高考数学微专题集第05节专题强化训练(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集第05节专题强化训练(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了完成下列问题，已知函数，已知函数，，且直线是的切线.，已知函数.，设函数，已知函数，为的导数.等内容，欢迎下载使用。
1．完成下列问题：
(1)已知函数，，求函数的最小值；
(2)若关于x的方程有两个实数根，求实数m的取值范围．
2．已知函数．
(1)当时，判断并证明在上的单调性；
(2)若在内无极值，求a的取值范围．
3．已知函数，，且直线是的切线.
(1)求a的值，并证明当时，；
(2)证明：当，有.
4．已知函数
(1)讨论函数在（，）上极值点的个数；
(2)当时，.其中为的导函数，求实数m的取值范围.
5．已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)证明：函数在区间内存在唯一的极大值点.（参考数据：，，）
6．设函数，曲线在处切线的斜率为1，为的导函数．证明：
(1)在上存在唯一的极大值点；
(2)的极大值点满足（提示：当时，有）
7．设函数．
(1)当时，求在上的单调区间；
(2)记，讨论函数在上的零点个数．
8．已知函数，其中为常数，为的导函数；
(1)若为正数，求证：在区间上存在零点；
(2)若，，求的取值范围.
9．已知函数，为的导数.
(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.
10．设函数，曲线在点处切线的斜率为1，为的导函数.
(1)求a；
(2)证明：在上存在唯一的极大值点.
11．已知函数，
(1)求函数的最值；
(2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由．
12．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围.
13．已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．
(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;
(2)求θ的值;
(3)若在[1， e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．
14．已知函数，.
(1)当时，求在区间上的极值之和；
(2)若对任意实数x恒成立，求实数的取值范围．
15．已知函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)设，若当时，，求实数a的取值范围.
16．已知函数在区间内存在极值点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小．
17．函数.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若时，证明：.
18．函数，.
(1)求证：当时，存在唯一极小值点，且；
(2)当时，设，求在的最小值.
19．函数 .
(1)若函数在处的切线方程为，求实数m的值；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
20．函数 ，.
(1)求证：当时，存在唯一极小值点，且；
(2)是否存在实数使在上只有一个零点，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
21．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：.
22．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：为常数.
23．已知函数的图象与轴相切于原点．
(1)求，的值；
(2)若在上有唯一零点，求实数的取值范围．
24．已知函数，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，，求.
25．已知函数，若且.
(1)求的值；
(2)设，求 和的值.
26．已知函数．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点；
(2)试讨论的零点个数.
27．已知函数，.
(1)若曲线在处的切线过原点，求a的值；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围.
28．已知函数，.
(1)若图像在处的切线过点，求切线方程；
(2)当时，若，求证：.
29．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
30．已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若关于x的不等式在恒成立，求实数a的取值范围.
第05节 专题强化训练
第五节 专题强化训练
1．完成下列问题：
(1)已知函数，，求函数的最小值；
(2)若关于x的方程有两个实数根，求实数m的取值范围．
2．已知函数．
(1)当时，判断并证明在上的单调性；
(2)若在内无极值，求a的取值范围．
3．已知函数，，且直线是的切线.
(1)求a的值，并证明当时，；
(2)证明：当，有.
4．已知函数
(1)讨论函数在（，）上极值点的个数；
(2)当时，.其中为的导函数，求实数m的取值范围.
5．已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)证明：函数在区间内存在唯一的极大值点.（参考数据：，，）
6．设函数，曲线在处切线的斜率为1，为的导函数．证明：
(1)在上存在唯一的极大值点；
(2)的极大值点满足（提示：当时，有）
7．设函数．
(1)当时，求在上的单调区间；
(2)记，讨论函数在上的零点个数．
8．已知函数，其中为常数，为的导函数；
(1)若为正数，求证：在区间上存在零点；
(2)若，，求的取值范围.
9．已知函数，为的导数.
(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.
10．设函数，曲线在点处切线的斜率为1，为的导函数.
(1)求a；
(2)证明：在上存在唯一的极大值点.
11．已知函数，
(1)求函数的最值；
(2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由．
12．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围.
13．已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．
(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;
(2)求θ的值;
(3)若在[1， e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．
14．已知函数，.
(1)当时，求在区间上的极值之和；
(2)若对任意实数x恒成立，求实数的取值范围．
15．已知函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)设，若当时，，求实数a的取值范围.
16．已知函数在区间内存在极值点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小．
17．函数.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若时，证明：.
18．函数，.
(1)求证：当时，存在唯一极小值点，且；
(2)当时，设，求在的最小值.
19．函数 .
(1)若函数在处的切线方程为，求实数m的值；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
20．函数 ，.
(1)求证：当时，存在唯一极小值点，且；
(2)是否存在实数使在上只有一个零点，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
21．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：.
22．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：为常数.
23．已知函数的图象与轴相切于原点．
(1)求，的值；
(2)若在上有唯一零点，求实数的取值范围．
24．已知函数，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，，求.
25．已知函数，若且.
(1)求的值；
(2)设，求 和的值.
26．已知函数．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点；
(2)试讨论的零点个数.
27．已知函数，.
(1)若曲线在处的切线过原点，求a的值；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围.
28．已知函数，.
(1)若图像在处的切线过点，求切线方程；
(2)当时，若，求证：.
29．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
30．已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若关于x的不等式在恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．(1)2
(2)
分析：（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值；
（2）令，当时，，由（1）可知，显然不成立，当时，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理即可得解；
(1)
解：因为，，
所以．
因为，所以，，
因此，
所以在上单调递增，于是，
故函数的最小值为2．
(2)
解：令，所以，
当时，，
由（1）可知，当时，，
∴当时，．
而，∴当时，仅有1个零点，舍去．
当时，，．
当时，，所以单调递增．
当时，．
因为，，
所以，所以单调递增．
又，，
因此在上存在唯一的零点，且．
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增．
又，，，
因此在上存在唯一的零点，且．
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增．
又，，，
所以在上存在唯一零点，
因此在上有两个零点．
综上所述，实数m的取值范围是．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．(1)在上单调递减，证明见解析；
(2).
分析：（1）由题可得，利用导数可得在上恒成立，即得；
（2）由题可知，当时，可得函数单调递减，即得，当时，则在上恒成立，然后证时，在上恒成立，即得.
（1）
由题知，，
令，则在上恒成立，
则在上的单调递减，则，
所以在上恒成立．
即在上单调递减．
（2）
由题可得，
令，
①当时，在上恒成立．
即在上恒成立，则在内单调递减，
所以在内无极值．
②当时，在内无极值，则或在上恒成立．
，，
由开口向上的二次函数图象可知，必存在，使得，
故．
所以在内无极值，则在上恒成立．
即在上恒成立．
故，则，
下证；当时，在上恒成立．
，
令，
，
（i）当时，在上恒成立，
在上单调递增，则，
故在上恒成立．
（ii）当时，，
则方程在内存在两个根，，
当或时，，当时，．
则在和上单调递增，在上单调递减，
则，，且，
所以当时，，当时，，
所以在内单调递增，在内单调递减，
则当时，，当时，，
即在上恒成立，故在上恒成立．
综合（i）（ii）得在上恒成立．
综合①②得a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问转化为证或在上恒成立，当时，关键是当时，在上恒成立．
3．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
分析：（1）利用导数的几何意义列出关于切点切线的方程，求出参数，再构造函数利用导数证明不等式即可.
（2）构造新函数后化简，利用导数研究函数单调性，从而证明不等式，本题需要重点关注定义域的使用.
(1)
设切点的坐标为，依题意有 解得，
记，则
所以在上单调递减
故当时，，即
(2)
记
则
当时，有，
所以
于是在是单调递增，故，
即
4．(1)1；
(2).
分析：（1）求导，再对分两个区间讨论得解；
（2）转化条件为函数恒成立，结合导数、及端点效应即可得解.
(1)
解：由题得，
当时，.
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
所以函数在（，）上极值点的个数为1.
(2)
解：由题得在上恒成立，
即恒成立，
因为，
①若，在上单调递增，，符合题意；
②若令，
则，所以在单调递增，且，
（i）若，，
在上单调递增，，符合题意；
（ii）若，，
则存在，使得当时，，单调递减，
此时，不合题意；
综上，.
【点睛】方法点睛：求参数的取值范围常用的方法有两种：（1）分离参数法，分离参数求最值；（2）分类讨论.要根据具体情况灵活选择方法求解.
5．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）利用导数研究函数的单调性及函数的零点存在性定理可判断有唯一零点，进而得证.
(1)
因为，切点为
求导，所以切线斜率为，
所以函数的图象在处的切线方程为；
(2)
证明：因为，所以，
因为时，函数，均单调递减，
所以在区间单调递减，
因为，所以，
因为，所以，
根据零点存在定理可得，存在唯一零点，使得，
又在区间单调递减，
所以当时，，当时，，
所以是函数在区间内唯一的极大值点.
6．(1)证明见解析
(2)证明见解析
分析：（1）首先利用求得，然后利用二次求导的方法证得在上存在唯一的极大值点.
（2）结合（1）判断出在上单调递增，由此证得；利用题目所给“提示”证得，从而证得不等式成立。
(1)
由题可知且，
得．
令，
则，，
得且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又因为，，．
由零点存在性定理可知，在上存在唯一的使得，
则当时，，当时，，
所以即在上存在唯一的极大值点．
(2)
由（1）知，即，，
所以．
又因为当时，，当时，，
所以即在上单调递增，在上单调递减，
，，所以在上单调递增，
得．
又因为，，
所以，得证．
【点睛】利用导数研究函数的极值，当一阶导数无法求得时，可考虑利用二阶导数来进行求解.
7．(1)单调递增区间为、，单调递减区间为、；
(2)个零点
分析：（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）首先得到，当时，显然满足条件，当时，恒成立，即可不存在零点，当，依题意可得，令，，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断函数的零点个数；
(1)
解：当时，，则，令，即或，解得或；令，即或，解得或，所以在上的单调递增区间为、，单调递减区间为、；
(2)
解：因为，所以，，因为，所以是函数的一个零点；
当时，，，所以恒成立，所以在上无零点；
当时，由，即得，令，，所以，令，，则，所以在上单调递减，又，，所以存在唯一实数，使得，且时，则，所以在上单调递增，时，则，所以在上单调递减，易知，又，，所以函数在和上各有一个零点，所以函数在上有且仅有两个零点，综上可得在上有且仅有个零点；
8．(1)证明见解析
(2)
分析：（1）利用，由零点存在性定理得可得在上存在零点．
（2），由题意得：，，由得；再分类讨论和导数在函数最值中的应用，即可得到结果．
(1)
解：
又在上是连续函数，由零点存在性定理得：在上存在零点.
（取点过程亦可以如下：，
令，解得；（或者或者）
又在上是连续函数，由零点存在性定理得：在上存在零点.
(2)
解：，由题意得：
由得：；
且不恒为零（）
令，在上单调递减.
①当时，，在在上单调递增.
，所以当时，
②当时，
，且在上连续，
使得，在上递增，在上递减.
可得
又，，
设，，
可得在上单调递增，即有，即，
所以当时，
综上所述：.
【点睛】方法点睛：对于含参数的函数在某区间上恒成立问题，有以下两种常见方法，①一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数范围；②直接利用导数在函数单调性和最值中的应用，解决恒成立问题.
9．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
分析：（1）令，利用导数判断的单调性，并求出其最小值即可证明；
（2）由（1）可知，在上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数即可证明在上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.
(1)
由，
设，则，
当时，设，，
∵，，
∴和在上单调递增，
∴，，
∴当时，，，
则，
∴函数在上单调递增，
∴，
即当时，;
(2)
由已知得，
①当时，
∵，
∴在上单调递增，
又∵，，
∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
②当时，
设，则，
∴在上单调递减，
∴，
∴，
∴，
∴在上单调递减，
又∵，，
∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，
综上所述，有且仅有2个零点.
10．(1)1；
(2)证明见解析.
分析：(1)根据导数的几何意义即可求a；
(2)令，求，令h(x)＝，求，根据的正负判断的单调性，用的正负判断单调性和极值即可.
（1）
由题可知且，得；
（2）
令，
则，令h(x)＝，
则，，
当时，csx＞sinx，，单调递增；
当时，csx＜sinx，，单调递减；
又∵，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一的使得，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴在上存在唯一的极大值点.
【点睛】本题关键是多次求导，用导数的正负依次求原函数的单调性和正负，逐层倒推即可得结论.
11．(1)当时，在R上无最大值与最小值
当时，在R上无最大值，有最小值为.
(2)函数在上的零点的个数为，理由见解析
分析：（1）先对函数进行求导，在对进行讨论，即可求出答案.
（2）先写出函数的解析式，在对函数进行求导，再分两种情况对进行讨论，当时，利用零点存在性定理和隐零点求出有两个零点，当时，无零点.
（1）
，
①当 ，即时，得恒成立，此时函数在R上单调递增，故函数在R上无最大最小值
②当，即时，由，解得，
当时，，单调递增
当时，，单调递减
所以时，取最小值
即
综上所述：当时，在R上无最大值与最小值
当时，在R上无最大值，有最小值为.
（2）
，则
①当时，由在区间上单调递减，知：在上单调递增，且，，知：函数在上有唯一的零点.
当时，由，知：在上单调递减，同理可知：在上单调递增.由，，，
故函数在区间上有两个不同的零点.
②当时，由，
构造函数，则由恒成立，知：函数在上单调递增，故：，由，知：函数在上恒成立，即恒成立，此时函数无零点.
综上，函数在上的零点的个数为.
12．(1)答案见解析
(2)
分析：（1）求出函数的导数后讨论导数的符号，从而可得函数的单调性.
（2）原不等式即为在区间恒成立，再就、分类讨论后可得参数的取值范围.
(1)
因为函数的定义域为，且，
当时，，此时的单调递增区间为，无单调减区间.
当时，令，解得，此时的单调递增区间为，
令，解得，此时的单调递减区间为.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
不等式在区间上恒成立，
即在区间恒成立，
即在区间恒成立.
设，则.
，而
令，故，
则，
当时，（不恒为零）.
即在区间上单调递减，
所以当时，，符合题意.
当，则，
因为的图象是不间断的，故存在，
使得时，总有，故在区间上单调递增，
故，总有，这与题设矛盾.
综上，实数a的取值范围是.
【点睛】思路点睛：含参数的不等式的恒成立问题，注意利用代数变形将较为复杂的不等式转化为相对容易的不等式来处理，后者可结合导数来讨论，注意利用端点的性质来简化讨论.
13．(1)增区间是，减区间为， 函数有极大值;
(2)
(3)
分析：（1）由，得到，利用导数法求解；
（2） 根据题意得到在上恒成立， 转化为恒成立求解；
（3）令 分，，讨论求解.
(1)
解：∵，
∴，，
∴．
令，则．∴，和的变化情况如下表：
即函数增区间是，减区间为， 函数有极大值是;
(2)
由已知在上恒成立，
即，在上恒成立，
∵，∴，
故在上恒成立，只需，
即，∴只有，
由，知；
(3)
令
当时，由，则，，
此时不存在，使得成立
当 时，，
所以在上单调递增，
所以，
令，则，
所以实数m的取值范围是.
14．(1)
(2)
分析：（1）的根为，，则，，根据函数的单调性可得的极大值为，极小值为，根据三角函数的知识即可求解；
（2）设，则， 设，则，对分、、、四种情况分别讨论即可求解.
(1)
解：，的根为，，则，，
由正弦函数的图像可知，所以，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则的极大值为，极小值为，
所以．
(2)
解：由，得，
设，则，
设，则，
当时，，所以在R上是减函数，即在R上是减函数，
又，，所以存在，使得，
当时，，单调递增，则存在使得，不合题意；
当时，设，则，
易知，在R上都是减函数，所以在R上是减函数，
又，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则在x=0处取得最大值，所以，
所以，符合题意；
当时，在上单调递减，
又，则在上单调递减，即在上是减函数．
又，，
则存在，使得，
所以时，，单调递减，则存在，使得，不合题意；
当时，，所以不合题意．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是对分、、、四种情况分别讨论，其中时，利用放缩法得；当时，利用放缩法得是解题的关键.
15．(1)最大值为，最小值为0
(2)
分析：（1）由导函数得到函数单调性，进而求出函数在的最值；（2）分类讨论，参变分离求解实数a的取值范围.
(1)
因为在上，，，所以，且只有，
所以在单调递减，最大值为，最小值为
(2)
当时，
当时，，此时
当时，则在恒成立，所以a小于等于的最小值，
令，在恒大于等于0，
所以在上单调递增，
所以的最小值为，即.
综上所述：实数a的取值范围是.
16．(1)
(2)证明见解析；
分析：（1）求导后构造函数，研究其值域进而求出实数k的取值范围；（2）结合第一问先得到在上递减，在上递增，从而证明出存在唯一的使．再证明出，由函数单调性得到.
(1)
函数在区间内存在极值点，则在有零点，且在零点两边符号相反，
由题意，，
令，，在恒成立，所以在区间内单调递增，且，，且当时，，，可知，即．
(2)
要证在区间内存在唯一的使，
只需证在上有唯一零点，
则．
由（1）可知，在上递减，在上递增，
又因为，，即在上递增，
综上，在上递减，在上递增，
而，，故在上存在唯一零点，
故存在唯一的使．
由（1）知，
∴，，
则，，
，
令，则在恒成立，所以在上单调递增，则，则，，
所以，即有，在上递增，
则，所以．
【点睛】导函数研究函数零点问题，要先研究函数的单调性，通常情况下要对要研究的函数进行变形，另外特别注意一些特殊点，往往是解题的突破口.
17．(1)
(2)证明见解析
分析：（1）由在上单调递增，则在上恒成立，分离参数可得，设，求出导数，得出其单调性，从而得出其最大值，即可得出答案.
（2）由题意即证即证成立，设求出导数得出单调性，从而得出最大值，即可证明.
(1)
由在上单调递增，则在上恒成立，
又，所以在上恒成立
令，
令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以
所以的取值范围为：
(2)
当时，
要证，只需证明
即证
令
令
恒成立，则在R上为减函数且，则
所以当时，，即，故在上单调递增，
当时，，即，故在上单调递减，
所以，即恒成立
即成立
【点睛】关键点睛：本题考查已知函数在区间上的单调性求参数的范围和利用导数证明不等式，解答本题的关键是由已知的单调性，将问题转化为在已知区间上导函数在上恒成立问题求解；证明不等式是，先将所要证明的不等式转化为即证，构造函数，求出其最大值即可，属于难题.
18．(1)证明见解析
(2)
分析：（1）求出函数的导数，判断其正负，结合零点存在定理即可证明结论；再求出函数的极值，利用三角函数的性质证明；
（2）求出函数的导数，结合三角函数的性质，判断其正负，确定函数的单调性，进而求得其最小值.
(1)
当时，，，，
设,则恒成立，
所以单调递增，
又，
，，
所以，即，
所以,
所以存在，使得，即.
则在上，，在上，，
所以在上，单调递减，在上，单调递增.
所以存在唯一的极小值点.
，
，则，.
(2)
，
，
令，得，，.
由函数的图象性质可知：
时，，单调递减,
时，，单调递增,
所以，，时，取得极小值，
即当，，…,时取得极小值
又，
即，
又因为在上单调递减，所以,
时，,
的最小值为.
【点睛】本题考查了导数与函数的极值的关系以及利用导数求函数的最值问题,解答时要明确导数与函数极值之间的关系,解答的关键是利用导数判断函数的单调性,进而确定函数的极值或最值,另外要注意本题还要结合三角函数的性质作答.
19．(1)
(2)
分析：（1）由题意可得，求出，再由可求出，
（2）由题意将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值即可
(1)
由
∴
∴
∴
∴
(2)
由题意得恒成立
即
令
令
恒成立
∴在R上为减函数且
∴，
∴，
∴在上为增函数，在上为减函数
∴
∴
20．(1)证明见解析
(2)存在，或
分析：（1）对函数求导，再次求导可判断，则可得单调递增，再利用零点存在性定理可得存在，使得，再通过判断的正负可得存在唯一的极小值点，再利用三角函数的有界性可求得其范围，
（2）当时，函数无零点，当时，由可得，构造函数，，通过求导和三角函数的性质可得当时取得极小值，当时取得极大值，再根据函数的单调性可得时，，从而可求出的范围
(1)
当时，，，，恒成立，所以在上单调递增，
又，
，，
所以，即，
所以.
所以存在，使得，即.
则在上，，在上，，
所以在上，单调递减，在上，单调递增.
所以存在唯一的极小值点.
，
，则，
∴.
(2)
当时无零点，
当时，由得，所以，
令，，
，
令，得，，.
由函数的图像性质可知：
时，，单调递减.
时，，单调递增.
所以，，时，取得极小值，
即当时取得极小值，
又，
即，
又因为在上单调递减，所以.
同理当，，时，取得极大值，
即当时取得极大值，
又，
即，
∵，.
∴时，.
当或，即，或时，与的图象只有一个交点.
∴存在实数或，使在上有且只有一个零点.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，利用导数解决函数零点问题，解题的关键是当时，将函数零点问题转化为函数，，与的图象交点问题，再转化为利用导数研究函数的性质，考查数学转化思想和计算能力，属于难题
21．(1)单调递增区间为、，递减区间为；
(2)证明过程见解析.
分析：（1）利用函数的导数性质进行求解即可；
（2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可.
（1）
当时，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以函数的单调递增区间为、，递减区间为；
（2）
，
因为函数恰有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根，
设为且，因为函数当时图象关于直线对称，
所以，即，
因为，所以，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，
即，，
于是有，因为，所以，
所以，而，
所以
设，，
，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最小值，即，
因此有，即.
【点睛】关键点睛：根据极值的定义，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性是解题的关键.
22．(1)单调递增区间为，，的单调递减区间为
(2)证明见解析
分析：（1）求导，进而利用导函数的正负，求解函数的单调区间；（2）先确定当时，设的解为，且，则，，，由单调性求出，，从而证明出结论.
(1)
当时，，
令，可得，解得或；
令，可得，解得，
即的单调递增区间为，，的单调递减区间为.
(2)
，当时，恒成立，当时，恒成立，故均不会有两个极值点，舍去；
当时，设的解为，且
则，，，
且当或时，；当时，，
故当或时单调递增；当时，单调递减，
所以，，
所以，故.
23．(1)，
(2)
分析：（1）由题意得从而可求出，的值，
（2）先对函数求导，由于无法判断导函数的正负，所以令，再次求导，由，所以分和两种情况结合零点存性定理分析讨论函数的零点情况即可
(1)
，
依题意，
即解得．
(2)
由（1）得，记，，所以，
①当时，
（ⅰ）当时，，所以为增函数，
又因为，，
所以存在唯一实数，使得．
（ⅱ）当时，，则．
由（ⅰ）（ⅱ）可知，单调递减，单调递增．
因为，
所以存在唯一实数，使得，
所以当时，，即单调递减；
，，即，单调递增．
因为，
所以存在唯一实数：，使得，
即在上有唯一零点，符合题意．
②当时，
，
记．
，
所以，
所以为增函数，，
所以为增函数，，则，
所以在上没有零点，不合题意，舍去．
综上，a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本小题主要考查导数的几何意义、函数的零点、导数的应用等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性，解题的关键是求出后无法判断其正负，所以构造函数，再次求导，又由于，所以分别由的正负入手分情况求解，属于难题
24．(1)见解析
(2)
分析：（1）求出函数的导数，就、、分类讨论后可得函数的单调性.
（2）就、分类讨论后可得，再证明时，不等式是恒成立的.
（1）
，
若时，则，
当时，恒成立，当且仅当时等号成立，
故此时在为减函数，无增区间.
当时，若，则；若，则，
，则，
故在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数.
当时，若，则，，则，
故在上为增函数，在上为减函数.
（2）
时，即为，
因为任意时，恒成立，
故在上恒成立，
而，，
若，在，因为为不间断函数，
所以存在，使得，总有，
故在上为减函数，故，，这与题设矛盾.
若，在，因为为不间断函数，
所以存在，使得，总有，
故在上为减函数，故，，这与题设矛盾.
故，此时，
当时，，
当时，，
设，则，
因为在上均为增函数，
故在上为增函数，
而，，
故存在，使得时，，
使得时，，故在为减函数，在上为增函数，
故，总有，
故当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
综上，.
25．(1)；
(2)，.
分析：（1）利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，利用配方法，结合正弦函数的值域进行求解即可.
(1)
显然，
在时，是增函数，
所以得：
所以
(2)
由（1）得：
，
，
当时，有最小值，最小值为，
当时，有最大值，最大值为，
，
26．(1)证明见解析
(2)有且只有2个零点
分析：（1）求出函数的导数，判断其单调性，结合零点存在定理，判断其零点情况，即可证明在区间存在唯一的极值点；
（2）分区间讨论，讨论函数的导数在区间内的正负情况，从而判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断函数的零点情况.
（1）证明：函数的定义域为，导函数为,当时，，所以在单调递减．又因为，，根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．当时，；当时，,因此，在单调递增，在单调递减，故在区间存在唯一的极值点；
（2）令，则．当时，；当时，．因此，在单调递增，在单调递减．由于，且当时，，故当时，，从而在区间没有零点．当时，，从而，在单调递减．又，根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．当时，由（1）知在单调递增，在单调递减．又，根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点,综上所述，有且只有2个零点．
【点睛】本题考查用导数判断函数的极值点以及函数的零点个数问题，综合考查学生应用导数知识的能力和数学素养，解答时要明确导数与函数的极值以及零点之间的关系问题，能用导数灵活判断函数的单调性.
27．(1)
(2)
分析：（1）首先对求导，求得切线斜率，再结合写出切线方程，利用切线过原点即可求得a的值；
（2）首先由取特值判断出，当时利用函数的单调性可得恒成立，当时，分离参数得到恒成立，然后构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得函数的最值，即可得解.
(1)
由题意得，，则，
故曲线在处的切线方程为
因为切线过原点，故，解得.
(2)
若，则当时，不等式不成立，故.
当时，，从而在上单调递减，
故.
当时，，即，得.
记，则，
令，则，
①当时，令，则，所以单调递增，，故单调递增，，可得，故单调递增；
②当时，可知单调递减，又，，故在内有唯一零点，记为，
当时，，单调递增，
当，，单调递减，
于是可知是函数在内的极大值点，且，
所以，故单调递增；
③当时，可知，，所以，故单调递减，所以，即，故单调递减.
由①②③可知当时，单调递增，当时，单调递减，
故当时，，从而.
综上，a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用分离参数法求解不等式恒（能）成立问题，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
28．(1)；
(2)理由见解析.
分析：(1)求导并结合导数的几何意义求出切线方程，再根据给定条件求出a作答..
(2)根据给定条件判断函数的单调性，构造函数，借助导数探讨当时，即可推理作答.
（1）
函数，求导得：，则，而，
因此，图像在处的切线为：，而切线过点，
则有，解得，
所以所求切线方程是：，即.
（2）
依题意，，，令，有，
当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
则有，因此，，，，当且仅当时取“=”，
于是得在R上单调递增，而，又，不妨令，
令，，，
令，，则，即在上单调递增，
则有，函数在上单调递增，有，
即当时，，而，则，即，
又，因此，，因在R上单调递增，于是得，即，
所以.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
29．(1)在上单调递减，在上单调递增；
(2).
分析：（1）当时，对函数求二阶导可以得到二阶导大于等于零，即，，时，，即可得到答案.
（2）根据题意有不等式恒成立．令，则等价于不等式恒成立，
①若，不等式（*）显然成立，此时
②若时，不等式（*）等价于.求出的最小值即可得到答案.
(1)
，
∵，所以是的一个零点．
又令，，则，，时，
∴在，单调递减；在单调递增
(2)
不等式在R上恒成立，即不等式恒成立．
令，则等价于不等式恒成立，
①若，不等式（*）显然成立，此时
②若时，不等式（*）等价于
设，当时，，
令，则，，
∵，∴在上单调递减，在单调递增，
∴
∴，在单调递增，
∴
综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．
30．(1)
(2)
分析：（1）可以直接求导，利用点斜式直线方程即可；
（2）由于和的特殊性，当与，同时出现在不等式中时，往往需要用缩放的方法来转换，缩放的方法中有两个常用的：，，适当地使用，可以解决这个问题.
(1)
因为，所以，
，，所以在处的切线⽅程为
即；
(2)
不等式，
即在，恒成立
设，且
又，
①当时，，
因为是连续的，所以，使当时，，
从而在上单调递减，
又，∴当时，，
这与在时恒成立不符.
②当时，对于任意的，，从而，
这时.
设，则，
设，则.
当时，，在上单调递增.
又，∴当时，，即.
因此，
设，则
又，当时，，即
∴在上单调递增.
又∵，∴当时，，从而.
综上，实数a的取值范围为；
故答案为：.
【点睛】解决本题的核心是使用缩放法，对于，本身不好计算，参数a分不出来，这时就应该考虑缩放，因为是指数函数中常用的，如下图：
也是常用的，在中刚好都有；适当地使用缩放，可以大大化简计算过程.
+
0
递增
极大值
递减