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- 2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.1数列的概念(精讲)(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.1等差数列的概念(精练)(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
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2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.1等差数列的概念(精讲)(原卷版+解析)
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这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.1等差数列的概念(精讲)(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了(2023·四川成都·高一期末等内容，欢迎下载使用。
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列的判定
重点题型二：等差数列的通项公式及其应用
重点题型三：等差中项及其应用
重点题型四：等差数列性质的应用
重点题型五：等差数列的综合问题
重点题型六：构造等差数列
重点题型七：等差数列的实际应用
重点题型八：等差数列在传统文化中的应用问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．
知识点二：等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
知识点三：等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
知识点四：等差数列与一次函数
知识点五：等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
知识点六：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识点七：等差数列的性质
①
②，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·四川成都·高一期末（文））等差数列中，若，，则公差（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．
3．(2023·全国·高二课时练习）是等差数列，且，则______．
4．(2023·湖南·高二期末）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题，其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个正整数为a，当时，符合条件的所有a的个数为______．
5．(2023·上海市建平中学高一期末）已知等差数列{}满足，则___．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列的判定
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）若数列满足，则数列（ ）
A．是公差为1的等差数列B．是公差为的等差数列
C．是公差为的等差数列D．不是等差数列
例题2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：数列是等差数列.
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断它是否为等差数列：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
同类题型归类练
1．(2023·江苏·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列：
(1)－1，－1，－1，－1，－1；
(2)1，，，；
(3)1，0，1，0，1，0；
(4)2，4，6，8，10，12；
(5)7，12，17，22，27.
2．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，点在直线上，且．求证：数列是等差数列．
重点题型二：等差数列的通项公式及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（ ）．
A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项
例题2．(2023·广东肇庆·高二期末）在等差数列中，，则（ ）
A．14B．16C．18D．28
例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为__升．
同类题型归类练
1．(2023·陕西渭南·高二期末（文））已知数列中，，，则________．
2．(2023·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．
重点题型三：等差中项及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知，，则，的等差中项为（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知m和2n的等差中项是4, 2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（ ）
A．2B．3C．6D．9
重点题型四：等差数列性质的应用
典型例题
例题1．(2023·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·北京丰台·高二期中）在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24B．32C．48D．96
例题3．(2023·河南新乡·高二期末（文））已知为等差数列，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
例题4．（多选）(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例题5．(2023·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.
同类题型归类练
1．(2023·陕西安康·高一期末）若为等差数列，且，则（ ）
A．15B．9C．30D．12
2．(2023·宁夏·吴忠中学三模（文））已知数列满足，，，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．(2023·湖南·张家界市教育科学研究院高二期末）是等差数列，且，，则的值（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若等差数列满足，则_______．
5．(2023·河北秦皇岛·二模）已知是等差数列，，则___________.
重点题型五：等差数列的综合问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且满足，求的通项公式．
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列：3，7，11，15，…．
（1）求的通项公式．
（2）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知等差数列的首项，公差．
(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？
(2)当为何值时，最小？
例题4．(2023·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列是公差不为的等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．
例题5．（2023·全国·高二课时练习）数列满足，.
（1）当时，求及的值.
（2）是否存在，使数列为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；
（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
2．(2023·四川绵阳·高一期末）已知数列中各项均为正数，是其前n项和，且满足．
(1)求数列的通项公式；
3．（2023·北京·北理工附中高二期末）已知数列，其前n项和为．
(1)求，．
(2)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．
4．（2023·山东·日照青山学校高三阶段练习）已知数列，点在直线上.数列满足，且，前10项和为125.
(1)求数列，的通项公式：
(2)设，是否存在正整数m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
重点题型六：构造等差数列
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则______．
例题2．(2023·河北邢台·高二阶段练习）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等差数列；
例题3．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知正项数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的正整数的最小值．
例题4．(2023·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知数列满足：，且.
(1)求的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
同类题型归类练
1．(2023·四川眉山·高一期末（文））已知数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
2．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，公差，其前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)通过构造一个新的数列，求非零常数c，使也为等差数列．
3．(2023·陕西·西北农林科技大学附中高二期中（文））已知数列满足，.
(1)求､､；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.
4．(2023·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由.
重点题型七：等差数列的实际应用
典型例题
例题1．(2023·吉林·长春市第二中学高二期末）两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）
A．、B．、C．、D．、
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）某公司经销一种数码产品，第1年获得的利润为200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，若该公司不调整经营策略，则（为第年获得的利润）与的关系为______，该公司从第______年起，经销这一产品将亏损．
重点题型八：等差数列在传统文化中的应用问题
典型例题
例题1．(2023·广东深圳·高二期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（ ）．
A．51B．68C．106D．157
例题2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
同类题型归类练
1．(2023·福建福州·高二期末）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（ ）
A．4尺B．8.5尺C．16.1尺D．18.1尺
2．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则______，表中的数2021共出现______次．
第五部分：新 定 义 问 题
1．(2023·重庆八中高二阶段练习）对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果为阶等差数列，就称原数列为阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，，则该数列的第7项为（ ）
A．101B．99C．95D．91
2．(2023·重庆八中高三阶段练习）设，用表示不小于的最小整数，例如，，，则称为向上取整函数.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，.则_______________.
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2023·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
2．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列中，，，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
4．(2023·上海普陀·二模）已知等差数列（）满足，则__________.
5．（2023·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
6．(2023·江苏·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，现在有以下三个条件：
①数列的前n项和为；
②；
③，当时，．
从上述三个条件中任选一个，完成以下问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，试问中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由．
等差数列
一次函数
表达式：
不同点
①定义域*.
②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.
①定义域为.
②图象是一条直线.
相同点
①当时,等差数列的通项公式与一次函数的
解析式都是关于自变量的一次式.
②等差数列中的,,,四个量中知三求一和
一次函数中求,的方法都是解方程(组).
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
4.2.1等差数列的概念（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列的判定
重点题型二：等差数列的通项公式及其应用
重点题型三：等差中项及其应用
重点题型四：等差数列性质的应用
重点题型五：等差数列的综合问题
重点题型六：构造等差数列
重点题型七：等差数列的实际应用
重点题型八：等差数列在传统文化中的应用问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．
知识点二：等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
知识点三：等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
知识点四：等差数列与一次函数
知识点五：等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
知识点六：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识点七：等差数列的性质
①
②，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·四川成都·高一期末（文））等差数列中，若，，则公差（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：A
【详解】由，得
故选：A
2．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．
答案：180
【详解】由，故，
所以，则.
故答案为：
3．(2023·全国·高二课时练习）是等差数列，且，则______．
答案：
【详解】因为是等差数列，且，
所以，所以，
所以，
故答案为：
4．(2023·湖南·高二期末）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题，其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个正整数为a，当时，符合条件的所有a的个数为______．
答案：7
【详解】解：当时，满足条件的整数a组成一个等差数列，首项为8，公差为3与5的最小公倍数15，
令，所以．所以符合条件的所有a的个数为7．
故答案为：7.
5．(2023·上海市建平中学高一期末）已知等差数列{}满足，则___．
答案：##0.5
【详解】若数列{}的公差为，而，故，
又.
故答案为：
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列的判定
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）若数列满足，则数列（ ）
A．是公差为1的等差数列B．是公差为的等差数列
C．是公差为的等差数列D．不是等差数列
答案：B
【详解】由，得，即，所以数列是公差为的等差数列．
故选：B.
例题2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：数列是等差数列.
答案：证明见解析
【详解】证明：因为an＝2n＋5，所以an－1＝2(n－1)＋5＝2n＋3(n≥2)，
所以an－an－1＝(2n＋5)－(2n＋3)＝2，因此数列{an}是等差数列.
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断它是否为等差数列：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
答案：(1)是等差数列
(2)是等差数列
(3)不是等差数列
(4)是等差数列
(1)
解：因为，所以，所以数列是以3为公差的等差数列；
(2)
解：因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列；
(3)
解：因为，所以不为常数，所以数列不是等差数列；
(4)
解：因为，所以，所以数列是以0为公差的等差数列.
同类题型归类练
1．(2023·江苏·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列：
(1)－1，－1，－1，－1，－1；
(2)1，，，；
(3)1，0，1，0，1，0；
(4)2，4，6，8，10，12；
(5)7，12，17，22，27.
答案：(1)是等差数列
(2)不是等差数列
(3)不是等差数列
(4)是等差数列
(5)是等差数列
(1)
从第2项起每一项与前一项的差都等于0，是等差数列；
(2)
，不是等差数列；
(3)
，不是等差数列；
(4)
从第2项起每一项与前一项的差都等于2，是等差数列；
(5)
从第2项起每一项与前一项的差都等于5，是等差数列．
2．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，点在直线上，且．求证：数列是等差数列．
答案：证明见解析
【详解】点在直线上，，即；
又，，
数列是以为首项，为公差的等差数列.
重点题型二：等差数列的通项公式及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（ ）．
A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项
答案：C
【详解】由可知等差数列首项为40，公差为，
则通项公式为，
令，解得，故第一个负数项是第15项.
故选：C.
例题2．(2023·广东肇庆·高二期末）在等差数列中，，则（ ）
A．14B．16C．18D．28
答案：A
【详解】因为等差数列中，，
，
故选：A.
例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为__升．
答案：
【详解】设此等差数列为，公差，
由题意可得：，即，
解得：，所以．
故答案为：．
同类题型归类练
1．(2023·陕西渭南·高二期末（文））已知数列中，，，则________．
答案：
【详解】因为，
所以，
所以是首项为2，公差为的等差数列，
即，
则，
故答案为：
2．(2023·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．
答案：－82
【详解】∵是公差为－2的等差数列，
∴．
故答案为：-82
重点题型三：等差中项及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知，，则，的等差中项为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由等差中项的定义得：
则a，b的的等差中项为：
，
．
故选：A．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知m和2n的等差中项是4, 2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（ ）
A．2B．3C．6D．9
答案：B
分析：由已知可得 ，故选B.
重点题型四：等差数列性质的应用
典型例题
例题1．(2023·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.
故选：C.
例题2．(2023·北京丰台·高二期中）在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24B．32C．48D．96
答案：C
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：C
例题3．(2023·河南新乡·高二期末（文））已知为等差数列，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：A
【详解】因为为等差数列且，所以．
因为，
故选：A.
例题4．（多选）(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【详解】解：根据等差数列的性质，得，
因为，所以，
所以，
故选：CD.
例题5．(2023·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.
答案：1
【详解】设这个等差数列为，则，
，所以，，所以公差.
故答案为：1.
同类题型归类练
1．(2023·陕西安康·高一期末）若为等差数列，且，则（ ）
A．15B．9C．30D．12
答案：C
【详解】根据等差数列的性质，即，故，故
故选：C
2．(2023·宁夏·吴忠中学三模（文））已知数列满足，，，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案：C
【详解】因为，
所以数列是等差数列，
由，
由，
因此，
故选：C
3．(2023·湖南·张家界市教育科学研究院高二期末）是等差数列，且，，则的值（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，
所以．
故选：B．
4．(2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若等差数列满足，则_______．
答案：
【详解】解：是等差数列，
，
．
故答案为：8．
5．(2023·河北秦皇岛·二模）已知是等差数列，，则___________.
答案：3
【详解】因为，所以，
因为，
所以.
故答案为：3.
重点题型五：等差数列的综合问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且满足，求的通项公式．
答案：.
【详解】由题意，当时，由，得，
两式相减得，
可得，
由数列是正项数列可知，，
又，得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列：3，7，11，15，…．
（1）求的通项公式．
（2）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
答案：（1）；（2）是数列中的项，是第项．
【详解】（1）设数列的公差为．
依题意，有，，
∴．
（2）∵，是数列中的项，
∴，，
∴．
∵，
∴是数列中的项，是第项．
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知等差数列的首项，公差．
(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？
(2)当为何值时，最小？
答案：(1)从第23项开始出现负数
(2)当时最小
(1)
等差数列的首项，公差
则
由，得，即从第23项开始出现负数.
(2)
由等差数列的通项公式
可得
在时取最小值为
在时取最小值为
则在时取最小值为
例题4．(2023·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列是公差不为的等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)存在，
(1)∵，即，∴，∴．
设等差数列的公差为，（）则
∵，∴．
∴．解得（舍）或．
∴，
所以数列的通项公式为：．
(2)由（1）知，，
所以，
假设存在正整数，使得成立，
即．
化简整理，得，即，解得或（舍）．
所以存在正整数，使得成立．
例题5．（2023·全国·高二课时练习）数列满足，.
（1）当时，求及的值.
（2）是否存在，使数列为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
答案：（1），；（2）不存在，理由见解析.
【详解】（1）∵及，，
∴，∴.∴，∴.
（2）不存在.∵，，∴，.若数列为等差数列，则，即，∴.∵，∴方程无实数解，∴不存在.即不存在使为等差数列.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；
（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
答案：（1）或；（2）.
【详解】（1）设这四个数分别为，，，，则
，
又该数列是递增数列，所以，所以，，
所以此等差数列为或．
（2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，，
则，解得或．
因为数列为递增数列，所以，
所以等差数列的通项公式为．
2．(2023·四川绵阳·高一期末）已知数列中各项均为正数，是其前n项和，且满足．
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）
由题意知，且,
当时，，即，
解得（舍）．
当时，，
又，两式相减得，
即，整理得，
∴或．
若，则，
又，∴，这与是正项数列矛盾，
∴，即，
∴数列是首项为3，公差为1的等差数列，
∴，即．
3．（2023·北京·北理工附中高二期末）已知数列，其前n项和为．
(1)求，．
(2)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．
答案：(1)，．
(2)；证明见解析．
(1)当时，，当时，，解得．故，．
(2)当时，
．
又满足，
所以．
因为，
所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列．
4．（2023·山东·日照青山学校高三阶段练习）已知数列，点在直线上.数列满足，且，前10项和为125.
(1)求数列，的通项公式：
(2)设，是否存在正整数m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
答案：(1)，
(2)不存在，理由见解析
(1)由题意得.
又，即，
所以为等差数列，设其公差为，于是由，，
有，
所以.
(2)
①当m为奇数时，m+5为偶数.此时由，有，
（不合题意舍去），
②当m为偶数时，m+5为奇数.此时由，，
（不合题意舍去），
综上不存在正整数m使得成立.
重点题型六：构造等差数列
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则______．
答案：200
【详解】由，得，而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则有，所以，则．
故答案为：200.
例题2．(2023·河北邢台·高二阶段练习）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等差数列；
答案】(1)证明见解析；
(1)
由题设，，则，
所以为常数，又，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列．
例题3．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知正项数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的正整数的最小值．
答案：(1)；
(2)5.
(1)
由已知，，
所以数列是等差数列，设其公差为．
由，得．
所以，即，
所以．
(2)
由，得，
所以原不等式即，
两边平方可得，即，
所以，整理得，
解得或,
因为，
故的最小值为5．
例题4．(2023·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知数列满足：，且.
(1)求的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
答案：(1)
(2)不存在，理由见解析
(1)
解：由，得，
∴，又，
∴数列是以1为首项，为公差的等差数列，
∴，
∴.
(2)
解：∵，
∴，则，解得，不符合题意，
∴不存在正整数，使得.
同类题型归类练
1．(2023·四川眉山·高一期末（文））已知数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
答案：(1)证明见解析；
(1)
令，因为，
所以数列为等差数列，首项为1，公差为2；
2．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，公差，其前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)通过构造一个新的数列，求非零常数c，使也为等差数列．
答案：(1)；
(2).
（1）
由题意且，可得或（舍），
所以，则，故.
（2）
由（1）知：，则．
所以，，．
因为为等差数列，所以，即，可得或（舍），
所以是等差数列，有．
3．(2023·陕西·西北农林科技大学附中高二期中（文））已知数列满足，.
(1)求､､；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.
答案：(1)，，；
(2)证明见解析，.
(1)
由得，
代入，n依次取值2，3，4，得
，，.
(2)
证明：由变形，得，
即，所以是等差数列.
由，所以，变形得，
所以.
4．(2023·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由.
答案：(1)证明见解析
(2)最小值，最大值3，理由见解析
(1)
证明：因为，，
所以当时，
.
又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
(2)
由（1）知，则.
设函数，在区间和上单调递减，
结合函数的图象可知，
当时，取得最小值；
当时，取得最大值3.
重点题型七：等差数列的实际应用
典型例题
例题1．(2023·吉林·长春市第二中学高二期末）两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）
A．、B．、C．、D．、
答案：C
【详解】由题意可知，靠近左侧窗口的座位号形成以为首项，公差为的等差数列，
则，则各项均为奇数，
令，解得，不合乎题意；
靠近右侧窗口的座位号形成以为首项，公差为的等差数列，
则，则各项均为的倍数，令，可得，
故只有C选项合乎题意.
故选：C.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）某公司经销一种数码产品，第1年获得的利润为200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，若该公司不调整经营策略，则（为第年获得的利润）与的关系为______，该公司从第______年起，经销这一产品将亏损．
答案： 12
【详解】依题意，每年获得的利润依次排成一列构成等差数列，且首项，公差，
于是得；
该公司经销这一产品将亏损，即，则由，解得，从而得从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.
故答案为：；12
重点题型八：等差数列在传统文化中的应用问题
典型例题
例题1．(2023·广东深圳·高二期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（ ）．
A．51B．68C．106D．157
答案：C
【详解】现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，
各项与前一项之差：，，，，，…
即2，3，6，11，18，…，
，，，，…
即1，3，5，7，…是等差数列，
所以，．
故选：C．
例题2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
答案：AB
【详解】现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，
其中，，公差.
同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，
其中，，公差，
故相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸，即一尺，故选项A正确；
因为春分的晷长为，所以，
因为秋分的晷长为，所以，
故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；
因为小雪的晷长为，所以，
即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；
因为立春的晷长和立秋的晷长分别为，，
，，
所以，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误.
故选：AB.
同类题型归类练
1．(2023·福建福州·高二期末）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（ ）
A．4尺B．8.5尺C．16.1尺D．18.1尺
答案：C
【详解】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列，公差为d，
则有，即，解得：，
即冬至的日影长为16.1尺.
故选：C
2．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则______，表中的数2021共出现______次．
答案： 57 12
【详解】由数表可知每行、每列的数都成等差数列，第一行和第一列都是以2为首项1为公差的等差数列，第行和第列的公差都是，因此,
,
，
，
，
相应
共12组解，所以表中2021共出现12次.
故答案为：57；12.
第五部分：新 定 义 问 题
1．(2023·重庆八中高二阶段练习）对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果为阶等差数列，就称原数列为阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，，则该数列的第7项为（ ）
A．101B．99C．95D．91
答案：C
【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，规律如图所示，
故选：C
2．(2023·重庆八中高三阶段练习）设，用表示不小于的最小整数，例如，，，则称为向上取整函数.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，.则_______________.
答案：
【详解】当时，，又，；
当时，，则，
即，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，；
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；
.
故答案为：.
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2023·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
答案：C
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
2．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列中，，，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
答案：C
【详解】因为，，
所以可解得，所以，
故选：C
3．(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
答案：2
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
4．(2023·上海普陀·二模）已知等差数列（）满足，则__________.
答案：1
【详解】由题设，
所以，即.
故答案为：1
5．（2023·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
答案：证明见解析.
【详解】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
6．(2023·江苏·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，现在有以下三个条件：
①数列的前n项和为；
②；
③，当时，．
从上述三个条件中任选一个，完成以下问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，试问中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由．
答案：(1)任选一条件，都有
(2)不存在，理由见解析.
（1）选①：因为数列的前项和为，所以当时，；当时，．经检验时，符合上式，所以，故正项数列的通项公式为，选②：因为，所以，所以为常数列，即，所以正项数列的通项公式．选③：由，所以数列从第2项起成等差数列，且，经检验时，符合上式，所以正项数列的通项公式．
（2）数列中不存在连续三项，使得构成等差数列．理由如下：由（1）知当时，，所以．假设数列中存在连续三项，使得构成等差数列．当时，，显然不成等差数列，假设不成立；当时，则，即，两边同时平方，得，所以，整理得，所以，矛盾，故假设不成立．综上所述，数列中不存在连续三项，使得构成等差数列．
等差数列
一次函数
表达式：
不同点
①定义域*.
②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.
①定义域为.
②图象是一条直线.
相同点
①当时,等差数列的通项公式与一次函数的
解析式都是关于自变量的一次式.
②等差数列中的,,,四个量中知三求一和
一次函数中求,的方法都是解方程(组).
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列的判定
重点题型二：等差数列的通项公式及其应用
重点题型三：等差中项及其应用
重点题型四：等差数列性质的应用
重点题型五：等差数列的综合问题
重点题型六：构造等差数列
重点题型七：等差数列的实际应用
重点题型八：等差数列在传统文化中的应用问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．
知识点二：等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
知识点三：等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
知识点四：等差数列与一次函数
知识点五：等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
知识点六：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识点七：等差数列的性质
①
②，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·四川成都·高一期末（文））等差数列中，若，，则公差（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．
3．(2023·全国·高二课时练习）是等差数列，且，则______．
4．(2023·湖南·高二期末）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题，其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个正整数为a，当时，符合条件的所有a的个数为______．
5．(2023·上海市建平中学高一期末）已知等差数列{}满足，则___．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列的判定
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）若数列满足，则数列（ ）
A．是公差为1的等差数列B．是公差为的等差数列
C．是公差为的等差数列D．不是等差数列
例题2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：数列是等差数列.
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断它是否为等差数列：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
同类题型归类练
1．(2023·江苏·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列：
(1)－1，－1，－1，－1，－1；
(2)1，，，；
(3)1，0，1，0，1，0；
(4)2，4，6，8，10，12；
(5)7，12，17，22，27.
2．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，点在直线上，且．求证：数列是等差数列．
重点题型二：等差数列的通项公式及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（ ）．
A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项
例题2．(2023·广东肇庆·高二期末）在等差数列中，，则（ ）
A．14B．16C．18D．28
例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为__升．
同类题型归类练
1．(2023·陕西渭南·高二期末（文））已知数列中，，，则________．
2．(2023·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．
重点题型三：等差中项及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知，，则，的等差中项为（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知m和2n的等差中项是4, 2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（ ）
A．2B．3C．6D．9
重点题型四：等差数列性质的应用
典型例题
例题1．(2023·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·北京丰台·高二期中）在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24B．32C．48D．96
例题3．(2023·河南新乡·高二期末（文））已知为等差数列，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
例题4．（多选）(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
例题5．(2023·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.
同类题型归类练
1．(2023·陕西安康·高一期末）若为等差数列，且，则（ ）
A．15B．9C．30D．12
2．(2023·宁夏·吴忠中学三模（文））已知数列满足，，，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．(2023·湖南·张家界市教育科学研究院高二期末）是等差数列，且，，则的值（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若等差数列满足，则_______．
5．(2023·河北秦皇岛·二模）已知是等差数列，，则___________.
重点题型五：等差数列的综合问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且满足，求的通项公式．
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列：3，7，11，15，…．
（1）求的通项公式．
（2）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知等差数列的首项，公差．
(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？
(2)当为何值时，最小？
例题4．(2023·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列是公差不为的等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．
例题5．（2023·全国·高二课时练习）数列满足，.
（1）当时，求及的值.
（2）是否存在，使数列为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；
（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
2．(2023·四川绵阳·高一期末）已知数列中各项均为正数，是其前n项和，且满足．
(1)求数列的通项公式；
3．（2023·北京·北理工附中高二期末）已知数列，其前n项和为．
(1)求，．
(2)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．
4．（2023·山东·日照青山学校高三阶段练习）已知数列，点在直线上.数列满足，且，前10项和为125.
(1)求数列，的通项公式：
(2)设，是否存在正整数m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
重点题型六：构造等差数列
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则______．
例题2．(2023·河北邢台·高二阶段练习）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等差数列；
例题3．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知正项数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的正整数的最小值．
例题4．(2023·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知数列满足：，且.
(1)求的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
同类题型归类练
1．(2023·四川眉山·高一期末（文））已知数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
2．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，公差，其前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)通过构造一个新的数列，求非零常数c，使也为等差数列．
3．(2023·陕西·西北农林科技大学附中高二期中（文））已知数列满足，.
(1)求､､；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.
4．(2023·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由.
重点题型七：等差数列的实际应用
典型例题
例题1．(2023·吉林·长春市第二中学高二期末）两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）
A．、B．、C．、D．、
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）某公司经销一种数码产品，第1年获得的利润为200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，若该公司不调整经营策略，则（为第年获得的利润）与的关系为______，该公司从第______年起，经销这一产品将亏损．
重点题型八：等差数列在传统文化中的应用问题
典型例题
例题1．(2023·广东深圳·高二期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（ ）．
A．51B．68C．106D．157
例题2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
同类题型归类练
1．(2023·福建福州·高二期末）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（ ）
A．4尺B．8.5尺C．16.1尺D．18.1尺
2．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则______，表中的数2021共出现______次．
第五部分：新 定 义 问 题
1．(2023·重庆八中高二阶段练习）对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果为阶等差数列，就称原数列为阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，，则该数列的第7项为（ ）
A．101B．99C．95D．91
2．(2023·重庆八中高三阶段练习）设，用表示不小于的最小整数，例如，，，则称为向上取整函数.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，.则_______________.
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2023·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
2．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列中，，，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
4．(2023·上海普陀·二模）已知等差数列（）满足，则__________.
5．（2023·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
6．(2023·江苏·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，现在有以下三个条件：
①数列的前n项和为；
②；
③，当时，．
从上述三个条件中任选一个，完成以下问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，试问中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由．
等差数列
一次函数
表达式：
不同点
①定义域*.
②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.
①定义域为.
②图象是一条直线.
相同点
①当时,等差数列的通项公式与一次函数的
解析式都是关于自变量的一次式.
②等差数列中的,,,四个量中知三求一和
一次函数中求,的方法都是解方程(组).
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
4.2.1等差数列的概念（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列的判定
重点题型二：等差数列的通项公式及其应用
重点题型三：等差中项及其应用
重点题型四：等差数列性质的应用
重点题型五：等差数列的综合问题
重点题型六：构造等差数列
重点题型七：等差数列的实际应用
重点题型八：等差数列在传统文化中的应用问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等差数列的有关概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．
知识点二：等差中项
由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 .
知识点三：等差数列的通项公式
首项为,公差为的等差数列的通项公式为 .
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
知识点四：等差数列与一次函数
知识点五：等差数列的单调性
①当，等差数列为递增数列
②当，等差数列为递减数列
③当，等差数列为常数列
知识点六：等差数列的四种判断方法
(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．
(2)等差中项法： ()是等差数列．
(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）
(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）
提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法
知识点七：等差数列的性质
①
②，则（特别的，当，有）
③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 .
④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列.
⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列.
⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·四川成都·高一期末（文））等差数列中，若，，则公差（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：A
【详解】由，得
故选：A
2．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，则______．
答案：180
【详解】由，故，
所以，则.
故答案为：
3．(2023·全国·高二课时练习）是等差数列，且，则______．
答案：
【详解】因为是等差数列，且，
所以，所以，
所以，
故答案为：
4．(2023·湖南·高二期末）《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”问题，其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个正整数为a，当时，符合条件的所有a的个数为______．
答案：7
【详解】解：当时，满足条件的整数a组成一个等差数列，首项为8，公差为3与5的最小公倍数15，
令，所以．所以符合条件的所有a的个数为7．
故答案为：7.
5．(2023·上海市建平中学高一期末）已知等差数列{}满足，则___．
答案：##0.5
【详解】若数列{}的公差为，而，故，
又.
故答案为：
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列的判定
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）若数列满足，则数列（ ）
A．是公差为1的等差数列B．是公差为的等差数列
C．是公差为的等差数列D．不是等差数列
答案：B
【详解】由，得，即，所以数列是公差为的等差数列．
故选：B.
例题2．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：数列是等差数列.
答案：证明见解析
【详解】证明：因为an＝2n＋5，所以an－1＝2(n－1)＋5＝2n＋3(n≥2)，
所以an－an－1＝(2n＋5)－(2n＋3)＝2，因此数列{an}是等差数列.
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知数列的通项公式，判断它是否为等差数列：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
答案：(1)是等差数列
(2)是等差数列
(3)不是等差数列
(4)是等差数列
(1)
解：因为，所以，所以数列是以3为公差的等差数列；
(2)
解：因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列；
(3)
解：因为，所以不为常数，所以数列不是等差数列；
(4)
解：因为，所以，所以数列是以0为公差的等差数列.
同类题型归类练
1．(2023·江苏·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列：
(1)－1，－1，－1，－1，－1；
(2)1，，，；
(3)1，0，1，0，1，0；
(4)2，4，6，8，10，12；
(5)7，12，17，22，27.
答案：(1)是等差数列
(2)不是等差数列
(3)不是等差数列
(4)是等差数列
(5)是等差数列
(1)
从第2项起每一项与前一项的差都等于0，是等差数列；
(2)
，不是等差数列；
(3)
，不是等差数列；
(4)
从第2项起每一项与前一项的差都等于2，是等差数列；
(5)
从第2项起每一项与前一项的差都等于5，是等差数列．
2．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，点在直线上，且．求证：数列是等差数列．
答案：证明见解析
【详解】点在直线上，，即；
又，，
数列是以为首项，为公差的等差数列.
重点题型二：等差数列的通项公式及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（ ）．
A．第13项B．第14项C．第15项D．第16项
答案：C
【详解】由可知等差数列首项为40，公差为，
则通项公式为，
令，解得，故第一个负数项是第15项.
故选：C.
例题2．(2023·广东肇庆·高二期末）在等差数列中，，则（ ）
A．14B．16C．18D．28
答案：A
【详解】因为等差数列中，，
，
故选：A.
例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为__升．
答案：
【详解】设此等差数列为，公差，
由题意可得：，即，
解得：，所以．
故答案为：．
同类题型归类练
1．(2023·陕西渭南·高二期末（文））已知数列中，，，则________．
答案：
【详解】因为，
所以，
所以是首项为2，公差为的等差数列，
即，
则，
故答案为：
2．(2023·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．
答案：－82
【详解】∵是公差为－2的等差数列，
∴．
故答案为：-82
重点题型三：等差中项及其应用
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知，，则，的等差中项为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】由等差中项的定义得：
则a，b的的等差中项为：
，
．
故选：A．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）已知m和2n的等差中项是4, 2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（ ）
A．2B．3C．6D．9
答案：B
分析：由已知可得 ，故选B.
重点题型四：等差数列性质的应用
典型例题
例题1．(2023·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.
故选：C.
例题2．(2023·北京丰台·高二期中）在等差数列中，，则的值是（ ）
A．24B．32C．48D．96
答案：C
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：C
例题3．(2023·河南新乡·高二期末（文））已知为等差数列，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：A
【详解】因为为等差数列且，所以．
因为，
故选：A.
例题4．（多选）(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【详解】解：根据等差数列的性质，得，
因为，所以，
所以，
故选：CD.
例题5．(2023·辽宁·三模）若一个等差数列的前5项和为15，后5项和为145，且该数列共有31项，则这个等差数列的公差为___________.
答案：1
【详解】设这个等差数列为，则，
，所以，，所以公差.
故答案为：1.
同类题型归类练
1．(2023·陕西安康·高一期末）若为等差数列，且，则（ ）
A．15B．9C．30D．12
答案：C
【详解】根据等差数列的性质，即，故，故
故选：C
2．(2023·宁夏·吴忠中学三模（文））已知数列满足，，，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案：C
【详解】因为，
所以数列是等差数列，
由，
由，
因此，
故选：C
3．(2023·湖南·张家界市教育科学研究院高二期末）是等差数列，且，，则的值（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，
所以．
故选：B．
4．(2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若等差数列满足，则_______．
答案：
【详解】解：是等差数列，
，
．
故答案为：8．
5．(2023·河北秦皇岛·二模）已知是等差数列，，则___________.
答案：3
【详解】因为，所以，
因为，
所以.
故答案为：3.
重点题型五：等差数列的综合问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且满足，求的通项公式．
答案：.
【详解】由题意，当时，由，得，
两式相减得，
可得，
由数列是正项数列可知，，
又，得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列：3，7，11，15，…．
（1）求的通项公式．
（2）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？
答案：（1）；（2）是数列中的项，是第项．
【详解】（1）设数列的公差为．
依题意，有，，
∴．
（2）∵，是数列中的项，
∴，，
∴．
∵，
∴是数列中的项，是第项．
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知等差数列的首项，公差．
(1)此等差数列中从第几项开始出现负数？
(2)当为何值时，最小？
答案：(1)从第23项开始出现负数
(2)当时最小
(1)
等差数列的首项，公差
则
由，得，即从第23项开始出现负数.
(2)
由等差数列的通项公式
可得
在时取最小值为
在时取最小值为
则在时取最小值为
例题4．(2023·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列是公差不为的等差数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)存在，
(1)∵，即，∴，∴．
设等差数列的公差为，（）则
∵，∴．
∴．解得（舍）或．
∴，
所以数列的通项公式为：．
(2)由（1）知，，
所以，
假设存在正整数，使得成立，
即．
化简整理，得，即，解得或（舍）．
所以存在正整数，使得成立．
例题5．（2023·全国·高二课时练习）数列满足，.
（1）当时，求及的值.
（2）是否存在，使数列为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
答案：（1），；（2）不存在，理由见解析.
【详解】（1）∵及，，
∴，∴.∴，∴.
（2）不存在.∵，，∴，.若数列为等差数列，则，即，∴.∵，∴方程无实数解，∴不存在.即不存在使为等差数列.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；
（2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
答案：（1）或；（2）.
【详解】（1）设这四个数分别为，，，，则
，
又该数列是递增数列，所以，所以，，
所以此等差数列为或．
（2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，，
则，解得或．
因为数列为递增数列，所以，
所以等差数列的通项公式为．
2．(2023·四川绵阳·高一期末）已知数列中各项均为正数，是其前n项和，且满足．
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）
由题意知，且,
当时，，即，
解得（舍）．
当时，，
又，两式相减得，
即，整理得，
∴或．
若，则，
又，∴，这与是正项数列矛盾，
∴，即，
∴数列是首项为3，公差为1的等差数列，
∴，即．
3．（2023·北京·北理工附中高二期末）已知数列，其前n项和为．
(1)求，．
(2)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．
答案：(1)，．
(2)；证明见解析．
(1)当时，，当时，，解得．故，．
(2)当时，
．
又满足，
所以．
因为，
所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列．
4．（2023·山东·日照青山学校高三阶段练习）已知数列，点在直线上.数列满足，且，前10项和为125.
(1)求数列，的通项公式：
(2)设，是否存在正整数m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
答案：(1)，
(2)不存在，理由见解析
(1)由题意得.
又，即，
所以为等差数列，设其公差为，于是由，，
有，
所以.
(2)
①当m为奇数时，m+5为偶数.此时由，有，
（不合题意舍去），
②当m为偶数时，m+5为奇数.此时由，，
（不合题意舍去），
综上不存在正整数m使得成立.
重点题型六：构造等差数列
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则______．
答案：200
【详解】由，得，而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则有，所以，则．
故答案为：200.
例题2．(2023·河北邢台·高二阶段练习）已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等差数列；
答案】(1)证明见解析；
(1)
由题设，，则，
所以为常数，又，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列．
例题3．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知正项数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的正整数的最小值．
答案：(1)；
(2)5.
(1)
由已知，，
所以数列是等差数列，设其公差为．
由，得．
所以，即，
所以．
(2)
由，得，
所以原不等式即，
两边平方可得，即，
所以，整理得，
解得或,
因为，
故的最小值为5．
例题4．(2023·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知数列满足：，且.
(1)求的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
答案：(1)
(2)不存在，理由见解析
(1)
解：由，得，
∴，又，
∴数列是以1为首项，为公差的等差数列，
∴，
∴.
(2)
解：∵，
∴，则，解得，不符合题意，
∴不存在正整数，使得.
同类题型归类练
1．(2023·四川眉山·高一期末（文））已知数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
答案：(1)证明见解析；
(1)
令，因为，
所以数列为等差数列，首项为1，公差为2；
2．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，公差，其前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)通过构造一个新的数列，求非零常数c，使也为等差数列．
答案：(1)；
(2).
（1）
由题意且，可得或（舍），
所以，则，故.
（2）
由（1）知：，则．
所以，，．
因为为等差数列，所以，即，可得或（舍），
所以是等差数列，有．
3．(2023·陕西·西北农林科技大学附中高二期中（文））已知数列满足，.
(1)求､､；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.
答案：(1)，，；
(2)证明见解析，.
(1)
由得，
代入，n依次取值2，3，4，得
，，.
(2)
证明：由变形，得，
即，所以是等差数列.
由，所以，变形得，
所以.
4．(2023·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由.
答案：(1)证明见解析
(2)最小值，最大值3，理由见解析
(1)
证明：因为，，
所以当时，
.
又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
(2)
由（1）知，则.
设函数，在区间和上单调递减，
结合函数的图象可知，
当时，取得最小值；
当时，取得最大值3.
重点题型七：等差数列的实际应用
典型例题
例题1．(2023·吉林·长春市第二中学高二期末）两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（ ）
A．、B．、C．、D．、
答案：C
【详解】由题意可知，靠近左侧窗口的座位号形成以为首项，公差为的等差数列，
则，则各项均为奇数，
令，解得，不合乎题意；
靠近右侧窗口的座位号形成以为首项，公差为的等差数列，
则，则各项均为的倍数，令，可得，
故只有C选项合乎题意.
故选：C.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）某公司经销一种数码产品，第1年获得的利润为200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，若该公司不调整经营策略，则（为第年获得的利润）与的关系为______，该公司从第______年起，经销这一产品将亏损．
答案： 12
【详解】依题意，每年获得的利润依次排成一列构成等差数列，且首项，公差，
于是得；
该公司经销这一产品将亏损，即，则由，解得，从而得从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.
故答案为：；12
重点题型八：等差数列在传统文化中的应用问题
典型例题
例题1．(2023·广东深圳·高二期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（ ）．
A．51B．68C．106D．157
答案：C
【详解】现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，
各项与前一项之差：，，，，，…
即2，3，6，11，18，…，
，，，，…
即1，3，5，7，…是等差数列，
所以，．
故选：C．
例题2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
答案：AB
【详解】现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，
其中，，公差.
同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，
其中，，公差，
故相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸，即一尺，故选项A正确；
因为春分的晷长为，所以，
因为秋分的晷长为，所以，
故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；
因为小雪的晷长为，所以，
即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；
因为立春的晷长和立秋的晷长分别为，，
，，
所以，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误.
故选：AB.
同类题型归类练
1．(2023·福建福州·高二期末）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为（ ）
A．4尺B．8.5尺C．16.1尺D．18.1尺
答案：C
【详解】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，记为数列，公差为d，
则有，即，解得：，
即冬至的日影长为16.1尺.
故选：C
2．(2023·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则______，表中的数2021共出现______次．
答案： 57 12
【详解】由数表可知每行、每列的数都成等差数列，第一行和第一列都是以2为首项1为公差的等差数列，第行和第列的公差都是，因此,
,
，
，
，
相应
共12组解，所以表中2021共出现12次.
故答案为：57；12.
第五部分：新 定 义 问 题
1．(2023·重庆八中高二阶段练习）对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果为阶等差数列，就称原数列为阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，，则该数列的第7项为（ ）
A．101B．99C．95D．91
答案：C
【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，规律如图所示，
故选：C
2．(2023·重庆八中高三阶段练习）设，用表示不小于的最小整数，例如，，，则称为向上取整函数.已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，.则_______________.
答案：
【详解】当时，，又，；
当时，，则，
即，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，；
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；
.
故答案为：.
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2023·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
答案：C
【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
2．(2023·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列中，，，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
答案：C
【详解】因为，，
所以可解得，所以，
故选：C
3．(2023·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
答案：2
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
4．(2023·上海普陀·二模）已知等差数列（）满足，则__________.
答案：1
【详解】由题设，
所以，即.
故答案为：1
5．（2023·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
答案：证明见解析.
【详解】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
6．(2023·江苏·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，现在有以下三个条件：
①数列的前n项和为；
②；
③，当时，．
从上述三个条件中任选一个，完成以下问题：
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，试问中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由．
答案：(1)任选一条件，都有
(2)不存在，理由见解析.
（1）选①：因为数列的前项和为，所以当时，；当时，．经检验时，符合上式，所以，故正项数列的通项公式为，选②：因为，所以，所以为常数列，即，所以正项数列的通项公式．选③：由，所以数列从第2项起成等差数列，且，经检验时，符合上式，所以正项数列的通项公式．
（2）数列中不存在连续三项，使得构成等差数列．理由如下：由（1）知当时，，所以．假设数列中存在连续三项，使得构成等差数列．当时，，显然不成等差数列，假设不成立；当时，则，即，两边同时平方，得，所以，整理得，所以，矛盾，故假设不成立．综上所述，数列中不存在连续三项，使得构成等差数列．
等差数列
一次函数
表达式：
不同点
①定义域*.
②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.
①定义域为.
②图象是一条直线.
相同点
①当时,等差数列的通项公式与一次函数的
解析式都是关于自变量的一次式.
②等差数列中的,,,四个量中知三求一和
一次函数中求,的方法都是解方程(组).
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
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