2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.1等差数列的概念(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.1等差数列的概念(精练)(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A夯实基础
一、单选题
1．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90B．100C．180D．200
2．(2023·云南保山·高一期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戍、乙对亥…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2022年是壬寅年，那么中国共产党成立时的1921年是（ ）
A．戊辰年B．壬戌年C．辛酉年D．庚午年
3．(2023·北京市第一六一中学高二期中）数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高二课时练习）若，，，…，为各项都大于0的等差数列，公差，则（ ）．
A．B．
C．D．
5．(2023·广东珠海·高二期末）已知数列，，点在直线上，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·四川·遂宁中学高一期末）在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（ ）
A．11.5尺B．12.5尺C．13.5尺D．14.5尺
8．(2023·四川遂宁·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．4043B．4042C．4041D．4040
二、多选题
9．(2023·全国·高二课时练习）（多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（ ）
A．B．
C．D．中的第506项是中的第2022项
10．(2023·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是______．
12．(2023·江苏南京·高二期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式：___________．
（1）是无穷等差数列；
（2）数列为单调递减数列；
（3）数列的最小项有且仅有第5项．
四、解答题
13．(2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；
14．(2023·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）已知数列满足，，．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)求n为何值时，最小．
B能力提升
15．(2023·江苏·高二课时练习）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：
4 7 10 13 16 …
7 12 17 22 27 …
10 17 24 31 38 …
13 22 31 40 49 …
16 27 38 49 60 …
… … … … … …
(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？
(2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？
16．(2023·江苏·高二课时练习）诺沃尔（Knwall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．
(1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？
(2)你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？
C综合素养
17．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，前项和满足，求数列的通项公式．
18．(2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知数列满足：，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
4.2.1等差数列的概念（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90B．100C．180D．200
答案：C
【详解】因为为等差数列，故，
故，
而，
故选：C.
2．(2023·云南保山·高一期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戍、乙对亥…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2022年是壬寅年，那么中国共产党成立时的1921年是（ ）
A．戊辰年B．壬戌年C．辛酉年D．庚午年
答案：C
【详解】解：根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从1921年到2022年经过101年，且2022年为“壬寅”年，以2022年的天干和地支分别为首项，
则，则1921年的天干为辛，，则1921年的地支为酉，
所以1921年为辛酉年．
故选：C．
3．(2023·北京市第一六一中学高二期中）数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】依题意，
所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由得，
所以
故选：C
4．(2023·全国·高二课时练习）若，，，…，为各项都大于0的等差数列，公差，则（ ）．
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】由题意，可知，，故选项C、D错误；
由，，，
则
，即，
故选：B.
5．(2023·广东珠海·高二期末）已知数列，，点在直线上，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：D
【详解】因点在直线上，
所以，
所以数列是以为公差，1为首项的等差数列，
所以，
故选：D
6．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】因为，所以．
又，故，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．
故选：D．
7．(2023·四川·遂宁中学高一期末）在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（ ）
A．11.5尺B．12.5尺C．13.5尺D．14.5尺
答案：B
【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一个再减少,设大雪的晷长为,则,解得,
故选：B.
8．(2023·四川遂宁·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．4043B．4042C．4041D．4040
答案：A
【详解】由知：为等差数列，
又，，则公差，
所以，故，
则，可得，而也满足，
所以，则.
故选：A
二、多选题
9．(2023·全国·高二课时练习）（多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（ ）
A．B．
C．D．中的第506项是中的第2022项
答案：AC
【详解】因为，，所以，故C正确；
数列中项的序号被4除余3的项是第3项、第7项、第11项、…，所以，，故A正确，B错误；
对于D，设数列中的第k项是数列中的第m项，则，所以当时，，即数列中的第506项是中的第2023项，故D错误．
故选：AC
10．(2023·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【详解】设方程的四根分别为、、、，
则数列、、、是首项为的等差数列，设其公差为，
由等差数列的性质可得，
①若、为方程的两根，则、为方程的两根，
由韦达定理可得，可得，，则，，
此时，，则；
②若、为的两根，、为方程的两根，
同理可得，，则.
综上所述，.
故选：BD.
三、填空题
11．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是______．
答案：
【详解】由题意知，设等差数列的公差为，则
，即，即，解得.
故答案为：.
12．(2023·江苏南京·高二期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式：___________．
（1）是无穷等差数列；
（2）数列为单调递减数列；
（3）数列的最小项有且仅有第5项．
答案： (答案不唯一)
【详解】由题意可得，满足（1）是无穷等差数列；（2）数列为单调递减数列；（3）数列的最小项有且仅有第5项，
故答案为：（答案不唯一）
四、解答题
13．(2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；
答案：证明见解析，.
【详解】证明：，，，则，即，解得，
所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.
14．(2023·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）已知数列满足，，．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)求n为何值时，最小．
答案：(1)
(2)或
(1)
解：由且，即，
即又，，所以．
当时，
，
当时，上式也成立．
所以数列的通项公式为；
(2)
解：由（1）可知．
当时，，即；
当时，；
当时，，即，
所以当或时，的值最小．
B能力提升
15．(2023·江苏·高二课时练习）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：
4 7 10 13 16 …
7 12 17 22 27 …
10 17 24 31 38 …
13 22 31 40 49 …
16 27 38 49 60 …
… … … … … …
(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？
(2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？
答案：(1)答案见解析．
(2)20200
(1)
观察“正方形筛子”得，每一行都成等差数列，每一列也都成等差数列，第行和第列的公差相等，为；
(2)
由（1）得第100行的第一个数是，第100行的公差是201，
所以第100行的第100个数是．
16．(2023·江苏·高二课时练习）诺沃尔（Knwall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．
(1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？
(2)你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？
答案：(1)2321年
(2)不会
(1)
1740，1823，1906，1989，…，构成等差数列
首项，公差，
通项公式为
故，即彗星第8次出现是在2321年.
(2)
由，解得，
故这颗彗星不会在2500年出现.
C综合素养
17．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，前项和满足，求数列的通项公式．
答案：.
【详解】∵
∴，，
∵数列为正项数列，，
∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数数列，
∴，即，
当时，，
当时，也成立，
∴.
18．(2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知数列满足：，且．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
答案：(1)证明见解析，
(2)不存在，理由见解析
（1）
由，得，∴
又，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列
∴
∴
（2）
∵，∴
则，解得，不符合题意
∴不存在正整数，使得.