2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.2等差数列的前n项和公式(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.2等差数列的前n项和公式(精练)(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．450B．400C．350D．225
2．(2023·全国·高二课时练习）在中国古代，有一道“八子分棉”的名题：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．”题意是把996斤棉分给8个子女做盘缠，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．则第一个孩子分到的棉是（ ）
A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤
3．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．2021B．-2021C．-2022D．2022
5．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
6．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（ ）
A．4045B．4044C．2023D．2022
7．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，且，则数列的前n项和（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，下列为真命题的序号为（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．②③C．②④D．③④
二、多选题
9．(2023·辽宁抚顺·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗 石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则 （ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列中，，公差，则使其前项和取得最大值的自然数是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．(2023·全国·高一课时练习）数列的前n项和（，n为正整数），且，则______．
12．(2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知等差数列的前n项和为，满足，且，则的最大值为___________.
四、解答题
13．(2023·四川省高县中学校高二阶段练习）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
14．(2023·四川省开江中学高三开学考试（理））已知​为数列​的前​项和，​是公差为1的等差数列.
(1)求​的通项公式；
(2)证明：​.
B能力提升
15．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足，且数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式;
(2)已知，记数列的前项和为，求证:．
16．(2023·湖南湘潭·高三开学考试）设数列的前项和为，，数列是等差数列， 其前项和是， 且．
(1)求数列和的通项公式;
(2)求使得是数列中的项的的取值集合．
C综合素养
17．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式.
18．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）从条件①，，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前100项和.
19．(2023·河北·大名县第一中学高二期末）已知数列中，，（，），数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
4.2.2等差数列的前n项和公式（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．450B．400C．350D．225
答案：D
【详解】由解得，
所以.
故选:D.
2．(2023·全国·高二课时练习）在中国古代，有一道“八子分棉”的名题：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．”题意是把996斤棉分给8个子女做盘缠，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．则第一个孩子分到的棉是（ ）
A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤
答案：A
【详解】记8个子女依次分棉斤、斤、斤、…、斤，
则数列为公差为17的等差数列．
因为棉的总数为996斤，所以，
解得．
故选：A
3．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】当时，，
故可知当时，单调递增，故为递增数列只需满足，即
故选：B
4．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．2021B．-2021C．-2022D．2022
答案：C
【详解】解：因为数列为等差数列，故，则，
当时，，则，
所以数列为等差数列，设其公差为d．又，即，又，所以，所以，即．
故选：C.
5．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k的值为（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
答案：C
【详解】设等差数列公差为，所以
，
所以可看成关于n的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，可得，解得．
故选：C．
6．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（ ）
A．4045B．4044C．2023D．2022
答案：D
【详解】等差数列的前项和为，且，，
，，
，，
，公差，则当时最小．
故选：D
7．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，且，则数列的前n项和（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】因，当时，，
则，而满足上式，因此，，即，
则，，即是首项为4、公差为4的等差数列，
所以．
故选：B
8．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，下列为真命题的序号为（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．②③C．②④D．③④
答案：B
【详解】由，
可得，即，，
故可得等差数列的公差，选项③正确；
把已知的两式相加可得
整理可得
结合上面的判断可知
故有，，故选项②正确；
由于，，则，故选项①错误；
由公差 可得，结合等差数列的列的性质，
可得，从而可得，故，即选项④错误．
故选：B．
二、多选题
9．(2023·辽宁抚顺·高二期末）古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗 石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则 （ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【详解】解：由题意可知，，故B正确；
，所以，故A正确；
，故D正确；
所以，故C不正确．
故选：ABD.
10．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列中，，公差，则使其前项和取得最大值的自然数是（ ）
A．B．C．D．
答案：CD
【详解】因为，则数列为单调递减数列，由可得，则，
所以，，则，
，
所以，当或时，取得最大值.
故选：CD.
三、填空题
11．(2023·全国·高一课时练习）数列的前n项和（，n为正整数），且，则______．
答案：
【详解】由得：
当时,进而得，因为，所以，
故，
故答案为：
12．(2023·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知等差数列的前n项和为，满足，且，则的最大值为___________.
答案：1
【详解】∵，
，
，
，当且仅当时取等号，
∴的最大值为1．
故答案为：1．
四、解答题
13．(2023·四川省高县中学校高二阶段练习）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
答案：(1)
(2)
（1）当时，，即，
当时，，
因为满足上式，
所以，
（2）由（1）得，
所以数列的前n项和为
14．(2023·四川省开江中学高三开学考试（理））已知​为数列​的前​项和，​是公差为1的等差数列.
(1)求​的通项公式；
(2)证明：​.
答案：(1)；
(2)证明见解析.
（1）
因是公差为1的等差数列，而，则，因此，即，
当时，，满足上式，
所以的通项公式是.
（2）
由（1）知：，
所以.
B能力提升
15．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足，且数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式;
(2)已知，记数列的前项和为，求证:．
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）
记数列的前n项和为，则．
当时．，
当时，，则，
∴．
（2）
由题意得，，
∴
．
16．(2023·湖南湘潭·高三开学考试）设数列的前项和为，，数列是等差数列， 其前项和是， 且．
(1)求数列和的通项公式;
(2)求使得是数列中的项的的取值集合．
答案：(1)，
(2)
（1）由知，．
当时，，所以，所以数列是等比数列，
故数列的通项公式为．
又因为，所以数列的公差为，
故数列的通项公式为；
（2）由（1）知，，
而，所以当且仅当时，是数列中的项．即所求的m的取值集合为
C综合素养
17．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式.
答案：证明见解析，
【详解】∵，∴，
∵，又，
∴，又由，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴，∴，
当时，，
当时，，符合上式，∴.
18．(2023·广东·石门高级中学高二阶段练习）从条件①，，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，，_________.
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，记，求的前100项和.
答案：(1)若选①或②，；选③，
(2)若选①或②，92；选③，145
（1）若选择①，因为，所以，两式相减得，整理得，即，所以为常数列，，所以，若选择②，因为，所以，两式相减，得，因为，∴，所以是等差数列，所以；若选择③，（1）由变形得，，所以，易知，所以，所以为等差数列，又，所以，，∴，又时，也满足上式，所以；
（2）选择①或②，，，；；，∴，选择③，，；；，∴.
19．(2023·河北·大名县第一中学高二期末）已知数列中，，（，），数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
答案：(1)(2)(3)，，理由见解析
（1）证明：，
又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴.
（2）由，得，即时，；时，，
∴
.
（3）由，得
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，.