，垂足为，证明：，，三点共线.
（2023·四川·树德中学高二月考）
27．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，设抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点任作一直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点(为坐标原点).求证：以线段为直径的圆经过点
（2023·内蒙古呼和浩特·高考模拟）
28．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点.设，两点的坐标分别是，.
（1）证明：；
（2）若四边形是平行四边形，且点的坐标为.求直线的方程.
(2023·盘锦市辽东湾实验高级中学（辽宁省实验中学辽东湾分校）高二月考）
29．汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）.其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）.定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm，灯深25cm（如图1）.设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系（如图2）抛物线上点P到焦点距离为5cm，且在x轴上方.研究以下问题：
(1)求抛物线C的标准方程和准线方程.
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
参考答案：
1．D
【详解】试题分析：当小球沿有向线段AB方向运动时，小球经过的路程是；当小球沿有向线段BA方向运动时，小球经过的路程是；当小球沿除有向线段AB和BA方向运动时，小球经过的路程是，故选D．
考点：椭圆的性质
点评：本题用到椭圆的特点：椭圆上任何一点到两焦点的距离之和为常数．
2．B
分析：画出图象，根据题意得到，求出，列出方程，，解出答案.
【详解】由题意得：，则，将代入到，，即，故，即，同除以得：，解得：或（舍去）
故选：B
3．D
分析：根据题意可知和抛物线的焦点为，由此可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，可求出点坐标，再根据弦长公式即可求出结果.
【详解】由题意可知，轴，
又光线从点射入，经过上的点，
所以，
又抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即，
联立方程，整理可得，所以或
所以，所以.
故选：D．
4．C
分析：本题先求，再化简，，，最后再确定光路长度等于化简整理即可得到答案.
【详解】解：根据题意设，，
因为抛物线方程为：，所以即
根据抛物线的定义：，
根据题意：，，
光路长度等于，
，
所以光路长度恒等于10.
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的定义，焦点弦的几何意义，是中档题.
5．B
【解析】根据题中光学性质作出图示，先求解出点坐标以及直线的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出的三边长度，从而周长可求.
【详解】如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
故选：B.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
6．C
分析：依题意设，联立直线与抛物线方程，消元，即可求出，同理求出，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：可设，与联立消元得，解得、，∴，
同理，与联立消元得，解得、，∴，∴，∴
故选：C
7．A
分析：求得点坐标，求得直线的方程，从而求得点的坐标，进而求得.
【详解】抛物线的焦点为，
由，
直线的方程为，
由解得或，
所以，所以.
故选：A
8．C
分析：设，，设直线PQ的方程为代入抛物线的方程，由点M的纵坐标为6求得、，再与直线QN平行于x轴可得答案．
【详解】设，，抛物线的焦点坐标为，
设直线PQ的方程为，代入抛物线的方程，
得，则，因为点M的纵坐标为6，
故，所以，因为直线QN平行于x轴，所以点N的纵坐标为．
故选：C．
9．B
分析：求出点的坐标，根据抛物线的光学性质可得直线AB经过焦点，即可求出斜率.
【详解】由题意可知点A的纵坐标为1．将y＝1代入，得，则，
由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点，
所以直线AB的斜率．
故选：B．
10．C
分析：由抛物线方程求出焦点坐标，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，求出，同理求出，再根据计算可得；
【详解】解：由得，，所以，即；消去得，所以，或（舍去），即；
同理即；消去得，所以，或（舍去），即；
所以，即两条反射光线和之间的距离为
故选：C
11．C
分析：求出双曲线渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的定义可判断C选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D选项.
【详解】在双曲线中，，，则，易知点、，
设，，
对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，
当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，
同理可知当点在第四象限内运动时，，
当点为双曲线的右顶点时，，
综上所述，的取值范围是，A对；
对于B选项，当时，，
，所以，，B对；
对于C选项，，
故过点时，光由到再到所经过的路程为
，C错；
对于D选项，若，由角平分线定理可得，
即，解得，D对.
故选：C.
12．C
分析：由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率.
【详解】连接，，即为等边三角形，由对称性可知，，，，，整理得，解得（舍）
故选：C
13．ABD
分析：根据求出焦点为、A点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，求出可判断AC；
时可得，．由可判断B；
求出点坐标可判断D.
【详解】若，则抛物线，，的焦点为，直线的方程为：，可得，，选项正确；
时，因为，所以，
又，所以，所以平分，选项B正确；
若，则抛物线，，，的焦点为，直线的方程为，联立抛物线方程求解可得，所以，选项C不正确；
若，则抛物线，，，延长交直线于点，则，由C选项可知，所以，，三点共线，故D正确.
故选：ABD．
14．ACD
分析：A：根据题意求出A的坐标，根据题意知AB过焦点，据此求出AB方程，联立直线AB方程和抛物线方程根据韦达定理可得；
B：根据弦长公式可求；
C：求出，由得，再由得，由此即可判断；
D：求出B点纵坐标；求出AO方程，与联立求出C点坐标；比较C，B，Q纵坐标即可得答案.
【详解】设，，，，
∵轴，且过点，，
∴，把代入抛物线的方程，解得，即，
由题知，直线经过焦点F，，，
直线的方程为，即，
联立，得，
∴，，故A正确；
，故B错误；
，∴，
由光学性质可知轴，轴，∴，
∴，∴，即平分，故C正确；
∵，，∴，
直线的方程为，由，解得，∴，，
∴，，三点纵坐标都相同，∴，，三点共线，故D正确．
故选：ACD．
15．BCD
分析：根据平行于轴可求的坐标，从而可求直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程可求的坐标，从而可求并可得为等腰三角形，从而可判断ABC的正误，求出C的坐标后可判断D的正误.
【详解】设抛物线的焦点为，则.
因为，且轴，故，故直线.
由可得，故，故A错.
又，故，故，故，故B正确.
直线，由可得，故，
所以C，B，Q三点共线，故D正确.
因为，故为等腰三角形，故，
而，故即，故PB平分，故C正确.
故选：BCD.
16．ABC
分析：由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项A；
点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断选项B；
根据抛物线的定义可知，，可判断选项C；
由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D．
【详解】如图所示，
由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A正确；
由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
，即选项B正确；
由抛物线的定义可知，，即选项C正确；
与平行，
与之间的距离，即选项D错误；
故选：ABC
【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题．
17．4
分析：设，，两条平行光线的距离为，则，联立直线的方程与抛物线的方程，可得，的值，进而代入中求解.
【详解】设，，设两条平行光线的距离为，
由题意可知，
因为，直线过点，所以可设直线的方程为，，
由，消去得，
则，，
则，当时取得等号
所以两条平行关系的最小距离为4，
故答案为：4
18．
分析：过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质和几何位置关系得到，求出，利用中位线的性质、椭圆的定义求出.
【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，，
则，
因为，
故，
所以，
.
故答案为：.
19．
分析：由抛物线的对称性得，然后再利用抛物线定义列式计算得，，从而代入计算.
【详解】如图所示，延长BF交抛物线C于点，由题意，，
由抛物线的对称性可得，，又因为，
，
所以，解得．
故答案为：.
【点睛】在抛物线中，若过焦点的直线的倾斜角为，则弦长.
20．8
分析：根据椭圆的光学性质和椭圆的定义即可求得答案.
【详解】如图，
根据题意，小球从点A出发，经椭圆反射经过点B继续前行，碰到点Q后回到点A，根据椭圆的定义，小球所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，因为，所以小球经过的路程为.
故答案为：8.
21．
分析：利用给定信息求出椭圆C的两个焦点坐标，再借助待定系数法计算作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点为，又光的反射具有可逆性，
则由发出的平行于x轴的光线经过抛物线反射必过，再经过椭圆C反射经过，
因此，、为椭圆C的两个焦点，半焦距，而在椭圆C上，于是得，解得，
所以椭圆C的方程为.
故答案为：
22．
分析：根据题意得，所以，求出，即可求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又表示点到直线的距离的倍，分析求解即可.
【详解】根据椭圆定义得：，
所以，因为的最大值为6，
因为，所以，即，解得，所以离心率为.
右焦点关于直线的对称点，设切点为，由椭圆的光学性质可得：
，，三点共线，所以，
即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线的距离最小值，最大值，
所以点到直线的距离为：，
所以表示点到直线的距离的倍，
则，即.
故答案为：，.
23．
分析：由点与点的纵坐标相同和韦达定理可得，利用抛物线的定义可求得总路程.
【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为，第二次射到抛物线上的点记为，易得，因为，
所以直线的方程为．
联立消去整理得，
可设，显然和是该方程的两个根，
则，所以．
（方法一）光线从点到经过的总路程为
．
（方法二）设抛物线的准线为，则其方程为，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，则，，所以，
故光线从点到经过的总路程为
．
故答案为：；20.
24．（1）；（2）是定值，定值为.
分析：（1）设所求椭圆方程为，由椭圆的性质求得，，可得椭圆的方程.
（2）由（1）得椭圆的方程为，设椭圆上的点，有，证明椭圆在点处的切线方程为， 再由右光学性质得直线，由此可求得定值.
【详解】解：（1）设所求椭圆方程为，
则，
由椭圆的性质：，所以，
，
所以椭圆的方程为.
（2）由椭圆的方程为，则.
设椭圆上的点，则，
又椭圆在点处的切线方程为，
证明如下：对于椭圆，
当，，则，
所以椭圆在处的切线方程为，
又由，可以整理切线方程为：，
即切线方程为，即，也即.
所以椭圆在点处的切线方程为，
同理可证：当，椭圆在点处的切线方程为，
综述：椭圆在点处的切线方程为，
所以在点处的切线的斜率为，
又由光学性质可知：直线，所以，则.
所以，
，
那么.
25．(1)证明见解析
(2)
分析：（1）阅读题干中的信息，可知抛物线的光学性质，从而得到光线必过抛物线的焦点，进而设出直线的解析式，利用韦达定理求解；（2）求出关于的对称点，从而求出点坐标，利用三点共线，斜率相等求出抛物线方程
（1）
由抛物线的光学性质及题意知：
光线必过抛物线的焦点，，
设，代入抛物线方程得：，
（2）
由题意知，，，，
设点关于直线的对称点为，则有：
，
解得：，
由，，共线且平行于轴得:，，
又，，三点共线，，
即，解得：，
故抛物线方程为：．
26．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）设直线，联立方程组，由根有系数的关系，得到，，根据两平行光线间的距离，得到，即可求解；
（2）由（1）抛物线准线为，得到，，结合向量的共线条件，即可求解.
【详解】（1）设，，由方程，可得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得，
所以，，
则两平行光线间的距离，当且仅当时等号成立
所以，即，故抛物线方程为.
（2）由（1）知抛物线方程为，可得准线为，
则，，可得，，
所以，
所以，又因为，所以，，三点共线.
27．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，设直线的直线方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到，，再根据可解得结果；
（2）设直线的方程为，，求出的坐标，利用可证结论正确.
【详解】（1）设，
，设直线的直线方程为，
由，得，
，，
则两束平行光线之间的距离，
所以当时，，所以，
故抛物线的方程为
（2）证明：设直线的方程为，，
则
由，得，
同理，
，
由
得
则，
则，
因此，以线段为直径的圆经过点.
【点睛】关键点点睛：转化为证明是解题关键.
28．（1）见解析；（2）
分析：（1）由抛物线的性质及题意，设，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，即可求解.
（2）由题意，求得，设，则，求得，得到直线的斜率为，即可得到直线的方程.
【详解】（1）由抛物线的性质及题意知，则光线必过抛物线的焦点，
设，代入抛物线方程得：，
所以.
（2）由题意知，，，所以，
关于直线对称与直线重合，
设，则，解得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的标准方程及其简单的几何性质，合理应用直线的斜率和倾斜角的关系，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
29．(1)抛物线的方程为；准线方程为；
(2)；
(3)；
(4)详见解析.
分析：（1）由题可知在抛物线上，即求；
（2）利用抛物线的定义及方程即得；
（3）设切线方程为，联立抛物线方程，利用判别式为零即得；
（4）由题可求点关于法线的对称点，进而即证.
（1）
设抛物线的方程为：，
由题可知在抛物线上，可得，
解得，
所以抛物线的方程为；其准线方程为；
（2）
设，则，
∵P到焦点距离为5cm，
∴，即，
所以，即；
（3）
设抛物线在点处的切线方程为，
由，得，
∴解得，
∴抛物线在点处的法线的斜率为，
所以抛物线在点处的法线方程为，即；
（4）
设关于法线的对称点为，
则，
解得，即反射光线过点，
又点在反射光线上，
所以反射光线的方程为，
故由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
微点4 圆锥曲线的光学性质综合训练
一、单选题
1．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（ ）
A．B．C．D．以上答案均有可能
(2023安徽·六安一中高三月考）
2．双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7B．C．D．
4．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线：，如图，一条平行于轴的光线从点发出，射向抛物线上的点，反射后经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于轴的方向射出至点，下列说法中正确的是（ ）
A．光路长度的最小值为10B．光路长度的最大值为10
C．光路长度恒等于10D．以上说法均不正确
(2023山西·长治市上党区第一中学校高二月考）
5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【评注】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则．
(2023·新疆·三模）
6．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
(2023甘肃省临洮中学高二月考）
7．抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则（ ）
A．B．13C．D．14
(2023安徽·高二月考）
8．圆锥曲线有着丰富的光学性质，比如抛物线就有这样的光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线C：在焦点F处朝相反的方向射出两条光线，一条光线射向C上的点P，反射后的光线经过点，另一条光线射向C上的点Q，反射后的光线经过点N，则点N的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
(2023·湖北武汉·模拟预测）
9．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）
A．B．－
C．±D．－
(2023陕西·千阳县中学高三月考）
10．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
11．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为上，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光由到再到所经过的路程为
D．若，直线与相切，则
(2023·四川资阳·高二期末）
12．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
(2023·重庆八中模拟预测）
13．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则平分
C．若，则
D．若，延长交直线于点，则，，三点共线
(2023·江苏·高三月考）
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线M：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过M上的点反射，再经M上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则( )
A．
B．
C．PB平分
D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过r上的点反射后，再经r上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则 （ ）
A．B．
C．PB平分D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
(2023·全国·高二月考）
16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．与之间的距离为4
三、填空题
(2023·江苏·华罗庚中学三模）
17．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为__________．
18．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.
19．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则______．
20．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
21．圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C：）过点，由点发出的平行于x轴的光线经过抛物线：反射到椭圆C上后，反射光线经点，则椭圆C的方程为___.
(2023·湖南·雅礼中学高三月考）
22．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左､右焦点.是上的动点，点，若的最大值为.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则：（1）椭圆的离心率为___________；（2）的取值范围为___________.
23．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则________，光线从点到经过的总路程为________．
四、解答题
24．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个点.也即：焦点为，的椭圆上任意一点处的切线与直线和直线所成的角相等.已知，，.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如下图的平面直角坐标系.
（1）求截口所在椭圆的方程；
（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点，若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为，.请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.
25．1.抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线，一光源在点，处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点，设，两点的坐标分别是，，，，
(1)证明：；
(2)求抛物线方程．
(2023河南开封·高二期末）
26．抛物线具有如下光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图，已知抛物线的焦点为，为坐标原点.一条平行于轴的光线从上方射向抛物线，经抛物线上，两点反射后，又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过向抛物线的准线做垂线，垂足为，证明：，，三点共线.
（2023·四川·树德中学高二月考）
27．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，设抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点任作一直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点(为坐标原点).求证：以线段为直径的圆经过点
（2023·内蒙古呼和浩特·高考模拟）
28．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点.设，两点的坐标分别是，.
（1）证明：；
（2）若四边形是平行四边形，且点的坐标为.求直线的方程.
(2023·盘锦市辽东湾实验高级中学（辽宁省实验中学辽东湾分校）高二月考）
29．汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）.其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）.定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm，灯深25cm（如图1）.设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系（如图2）抛物线上点P到焦点距离为5cm，且在x轴上方.研究以下问题：
(1)求抛物线C的标准方程和准线方程.
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点4 圆锥曲线的光学性质综合训练
专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用
微点4 圆锥曲线的光学性质综合训练
一、单选题
1．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（ ）
A．B．C．D．以上答案均有可能
(2023安徽·六安一中高三月考）
2．双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E的焦点分别为，，经过且与垂直的光线经双曲线E反射后，与成45°角，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7B．C．D．
4．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线：，如图，一条平行于轴的光线从点发出，射向抛物线上的点，反射后经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于轴的方向射出至点，下列说法中正确的是（ ）
A．光路长度的最小值为10B．光路长度的最大值为10
C．光路长度恒等于10D．以上说法均不正确
(2023山西·长治市上党区第一中学校高二月考）
5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【评注】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则．
(2023·新疆·三模）
6．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
(2023甘肃省临洮中学高二月考）
7．抛物线有如下的光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，已知抛物线C：的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点（1，－2）射入，经抛物线上的点P反射后，再经抛物线上另一点Q反射后射出，则（ ）
A．B．13C．D．14
(2023安徽·高二月考）
8．圆锥曲线有着丰富的光学性质，比如抛物线就有这样的光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线C：在焦点F处朝相反的方向射出两条光线，一条光线射向C上的点P，反射后的光线经过点，另一条光线射向C上的点Q，反射后的光线经过点N，则点N的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
(2023·湖北武汉·模拟预测）
9．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）
A．B．－
C．±D．－
(2023陕西·千阳县中学高三月考）
10．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
11．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：、是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为上，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光由到再到所经过的路程为
D．若，直线与相切，则
(2023·四川资阳·高二期末）
12．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
(2023·重庆八中模拟预测）
13．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则平分
C．若，则
D．若，延长交直线于点，则，，三点共线
(2023·江苏·高三月考）
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线M：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过M上的点反射，再经M上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则( )
A．
B．
C．PB平分
D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r：，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过r上的点反射后，再经r上另一点反射后，沿直线射出，经过点Q，则 （ ）
A．B．
C．PB平分D．延长AO交直线于点C，则C，B，Q三点共线
(2023·全国·高二月考）
16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．与之间的距离为4
三、填空题
(2023·江苏·华罗庚中学三模）
17．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为__________．
18．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.
19．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则______．
20．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点A，B是它的两个焦点.当静止的小球从点A开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再回到点A时，小球经过的路程为___________.
21．圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C：）过点，由点发出的平行于x轴的光线经过抛物线：反射到椭圆C上后，反射光线经点，则椭圆C的方程为___.
(2023·湖南·雅礼中学高三月考）
22．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆：，，为其左､右焦点.是上的动点，点，若的最大值为.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点，，则：（1）椭圆的离心率为___________；（2）的取值范围为___________.
23．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则________，光线从点到经过的总路程为________．
四、解答题
24．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个点.也即：焦点为，的椭圆上任意一点处的切线与直线和直线所成的角相等.已知，，.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如下图的平面直角坐标系.
（1）求截口所在椭圆的方程；
（2）点为椭圆上除长轴端点和短轴端点外的任意一点，若的角平分线交轴于点，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为，.请问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.
25．1.抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线，一光源在点，处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点，设，两点的坐标分别是，，，，
(1)证明：；
(2)求抛物线方程．
(2023河南开封·高二期末）
26．抛物线具有如下光学性质：由其焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.如图，已知抛物线的焦点为，为坐标原点.一条平行于轴的光线从上方射向抛物线，经抛物线上，两点反射后，又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过向抛物线的准线做垂线，垂足为，证明：，，三点共线.
（2023·四川·树德中学高二月考）
27．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，设抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点任作一直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点(为坐标原点).求证：以线段为直径的圆经过点
（2023·内蒙古呼和浩特·高考模拟）
28．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点.设，两点的坐标分别是，.
（1）证明：；
（2）若四边形是平行四边形，且点的坐标为.求直线的方程.
(2023·盘锦市辽东湾实验高级中学（辽宁省实验中学辽东湾分校）高二月考）
29．汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）.其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）.定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线.设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm，灯深25cm（如图1）.设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x轴建立平面直角坐标系（如图2）抛物线上点P到焦点距离为5cm，且在x轴上方.研究以下问题：
(1)求抛物线C的标准方程和准线方程.
(2)求P点坐标.
(3)求抛物线在点P处法线方程.
(4)为证明（检验）车灯的光学原理，求证：由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
参考答案：
1．D
【详解】试题分析：当小球沿有向线段AB方向运动时，小球经过的路程是；当小球沿有向线段BA方向运动时，小球经过的路程是；当小球沿除有向线段AB和BA方向运动时，小球经过的路程是，故选D．
考点：椭圆的性质
点评：本题用到椭圆的特点：椭圆上任何一点到两焦点的距离之和为常数．
2．B
分析：画出图象，根据题意得到，求出，列出方程，，解出答案.
【详解】由题意得：，则，将代入到，，即，故，即，同除以得：，解得：或（舍去）
故选：B
3．D
分析：根据题意可知和抛物线的焦点为，由此可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，可求出点坐标，再根据弦长公式即可求出结果.
【详解】由题意可知，轴，
又光线从点射入，经过上的点，
所以，
又抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即，
联立方程，整理可得，所以或
所以，所以.
故选：D．
4．C
分析：本题先求，再化简，，，最后再确定光路长度等于化简整理即可得到答案.
【详解】解：根据题意设，，
因为抛物线方程为：，所以即
根据抛物线的定义：，
根据题意：，，
光路长度等于，
，
所以光路长度恒等于10.
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的定义，焦点弦的几何意义，是中档题.
5．B
【解析】根据题中光学性质作出图示，先求解出点坐标以及直线的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出的三边长度，从而周长可求.
【详解】如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
故选：B.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
6．C
分析：依题意设，联立直线与抛物线方程，消元，即可求出，同理求出，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：可设，与联立消元得，解得、，∴，
同理，与联立消元得，解得、，∴，∴，∴
故选：C
7．A
分析：求得点坐标，求得直线的方程，从而求得点的坐标，进而求得.
【详解】抛物线的焦点为，
由，
直线的方程为，
由解得或，
所以，所以.
故选：A
8．C
分析：设，，设直线PQ的方程为代入抛物线的方程，由点M的纵坐标为6求得、，再与直线QN平行于x轴可得答案．
【详解】设，，抛物线的焦点坐标为，
设直线PQ的方程为，代入抛物线的方程，
得，则，因为点M的纵坐标为6，
故，所以，因为直线QN平行于x轴，所以点N的纵坐标为．
故选：C．
9．B
分析：求出点的坐标，根据抛物线的光学性质可得直线AB经过焦点，即可求出斜率.
【详解】由题意可知点A的纵坐标为1．将y＝1代入，得，则，
由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点，
所以直线AB的斜率．
故选：B．
10．C
分析：由抛物线方程求出焦点坐标，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去，求出，同理求出，再根据计算可得；
【详解】解：由得，，所以，即；消去得，所以，或（舍去），即；
同理即；消去得，所以，或（舍去），即；
所以，即两条反射光线和之间的距离为
故选：C
11．C
分析：求出双曲线渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的定义可判断C选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D选项.
【详解】在双曲线中，，，则，易知点、，
设，，
对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，
当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，此时，
同理可知当点在第四象限内运动时，，
当点为双曲线的右顶点时，，
综上所述，的取值范围是，A对；
对于B选项，当时，，
，所以，，B对；
对于C选项，，
故过点时，光由到再到所经过的路程为
，C错；
对于D选项，若，由角平分线定理可得，
即，解得，D对.
故选：C.
12．C
分析：由对称性以及几何关系得出，，再由求出的离心率.
【详解】连接，，即为等边三角形，由对称性可知，，，，，整理得，解得（舍）
故选：C
13．ABD
分析：根据求出焦点为、A点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，求出可判断AC；
时可得，．由可判断B；
求出点坐标可判断D.
【详解】若，则抛物线，，的焦点为，直线的方程为：，可得，，选项正确；
时，因为，所以，
又，所以，所以平分，选项B正确；
若，则抛物线，，，的焦点为，直线的方程为，联立抛物线方程求解可得，所以，选项C不正确；
若，则抛物线，，，延长交直线于点，则，由C选项可知，所以，，三点共线，故D正确.
故选：ABD．
14．ACD
分析：A：根据题意求出A的坐标，根据题意知AB过焦点，据此求出AB方程，联立直线AB方程和抛物线方程根据韦达定理可得；
B：根据弦长公式可求；
C：求出，由得，再由得，由此即可判断；
D：求出B点纵坐标；求出AO方程，与联立求出C点坐标；比较C，B，Q纵坐标即可得答案.
【详解】设，，，，
∵轴，且过点，，
∴，把代入抛物线的方程，解得，即，
由题知，直线经过焦点F，，，
直线的方程为，即，
联立，得，
∴，，故A正确；
，故B错误；
，∴，
由光学性质可知轴，轴，∴，
∴，∴，即平分，故C正确；
∵，，∴，
直线的方程为，由，解得，∴，，
∴，，三点纵坐标都相同，∴，，三点共线，故D正确．
故选：ACD．
15．BCD
分析：根据平行于轴可求的坐标，从而可求直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程可求的坐标，从而可求并可得为等腰三角形，从而可判断ABC的正误，求出C的坐标后可判断D的正误.
【详解】设抛物线的焦点为，则.
因为，且轴，故，故直线.
由可得，故，故A错.
又，故，故，故，故B正确.
直线，由可得，故，
所以C，B，Q三点共线，故D正确.
因为，故为等腰三角形，故，
而，故即，故PB平分，故C正确.
故选：BCD.
16．ABC
分析：由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项A；
点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断选项B；
根据抛物线的定义可知，，可判断选项C；
由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D．
【详解】如图所示，
由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A正确；
由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
，即选项B正确；
由抛物线的定义可知，，即选项C正确；
与平行，
与之间的距离，即选项D错误；
故选：ABC
【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题．
17．4
分析：设，，两条平行光线的距离为，则，联立直线的方程与抛物线的方程，可得，的值，进而代入中求解.
【详解】设，，设两条平行光线的距离为，
由题意可知，
因为，直线过点，所以可设直线的方程为，，
由，消去得，
则，，
则，当时取得等号
所以两条平行关系的最小距离为4，
故答案为：4
18．
分析：过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质和几何位置关系得到，求出，利用中位线的性质、椭圆的定义求出.
【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，，
则，
因为，
故，
所以，
.
故答案为：.
19．
分析：由抛物线的对称性得，然后再利用抛物线定义列式计算得，，从而代入计算.
【详解】如图所示，延长BF交抛物线C于点，由题意，，
由抛物线的对称性可得，，又因为，
，
所以，解得．
故答案为：.
【点睛】在抛物线中，若过焦点的直线的倾斜角为，则弦长.
20．8
分析：根据椭圆的光学性质和椭圆的定义即可求得答案.
【详解】如图，
根据题意，小球从点A出发，经椭圆反射经过点B继续前行，碰到点Q后回到点A，根据椭圆的定义，小球所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，因为，所以小球经过的路程为.
故答案为：8.
21．
分析：利用给定信息求出椭圆C的两个焦点坐标，再借助待定系数法计算作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点为，又光的反射具有可逆性，
则由发出的平行于x轴的光线经过抛物线反射必过，再经过椭圆C反射经过，
因此，、为椭圆C的两个焦点，半焦距，而在椭圆C上，于是得，解得，
所以椭圆C的方程为.
故答案为：
22．
分析：根据题意得，所以，求出，即可求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又表示点到直线的距离的倍，分析求解即可.
【详解】根据椭圆定义得：，
所以，因为的最大值为6，
因为，所以，即，解得，所以离心率为.
右焦点关于直线的对称点，设切点为，由椭圆的光学性质可得：
，，三点共线，所以，
即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线的距离最小值，最大值，
所以点到直线的距离为：，
所以表示点到直线的距离的倍，
则，即.
故答案为：，.
23．
分析：由点与点的纵坐标相同和韦达定理可得，利用抛物线的定义可求得总路程.
【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为，第二次射到抛物线上的点记为，易得，因为，
所以直线的方程为．
联立消去整理得，
可设，显然和是该方程的两个根，
则，所以．
（方法一）光线从点到经过的总路程为
．
（方法二）设抛物线的准线为，则其方程为，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，则，，所以，
故光线从点到经过的总路程为
．
故答案为：；20.
24．（1）；（2）是定值，定值为.
分析：（1）设所求椭圆方程为，由椭圆的性质求得，，可得椭圆的方程.
（2）由（1）得椭圆的方程为，设椭圆上的点，有，证明椭圆在点处的切线方程为， 再由右光学性质得直线，由此可求得定值.
【详解】解：（1）设所求椭圆方程为，
则，
由椭圆的性质：，所以，
，
所以椭圆的方程为.
（2）由椭圆的方程为，则.
设椭圆上的点，则，
又椭圆在点处的切线方程为，
证明如下：对于椭圆，
当，，则，
所以椭圆在处的切线方程为，
又由，可以整理切线方程为：，
即切线方程为，即，也即.
所以椭圆在点处的切线方程为，
同理可证：当，椭圆在点处的切线方程为，
综述：椭圆在点处的切线方程为，
所以在点处的切线的斜率为，
又由光学性质可知：直线，所以，则.
所以，
，
那么.
25．(1)证明见解析
(2)
分析：（1）阅读题干中的信息，可知抛物线的光学性质，从而得到光线必过抛物线的焦点，进而设出直线的解析式，利用韦达定理求解；（2）求出关于的对称点，从而求出点坐标，利用三点共线，斜率相等求出抛物线方程
（1）
由抛物线的光学性质及题意知：
光线必过抛物线的焦点，，
设，代入抛物线方程得：，
（2）
由题意知，，，，
设点关于直线的对称点为，则有：
，
解得：，
由，，共线且平行于轴得:，，
又，，三点共线，，
即，解得：，
故抛物线方程为：．
26．（1）；（2）证明见解析.
分析：（1）设直线，联立方程组，由根有系数的关系，得到，，根据两平行光线间的距离，得到，即可求解；
（2）由（1）抛物线准线为，得到，，结合向量的共线条件，即可求解.
【详解】（1）设，，由方程，可得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得，
所以，，
则两平行光线间的距离，当且仅当时等号成立
所以，即，故抛物线方程为.
（2）由（1）知抛物线方程为，可得准线为，
则，，可得，，
所以，
所以，又因为，所以，，三点共线.
27．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，设直线的直线方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到，，再根据可解得结果；
（2）设直线的方程为，，求出的坐标，利用可证结论正确.
【详解】（1）设，
，设直线的直线方程为，
由，得，
，，
则两束平行光线之间的距离，
所以当时，，所以，
故抛物线的方程为
（2）证明：设直线的方程为，，
则
由，得，
同理，
，
由
得
则，
则，
因此，以线段为直径的圆经过点.
【点睛】关键点点睛：转化为证明是解题关键.
28．（1）见解析；（2）
分析：（1）由抛物线的性质及题意，设，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，即可求解.
（2）由题意，求得，设，则，求得，得到直线的斜率为，即可得到直线的方程.
【详解】（1）由抛物线的性质及题意知，则光线必过抛物线的焦点，
设，代入抛物线方程得：，
所以.
（2）由题意知，，，所以，
关于直线对称与直线重合，
设，则，解得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的标准方程及其简单的几何性质，合理应用直线的斜率和倾斜角的关系，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
29．(1)抛物线的方程为；准线方程为；
(2)；
(3)；
(4)详见解析.
分析：（1）由题可知在抛物线上，即求；
（2）利用抛物线的定义及方程即得；
（3）设切线方程为，联立抛物线方程，利用判别式为零即得；
（4）由题可求点关于法线的对称点，进而即证.
（1）
设抛物线的方程为：，
由题可知在抛物线上，可得，
解得，
所以抛物线的方程为；其准线方程为；
（2）
设，则，
∵P到焦点距离为5cm，
∴，即，
所以，即；
（3）
设抛物线在点处的切线方程为，
由，得，
∴解得，
∴抛物线在点处的法线的斜率为，
所以抛物线在点处的法线方程为，即；
（4）
设关于法线的对称点为，
则，
解得，即反射光线过点，
又点在反射光线上，
所以反射光线的方程为，
故由在抛物线焦点F处的点光源发射的光线经点P反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴.
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