2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.2等比数列的前n项和公式(精练)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.2等比数列的前n项和公式(精练)(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了(2023·四川·模拟预测，(2023·陕西宝鸡·二模，(2023·河南安阳·模拟预测等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
1．(2023·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31B．C．D．63
2．(2023·四川·模拟预测（文））已知为数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·陕西宝鸡·二模（文））已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（ ）
A．1B．2
C．或1D．或2
4．(2023·河南安阳·模拟预测（文））已知等比数列的前n项和，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（ ）年其投入资金开始超过万元.
（参考数据：，，）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，公比，若，的最小值为31，则的值为（ ）
A．B．C．155D．
7．(2023·辽宁·模拟预测）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则n的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．(2023·全国·模拟预测）公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记，数列的前n项和为，则（ ）
A．-1B．0C．2021D．2022
二、多选题
9．(2023·湖南·高二期中）已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．若数列是正项等比数列，则数列是等差数列
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
10．(2023·湖南·高三开学考试）树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第天募得的捐款数为元.若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（ ）
A．
B．甲小组募得捐款为9550元
C．从第7天起，总有
D．且
三、填空题
11．(2023·广西河池·高二期末（理））观察如图的数阵，根据数阵排列的规律，则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是__________.
12．(2023·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）
①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．
四、解答题
13．(2023·全国·高二课时练习）设等比数列的前n项和为．
(1)若公比，，，求n；
(2)若，求公比q．
14．(2023·广东佛山·高二期中）已知等差数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
B能力提升
15．(2023·内蒙古包头·高三期末（理））已知数列满足，.
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前12项和.
16．(2023·山东·高三开学考试）设为数列的前n项和，是首项为1，公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前n项和.
C综合素养
17．(2023·全国·高二专题练习）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求．
18．(2023·河北邢台·高三开学考试）数列的前n项积.数列的前n项和.
(1)求数列、的通项公式.
(2)求数列的前n项和.
4.3.2等比数列的前n项和公式（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
1．(2023·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31B．C．D．63
答案：C
【详解】∵成等差数列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故选：C.
2．(2023·四川·模拟预测（文））已知为数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】因为，所以数列为等比数列，公比，
所以，解得：，
所以
故选：D
3．(2023·陕西宝鸡·二模（文））已知数列是公比为q的等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是（ ）
A．1B．2
C．或1D．或2
答案：A
【详解】由解得.
因为是与2的等差中项，所以.
把代入得：，
消去得：，解得.
故选：A．
4．(2023·河南安阳·模拟预测（文））已知等比数列的前n项和，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】当时，，
当时，
，
因为数列为等比数列，
所以，得，
所以，
故选：A
5．(2023·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（ ）年其投入资金开始超过万元.
（参考数据：，，）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】设该公司经过年投入的资金为万元，则，
由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，由可得，
因此，该公司需经过年其投入资金开始超过万元.
故选：C.
6．(2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，公比，若，的最小值为31，则的值为（ ）
A．B．C．155D．
答案：D
【详解】由题可得，，
令，则，
又，故，因此，
即，易知当时，有最大值，
为，所以的最小值为，所以，解得.
故选：D．
7．(2023·辽宁·模拟预测）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则n的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：C
【详解】解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为，第2代“勾股树”中，正方形的个数为，…，
以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，即，
所以，
因为，所以数列为递增数列，
又，，
所以n的最小值为9．
故选：C．
8．(2023·全国·模拟预测）公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记，数列的前n项和为，则（ ）
A．-1B．0C．2021D．2022
答案：B
【详解】解：由题意可知，
又，因此，
故，
故选：B.
二、多选题
9．(2023·湖南·高二期中）已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．若数列是正项等比数列，则数列是等差数列
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
答案：AC
【详解】A：不妨设正项等比数列的通项公式，
则，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故A正确；
B：因为，
所以，即，
解得或．故B不正确；
C：若，，则，
注意到，所以，所以C正确；
D：由得，
所以，
当时，，，所以D不正确．
故选：AC.
10．(2023·湖南·高三开学考试）树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第天募得的捐款数为元.若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（ ）
A．
B．甲小组募得捐款为9550元
C．从第7天起，总有
D．且
答案：AC
【详解】由题可知且，
设代表第天甲小组募得捐款，且，
对于甲小组，，
所以，所以，
所以且，
所以，故选项B不正确；
设代表第天乙小组募得捐款，由题可知，，
所以
，
，故选项D错误；
因为，故该选项A正确；
选项C，令，所以，
而当时，，
所以数列为递增数列，因此，所以，故选项C正确.
故选：AC
三、填空题
11．(2023·广西河池·高二期末（理））观察如图的数阵，根据数阵排列的规律，则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是__________.
答案：1041
【详解】该数阵是由从1开始的正奇数构成的，
第1行有个数，第2行有个数，第3行有个数，
第4行有个数，故第行有个数，故第1行到第9行共有（个）数，
则该数阵中第10行，从左往右数的第10个数是从1开始的第个奇数，
故该数为.
故答案为：1041
12．(2023·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）
①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．
答案：②④
【详解】由，两边都除以，可得，即，又，故，所以是首项为4公比为2的等比数列，故①错误；
所以，解得，所以为严格递增数列，故②正确；
的前n项和，
，
两式相减得，
所以，故③错误；
由可得，所以的前n项和，故④正确．
故答案为：②④.
四、解答题
13．(2023·全国·高二课时练习）设等比数列的前n项和为．
(1)若公比，，，求n；
(2)若，求公比q．
答案：(1)6
(2)1或
（1）依题意，
由于，所以两式相除得，
.
（2）依题意，即，
，解得或.
14．(2023·广东佛山·高二期中）已知等差数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
答案：(1)；
(2).
(1)设公差为，由得，，解得，
∴；
(2)由得，
∴.
B能力提升
15．(2023·内蒙古包头·高三期末（理））已知数列满足，.
(1)记，写出，，并求数列的通项公式；
(2)求的前12项和.
答案：(1)，，
(2)
(1)解：由题意得：
当时，①
当时，②
由② ，即，③
把③ 代入①，得
故，且，，
所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.故.
(2)把① 代入②，得，且
所以数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，故，
于是
.
16．(2023·山东·高三开学考试）设为数列的前n项和，是首项为1，公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)求数列的前n项和.
答案：(1)
(2)
（1）解：因为是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以，
当时，
当时，所以，当时也成立，
所以.
（2）解：由（1）可知，
记数列的前项和为，
所以，
所以，
所以
，
所以.
C综合素养
17．(2023·全国·高二专题练习）从①；②，；③，是，的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
已知等差数列的前n项和为，公差d不等于零，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求．
答案：(1)条件选择见解析，
(2)
（1）选①．
易得，解得：，即，
所以，即，故，
所以．
选②．
易得，所以，
所以．
选③．
易得，即，解得：（舍去），
所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以
．
18．(2023·河北邢台·高三开学考试）数列的前n项积.数列的前n项和.
(1)求数列、的通项公式.
(2)求数列的前n项和.
答案：(1)，，
(2)前n项和为，
（1）前n项积为，
①n＝1时，，
②时，，，
符合上式，∴，，.
的前n项和为，
①n＝1时，，
②时，，
，
符合上式，∴，；
（2）
记前n项和为
①
②
①－②得
∴，