2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.1数列的概念(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.1数列的概念(精练)(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·云南·罗平县第一中学高二开学考试）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列
C．数列2，4，6，8可表示为D．数列中的每一项都与它的序号有关
2．(2023·全国·高二课时练习）数列满足，若，，则=（ ）
A．B．C．1D．2
3．(2023·广东·南海中学高二阶段练习）数列3，5，9，17，33，…的通项公式（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，若数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河南濮阳·高二期末（理））天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立100周年时为（ ）
A．甲申年B．癸巳年C．己卯年D．己巳年
6．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·四川成都·高一期中（文））已知数列满足，则数列的最大项为（ ）．
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
二、多选题
9．(2023·全国·高二课时练习）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和，则（ ）
A．
B．
C．若第k项满足，则
D．若第k项满足，则
三、填空题
11．(2023·全国·高二课时练习）已知数列，，，，，…，则是该数列的第______项．
12．(2023·河北秦皇岛·高三开学考试）已知数列中，，且则_____________．
四、解答题
13．(2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，已知，求数列的通项公式.
14．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
B能力提升
15．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式.
16．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)依次写出数列的前项；
(2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项．
C综合素养
17．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，.
(1)求证：数列先递增后递减；
(2)求数列中的最大项.
18．(2023·全国·高三专题练习（理））在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知数列的前项和为，满足___________.记数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)求证：.
注：如果两个条件都选择作答，则按照第一个解答评分.
4.1数列的概念（精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·云南·罗平县第一中学高二开学考试）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列
C．数列2，4，6，8可表示为D．数列中的每一项都与它的序号有关
答案：D
【详解】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；
对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；
对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；
对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.
故选：D.
2．(2023·全国·高二课时练习）数列满足，若，，则=（ ）
A．B．C．1D．2
答案：C
【详解】解：因为，，，
则，
，
，
，
，
，
.
故选：C.
3．(2023·广东·南海中学高二阶段练习）数列3，5，9，17，33，…的通项公式（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知，每一项都满足．
故选：B.
4．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，若数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】由题意知，，，则，，，，，…，
所以数列从第三项起构成周期为3的数列，故．
故选：D．
5．(2023·河南濮阳·高二期末（理））天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立100周年时为（ ）
A．甲申年B．癸巳年C．己卯年D．己巳年
答案：D
【详解】解：由题意可知，天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，
从1949到中华人民共和国成立100周年时，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则，
则到中华人民共和国成立100周年时的天干为已，，则到中华人民共和国成立100周年时的地支为巳，所以到中华人民共和国成立100周年时为己巳年.
故选：D.
6．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由题意得，即
所以数列是以首项为的常数列，
则，得.
故选：A
7．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】解：由，得，，，，．
又，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
故选：B．
8．(2023·四川成都·高一期中（文））已知数列满足，则数列的最大项为（ ）．
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
答案：D
【详解】假设第n项最大（），
有，
又，所以，即数列的最大项为第7项.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·全国·高二课时练习）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABC
【详解】对于A中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意；
对于B中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意；
对于C中，，当为奇数时，；当为偶数时，，满足题意；
对于D中，，当为奇数时，；当为偶数时，，不满足题意.
故选：ABC
10．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和，则（ ）
A．
B．
C．若第k项满足，则
D．若第k项满足，则
答案：AC
【详解】解：当时，；
当时，，
当时，满足上式，∴.
由，得.又，∴.
故选：AC.
三、填空题
11．(2023·全国·高二课时练习）已知数列，，，，，…，则是该数列的第______项．
答案：21.
【详解】解析 设该数列的第n项为，则，，，…，
所以．令，得n＝21．
故答案为：21.
12．(2023·河北秦皇岛·高三开学考试）已知数列中，，且则_____________．
答案：####
【详解】由题：，
，，，
，，，
，
观察可得数列从第2项开始是以6为周期的数列，
故．
故答案为：.
四、解答题
13．(2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，已知，求数列的通项公式.
答案：
【详解】解：当时，．
当时，，
得，
又也满足，
所以．
14．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．
答案：
【详解】∵，
∴，，，…，
，
∴
，
即．
∴，
又当时，，也符合上式．
∴．
B能力提升
15．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式.
答案：
【详解】∵，①
∴当时，，②
①-②得，
则．
当时，由①得，不满足上式，
∴.
16．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，
(1)依次写出数列的前项；
(2)研究数列的单调性，并求数列的最大项和最小项．
答案：(1)，，，，；
(2)答案见解析.
(1)由题意得：，，，，.
(2)，
当时，且递增；当时，且递增；
；.
C综合素养
17．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，.
(1)求证：数列先递增后递减；
(2)求数列中的最大项.
答案：(1)证明见解析(2)
(1)证明：因为，令，
即，整理得，解得，即当时，.
同理，令，
即当时，.
令，得，
即当时，.
综上，数列从第1项到第8项递增，从第9项起递减，即数列先递增后递减.
(2)由（1）知，，，
故是数列中的最大项.
18．(2023·全国·高三专题练习（理））在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知数列的前项和为，满足___________.记数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)求证：.
注：如果两个条件都选择作答，则按照第一个解答评分.
答案：(1)
(2)证明见解析
(1)选择①
由有
当时，，解得
当时，，
所以，
即，两边各项同除以得
（），
当时
经检验当时，也成立，故
选择②
由
所以或
，所以舍去
当时，，
当时，，
当时，符合上式，
(2)选择①
由（1）知，已知
另一方面，是关于的增函数，
综上有：
选择②
由（1）知
另一方面，是关于的增函数，
综上有：.