2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.1等比数列的概念(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.1等比数列的概念(精练)(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A．B．C．3D．
2．(2023·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
3．(2023·河南·三模（理））在等比数列中，，，则( )
A．80B．242C．D．244
4．(2023·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝（ ）
A．10B．25C．5D．15
7．(2023·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
8．(2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·湖北十堰·三模）已知函数，则( )
A．，，成等差数列B．，，成等差数列
C．，，成等比数列D．，，成等比数列
10．(2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A．B．当时，最小
C．当时，最小D．存在，使得
三、填空题
11．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
12．(2023·辽宁抚顺·一模）设数列的前n项和为，且，若，则k的值为________.
四、解答题
13．(2023·重庆长寿·高二期末）已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．
14．(2023·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．
B能力提升
15．(2023·吉林长春·模拟预测（文））已知数列中，，．
(1)证明：数列为等比数列；
16．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)写出该数列的前项；
(2)求数列的通项公式.
C综合素养
17．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若、分别为等差数列的第3项和第5项，问是不是数列中的项？若是，求出是第几项；若不是，说明理由，
18．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的首项，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
4.3.1等比数列的概念（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A．B．C．3D．
答案：D
【详解】解：因为等比数列的公比，
所以．
故选：D
2．(2023·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．3D．
答案：D
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
所以，
化为：，解得．
故选：D
3．(2023·河南·三模（理））在等比数列中，，，则( )
A．80B．242C．D．244
答案：B
【详解】等比数列的公比，
∴，
∴．
故选：B．
4．(2023·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；
由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；
若，，，为，则不为等比数列，③不符合；
故选：B
5．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【详解】令，则，
又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，得．
故选：C．
6．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝（ ）
A．10B．25C．5D．15
答案：C
【详解】因为是等比数列，，
所以，即，
因为，
所以.
故选：C
7．(2023·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，
标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，
因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.
故选：D
8．(2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】因为数列的前项和满足，
所以当n=1时，有.不合题意；所以，解得：；
当时，.，解得：.
设，解得：，可得：，
所以是公比为，首项的等比数列，
所以，所以.
经检验，对n=1也成立.
若存在，使得，则数列不单调.
只需，则正负项交替出现，符合题意，此时.
当时，单调递增，不符合题意；
当时，单调递减，不符合题意；
而.
综上所述：.
故选：A
二、多选题
9．(2023·湖北十堰·三模）已知函数，则( )
A．，，成等差数列B．，，成等差数列
C．，，成等比数列D．，，成等比数列
答案：ABD
【详解】A：，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B：，，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C：，，
则，，成等差数列，又，所以C错误；
D：，，，
则，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.
故选：ABD.
10．(2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A．B．当时，最小
C．当时，最小D．存在，使得
答案：AC
【详解】对A，∵，，∴，又，，
∴，
故A正确.
对B，C，由等比数列的性质，，
故，，∵，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.
故选：AC
三、填空题
11．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
答案：
【详解】
∵，即，则
又∵，即，则
∵，则，∴，则
∴
故答案为：．
12．(2023·辽宁抚顺·一模）设数列的前n项和为，且，若，则k的值为________.
答案：4
【详解】因为①，
所以当时，解得
又②，
两式①②相减可得，即，而a1-6=5不为零，
所以，即，
所以是以5为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
因为，
所以，
所以，且，解得k=4，
故答案为：4
四、解答题
13．(2023·重庆长寿·高二期末）已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．
答案：(1)
(2)或
(1)设等差数列首项为，公差为d．
∵
∴
解得：
∴等差数列通项公式
(2)设等比数列首项为，公比为q
∵
∴
解得：
即或
∴等比数列通项公式或
14．(2023·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．
答案：2，4，8，12或，，，
【详解】设四个数依次为、、、．
则，解得或．
故所求的四个位数依次为2，4，8，12或，，，．
B能力提升
15．(2023·吉林长春·模拟预测（文））已知数列中，，．
(1)证明：数列为等比数列；
答案：(1)证明见解析
(1)证明：因为，，
所以，又，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
16．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)写出该数列的前项；
(2)求数列的通项公式.
答案：(1)，，，，
(2)
（1），
，，，.
（2）由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
.
C综合素养
17．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若、分别为等差数列的第3项和第5项，问是不是数列中的项？若是，求出是第几项；若不是，说明理由，
答案：(1)
(2)是，第45项
（1）设数列的公比为，则，得，
所以；
（2）设等差数列的公差为，
,,
则，
所以
因为，
所以是数列中第45项
18．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的首项，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
答案：(1)证明见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
（1）因为，所以，
即，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）可求得，
所以，即．
（3）假设存在，则，，
即，化简得．
因为，当且仅当时等号成立．
又因为m，n，s互不相等，所以不存在．