高考数学微专题集专题26求动点轨迹方程微点4相关点法(代入法)求动点的轨迹方程(原卷版+解析)

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微点4 相关点法求动点的轨迹方程
【微点综述】
在高中数学学习中，求轨迹方程是一个常考题型．相关点法（也称代人法）是求轨迹方程的重要方法．事实上，多类问题都可以用相关点法去解决．相关点法问题特征：（1）有主动点和从动点；（2）主动点在已知曲线上运动．具有这两个特点的题目可以用向广大求轨迹方程．
一、相关点法
若动点的变动依赖于另一动点，而在某已知曲线（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点叫做轨迹动点，主动点叫做点的相关点），求出关系式（*），并代入方程，得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，又叫代入法、代换法或转移法．这是求轨迹方程的一种常用的重要方法．此法的关键是，构建用轨迹动点的坐标表示其相关点的坐标（即向的转移）的关系式（*）．
二、相关点法解题步骤
一般分为三步：
第一步，设所求轨迹的点，曲线上的动点；
第二步，找出与的关系，由表示，即；
第三步，满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．
而从动点的坐标来表达主动点的坐标的方法较多，一般采用以下几种方法进行转移：
①利用定义；②利用参数；③利用向量；④利用相关公式；⑤利用对称知识等．下面举例说明．
三、相关点法解题应用举例
当圆锥曲线在某种限制条件下运动变化时，圆锥曲线的特殊点（中心、圆心、焦点、顶点等）就形成某种轨迹，现就相关点法（也称‘转移代入法”）在求特殊点轨迹中的具体应用给予举例说明．
1．利用定义转化
例1
1．过原点的双曲线，以为一个焦点，且实轴长为，求此双曲线的中心轨迹方程．
例2
2．一系列椭圆，经过轴为公共准线，求椭圆右焦点的轨迹方程．
2．利用参数转化
例3
3．求以为准线，且，对称中心在圆上的椭圆右焦点的轨迹方程．
例4(2023·全国·模拟预测（理））
4．在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)若为线段的中点，求点的轨迹的普通方程；
(2)已知射线:与曲线交于点，与直线交于点，若为线段的中点，求的值.
3．利用向量转化
例5
5．已知三点，，，曲线上任意一点满足.
（1）求曲线的方程；
（2）点，是曲线上动点，曲线在点处的切线为，点的坐标是，与，分别交于点，，求与的面积之比．
例6
6．已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点
满足，动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点作动直线的平行线交轨迹于两点，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
例7
7．在平面直角坐标系xOy中,有一个以为和焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C, 动点P在C上, C在点P处的切线与x , y轴的交点分别为A、B,且向量.求:
（1）点M的轨迹方程；
（2）的最小值.
4．利用相关公式
例8
8．如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设是以原点为圆心，短轴长为半径的圆，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，试计算的值是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
5．利用对称有关知识转化
例9
9．曲线关于点对称的曲线方程为______．
例10
10．如图所示，已知是圆内的一点，，是圆上两动点，且满足，则矩形的顶点的轨迹方程为__________
小结：
相关点法的使用条件非常明显，就是当目标点随着某一动点而不断变化，且动点的轨迹方程已知或者容易求得时，则可以将已知动点的横、纵坐标用目标点来表示，然后带入已知方程中求解．把握相关点法的精髓，可以快速解答轨迹方程问题．
利用相关点法解决这类问题的一般思路：
（1）确定所求轨迹点（被动点）的相关点（主动点）是哪一个点．
（2）利用几何特征求出所求轨迹点与相关点之间的坐标关系，这是求圆锥曲线特殊点轨迹方程的关键．在整个动态的圆锥曲线系统中，要动中求静，找出相对不变量的关系式，如：准线间距离、两焦点之间距离等；以中的某一量为中间参数，寻求所求轨迹点、相关点坐标与中间量的关系．
（3）若相关点在圆锥曲线本身的动态系统中因其运动，寻求相关点的几何特征关系（如利用圆锥曲线的第一、第二定义），将相关点的坐标关系代入几何特征关系，得到所求点的轨迹方程；若相关点在圆锥曲线外的其他曲线上运动，将其相关点坐标关系代入相关点所在的曲线方程，得到所求点的轨迹方程．
【强化训练】
(2023·浙江·慈溪中学模拟预测）
11．在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
12．已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为______．
13．设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是______．
(2023·河北保定·高三月考）
14．已知的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则的重心的轨迹方程为_______
15．连接定点和曲线上动点的线段的中点的轨迹方程是______．
16．已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为___________；若动点M满足，则M的轨迹方程为___________.
(2023·辽宁大连·高三期末）
17．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点，斜率为的直线交曲线于，两点．如果的重心恰好在轴上，求的取值范围．
18．已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
19．已知椭圆的标准方程为．
(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2023·四川内江·高三期末（理））
20．在中，，，与BC斜率的积是．
(1)求点的轨迹方程；
(2)，求PC的中点的轨迹方程．
(2023·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）
21．已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
(2023·福建·厦门一中高三月考）
22．从圆：上任取一点向轴作垂线段为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线．（当为轴上的点时，规定与重合）．
(1)求的方程，并说明是何种曲线：
(2)若圆与轴的交点分别为在左侧），异于，直线交直线于，垂足为，线段的中点为，求证：是等腰三角形．
23．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
(2023·四川·成都七中高三期末（文））
24．在直角坐标系中，曲线的方程为．为曲线上一动点，且，点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线，的极坐标方程；
(2)曲线的极坐标方程为，点为曲线上一动点，求的最大值．
25．平面上有一条长度为定值的线段AB.
(1)到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹是什么图形？说明理由；
(2)到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹是什么图形？说明理由.
专题26 求动点轨迹方程 微点4 相关点法（代入法）求动点的轨迹方程
专题26 求动点轨迹方程
微点4 相关点法求动点的轨迹方程
【微点综述】
在高中数学学习中，求轨迹方程是一个常考题型．相关点法（也称代人法）是求轨迹方程的重要方法．事实上，多类问题都可以用相关点法去解决．相关点法问题特征：（1）有主动点和从动点；（2）主动点在已知曲线上运动．具有这两个特点的题目可以用向广大求轨迹方程．
一、相关点法
若动点的变动依赖于另一动点，而在某已知曲线（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点叫做轨迹动点，主动点叫做点的相关点），求出关系式（*），并代入方程，得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，又叫代入法、代换法或转移法．这是求轨迹方程的一种常用的重要方法．此法的关键是，构建用轨迹动点的坐标表示其相关点的坐标（即向的转移）的关系式（*）．
二、相关点法解题步骤
一般分为三步：
第一步，设所求轨迹的点，曲线上的动点；
第二步，找出与的关系，由表示，即；
第三步，满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．
而从动点的坐标来表达主动点的坐标的方法较多，一般采用以下几种方法进行转移：
①利用定义；②利用参数；③利用向量；④利用相关公式；⑤利用对称知识等．下面举例说明．
三、相关点法解题应用举例
当圆锥曲线在某种限制条件下运动变化时，圆锥曲线的特殊点（中心、圆心、焦点、顶点等）就形成某种轨迹，现就相关点法（也称‘转移代入法”）在求特殊点轨迹中的具体应用给予举例说明．
1．利用定义转化
例1
1．过原点的双曲线，以为一个焦点，且实轴长为，求此双曲线的中心轨迹方程．
例2
2．一系列椭圆，经过轴为公共准线，求椭圆右焦点的轨迹方程．
2．利用参数转化
例3
3．求以为准线，且，对称中心在圆上的椭圆右焦点的轨迹方程．
例4(2023·全国·模拟预测（理））
4．在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)若为线段的中点，求点的轨迹的普通方程；
(2)已知射线:与曲线交于点，与直线交于点，若为线段的中点，求的值.
3．利用向量转化
例5
5．已知三点，，，曲线上任意一点满足.
（1）求曲线的方程；
（2）点，是曲线上动点，曲线在点处的切线为，点的坐标是，与，分别交于点，，求与的面积之比．
例6
6．已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点
满足，动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点作动直线的平行线交轨迹于两点，则是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
例7
7．在平面直角坐标系xOy中,有一个以为和焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C, 动点P在C上, C在点P处的切线与x , y轴的交点分别为A、B,且向量.求:
（1）点M的轨迹方程；
（2）的最小值.
4．利用相关公式
例8
8．如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设是以原点为圆心，短轴长为半径的圆，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，试计算的值是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
5．利用对称有关知识转化
例9
9．曲线关于点对称的曲线方程为______．
例10
10．如图所示，已知是圆内的一点，，是圆上两动点，且满足，则矩形的顶点的轨迹方程为__________
小结：
相关点法的使用条件非常明显，就是当目标点随着某一动点而不断变化，且动点的轨迹方程已知或者容易求得时，则可以将已知动点的横、纵坐标用目标点来表示，然后带入已知方程中求解．把握相关点法的精髓，可以快速解答轨迹方程问题．
利用相关点法解决这类问题的一般思路：
（1）确定所求轨迹点（被动点）的相关点（主动点）是哪一个点．
（2）利用几何特征求出所求轨迹点与相关点之间的坐标关系，这是求圆锥曲线特殊点轨迹方程的关键．在整个动态的圆锥曲线系统中，要动中求静，找出相对不变量的关系式，如：准线间距离、两焦点之间距离等；以中的某一量为中间参数，寻求所求轨迹点、相关点坐标与中间量的关系．
（3）若相关点在圆锥曲线本身的动态系统中因其运动，寻求相关点的几何特征关系（如利用圆锥曲线的第一、第二定义），将相关点的坐标关系代入几何特征关系，得到所求点的轨迹方程；若相关点在圆锥曲线外的其他曲线上运动，将其相关点坐标关系代入相关点所在的曲线方程，得到所求点的轨迹方程．
【强化训练】
(2023·浙江·慈溪中学模拟预测）
11．在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
12．已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为______．
13．设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是______．
(2023·河北保定·高三月考）
14．已知的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则的重心的轨迹方程为_______
15．连接定点和曲线上动点的线段的中点的轨迹方程是______．
16．已知点，直线，两个动圆均过A且与l相切，若圆心分别为､，则的轨迹方程为___________；若动点M满足，则M的轨迹方程为___________.
(2023·辽宁大连·高三期末）
17．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点，斜率为的直线交曲线于，两点．如果的重心恰好在轴上，求的取值范围．
18．已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
19．已知椭圆的标准方程为．
(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2023·四川内江·高三期末（理））
20．在中，，，与BC斜率的积是．
(1)求点的轨迹方程；
(2)，求PC的中点的轨迹方程．
(2023·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）
21．已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
(2023·福建·厦门一中高三月考）
22．从圆：上任取一点向轴作垂线段为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线．（当为轴上的点时，规定与重合）．
(1)求的方程，并说明是何种曲线：
(2)若圆与轴的交点分别为在左侧），异于，直线交直线于，垂足为，线段的中点为，求证：是等腰三角形．
23．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
(2023·四川·成都七中高三期末（文））
24．在直角坐标系中，曲线的方程为．为曲线上一动点，且，点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线，的极坐标方程；
(2)曲线的极坐标方程为，点为曲线上一动点，求的最大值．
25．平面上有一条长度为定值的线段AB.
(1)到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹是什么图形？说明理由；
(2)到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹是什么图形？说明理由.
参考答案：
1．方程（除去点）或（除去点）．
分析：相关点法求解轨迹方程，注意去掉不合要求的点.
【详解】设双曲线的中心为，双曲线的另一焦点，
则由中点坐标公式，所以，
曲线过原点，由双曲线的定义，可得，
即，即，
因此，化简得或．
，化简得所，
所以点不取．
因此，双曲线中心的轨迹方程（除去点），
或（除去点）．
2．
分析：设椭圆的右焦点为，左焦点为，左右两顶点分别为到轴的距离为，两准线间的距离为，先利用转移代入法求坐标，用坐标表示，由椭圆第二定义，得，化简可得结果.
【详解】设椭圆的右焦点为，左焦点为，左右两顶点分别为到轴的距离为，两准线间的距离为．
，又，
，
∴，
，
利用椭圆的几何特征，得，
∵，
，．
由椭圆第二定义，得，
∴，
，
化简得，
所求轨迹为以为中心，长半轴为，短半轴为的椭圆．
即轨迹方程为.
3．
分析：设椭圆对称中心，右焦点，分别求出与，与的关系，再根据在圆上，即可得解.
【详解】解：设椭圆对称中心，右焦点，
由椭圆的几何特征得，
又，
，则，
又因，故，
代入圆的方程得，
所求轨迹为以为中心，长半轴为，短半轴为的椭圆．，
即椭圆右焦点的轨迹方程为．
4．(1)；
(2)或
分析：（1）曲线化为普通方程，设，根据相关点法求轨迹方程即可；
（2）分与两种情况讨论，当时检验即可，当时，设出直线方程，联立直线求出点，再利用中点得出，代入圆的方程即可求解.
（1）
解：由曲线的参数方程（为参数），消参可得：，
设，由为线段的中点知，代入，
得：，即点的轨迹方程为.
（2）
射线:，
当时，或，，当时，满足为线段的中点，满足题意.
当时，设所在直线方程为，其中，
由可得，由为线段的中点可得，
又在圆上，所以，解得，所以.
综上，或.
5．（1）；（2）2.
分析：（1）由题知，再根据向量加法与数乘运算，向量模的坐标表示运算求解即可得答案；
（2）由导数的几何意义得曲线在点处的切线斜率为，与轴的交点，进而与直线，联立方程得，，故，所以，，再求比值即可.
【详解】（1）由，可得，
，，．
由题意可得，化简可得．
（2）由题意可得直线，的方程分别为、，且，
曲线在点，处的切线斜率为，
曲线在点，处的切线方程为，且与轴的交点．
由求得，由求得．
故，．
故，
而，
，即与的面积之比等于2．
【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、切线方程及三角形面积公式，属于难题.
方法点睛：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
6．（1） （2）为定值，定值为1
【解析】（1）利用平面向量坐标的线性运算化简.结合列方程，化简后求得动点的轨迹方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和，写出判别式和韦达定理，利用弦长公式求得.求得直线的方程，与联立，由此求得.由此计算出为定值.
【详解】（1）因为，即，
所以，，则，
又，所以，即，
所以动点的轨迹方程为.
（2）易知直线不与轴重合，可设直线的方程为，由，
得，，
设，则有，，
，
即，
由，可知直线的方程为，
由，得，
则，
故，综上，为定值，且定值为1.
【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
7．（1）;（2）3.
【详解】（1）设椭圆的方程为. 由已知,可得
∴曲线C的方程为
∴求导得
设,因P为C上,所以有,
由此得切线AB的方程为:
设A(x , 0)和B(0 , y). 由切线方程得.
由得M的坐标为(x , y),由满足C的方程,
得点M的轨迹方程为:;
（2）∵
∴当且仅当即时,
上式取等号. 故的最小值为3.
【点睛】本题主要考查轨迹方程以及基本不等式的应用，熟记椭圆的方程以及基本不等式即可，属于常考题型．
8．（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，证明见解析.
分析：（Ⅰ）由已知得，数形结合求得的坐标，代入椭圆方程求得，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设，，由，是切点，可知、、、四点共圆．分别写出以为直径的圆的方程与圆的方程，联立可得所在直线方程求出直线在，轴上的截距，结合在椭圆上可得的值是定值．
【详解】解：（Ⅰ）依题意知：椭圆的长半轴长，则，
设椭圆的方程为
由椭圆的对称性知，又，
， 为等腰直角三角形，
点C的坐标为，点B的坐标为，
将C的坐标代入椭圆方程得
所求的椭圆的方程为
（Ⅱ）设点，由，是的切点知，，，
、、、四点在同一圆上，
且圆的直径为OP则圆心为，
其方程为，
即 ①
即点，满足方程①，又点，都在上，
， 坐标也满足方程 ②
②①得直线的方程为，
令，得，令得，
，，又点Р在椭圆E上，
，即为定值.
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，属于中档题．
9．
分析：设为曲线上的点，其关于点对称的点为，进而得，再代入即可得答案.
【详解】解：设为曲线上的点，其关于点对称的点为，
所以，，即，
由于，
所以，，即.
故答案为：
10．
分析：设的中点为，设的坐标为，则在中，，在中，，再由，由此得到点的轨迹方程①，设，因为是的中点，可得，代入①化简即得所求.
【详解】解：设的中点为，则也是的中点，
设的坐标为，则在中，.
又因为是弦的中点，
依垂径定理：在中，.
又，
所以有，即.
因此点在一个圆上，而当在此圆上运动时，点即在所求的轨迹上运动.
设，因为是的中点，所以，
代入方程，
得，
整理得：，这就是所求的点的轨迹方程.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段中点的轨迹方程.欲求的轨迹方程，应先求的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题，属于中档题.
11．C
分析：设，由于的面积为定值，可得出为定值，设，设线段的中点为M，因为，即可得出线段的中点的轨迹为双曲线.
【详解】设，
则.
由于的面积为定值且为定值，从而为定值，设.
设线段的中点为M，则，，
故为定值，
从而线段的中点的轨迹为双曲线.
故选：C.
12．
分析：先设出，的坐标，，根据重心坐标公式可得出关系式，再利用顶点A在抛物线上运动，代入即可得到轨迹方程。
【详解】设，．
由点G为的重心，得，所以．
又在抛物线上，所以，即．
又点A不在直线BC上，所以，即，所以所求轨迹方程为．
故答案为：
13．
分析：设点，则，设，，则，表示出和，利用求出和的表达式，进而根据求得的轨迹方程.
【详解】设点，则，设，，则，
，，
，，，
又，，，
，即.
故答案为：.
14．
分析：设的重心为，设点，可得出，将点的坐标代入抛物线的方程，化简可得出的重心的轨迹方程，再利用、、三点不共线，可得出，综合可得出答案.
【详解】设的重心为，设点，则，可得，
因为点在抛物线上，则，即，可得.
因为点不能在轴上，则，因此，的重心的轨迹方程为.
故答案为：.
15．
分析：设，，由中点关系表示出B，代入曲线即可得出.
【详解】设，，
因为是的中点，所以，则，
代入曲线可得，整理可得，
所以的轨迹方程是.
故答案为：.
16．
分析：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程，设，，，根据可得，，利用可求得结果.
【详解】解：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，所以的轨迹方程为，
设，，，因为动点满足，
所以，即，，
所以，，因为，所以，
所以，即的轨迹方程为.
故答案为：；.
17．（1）；（2）．
分析：（1）根据相关点法求轨迹方程即可直接求出结果；
（2）方法一：利用点差法来解题；方法二：设出直线方程与椭圆联立，结合韦达定理，解不等式即可求出结果.
【详解】解：（1）由动点满足，得，
即，
又，所以．
（2）（法一）设，，直线的斜率为，
则
①-②得
整理得：，
设的重心坐标为，有，即，
所以，又弦中点一定在椭圆内部，
所以，即，
所以．
（法二）设直线的方程为，联立方程
得，有，
即
，
所以
即，又，
所以，即，
所以，即．
18．
分析：设，弦的中点， 将代入椭圆方程，点差法可得
，时利用，可得答案；时，则直线方程为，代入椭圆方程解得坐标， 满足上述方程，可得答案.
【详解】设，弦的中点，则，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得；
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得
所以满足上述方程，
故点的轨迹方程.
19．(1)存在；点坐标为
(2)存在；
分析：（1）根据仿射变换进行换元，令，即可得到新的轨迹方程，得到.然后根据题意找到的轨迹方程，结合椭圆定义即可解题；
（2）结合第一小问，找到的轨迹方程，结合椭圆定义即可解题.
（1）
设椭圆上一点为，椭圆上的点，，
令，椭圆的方程为，，
可得是以为圆心，半径为2的圆上的点，记仿射变换下，在圆上对应的点为，，
直线与的斜率之积为
．可得.
，四边形为正方形，于是，
则点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的两个焦点）．
（2）
，由（1）可知，此时四边形为矩形，于是，点的轨迹方程为，因此点的轨迹方程为，即.，，
直线为椭圆的右准线.
由椭圆的定义可得，存在符合题意的点，坐标为（即椭圆的右焦点）．
20．(1)
(2)
分析：（1）设点C坐标，根据题意直接列方程可得；
（2）由相关点法可得.
（1）
设点C坐标为，由题知
整理得点的轨迹方程为
（2）
设点M坐标为，点C坐标为
由中点坐标公式得，即
将代入得点的轨迹方程为：，即
21．(1)
(2)轨迹方程，为椭圆除去4个顶点
分析：（1）根据双曲线的顶点，结合椭圆离心率的公式与基本量的关系求解即可；
（2）根据题意可得直线l与椭圆C相切，故联立直线与椭圆的方程，利用判别式为0可得的关系，再得到点M坐标的表达式，从而得到过点M作直线l的垂线的方程，求得，结合椭圆的方程求解即可
（1）
设椭圆C的方程为，，由题意，双曲线的顶点为，故.又，故，故，故椭圆C的方程为
（2）
由题意，直线l与椭圆C相切，联立得，故，即.设，则，故，故.所以直线的方程为，即，当时，，故，当时，，故，故.又，故则，又在上，故，即，由题意可得，故点的轨迹方程为，为椭圆除去4个顶点
22．(1)的方程为，是长轴长为6，焦点为的椭圆
(2)证明见解析
分析：（1）根据相关点法，设，则，将代入圆的方程即可求解出点轨迹.
（2）联立直线和椭圆方程，可通过斜率关系关系得位置关系为垂直，进而可得三点共线，从而可证等腰.
（1）
设，则，因为在圆上，所以，即，
所以是椭圆，且，所以，
所以的方程为，是长轴长为6，焦点为的椭圆．
（2）
解法一：易知，因为异于，所以异于，设，
则，
令得，所以，所以．
又因为，所以，
所以，所以三点共线，所以，所以，故是等腰三角形．
解法二：
易知，因为异于，所以异于，有题意可知直线有斜率，设，
则令得，所以，所以．
由得，所以，
所以，
所以，所以，所以三点共线，所以，所以，故是等腰三角形．
解法三：
易知，因为异于，所以异于，
设，则，设，
由得，所以，
所以，又因为，
所以，所以，所以三点共线，所以，所以，故是等腰三角形．
解法四：
易知，因为异于，所以异于，
设，则令得，所以，所以．
由得，所以，
所以，所以，所以三点共线，
所以，所以，
故是等腰三角形．
23．(1)
(2)
(3)
分析：(1) 设，，可得，代入圆化简即可；
(2) 联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程,再由弦长公式可求得结果；
(3) 作关于轴得对称点，连接与x轴交于Q点，根据时求解即可.
（1）
设，，点A在圆，所以有：，
P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；
（2）
联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，
设到直线MN得距离为d，则,
所以，；
（3）
作出关于轴得对称点，
如图所示；
连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，
此时，所以的最小值为.
24．(1)；
(2)
分析：（1）利用直角坐标和极坐标的互化关系求的极坐标方程，利用代入法求的极坐标方程；
（2）为上一点，为上一点，可知，即可求解.
（1）
由题意可知，将代入得，
则曲线的极坐标方程为，
设点的极坐标为，则，
点的极坐标为，由得，即，
将代入得，
所以点轨迹曲线的极坐标方程为；
（2）
曲线直角坐标方程为，设点，
曲线的直角坐标方程为，则圆心为，
，
即
当时， ，所以.
25．(1)到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹为两条直线；
(2)当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆，当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为的中点，当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹不存在.
分析：(1)建立坐标系，求出曲线的轨迹方程，判断轨迹形状；(2) 根据轨迹方程的求法求出曲线的轨迹方程，判断轨迹形状；
（1）
如图以直线为轴，线段的中点为原点，建立平面直角坐标系，则
，，设为曲线上的任意一点，
因为点到线段AB两个端点距离的平方差为k
所以或
所以或
化简可得或，
所以到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹为两条直线；
（2）
设为曲线上的任意一点，
因为点到线段AB两个端点距离的平方和为k
所以，
所以，
化简可得：，
当时，，曲线的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，
当时，，曲线的轨迹为点，
当时，，曲线的轨迹不存在，
所以当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆，
当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为的中点，
当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹不存在.