高考数学微专题集复合函数的零点(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集复合函数的零点(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了相关概念及有关结论，常见复合函数零点问题的考察类型等内容，欢迎下载使用。

一、相关概念及有关结论
1.复合函数的定义
设函数的定义域为是A，值域是B；又设函数的定义域是C，且，这时对A内每一个x，通过，得到B内唯一的一个u与此x对应，再通过f又得到M内唯一的一个y与此x对应．因此对于A内的每一个x先通过再通过f，得到M内唯一的一个y与此x对应，这就确定了一个从A到M的函数，称它是由与合成的复合函数（也称嵌套函数），记为．称u为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将称为内层函数，称为外层函数．
2.有关命题与结论
函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑．
二、常见复合函数零点问题的考察类型
1．“”型问题
例1
1．设函数，则函数的零点为_______．
例2
2．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.
2.“”型问题
例3
3．设函数则函数的零点为________．
3.复合函数的零点问题
一般地，关于复合函数的零点有如下结论：若单调，则．
证明 一方面，若，不妨设单调递增，若，则，与矛盾，同理可证的情形；
另一方面，若，则，综上可知结论成立．
例4
4．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
4.复合函数的零点问题
一般地，关于复合函数的零点有如下结论：有零点有零点．
证明 设，则，可知为的零点，反之若为的零点，则同理可得为的零点．
例5
5．若和都是定义在实数集上的函数，且方程有实数根，则不可能是
A．B．C．D．
5.含参二次函数复合型零点问题
例6
6．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是( )
A．{1,2}B．{1,4}
C．{1,2,3,4}D．{1,4,16,64}
例7
7．若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实根个数是
A．3B．4C．5D．6
6.其他型
例8
8．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
例9
9．已知函数，如果关于x的方程有三个相异的实数根，求t的范围．
7.零点求和问题
例10
10．定义域为R的函数若关于x的函数有5个不同的零点、、、、，则等于（ ）．
A．15B．20C．30D．35
同步练习
11．设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为________．
12．设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
13．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
14．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为
A．3B．4
C．5D．6
15．设定义域为R的函数, 若关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的取值范围是 ．
16．已知定义在R上的函数存在零点，且对任意都满足，若关于x的方程恰有三个不同的根，求a的取值范围．
17．定义在R上的函数若关于x的方程有三个不同的实数解， ，，且 ，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
复合函数的零点
复合函数的零点
一、相关概念及有关结论
1.复合函数的定义
设函数的定义域为是A，值域是B；又设函数的定义域是C，且，这时对A内每一个x，通过，得到B内唯一的一个u与此x对应，再通过f又得到M内唯一的一个y与此x对应．因此对于A内的每一个x先通过再通过f，得到M内唯一的一个y与此x对应，这就确定了一个从A到M的函数，称它是由与合成的复合函数（也称嵌套函数），记为．称u为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将称为内层函数，称为外层函数．
2.有关命题与结论
函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑．
二、常见复合函数零点问题的考察类型
1．“”型问题
例1
1．设函数，则函数的零点为_______．
例2
2．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.
2.“”型问题
例3
3．设函数则函数的零点为________．
3.复合函数的零点问题
一般地，关于复合函数的零点有如下结论：若单调，则．
证明 一方面，若，不妨设单调递增，若，则，与矛盾，同理可证的情形；
另一方面，若，则，综上可知结论成立．
例4
4．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
4.复合函数的零点问题
一般地，关于复合函数的零点有如下结论：有零点有零点．
证明 设，则，可知为的零点，反之若为的零点，则同理可得为的零点．
例5
5．若和都是定义在实数集上的函数，且方程有实数根，则不可能是
A．B．C．D．
5.含参二次函数复合型零点问题
例6
6．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是( )
A．{1,2}B．{1,4}
C．{1,2,3,4}D．{1,4,16,64}
例7
7．若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实根个数是
A．3B．4C．5D．6
6.其他型
例8
8．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．
例9
9．已知函数，如果关于x的方程有三个相异的实数根，求t的范围．
7.零点求和问题
例10
10．定义域为R的函数若关于x的函数有5个不同的零点、、、、，则等于（ ）．
A．15B．20C．30D．35
同步练习
11．设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为________．
12．设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．
13．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
14．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为
A．3B．4
C．5D．6
15．设定义域为R的函数, 若关于x的函数有8个不同的零点，则实数b的取值范围是 ．
16．已知定义在R上的函数存在零点，且对任意都满足，若关于x的方程恰有三个不同的根，求a的取值范围．
17．定义在R上的函数若关于x的方程有三个不同的实数解， ，，且 ，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
参考答案：
1．4
分析：由题知，即求.
【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解.
，即
解得，
即函数的零点为4．
故答案为：4
2．
分析：对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.
【详解】当时，f(f(a))≤2即为，，
解得，所以；
当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.
所以f(a)≥－2，则或 ，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.
3．
分析：由题可知求的解，再利用分段函数求方程的解即可.
【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解．
令，则原方程的解变为方程组的解．
由方程②可得，
解得或，
将代入方程①，而方程无解，
由方程解得或；
将代入方程①，而方程，解得，
由方程，解得．
综上，函数的零点为，共四个零点．
故答案为：.
4．A
分析：由题可得，再利用函数的单调性即求.
【详解】显然为增函数，
于是等价于，即，
又，故，
从而，令，
则，
令，则，
可知当时，单调递减，当时，单调递增，
从而，
故在上单调递增，
从而.
故选：A．
5．B
【详解】试题分析：设为方程的 的一个根，∴，∴ ，再令，故有 ，从而可知方程至少有一个实数根 ，A，C，D选项中的函数均符合条件，而B选项：无解，故选B．
【点睛】本题考察的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子进行等价变形，可以得到 至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B．
6．D
分析：方程不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.
【详解】设关于的方程有两根，即或.
而的图象关于对称，因而或的两根也关于对称．而选项D中.故选D.
【点睛】对于形如的方程（常称为复合方程），通过的解法是令，从而得到方程组，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.
7．A
分析：由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于或，按照、分类，作出函数图象，数形结合即可得解.
【详解】由题意，，为函数的极值点，
所以有两解，
所以方程等价于或，
当时，则为函数的极大值点，且，为函数的极小值点，
画出函数图象，如图：
此时有两个不同实根，有一个实根，有三个不同实根；
当时，则为函数的极小值点，且，为函数的极大值点，
画出函数图象，如图：
此时有两个不同实根，有一个实根，有三个不同实根；
综上，有三个不同实根.
故选：A.
【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.
8．．
分析：由题可求，再利用数形结合即求.
【详解】∵定义在上的单调函数，对任意都有，
令，则，
在上式中令，则，解得，
故，
由得，即，
在同一坐标系中作出函数和的图像，
可知这两个图像有2个交点，即和，
则方程的解集为．
故答案为：.
9．．
分析：令，由题得，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．
【详解】令，则，即，
去分母得：，此方程最多有两个根，
由函数图像可知，
方程的两根必须有一根，另一根，才能保证原方程有三根，
设，
因此由根的分布知识得：或
解得：．
10．C
分析：结合函数的图象可知，进而可得或，即求.
【详解】作函数的图象如图所示，
则由函数有5个不同的零点知，
解得．
解得或．
若，则或或；
若，则或．
故.
故选：C．
11．．
分析：令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数，采用数形结合法即求．
【详解】函数的零点即为方程的解，令，
则原方程的解变为方程组的解，
作出函数的图象，
由图象可知，当时，有唯一的x与之对应；当时，有两个不同的x与之对应．
由方程组有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个，一个，
结合图象可知，当时，满足一个，一个，符合要求，
综上，实数a的取值范围为．
故答案为：
12．．
分析：利用数形结合即求.
【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解，
令，则原方程的解变为方程组的解，
作出函数和直线的图象如图所示．
由图可知，当时，有两个不同的x与之对应；
当时，有一个x与之对应，当时，没有x与之对应．
由方程组有六个不同的x解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于，
作出函数和直线的图象如图所示，
由图可知当时满足要求，
综上，实数a的取值范围为．
故答案为：
13．A
【详解】在和上单增，上单减，又当时，时，故的图象大致为：
令，则方程必有两个根，且，不仿设 ，当时，恰有，此时，有个根，，有个根，当时必有，此时无根，有个根，当时必有，此时有个根，，有个根，综上，对任意，方程均有个根，故选A.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
14．A
【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根据题意画图：
所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.
考点：导数、零点、函数的图象
15．
【详解】
关于的二次方程至多有两个实数根，
设，
要使得有8个零点，就是有4个解，
由图象知，内有4个解．
二次方程在内有两个不等的实数根，
故有
故填
16．（3，+∞）．
分析：令函数的零点为m，即f（m）＝0，则由对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．可得f[f（x）]＝x，进而x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣lgax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x﹣3|＝1﹣lgax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．
【详解】令函数y＝f（x）的零点为m，即f（m）＝0，
∵对任意m，n∈R都满足f[mf（m）+f（n）]＝f2（m）+n．
则f[f（n）]＝n恒成立，
即f[f（x）]＝x，
若关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣lgax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，
即|x﹣3|＝1﹣lgax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，
当0＜a＜1时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣lgax的图象如下图所示：
由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣lgax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣lgax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；
当1＜a＜3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣lgax的图象如下图所示：
由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣lgax的图象有一个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣lgax（a＞0，a≠1）恰有一个不同的根，不满足条件；
当a＝3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣lgax的图象如下图所示：
由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣lgax的图象有两个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣lgax（a＞0，a≠1）恰有两个不同的根，不满足条件；
当a＞3时，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣lgax的图象如下图所示：
由图可知，函数y＝|x﹣3|与y＝1﹣lgax的图象有三个交点，即关于x的方程|f[f（x）]﹣3|＝1﹣lgax（a＞0，a≠1）恰有三个不同的根，满足条件；
综上所述，实数a的取值范围是（3，+∞）.
17．D
【详解】试题分析：当时，且关于y轴对称，
因为方程有三个不同的实数解，
所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B正确；
因为，所以，
所以选项A、C正确，而选项D错．
故正确答案选D．