高考数学微专题集不动点与数列(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集不动点与数列(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了什么是不动点等内容，欢迎下载使用。

取两根长短不一，有着同样刻度（但长度单位不同）的尺子（比如：一根长，一根长5寸），我们将其中较短的一根无论放在较长尺子的什么地方，只要短尺全部落在长尺内（图1-1），则两根尺子总有某刻度，它们的数值是相同的（如图中的“A”这一刻度），这个数值相同的刻度，就是这种移动变换下的一个不动点.
一根橡皮绳子上打着许多结，当你均匀拉伸后，对称地放在原来的位置下面，再把绳子相应的结用线连接起来，其中必有一条与橡皮绳垂直（图中A），则这条垂线的结点，便是橡皮绳在拉伸变换下的不动点.
“不动点”是一个重要的又十分有趣的数学概念，斯丕诺（Sperner）定理可以说是不动点在数学上有趣的应用：
把任意分割成许多小三角形（如图所示），然后把的顶点分别涂上三种不同的颜色，再把这些小三角形的顶点也涂上这三色之一.规则是：
若小三角形的顶点落在某条边上，则这个顶点，只能涂该边两端之一的颜色，若小三角形顶点落在内，则可以任意涂三色之一.无论如何分割，最后必有一个三角形（确切些，有奇数个小三角形）使它的三个顶点恰好涂有三种颜色.从不动点观念看，这个小三角形就是在“分割”、“着色”变换下的不动点.
历史上证明了Sperner定理后，导出了布劳韦尔（Bruwer）不动点定理：
“任意一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点”.
定理的严格证明是艰深的.
由于篇幅所限，不可能给出这个证明了，但是，我们可以看看布劳韦尔不动点定理最简单而又特殊的情况：
定理：设是连续函数，其定义域为，值域，则必有不动点（即存在一点使）.
预备知识：
定义1对函数，若存在实数，满足，则称为的不动点.
对此定义有两方面的理解：
（1）代数意义：若方程有实数根，则有不动点.
（2）几何意义：若函数与有交点，则为的不动点.
利用递推数列的不动点，可以将某些由递推关系所确定的数列转化为较易求通项的数列（如等差数列或等比数列），这种方法称为不动点法.下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式.
定义2若数列满足，则称为数列的特征函数.
定义3方程称为函数的不动点方程（特征方程），其根称为函数的不动点.
具体应用：
若数列的递推公式为，把此式中的、均换成，得方程，我们把方程的实数根称为数列的不动点.利用数列的非零不动点，可以转化求等比、等差数列，继而可求出数列的通项公式.
命题1若，是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.
证明因为是的不动点，所以，所以.由得.
所以是公比为的等比数列.
命题2设，且只有两个相同的不动点，如果满足递推关系，初值条件，则.（这里）
证明由得，整理得.
所以，，所以
.
所以
.
令，则.
命题3设，满足递推关系，初值条件，若有两个相异的不动点，，则.（这里）
证明因为，是不动点，
所以，
所以
.
令，则.
命题2、命题3的另一种证明方法：
（1）推理
当数列递归方程满足，
若令，，
根据不动点定义，
即，
可列出方程，整理得.①
当判别式时，该数列具有一个不动点；
当判别式时，该数列具有两个不动点，.
两种情况均满足数列特征方程
.②
（2）验证
将递归方程变形为，
对比②式系数得.
消去未知量，，推出等式，
即特征方程①，证毕.
命题4设函数有两个不同的不动点，，且由确定数列，那么当且仅当，时，.此时.
知识延伸：利用函数不动点构造桥函数求数列的通项公式.
定义2已知函数，记，，，则称为函数的次迭代.
定义3已知函数和，若存在可逆函数（存在反函数），满足，则函数和互为相似函数，其中称为桥函数.
说明（1）若，则且.
（2）若的不动点为，则为函数的不动点.
对于数列：已知首项，及递推公式，，则数列的通项公式即为.若能求出，则数列的通项公式即可很容易求出.而求关键是需要找到合适的桥函数，使得与相似的函数能比较简单（常为一次函数或反比例函数），从而求，再由求.而由说明（2）又启发我们可以利用函数的不动点去构造桥函数.
桥函数的使用：已知数列满足：，，，求数列的通项公式.
解令，则的不动点为，，
构造桥函数，则，
令,
又，则
,
所以数列的通项公式为,
说明（，，，为常数），则，其中是的不动点.
最后我们来研究关于数列的周期性问题：
对于方程；
（1）若，则数列无周期.
（2）若，则数列有周期的充要条件是，且周期.
（3）若，则数列有周期的充要条件是（其中，为方程的两根.，），且周期.
证明：（1）当时，方程的两根.
因为，
.
对于，，显然,
所以，故数列无周期.
（2）若，则两根，
因为，
，
所以数列有周期的充要条件是，
，
即.
所以，但，
所以，，
注意到方程，，
故.
反之，若，
则，（其中）
所以，
即 ①，
自然也有 ②，
② 得，，于是，
说明数列的奇数项、偶数项分别相同，故数列有周期.
（3）若，则.
由于，
故可设.
则为1的一个次方根，.
反之，若是周期为的周期数列，则必有.
于是.
【强化训练1】
1．已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
【强化训练2】
2．已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
【强化训练3】
3．设，数列满足，，求数列的通项公式．
【强化训练4】
4．已知首项为的数列，满足（a为常数）.当a确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题.
【强化训练5】
5．已知，，求的通项公式.
【强化训练6】
6．已知，，求的通项公式.
【强化训练7】
7．已知，求的通项公式.
【强化训练8】
8．已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式.
【强化训练9】
9．已知数列满足：，，求数列的通项公式.
【强化训练10】
10．已知数列中，，求的通项.
【强化训练11】
11．在数列中，，且，求其通项公式.
【强化训练12】
12．已知数列满足，首项，求其通项公式.
【强化训练13】
13．已知数列满足，求数列的通项公式.
【强化训练14】
14．已知数列满足，判断数列的周期性.
【强化训练15】
15．数列满足，判断数列的周期性.
【强化训练16】
16．数列满足，试研究数列的周期性.
【强化训练17】
17．已知，且，求的解折式.
【强化训练18】
18．求数列：的周期.
【强化训练19】
19．已知函数，求证：为周期函数.
不动点与数列
一、什么是不动点
取两根长短不一，有着同样刻度（但长度单位不同）的尺子（比如：一根长，一根长5寸），我们将其中较短的一根无论放在较长尺子的什么地方，只要短尺全部落在长尺内（图1-1），则两根尺子总有某刻度，它们的数值是相同的（如图中的“A”这一刻度），这个数值相同的刻度，就是这种移动变换下的一个不动点.
一根橡皮绳子上打着许多结，当你均匀拉伸后，对称地放在原来的位置下面，再把绳子相应的结用线连接起来，其中必有一条与橡皮绳垂直（图中A），则这条垂线的结点，便是橡皮绳在拉伸变换下的不动点.
“不动点”是一个重要的又十分有趣的数学概念，斯丕诺（Sperner）定理可以说是不动点在数学上有趣的应用：
把任意分割成许多小三角形（如图所示），然后把的顶点分别涂上三种不同的颜色，再把这些小三角形的顶点也涂上这三色之一.规则是：
若小三角形的顶点落在某条边上，则这个顶点，只能涂该边两端之一的颜色，若小三角形顶点落在内，则可以任意涂三色之一.无论如何分割，最后必有一个三角形（确切些，有奇数个小三角形）使它的三个顶点恰好涂有三种颜色.从不动点观念看，这个小三角形就是在“分割”、“着色”变换下的不动点.
历史上证明了Sperner定理后，导出了布劳韦尔（Bruwer）不动点定理：
“任意一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点”.
定理的严格证明是艰深的.
由于篇幅所限，不可能给出这个证明了，但是，我们可以看看布劳韦尔不动点定理最简单而又特殊的情况：
定理：设是连续函数，其定义域为，值域，则必有不动点（即存在一点使）.
预备知识：
定义1对函数，若存在实数，满足，则称为的不动点.
对此定义有两方面的理解：
（1）代数意义：若方程有实数根，则有不动点.
（2）几何意义：若函数与有交点，则为的不动点.
利用递推数列的不动点，可以将某些由递推关系所确定的数列转化为较易求通项的数列（如等差数列或等比数列），这种方法称为不动点法.下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式.
定义2若数列满足，则称为数列的特征函数.
定义3方程称为函数的不动点方程（特征方程），其根称为函数的不动点.
具体应用：
若数列的递推公式为，把此式中的、均换成，得方程，我们把方程的实数根称为数列的不动点.利用数列的非零不动点，可以转化求等比、等差数列，继而可求出数列的通项公式.
命题1若，是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.
证明因为是的不动点，所以，所以.由得.
所以是公比为的等比数列.
命题2设，且只有两个相同的不动点，如果满足递推关系，初值条件，则.（这里）
证明由得，整理得.
所以，，所以
.
所以
.
令，则.
命题3设，满足递推关系，初值条件，若有两个相异的不动点，，则.（这里）
证明因为，是不动点，
所以，
所以
.
令，则.
命题2、命题3的另一种证明方法：
（1）推理
当数列递归方程满足，
若令，，
根据不动点定义，
即，
可列出方程，整理得.①
当判别式时，该数列具有一个不动点；
当判别式时，该数列具有两个不动点，.
两种情况均满足数列特征方程
.②
（2）验证
将递归方程变形为，
对比②式系数得.
消去未知量，，推出等式，
即特征方程①，证毕.
命题4设函数有两个不同的不动点，，且由确定数列，那么当且仅当，时，.此时.
知识延伸：利用函数不动点构造桥函数求数列的通项公式.
定义2已知函数，记，，，则称为函数的次迭代.
定义3已知函数和，若存在可逆函数（存在反函数），满足，则函数和互为相似函数，其中称为桥函数.
说明（1）若，则且.
（2）若的不动点为，则为函数的不动点.
对于数列：已知首项，及递推公式，，则数列的通项公式即为.若能求出，则数列的通项公式即可很容易求出.而求关键是需要找到合适的桥函数，使得与相似的函数能比较简单（常为一次函数或反比例函数），从而求，再由求.而由说明（2）又启发我们可以利用函数的不动点去构造桥函数.
桥函数的使用：已知数列满足：，，，求数列的通项公式.
解令，则的不动点为，，
构造桥函数，则，
令,
又，则
,
所以数列的通项公式为,
说明（，，，为常数），则，其中是的不动点.
最后我们来研究关于数列的周期性问题：
对于方程；
（1）若，则数列无周期.
（2）若，则数列有周期的充要条件是，且周期.
（3）若，则数列有周期的充要条件是（其中，为方程的两根.，），且周期.
证明：（1）当时，方程的两根.
因为，
.
对于，，显然,
所以，故数列无周期.
（2）若，则两根，
因为，
，
所以数列有周期的充要条件是，
，
即.
所以，但，
所以，，
注意到方程，，
故.
反之，若，
则，（其中）
所以，
即 ①，
自然也有 ②，
② 得，，于是，
说明数列的奇数项、偶数项分别相同，故数列有周期.
（3）若，则.
由于，
故可设.
则为1的一个次方根，.
反之，若是周期为的周期数列，则必有.
于是.
【强化训练1】
1．已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
【强化训练2】
2．已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
【强化训练3】
3．设，数列满足，，求数列的通项公式．
【强化训练4】
4．已知首项为的数列，满足（a为常数）.当a确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题.
【强化训练5】
5．已知，，求的通项公式.
【强化训练6】
6．已知，，求的通项公式.
【强化训练7】
7．已知，求的通项公式.
【强化训练8】
8．已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式.
【强化训练9】
9．已知数列满足：，，求数列的通项公式.
【强化训练10】
10．已知数列中，，求的通项.
【强化训练11】
11．在数列中，，且，求其通项公式.
【强化训练12】
12．已知数列满足，首项，求其通项公式.
【强化训练13】
13．已知数列满足，求数列的通项公式.
【强化训练14】
14．已知数列满足，判断数列的周期性.
【强化训练15】
15．数列满足，判断数列的周期性.
【强化训练16】
16．数列满足，试研究数列的周期性.
【强化训练17】
17．已知，且，求的解折式.
【强化训练18】
18．求数列：的周期.
【强化训练19】
19．已知函数，求证：为周期函数.
参考答案：
1．
分析：令，求出数列的不动点，据此变形递推关系式，可构造等差数列，即可求出数列通项公式.
【详解】令.先求出数列的不动点，
解得.
将不动点代入递推公式，
得，
整理得，，
∴.
令，
∴，.
∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列.
∴的通项公式为.
将代入，得.
∴.
2．
分析：在或时，直接可计算得出；在且且时，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得.综合可得结果.
【详解】解：当时，，，，以此类推可知；
当时，，，，以此类推可知；
当且且时，特征方程为，即，解得或，
因为且且，且且，可知对任意的，且.
构造数列，则，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，，解得.
综上所述，.
3．
分析：将递推得到两边取倒数得到，令，则，
当时是等差数列，求出通项公式进而求出的通项公式；当时利用构造法求出通项公式进而求出的通项公式.
【详解】解：，两边取倒数得到令，则，
当时，，数列是首项为，公差为的等差数列．．
当时，，则，数列是以为首项，为公比的等比数列．
，，
4．答案见解析
分析：根据题意中的递推公式，利用取倒数法可得，数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可得，进而求出；令可得，结合充要条件的概念即可得出结论.
【详解】由，由得.
两边同时取倒数，得，
有，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以
所以，.
令，则，
即第项为-1，有穷数列在第项停止.
综上：写出的真命题为：数列是有穷数列的充要条件是：
存在使得某项，所以，
即，且有穷数列的项数为m.
5．
分析：根据不动点法求出不动点为3，进而可得数列{}是以为首项、为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可求出.
【详解】设，
即，解得，即不动点为，，
可变形为，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
其通项公式，
得.
6．.
分析：先将条件进行变形，化简为，进而变形为，然后通过等比数列的概念求得答案.
【详解】由题意，，所以，则，而，故是以为首项，3为公比的等比数列.
于是.
【点睛】是的一种变形，首先，进而可以将它变形为等比数列，然后求得答案.因此我们可以将原式作如下处理：，并且要求，现将x=2代入或4（x=4亦可，无根的情况和分母为0的情况均不在此考虑之列），，进而转化为等比数列解得答案.
7．.
分析：将已知式子变形为，进而根据等比数列的定义求得答案.
【详解】根据题意变形为，则，而，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.于是.
8．，
分析：求导,在处的切线方程，令求解.
【详解】因为，则，
所以在处的切线方程为，
令，得，（易知），
所以,
所以，
从而，
所以.
9．
分析：由题设中的递推关系可得数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式.
【详解】因为，故且，
故，而 ，故，故，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，解得.
10．
分析：利用不动点法求出不动点为1和2，进而可得数列是公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式求出即可.
【详解】因为的特征函数为，
则特征方程为，即，
解得，
则，①
.②
则①÷②得，
∴数列是公比为的等比数列，
∴.
∵，∴，
即.
11．
分析：根据特征方程解出，令，得到，利用取倒数法求出，即可求出的通项公式.
【详解】因为，
所以特征方程为，解得.
令，代入原递推式得.
因为，所以，
故.
因此，，从而.
又因为，所以.
12．
分析：先由，求得不动点为,进而得到求解.
【详解】特征方程为，得，
则，
故是函数的两个不动点.
则，①
.②
则①÷②得，
所以由迭代法得，
则.
13．.
分析：先将式子变形为，进而根据等比数列的定义求得答案.
【详解】根据题意，，则，又因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列.
于是.
【点睛】是的一种变形，首先，进而可以将它变形为等比数列，然后求得答案.因此我们可以将原式作如下处理：，并且要求或x=3，现将x=3代入（x=2亦可，无根的情况和分母为0的情况均不在此考虑之列），，进而转化为等比数列解得答案.
14．不是周期数列.
分析：根据题意，先求出数列的通项公式，然后再假设数列的最小正周期为T，进而根据判断问题.
【详解】由题意，，所以，进一步化简为：，而，所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.
假设该数列的最小正周期为T，则，所以，显然T不为定值，即该数列不是周期数列.
【点睛】本题求解数列的通项公式是难点.是的一种变形，首先，进而可以将它变形为等比数列，然后求得答案.因此我们可以将原式作如下处理：，并且要求或，现将代入（亦可，无根的情况和分母为0的情况均不在此考虑之列），，进而转化为等比数列求出该数列的通项公式.
15．周期为2.
分析：通过递推公式列举出数列的项，进而发现周期，然后再进行证明即可.
【详解】因为，所以，，则猜想该数列的周期为2.
下面进行证明：
根据题意，.
于是数列的周期为2.
16．周期为4
分析：根据通项公式，写出特征方程为，由方程根的情况求出数列的周期.
【详解】数列的递归函数为，其特征方程为.
因为，解得：
所以数列是周期的周期函数.
17．
分析：通过，，得到其循环的规律求解.
【详解】因为，
，
，
易知，.
即，
，
所以.
18．周期为6.
分析：根据通项公式，写出特征方程为，由方程根的情况求出数列的周期.
【详解】因为，所以特征方程为，
因为，解得：，
所以，
所以函数的迭代周期为.
所以数列有周期，
19．证明见解析
分析：证明即得证.
【详解】证明： 由题得
.
所以是周期的周期函数.