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2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.2等差数列的前n项和公式(精讲)(原卷版+解析)
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这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.2等差数列的前n项和公式(精讲)(原卷版+解析)，共45页。
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列前项和公式及其应用
重点题型二：利用等差数列前项和公式判断
重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
重点题型四：等差数列前项和的最值问题
重点题型五：求数列的前项和问题
重点题型六：数列求和
角度1：倒序相加法
角度2：裂项相消法
重点题型七：数列求和在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等差数列的前项和公式
1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式
2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式
知识点二：等差数列前项和公式的函数特征
等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
知识点三：等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则
，，，
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·四川绵阳·高一期末）记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．(2023·四川省成都市第八中学校高一开学考试）将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层……，则第层正方体的个数是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
4．(2023·全国·高二课时练习）已知，则______．
5．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列的前项和，则__________.
6．(2023·全国·高三专题练习（文））已知等差数列的前n项和为，若，，则___________．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列前项和公式及其应用
典型例题
例题1．(2023·安徽·高三开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·全国·高二课时练习）设数列是等差数列，公差，为其前项和，若，则首项（ ）
A．8B．10C．20D．30
例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
例题4．(2023·四川成都·高一期中）设是等差数列的前项和，若，．
(1)求数列的通项公式； (2)求．
同类题型归类练
1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
2．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）.
A．110B．120C．130D．140
3．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差数列中，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，若，求n的值．
重点题型二：利用等差数列前项和公式判断
典型例题
例题1．(2023·北京市第三中学高二期中）已知数列的前项和公式为，则数列（ ）
A．是公差为2的等差数列B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知一个数列的前项和．
(1)当时，求证：该数列是等差数列；
(2)若数列是等差数列，求满足条件．
同类题型归类练
1．(2023·北京·一模）已知数列的前项和，则是（ ）
A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列
C．公比为2的等比数列D．公比为3的等比数列
2．（多选）（2023·江苏·高二专题练习）下列条件中能确定数列为等差数列的有（ ）
A．b为常数，
B．为常数，
C．
D．前n项和（A，B，C为常数，）
重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
典型例题
例题1．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
例题2．(2023·全国·高二课时练习）设是等差数列的前项和为，若，，则______．
例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））设等差数列的前项和为，已知，，则___________.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20B．30C．40D．50
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列的前n项和为．若，，则_____．
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前项和，为的前项和，且，则______．
例题2．(2023·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的项和分别为，.若对于任意的正整数都有，则（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二专题练习）两个等差数列和,其前项和分别为且,则等于（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则___________.（2）若，则___________.
重点题型四：等差数列前项和的最值问题
典型例题
例题1．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A．B．52C．54D．55
例题2．(2023·江西赣州·高二阶段练习（文））设等差数列的前项和为，且，，则当最大时，（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
例题3．（多选）(2023·重庆·西南大学附中高二期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递减数列
C．当时，取得最大值D．当时，的最小值为14
例题4．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知等差数列的前项和为，且，则使取得最大值的为__________．
例题5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差数列，，其前5项和.
(1)求的通项； (2)求前项和的最大值.
例题6．(2023·全国·高二）设等差数列的前项和为，已知，且，.
（1）求公差的取值范围；
（2）问前几项的和最大，并说明理由.
同类题型归类练
1．（多选）(2023·河北·石家庄二中高二期末）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．公差B．
C．是各项中最大的项D．是中最大的值
2．（多选）(2023·广东·翠园中学高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列判断正确的是（ ）
A．，B．，
C．数列中绝对值最小的项是D．的最大值是
3．（多选）(2023·广东·南海中学高二阶段练习）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）．
A．数列是递增数列B．
C．D．，，…，中最大的是
4．(2023·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．
5．(2023·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知数列为等差数列，公差，，是数列的前n项和.
(1)求通项；
(2)当n为多少时，有最小值？最小值是多少？
6．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，已知，，.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.
重点题型五：求数列的前项和问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前项和．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
同类题型归类练
1．(2023·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
2．(2023·吉林·东北师大附中高二阶段练习）已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
3．(2023·四川省遂宁市第二中学校高一期中（文））已知数列是等差数列，公差为，为数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前项和.
重点题型六：数列求和
角度1：倒序相加法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）设数列的通项公式为，该数列的前项和为，则______.
例题2．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习（文））设，
A．4B．5C．6D．10
2．(2023·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
角度2：裂项相消法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.
例题3．(2023·河南开封·高二期末（理））已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题4．(2023·湖南师大附中高三阶段练习）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
同类题型归类练
1．(2023·江苏南通·高一开学考试）计算的值为______.
2．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：
(2)当时，求证：.
重点题型七：数列求和在传统文化中的应用
典型例题
1．(2023·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤
2．(2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列各项之和为（ ）
A．1666B．1676C．1757D．2646
3．(2023·山东济南·三模）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（ ）
A．91B．169C．175D．180
4．(2023·全国·高二课时练习）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根，现将它们堆放在一起．
(1)若堆放成纵截面为正三角形（每一层比上一层多1根），如图1所示，并使剩余的圆钢尽可能少，则剩余了多少根圆钢？
(2)若堆成纵截面为等腰梯形（每一层比上一层多1根），如图2所示，圆钢无剩余且堆放不少于七层，共有几种不同的堆放方案？
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2023·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（2023·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
3．(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．（2023·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.
4.2.2等差数列的前项和公式（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列前项和公式及其应用
重点题型二：利用等差数列前项和公式判断
重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
重点题型四：等差数列前项和的最值问题
重点题型五：求数列的前项和问题
重点题型六：数列求和
角度1：倒序相加法
角度2：裂项相消法
重点题型七：数列求和在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等差数列的前项和公式
1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式
2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式
知识点二：等差数列前项和公式的函数特征
等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
知识点三：等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则
，，，
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·四川绵阳·高一期末）记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
答案：C
【详解】由得
故选：C
2．(2023·四川省成都市第八中学校高一开学考试）将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层……，则第层正方体的个数是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】观察可得，第层正方体的个数为，第层正方体的个数为，比第层多个；第层正方体的个数为，比第层多个；...
可得，每一层比上一层多的个数依次为 ;
故第层正方体的个数.
故选：A
3．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
答案：C
【详解】设等差数列的首项和公差分别为，则，
所以可看成关于n的二次函数，
由二次函数的对称性及，，
可得，解得k＝2022．
故选：C
4．(2023·全国·高二课时练习）已知，则______．
答案：100
【详解】由可知是一个等差数列，且公差为，首项为19，
所以，
故答案为：100
5．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列的前项和，则__________.
答案：11
【详解】解：因为数列的前项和，所以；
故答案为：
6．(2023·全国·高三专题练习（文））已知等差数列的前n项和为，若，，则___________．
答案：6061
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，
则
解得：，，
所以．
故答案为：6061
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列前项和公式及其应用
典型例题
例题1．(2023·安徽·高三开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】由题意，设数列公差为，因为，
解得，所以.
故选：B.
例题2．(2023·全国·高二课时练习）设数列是等差数列，公差，为其前项和，若，则首项（ ）
A．8B．10C．20D．30
答案：B
【详解】解：由题意，即，化简得．
故选：B．
例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】因为是等差数列，，，
所以，解得，
则，，
，，，…，构成首项为，公差为9的等差数列，
则.
故选：A．
例题4．(2023·四川成都·高一期中）设是等差数列的前项和，若，．
(1)求数列的通项公式； (2)求．
答案：(1)或
(2)或
(1)
解：设等差数列的公差为，
由可得，解得或，
当时，；
当时，.
(2)
解：当时，，则；
当时，.
同类题型归类练
1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
答案：C
【详解】，
，则.
故选：C
2．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）.
A．110B．120C．130D．140
答案：C
【详解】解：设公差为d，则
，所以，
所以.
故选：C
3．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差数列中，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，若，求n的值．
答案：(1)
(2)12
(1)由题意得，得
故．
(2)因为的前n项和为，所以，
整理得（3n＋7）（n－12）＝0﹐故（舍去）或n＝12．
重点题型二：利用等差数列前项和公式判断
典型例题
例题1．(2023·北京市第三中学高二期中）已知数列的前项和公式为，则数列（ ）
A．是公差为2的等差数列B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列
答案：A
【详解】当时，，当时，，也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公差为的等差数列，不是等比数列.
故选：A
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知一个数列的前项和．
(1)当时，求证：该数列是等差数列；
(2)若数列是等差数列，求满足条件．
答案：(1)证明见解析
(2)
(1)当时，，令，，
所以时，
，
所以，
此时，
所以，
所以，
可得数列是公差为的等差数列.
(2)
，
令，得，
所以时，
，
所以，
所以，
可得时，数列是公差为的等差数列，
若数列是等差数列，则，
所以．
同类题型归类练
1．(2023·北京·一模）已知数列的前项和，则是（ ）
A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列
C．公比为2的等比数列D．公比为3的等比数列
答案：A
【详解】因为，
所以当时，有，
，得，
当时，适合上式，
因为，
所以该数列是以2为公差的等差数列，
故选：A
2．（多选）（2023·江苏·高二专题练习）下列条件中能确定数列为等差数列的有（ ）
A．b为常数，
B．为常数，
C．
D．前n项和（A，B，C为常数，）
答案：AC
【详解】A选项，b为常数，，
，所以是等差数列，故A正确；
B选项，为常数，，不一定符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，如，故B错误；
C选项， ，对于数列的关系式符合等差中项的形式，所以是等差数列，故C正确；
D选项，前n项和（A，B，C为常数，），
则当时，，
两式相减得，
当时，，当且仅当时，满足上式，
且当时，，此时是等差数列，
所以不一定是等差数列，故D错误．
故选：AC．
重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
典型例题
例题1．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
答案：B
【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，
所以，所以，
故选：B．
例题2．(2023·全国·高二课时练习）设是等差数列的前项和为，若，，则______．
答案：2
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以，
故答案为：2
例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））设等差数列的前项和为，已知，，则___________.
答案：48
【详解】因为等差数列的前项和为，
所以成等差数列，
所以，
因为，，
所以，解得，
故答案为：48
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20B．30C．40D．50
答案：B
【详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，
解得．
故选：B．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列的前n项和为．若，，则_____．
答案：42
【详解】解：在等差数列中，，，成等差数列，即7，14，成等差数列，
所以，解得．
故答案为：42．
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前项和，为的前项和，且，则______．
答案：2
【详解】因为、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，
所以，
故答案为：2
例题2．(2023·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】在等差数列中，由，得，
故选：B
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的项和分别为，.若对于任意的正整数都有，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】设，，.则，，所以.
故选：B.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二专题练习）两个等差数列和,其前项和分别为且,则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】=.
故选：D.
2．(2023·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则___________.（2）若，则___________.
答案：
【详解】若，则；
若，则可设，
所以，，
所以，
故答案为：；
重点题型四：等差数列前项和的最值问题
典型例题
例题1．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A．B．52C．54D．55
答案：D
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
故.
又函数的对称轴为直线，
而，
故当时，取得最大值.
故选：D.
例题2．(2023·江西赣州·高二阶段练习（文））设等差数列的前项和为，且，，则当最大时，（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
答案：B
【详解】由可得，即，
由可得，即，
故，则数列的前1011项为正数，从第1012项为负数的递减数列，
故当最大时，1011，
故选：B
例题3．（多选）(2023·重庆·西南大学附中高二期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递减数列
C．当时，取得最大值D．当时，的最小值为14
答案：BD
【详解】解：因为，且，所以，
所以公差，
故数列单调递减，即选项B正确，A错误；
因为且，所以时，取得最大值，故C错误；
因为， ，
所以当时，的最小值为14，即选项D正确．
故选：BD．
例题4．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知等差数列的前项和为，且，则使取得最大值的为__________．
答案：7
【详解】由题意，则，，
故，等差数列，当时，取得最大值
故答案为：7
例题5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差数列，，其前5项和.
(1)求的通项； (2)求前项和的最大值.
答案：(1)
(2)
(1)为等差数列，，，.又，即，解得，故，即
(2)因为，随着的增大而减小，且，，故当或时，有最大值.
例题6．(2023·全国·高二）设等差数列的前项和为，已知，且，.
（1）求公差的取值范围；
（2）问前几项的和最大，并说明理由.
答案：（1）；（2）数列前6项和最大，理由见解析.
【详解】（1）∵a3=12，∴a1=12-2d，
∵S12>0，S13<0，∴，所以，
所以.
（2）∵S12>0，S13<0，所以，所以，
所以，所以，
又，所以数列前6项为正数，从第7项起为负数.
∴数列前6项和最大.
同类题型归类练
1．（多选）(2023·河北·石家庄二中高二期末）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．公差B．
C．是各项中最大的项D．是中最大的值
答案：ABD
【详解】由得：，
所以，且各项中最大的项为，故A正确，C错误；
，所以，故B正确；
因为，等差数列递减，所以最大，故D正确；
故选：ABD
2．（多选）(2023·广东·翠园中学高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列判断正确的是（ ）
A．，B．，
C．数列中绝对值最小的项是D．的最大值是
答案：BCD
【详解】因为，所以
又因为，所以，所以.
所以等差数列的，为递减数列，所以，故B正确，A错误.
所以的最大值是，故D正确.
因为，结合数列等差数列单调性，所以，即，所以数列中绝对值最小的项是，故C正确.
故选：BCD
3．（多选）(2023·广东·南海中学高二阶段练习）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）．
A．数列是递增数列B．
C．D．，，…，中最大的是
答案：BCD
【详解】对于A、C：因为，
且，
所以，，又因为，
所以，解得；
所以等差数列是递减数列，
即选项A错误，选项C正确；
对于B：因为，所以，
即选项C正确；
对于选项D：因为等差数列是递减数列，
且，，则，
所以，
即选项D正确.
故选：BCD.
4．(2023·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．
答案：22
【详解】由已知，为等差数列的前n项和，，所以，
而，所以，所以，
，所以，而，所以，所，
，所以，而，所以，所以，
，，，所以满足的最大的正整数n的值为22.
故答案为：22.
5．(2023·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知数列为等差数列，公差，，是数列的前n项和.
(1)求通项；
(2)当n为多少时，有最小值？最小值是多少？
答案：(1)
(2)当时，有最小值且最小值为.
(1)，故，
故即.
(2)当时，，当时，，当时，，
故当时，有最小值且最小值为.
6．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，已知，，.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.
答案：（1）；（2）最大.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，首项为，则，
由，，可得 ，即 ，，
故公差的取值范围为；
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，所以，由上可得，
又，所以数列为递减数列，
故中最大.
重点题型五：求数列的前项和问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前项和．
答案：
【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，．
所以．
由得，即数列的前5项为正，其余各项为负．
数列的前n项和．
所以当时，；
当时，
，
即．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
答案：(1)
(2)8960
（1）设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知：，解得所以
（2）由（1）知：当 时，，当 时，所以
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
答案：(1)
(2)当时，当时
（1）选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，选①③，无法确定数列.
（2），其中,当，时，当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.
同类题型归类练
1．(2023·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
答案：(1)；
(2).
(1)由，则，
由，则，
所以，即，故，
则.
(2)由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
2．(2023·吉林·东北师大附中高二阶段练习）已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
答案：(1)；
(2).
(1)设等差数列的公差为，则，
.
(2)由（1）得：，；
令，解得：；
当，时，；当，时，；
.
3．(2023·四川省遂宁市第二中学校高一期中（文））已知数列是等差数列，公差为，为数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前项和.
答案：(1)
(2)Tn=
(1)
解法一 ∵{an}是等差数列，公差为d，
且a1+a7=-2，S3=15，∴解得a1=8，d=-3，
∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).
解法二 ∵{an}是等差数列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.
∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.
∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，
∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).
(2)
令an≥0，则-3n+11≥0，∴3n≤11，∴n≤，又n∈N*，
∴当n≤3时，an>0;当n≥4时，an<0.
∵a1=8，an=-3n+11，
∴当n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=，
当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-，
∴Tn=
重点题型六：数列求和
角度1：倒序相加法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）设数列的通项公式为，该数列的前项和为，则______.
答案：
【详解】，.
，又，
两式相加得，因此，.
故答案为.
例题2．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】解：因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习（文））设，
A．4B．5C．6D．10
答案：B
【详解】由于，故原式.
2．(2023·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
答案：C
【详解】令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C．
角度2：裂项相消法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
答案：A
，
.
故选：A.
例题2．(2023·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.
答案：
【详解】设数列的前项和为，因为，
所以，，解得.
故答案为：.
例题3．(2023·河南开封·高二期末（理））已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】因为数列中，，所以，所以，所以．因为，所以，
所以．因为数列是递增数列，当时，，当时，，，所以，所以的取值范围为．
故选：A．
例题4．(2023·湖南师大附中高三阶段练习）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）由题意得：，
三点共线，则，可得，即.
数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.
（2），
所以
同类题型归类练
1．(2023·江苏南通·高一开学考试）计算的值为______.
答案：
【详解】，
故答案为：
2．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：
(2)当时，求证：.
答案：(1)证明见解析，
(2)证明见解析
（1）∵（且），
当时，，
，
又，所以，
，
数列是以为首项，公差为1的等差数列，
，所以.
当时，，
又满足上式，
数列的通项公式为.
（2）当时，，
故
所以对，都有.
重点题型七：数列求和在传统文化中的应用
典型例题
1．(2023·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤
答案：D
【详解】设8个儿子依次分绵斤，斤，斤，…，斤，
则数列是公差为17的等差数列，
因为绵的总重量为996斤，
所以，
解得，
则第八个儿子分到的绵．
故选：D．
2．(2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列各项之和为（ ）
A．1666B．1676C．1757D．2646
答案：A
【详解】由题意可知既是4的倍数，又是6的倍数，即是12的倍数，因此数列是以2为首项，以12为公差的等差数列，所以．又，，所以该数列有17项，各项之和为．
故选：A.
3．(2023·山东济南·三模）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（ ）
A．91B．169C．175D．180
答案：C
【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为.
故选：C
4．(2023·全国·高二课时练习）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根，现将它们堆放在一起．
(1)若堆放成纵截面为正三角形（每一层比上一层多1根），如图1所示，并使剩余的圆钢尽可能少，则剩余了多少根圆钢？
(2)若堆成纵截面为等腰梯形（每一层比上一层多1根），如图2所示，圆钢无剩余且堆放不少于七层，共有几种不同的堆放方案？
答案：(1)当时，能使剩余的圆钢尽可能少，此时剩余的圆钢为56（根）
(2)共有4种堆放方案
（1）设共堆放n层．由题意可知，从上到下，第一层放1根，第二层放2根，第3层放3根，……，第n层放n根，所以n层共堆放圆钢的根数为．又当时，，当时，，所以当时，能使剩余的圆钢尽可能少，此时剩余的圆钢为（根）．
（2）当纵截面为等腰梯形时，设共堆放m层，最上一层圆钢根数为x，则从上到下每层圆钢根数构成了以x为首项，1为公差的等差数列，，所以．因为与m的奇偶性不同，所以与m的奇偶性也不同，且．从而由上述等式，得或或或．所以共有4种堆放方案．
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2023·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
答案：C
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
2．（2023·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
答案：
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
3．(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
答案：(1)
(2)见解析
（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
4．（2023·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.
答案：140里.
【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，
所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，
设该数列为，第1天走的路程数为首项，公差为，
则，.
因为，，
所以，解得，
则，
所以该男子第5天走140里.
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列前项和公式及其应用
重点题型二：利用等差数列前项和公式判断
重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
重点题型四：等差数列前项和的最值问题
重点题型五：求数列的前项和问题
重点题型六：数列求和
角度1：倒序相加法
角度2：裂项相消法
重点题型七：数列求和在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等差数列的前项和公式
1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式
2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式
知识点二：等差数列前项和公式的函数特征
等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
知识点三：等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则
，，，
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·四川绵阳·高一期末）记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．(2023·四川省成都市第八中学校高一开学考试）将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层……，则第层正方体的个数是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
4．(2023·全国·高二课时练习）已知，则______．
5．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列的前项和，则__________.
6．(2023·全国·高三专题练习（文））已知等差数列的前n项和为，若，，则___________．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列前项和公式及其应用
典型例题
例题1．(2023·安徽·高三开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·全国·高二课时练习）设数列是等差数列，公差，为其前项和，若，则首项（ ）
A．8B．10C．20D．30
例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
例题4．(2023·四川成都·高一期中）设是等差数列的前项和，若，．
(1)求数列的通项公式； (2)求．
同类题型归类练
1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
2．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）.
A．110B．120C．130D．140
3．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差数列中，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，若，求n的值．
重点题型二：利用等差数列前项和公式判断
典型例题
例题1．(2023·北京市第三中学高二期中）已知数列的前项和公式为，则数列（ ）
A．是公差为2的等差数列B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知一个数列的前项和．
(1)当时，求证：该数列是等差数列；
(2)若数列是等差数列，求满足条件．
同类题型归类练
1．(2023·北京·一模）已知数列的前项和，则是（ ）
A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列
C．公比为2的等比数列D．公比为3的等比数列
2．（多选）（2023·江苏·高二专题练习）下列条件中能确定数列为等差数列的有（ ）
A．b为常数，
B．为常数，
C．
D．前n项和（A，B，C为常数，）
重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
典型例题
例题1．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
例题2．(2023·全国·高二课时练习）设是等差数列的前项和为，若，，则______．
例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））设等差数列的前项和为，已知，，则___________.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20B．30C．40D．50
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列的前n项和为．若，，则_____．
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前项和，为的前项和，且，则______．
例题2．(2023·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的项和分别为，.若对于任意的正整数都有，则（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二专题练习）两个等差数列和,其前项和分别为且,则等于（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则___________.（2）若，则___________.
重点题型四：等差数列前项和的最值问题
典型例题
例题1．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A．B．52C．54D．55
例题2．(2023·江西赣州·高二阶段练习（文））设等差数列的前项和为，且，，则当最大时，（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
例题3．（多选）(2023·重庆·西南大学附中高二期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递减数列
C．当时，取得最大值D．当时，的最小值为14
例题4．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知等差数列的前项和为，且，则使取得最大值的为__________．
例题5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差数列，，其前5项和.
(1)求的通项； (2)求前项和的最大值.
例题6．(2023·全国·高二）设等差数列的前项和为，已知，且，.
（1）求公差的取值范围；
（2）问前几项的和最大，并说明理由.
同类题型归类练
1．（多选）(2023·河北·石家庄二中高二期末）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．公差B．
C．是各项中最大的项D．是中最大的值
2．（多选）(2023·广东·翠园中学高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列判断正确的是（ ）
A．，B．，
C．数列中绝对值最小的项是D．的最大值是
3．（多选）(2023·广东·南海中学高二阶段练习）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）．
A．数列是递增数列B．
C．D．，，…，中最大的是
4．(2023·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．
5．(2023·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知数列为等差数列，公差，，是数列的前n项和.
(1)求通项；
(2)当n为多少时，有最小值？最小值是多少？
6．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，已知，，.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.
重点题型五：求数列的前项和问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前项和．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
同类题型归类练
1．(2023·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
2．(2023·吉林·东北师大附中高二阶段练习）已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
3．(2023·四川省遂宁市第二中学校高一期中（文））已知数列是等差数列，公差为，为数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前项和.
重点题型六：数列求和
角度1：倒序相加法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）设数列的通项公式为，该数列的前项和为，则______.
例题2．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习（文））设，
A．4B．5C．6D．10
2．(2023·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
角度2：裂项相消法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.
例题3．(2023·河南开封·高二期末（理））已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题4．(2023·湖南师大附中高三阶段练习）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
同类题型归类练
1．(2023·江苏南通·高一开学考试）计算的值为______.
2．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：
(2)当时，求证：.
重点题型七：数列求和在传统文化中的应用
典型例题
1．(2023·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤
2．(2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列各项之和为（ ）
A．1666B．1676C．1757D．2646
3．(2023·山东济南·三模）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（ ）
A．91B．169C．175D．180
4．(2023·全国·高二课时练习）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根，现将它们堆放在一起．
(1)若堆放成纵截面为正三角形（每一层比上一层多1根），如图1所示，并使剩余的圆钢尽可能少，则剩余了多少根圆钢？
(2)若堆成纵截面为等腰梯形（每一层比上一层多1根），如图2所示，圆钢无剩余且堆放不少于七层，共有几种不同的堆放方案？
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2023·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（2023·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
3．(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．（2023·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.
4.2.2等差数列的前项和公式（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列前项和公式及其应用
重点题型二：利用等差数列前项和公式判断
重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
重点题型四：等差数列前项和的最值问题
重点题型五：求数列的前项和问题
重点题型六：数列求和
角度1：倒序相加法
角度2：裂项相消法
重点题型七：数列求和在传统文化中的应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：等差数列的前项和公式
1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式
2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式
知识点二：等差数列前项和公式的函数特征
等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
知识点三：等差数列前项和性质
(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为
(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列
(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则
(4)若等差数列的项数为,则
，。
(5)若等差数列的项数为,则
，，，
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·四川绵阳·高一期末）记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
答案：C
【详解】由得
故选：C
2．(2023·四川省成都市第八中学校高一开学考试）将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层……，则第层正方体的个数是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】观察可得，第层正方体的个数为，第层正方体的个数为，比第层多个；第层正方体的个数为，比第层多个；...
可得，每一层比上一层多的个数依次为 ;
故第层正方体的个数.
故选：A
3．(2023·全国·高二课时练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
答案：C
【详解】设等差数列的首项和公差分别为，则，
所以可看成关于n的二次函数，
由二次函数的对称性及，，
可得，解得k＝2022．
故选：C
4．(2023·全国·高二课时练习）已知，则______．
答案：100
【详解】由可知是一个等差数列，且公差为，首项为19，
所以，
故答案为：100
5．(2023·浙江·高三开学考试）已知数列的前项和，则__________.
答案：11
【详解】解：因为数列的前项和，所以；
故答案为：
6．(2023·全国·高三专题练习（文））已知等差数列的前n项和为，若，，则___________．
答案：6061
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，
则
解得：，，
所以．
故答案为：6061
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差数列前项和公式及其应用
典型例题
例题1．(2023·安徽·高三开学考试）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】由题意，设数列公差为，因为，
解得，所以.
故选：B.
例题2．(2023·全国·高二课时练习）设数列是等差数列，公差，为其前项和，若，则首项（ ）
A．8B．10C．20D．30
答案：B
【详解】解：由题意，即，化简得．
故选：B．
例题3．(2023·全国·高二课时练习）已知在等差数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】因为是等差数列，，，
所以，解得，
则，，
，，，…，构成首项为，公差为9的等差数列，
则.
故选：A．
例题4．(2023·四川成都·高一期中）设是等差数列的前项和，若，．
(1)求数列的通项公式； (2)求．
答案：(1)或
(2)或
(1)
解：设等差数列的公差为，
由可得，解得或，
当时，；
当时，.
(2)
解：当时，，则；
当时，.
同类题型归类练
1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
答案：C
【详解】，
，则.
故选：C
2．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（ ）.
A．110B．120C．130D．140
答案：C
【详解】解：设公差为d，则
，所以，
所以.
故选：C
3．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差数列中，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，若，求n的值．
答案：(1)
(2)12
(1)由题意得，得
故．
(2)因为的前n项和为，所以，
整理得（3n＋7）（n－12）＝0﹐故（舍去）或n＝12．
重点题型二：利用等差数列前项和公式判断
典型例题
例题1．(2023·北京市第三中学高二期中）已知数列的前项和公式为，则数列（ ）
A．是公差为2的等差数列B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列
答案：A
【详解】当时，，当时，，也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公差为的等差数列，不是等比数列.
故选：A
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知一个数列的前项和．
(1)当时，求证：该数列是等差数列；
(2)若数列是等差数列，求满足条件．
答案：(1)证明见解析
(2)
(1)当时，，令，，
所以时，
，
所以，
此时，
所以，
所以，
可得数列是公差为的等差数列.
(2)
，
令，得，
所以时，
，
所以，
所以，
可得时，数列是公差为的等差数列，
若数列是等差数列，则，
所以．
同类题型归类练
1．(2023·北京·一模）已知数列的前项和，则是（ ）
A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列
C．公比为2的等比数列D．公比为3的等比数列
答案：A
【详解】因为，
所以当时，有，
，得，
当时，适合上式，
因为，
所以该数列是以2为公差的等差数列，
故选：A
2．（多选）（2023·江苏·高二专题练习）下列条件中能确定数列为等差数列的有（ ）
A．b为常数，
B．为常数，
C．
D．前n项和（A，B，C为常数，）
答案：AC
【详解】A选项，b为常数，，
，所以是等差数列，故A正确；
B选项，为常数，，不一定符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，如，故B错误；
C选项， ，对于数列的关系式符合等差中项的形式，所以是等差数列，故C正确；
D选项，前n项和（A，B，C为常数，），
则当时，，
两式相减得，
当时，，当且仅当时，满足上式，
且当时，，此时是等差数列，
所以不一定是等差数列，故D错误．
故选：AC．
重点题型三：等差数列前项和的性质及其应用
角度1：等差数列片段和性质
典型例题
例题1．(2023·江苏省镇江中学高二开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（ ）．
A．27B．45C．18D．36
答案：B
【详解】由已知，，，即6，15，成等差数列，
所以，所以，
故选：B．
例题2．(2023·全国·高二课时练习）设是等差数列的前项和为，若，，则______．
答案：2
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以，
故答案为：2
例题3．(2023·全国·高三专题练习（文））设等差数列的前项和为，已知，，则___________.
答案：48
【详解】因为等差数列的前项和为，
所以成等差数列，
所以，
因为，，
所以，解得，
故答案为：48
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20B．30C．40D．50
答案：B
【详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，
解得．
故选：B．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列的前n项和为．若，，则_____．
答案：42
【详解】解：在等差数列中，，，成等差数列，即7，14，成等差数列，
所以，解得．
故答案为：42．
角度2：比值问题（含同角标和不同角标）
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前项和，为的前项和，且，则______．
答案：2
【详解】因为、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，
所以，
故答案为：2
例题2．(2023·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】在等差数列中，由，得，
故选：B
例题3．(2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的项和分别为，.若对于任意的正整数都有，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】设，，.则，，所以.
故选：B.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二专题练习）两个等差数列和,其前项和分别为且,则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】=.
故选：D.
2．(2023·陕西·西安工业大学附中高一阶段练习）有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则___________.（2）若，则___________.
答案：
【详解】若，则；
若，则可设，
所以，，
所以，
故答案为：；
重点题型四：等差数列前项和的最值问题
典型例题
例题1．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ）
A．B．52C．54D．55
答案：D
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
故.
又函数的对称轴为直线，
而，
故当时，取得最大值.
故选：D.
例题2．(2023·江西赣州·高二阶段练习（文））设等差数列的前项和为，且，，则当最大时，（ ）
A．1010B．1011C．1012D．1013
答案：B
【详解】由可得，即，
由可得，即，
故，则数列的前1011项为正数，从第1012项为负数的递减数列，
故当最大时，1011，
故选：B
例题3．（多选）(2023·重庆·西南大学附中高二期中）已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递减数列
C．当时，取得最大值D．当时，的最小值为14
答案：BD
【详解】解：因为，且，所以，
所以公差，
故数列单调递减，即选项B正确，A错误；
因为且，所以时，取得最大值，故C错误；
因为， ，
所以当时，的最小值为14，即选项D正确．
故选：BD．
例题4．(2023·福建·厦门外国语学校高二期末）已知等差数列的前项和为，且，则使取得最大值的为__________．
答案：7
【详解】由题意，则，，
故，等差数列，当时，取得最大值
故答案为：7
例题5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差数列，，其前5项和.
(1)求的通项； (2)求前项和的最大值.
答案：(1)
(2)
(1)为等差数列，，，.又，即，解得，故，即
(2)因为，随着的增大而减小，且，，故当或时，有最大值.
例题6．(2023·全国·高二）设等差数列的前项和为，已知，且，.
（1）求公差的取值范围；
（2）问前几项的和最大，并说明理由.
答案：（1）；（2）数列前6项和最大，理由见解析.
【详解】（1）∵a3=12，∴a1=12-2d，
∵S12>0，S13<0，∴，所以，
所以.
（2）∵S12>0，S13<0，所以，所以，
所以，所以，
又，所以数列前6项为正数，从第7项起为负数.
∴数列前6项和最大.
同类题型归类练
1．（多选）(2023·河北·石家庄二中高二期末）等差数列中，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．公差B．
C．是各项中最大的项D．是中最大的值
答案：ABD
【详解】由得：，
所以，且各项中最大的项为，故A正确，C错误；
，所以，故B正确；
因为，等差数列递减，所以最大，故D正确；
故选：ABD
2．（多选）(2023·广东·翠园中学高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列判断正确的是（ ）
A．，B．，
C．数列中绝对值最小的项是D．的最大值是
答案：BCD
【详解】因为，所以
又因为，所以，所以.
所以等差数列的，为递减数列，所以，故B正确，A错误.
所以的最大值是，故D正确.
因为，结合数列等差数列单调性，所以，即，所以数列中绝对值最小的项是，故C正确.
故选：BCD
3．（多选）(2023·广东·南海中学高二阶段练习）设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）．
A．数列是递增数列B．
C．D．，，…，中最大的是
答案：BCD
【详解】对于A、C：因为，
且，
所以，，又因为，
所以，解得；
所以等差数列是递减数列，
即选项A错误，选项C正确；
对于B：因为，所以，
即选项C正确；
对于选项D：因为等差数列是递减数列，
且，，则，
所以，
即选项D正确.
故选：BCD.
4．(2023·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为__________．
答案：22
【详解】由已知，为等差数列的前n项和，，所以，
而，所以，所以，
，所以，而，所以，所，
，所以，而，所以，所以，
，，，所以满足的最大的正整数n的值为22.
故答案为：22.
5．(2023·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知数列为等差数列，公差，，是数列的前n项和.
(1)求通项；
(2)当n为多少时，有最小值？最小值是多少？
答案：(1)
(2)当时，有最小值且最小值为.
(1)，故，
故即.
(2)当时，，当时，，当时，，
故当时，有最小值且最小值为.
6．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，已知，，.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.
答案：（1）；（2）最大.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，首项为，则，
由，，可得 ，即 ，，
故公差的取值范围为；
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，所以，由上可得，
又，所以数列为递减数列，
故中最大.
重点题型五：求数列的前项和问题
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前项和．
答案：
【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，．
所以．
由得，即数列的前5项为正，其余各项为负．
数列的前n项和．
所以当时，；
当时，
，
即．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值．
答案：(1)
(2)8960
（1）设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知：，解得所以
（2）由（1）知：当 时，，当 时，所以
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．
（条件①：； 条件②：； 条件③：.）
选择条件 和 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，并求数列的前项的和
答案：(1)
(2)当时，当时
（1）选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，选①③，无法确定数列.
（2），其中,当，时，当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.
同类题型归类练
1．(2023·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
答案：(1)；
(2).
(1)由，则，
由，则，
所以，即，故，
则.
(2)由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
2．(2023·吉林·东北师大附中高二阶段练习）已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
答案：(1)；
(2).
(1)设等差数列的公差为，则，
.
(2)由（1）得：，；
令，解得：；
当，时，；当，时，；
.
3．(2023·四川省遂宁市第二中学校高一期中（文））已知数列是等差数列，公差为，为数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的前项和.
答案：(1)
(2)Tn=
(1)
解法一 ∵{an}是等差数列，公差为d，
且a1+a7=-2，S3=15，∴解得a1=8，d=-3，
∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).
解法二 ∵{an}是等差数列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.
∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.
∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，
∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).
(2)
令an≥0，则-3n+11≥0，∴3n≤11，∴n≤，又n∈N*，
∴当n≤3时，an>0;当n≥4时，an<0.
∵a1=8，an=-3n+11，
∴当n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=，
当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-，
∴Tn=
重点题型六：数列求和
角度1：倒序相加法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二单元测试）设数列的通项公式为，该数列的前项和为，则______.
答案：
【详解】，.
，又，
两式相加得，因此，.
故答案为.
例题2．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】解：因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习（文））设，
A．4B．5C．6D．10
答案：B
【详解】由于，故原式.
2．(2023·江西九江·高二期末（文））德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
答案：C
【详解】令，
，
两式相加得：
，
∴，
故选:C．
角度2：裂项相消法
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
答案：A
，
.
故选：A.
例题2．(2023·四川广安·模拟预测（理））数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则_______.
答案：
【详解】设数列的前项和为，因为，
所以，，解得.
故答案为：.
例题3．(2023·河南开封·高二期末（理））已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】因为数列中，，所以，所以，所以．因为，所以，
所以．因为数列是递增数列，当时，，当时，，，所以，所以的取值范围为．
故选：A．
例题4．(2023·湖南师大附中高三阶段练习）已知数列中为直角坐标平面上的点.对任意三点共线.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）由题意得：，
三点共线，则，可得，即.
数列是首项为1公差为1的等差数列，所以.
（2），
所以
同类题型归类练
1．(2023·江苏南通·高一开学考试）计算的值为______.
答案：
【详解】，
故答案为：
2．(2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，（且）.
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式：
(2)当时，求证：.
答案：(1)证明见解析，
(2)证明见解析
（1）∵（且），
当时，，
，
又，所以，
，
数列是以为首项，公差为1的等差数列，
，所以.
当时，，
又满足上式，
数列的通项公式为.
（2）当时，，
故
所以对，都有.
重点题型七：数列求和在传统文化中的应用
典型例题
1．(2023·全国·高三专题练习）在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（ ）
A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤
答案：D
【详解】设8个儿子依次分绵斤，斤，斤，…，斤，
则数列是公差为17的等差数列，
因为绵的总重量为996斤，
所以，
解得，
则第八个儿子分到的绵．
故选：D．
2．(2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列各项之和为（ ）
A．1666B．1676C．1757D．2646
答案：A
【详解】由题意可知既是4的倍数，又是6的倍数，即是12的倍数，因此数列是以2为首项，以12为公差的等差数列，所以．又，，所以该数列有17项，各项之和为．
故选：A.
3．(2023·山东济南·三模）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（ ）
A．91B．169C．175D．180
答案：C
【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为.
故选：C
4．(2023·全国·高二课时练习）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根，现将它们堆放在一起．
(1)若堆放成纵截面为正三角形（每一层比上一层多1根），如图1所示，并使剩余的圆钢尽可能少，则剩余了多少根圆钢？
(2)若堆成纵截面为等腰梯形（每一层比上一层多1根），如图2所示，圆钢无剩余且堆放不少于七层，共有几种不同的堆放方案？
答案：(1)当时，能使剩余的圆钢尽可能少，此时剩余的圆钢为56（根）
(2)共有4种堆放方案
（1）设共堆放n层．由题意可知，从上到下，第一层放1根，第二层放2根，第3层放3根，……，第n层放n根，所以n层共堆放圆钢的根数为．又当时，，当时，，所以当时，能使剩余的圆钢尽可能少，此时剩余的圆钢为（根）．
（2）当纵截面为等腰梯形时，设共堆放m层，最上一层圆钢根数为x，则从上到下每层圆钢根数构成了以x为首项，1为公差的等差数列，，所以．因为与m的奇偶性不同，所以与m的奇偶性也不同，且．从而由上述等式，得或或或．所以共有4种堆放方案．
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2023·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
答案：C
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
2．（2023·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
答案：
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
3．(2023·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
答案：(1)
(2)见解析
（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
4．（2023·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.
答案：140里.
【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，
所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，
设该数列为，第1天走的路程数为首项，公差为，
则，.
因为，，
所以，解得，
则，
所以该男子第5天走140里.
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