2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)第四章数列章末重点题型大总结(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)第四章数列章末重点题型大总结(精讲)(原卷版+解析)，共51页。
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差与等比数列的基本运算
重点题型二：等差、等比数列的判定
重点题型三：等差、等比数列的性质及应用
重点题型四：数列求通项、求和
第三部分：数学思想与方法
函数方程
分类讨论思想
第一部分：知 识 框 架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差与等比数列的基本运算
典型例题
例题1．(2023·全国·高二期中）在等差数列中，
(1)若，，试判断91是否为此数列中的项；
(2)若，，求.
例题2．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等差数列中，
(1)已知，，求和公差d；
(2)已知，，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
例题3．(2023·全国·高二课时练习）设等比数列的前项和为．
(1)若公比，，，求；
(2)若，求公比．
同类题型归类练
1．(2023·江苏·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，公差，求；
(2)已知公差，，求；
(3)已知，公差，，求n．
2．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等比数列{an}中，
(1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8项和S8；
(2)已知a1＝－， a4＝96，求前4项和S4；
(3)已知公比q＝，前5项和S5＝，求a1， a5.
3．(2023·江苏·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
重点题型二：等差、等比数列的判定
典型例题
例题1．（江西省五市九校协作体2022届高三第一次联考数学（文）试题）已知数列的前项和为且满足，，则______．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）若数列的前项和满足：.
(1)证明：数列为等比数列并求出通项公式；
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）若数列{an}满足an＋1＝,
(1)求证：数列是等差数列；
2．(2023·山东济南·模拟预测）已知正项数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
3．(2023·四川省高县中学校高一阶段练习（文））设数列的前项的和为，点在函数的图象上，数列满足：，，其中．
(1)求数列和的通项公式；
4．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
重点题型三：等差、等比数列的性质及应用
典型例题
例题1．(2023·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知等差数列中，，则该数列前项的和 = （ ）
A．96B．48C．36D．24
例题2．(2023·河南·高三开学考试（文））已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（ ）
A．11B．12C．21D．22
例题3．(2023·四川省南充市第一中学高一期中）设等差数列的前项和为且则（ ）
A．2330B．2130C．2530D．2730
例题4．(2023·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（ ）
A．B．C．D．
例题5．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
例题6．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
例题7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若，，则________.
同类题型归类练
1．(2023·重庆·高三阶段练习）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．9B．12C．15D．16
2．(2023·四川省巴中中学模拟预测（文））设等差数列的前项的和为，若，则（ ）
A．17B．34C．51D．102
3．(2023·四川省广汉中学高二开学考试（理））在等比数列中，，，则等于（ ）
A．81B．C．3D．243
4．(2023·全国·高三专题练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（ ）
A．B．1011
C．D．1012
5．(2023·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A．B．C．12D．15
6．（多选）(2023·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则______．
8．(2023·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.
9．(2023·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
10．(2023·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．
重点题型四：数列求通项、求和
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
例题3．(2023·辽宁鞍山·一模）已知等差数列满足首项为的值，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求及；
(2)若，求数列的前项和．
例题5．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.
例题6．(2023·河北·石家庄二中高二期末）已知等差数列为递增数列，
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和：
(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.
例题7．(2023·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和
例题8．(2023·湖北·高三开学考试）已知数列前项和为，且.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
例题9．(2023·四川泸州·高一期末）已知数列满足，等差数列的前3项和为.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记数列，求数列的前项和.
例题10．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知是数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）设函数，，．则数列的前n项和______．
2．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）设数列的前n项和为，且满足．
(1)求；
(2)设求数列的前n项和．
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
4．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设 ，求数列的前2n项和.
(3)设，，的前n项和，求证：.
5．(2023·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．
设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
6．(2023·山西大附中高三阶段练习）在数列中，，，，其中.
(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；
(2)设，且，数列的前项和为，求；
7．(2023·全国·高三专题练习）从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，___________.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.
8．(2023·湖北·高三期末）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，．
(1)求；
(2)记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和．
第三部分：数 学 思 想 与 方 法
函数方程
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求数列中的最大项．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）记关于的不等式的整数解的个数为，数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意，都有成立，试求实数的取值范围.
同类题型归类练
1．(2023·四川宜宾·高一期末）已知数列的前项和，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在且，使得成立，求实数的最小值．
2．(2023·四川资阳·高一期末）已知数列的前项和为，且，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若（），求实数的取值范围．
分类讨论思想
典型例题
例题1．(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
例题2．(2023·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知等差数列的公差，其前项和为，.
(1)求通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
同类题型归类练
1．(2023·广东广州·高二期末）已知数列的前n项和为
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
2．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和的公式．
第四章 数列 章末总结（精讲）
目录
第一部分：知识框架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差与等比数列的基本运算
重点题型二：等差、等比数列的判定
重点题型三：等差、等比数列的性质及应用
重点题型四：数列求通项、求和
第三部分：数学思想与方法
函数方程
分类讨论思想
第一部分：知 识 框 架
第二部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：等差与等比数列的基本运算
典型例题
例题1．(2023·全国·高二期中）在等差数列中，
(1)若，，试判断91是否为此数列中的项；
(2)若，，求.
答案：(1)是；(2)3.
(1)设{an}的公差为d，
因为解得
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项；
(2)设{an}的公差为d，则解得
∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
例题2．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等差数列中，
(1)已知，，求和公差d；
(2)已知，，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
答案：(1)，；(2)(3)28(4)17.
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，；
(4)，，上两式联立：，，；
故答案为：，，-12，28，17.
例题3．(2023·全国·高二课时练习）设等比数列的前项和为．
(1)若公比，，，求；
(2)若，求公比．
答案：(1)6
(2)1或
（1）依题意，
由于，所以两式相除得，
.
（2）依题意，即，
，解得或.
同类题型归类练
1．(2023·江苏·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，公差，求；
(2)已知公差，，求；
(3)已知，公差，，求n．
答案：(1)27(2)10(3)13
(1)
；
(2)
；
(3)
，，；
故答案为：27,，10，13.
2．(2023·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等比数列{an}中，
(1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8项和S8；
(2)已知a1＝－， a4＝96，求前4项和S4；
(3)已知公比q＝，前5项和S5＝，求a1， a5.
答案：(1)－85(2)(3)
(1)S8＝；
(2)由a4＝a1q3，即96＝·q3，得q＝－4，所以S4＝；
(3)由S5＝，得a1＝2，所以a5＝a1q4＝；
故答案为：-85，，.
3．(2023·江苏·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
答案：(1)；
(2)或．
(1)设等比数列公比为q，则，
故，，
(2)设等比数列公比为q，则，
故或，
∴或．
重点题型二：等差、等比数列的判定
典型例题
例题1．（江西省五市九校协作体2022届高三第一次联考数学（文）试题）已知数列的前项和为且满足，，则______．
答案：
【详解】因为，
所以，即，，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，即，
故答案为：.
例题2．(2023·全国·高三专题练习）若数列的前项和满足：.
(1)证明：数列为等比数列并求出通项公式；
答案：(1)证明见解析，
，①
当，
当，②
①－②：，即：
又对都成立，所以是等比数列，
；
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）若数列{an}满足an＋1＝,
(1)求证：数列是等差数列；
答案：(1)证明见解析
证明：因为an≠0，∵an＋1＝，
∴＝，∴－＝，
又a1＝，则＝2，
∴数列是以2为首项，为公差的等差数列.
2．(2023·山东济南·模拟预测）已知正项数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
答案：(1)
由得：，
又因为，则，且，
所以是首项为1公差为1的等差数列，所以.
3．(2023·四川省高县中学校高一阶段练习（文））设数列的前项的和为，点在函数的图象上，数列满足：，，其中．
(1)求数列和的通项公式；
答案：(1)，
(1)由已知条件得，
当时，，
当时，，
又满足上式，
所以；
因为，，即，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以；
4．(2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
答案：(1)证明见解析
（1）当时，，．当时，，两式相减得，即，，则数列是首项为2，公比为2的等比数列．
重点题型三：等差、等比数列的性质及应用
典型例题
例题1．(2023·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知等差数列中，，则该数列前项的和 = （ ）
A．96B．48C．36D．24
答案：B
【详解】因为数列是等差数列，所以有，
因此，
故选：B
例题2．(2023·河南·高三开学考试（文））已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（ ）
A．11B．12C．21D．22
答案：C
【详解】因为，
所以
所以故，
所以满足的正整数的最大值为21．
故选：C．
例题3．(2023·四川省南充市第一中学高一期中）设等差数列的前项和为且则（ ）
A．2330B．2130C．2530D．2730
答案：D
【详解】等差数列的前项和为，则构成等差数列，
即，构成等差数列，
则，则
故选：D
例题4．(2023·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】因为和是等差数列,故
故选:C
例题5．(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】设等差数列的公差分别为和
,即
,即 ①
,即 ②
由①②解得

故选：C
例题6．(2023·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知数列是等比数列，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，
因此，.
故选：B.
例题7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若，，则________.
答案：
【详解】为等比数列的前项和，成等比数列，
又，，，则，
，则.
故答案为：.
同类题型归类练
1．(2023·重庆·高三阶段练习）已知数列为等差数列，，则（ ）
A．9B．12C．15D．16
答案：A
【详解】解：在等差数列中，所以，
所以；
故选：A
2．(2023·四川省巴中中学模拟预测（文））设等差数列的前项的和为，若，则（ ）
A．17B．34C．51D．102
答案：B
【详解】设公差为，则由得，
即，故.
故选：B
3．(2023·四川省广汉中学高二开学考试（理））在等比数列中，，，则等于（ ）
A．81B．C．3D．243
答案：A
【详解】∵数列为等比数列，则
∴
故选：A.
4．(2023·全国·高三专题练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（ ）
A．B．1011
C．D．1012
答案：C
【详解】因为等比数列中的，是方程的两个根，
所以，根据等比数列性质知，
，
因为，于是，
则
=
=.故A，B，D错误.
故选：C.
5．(2023·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A．B．C．12D．15
答案：C
【详解】解：由等比数列的性质可得也为等比数列，
又，故可得即，
解得或，因为等比数列各项为正，所以，
故选：C
6．（多选）(2023·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【详解】因为，，所以，，故等差数列首项为负，公差为正，所以，，故A正确，B错误；由，可知，所以，故C错误；因为，所以，故D正确．
故选：AD
7．(2023·全国·高二课时练习）设等差数列的前项和为，若，，则______．
答案：32
【详解】由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得，
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，
解得.
故答案为：32.
8．(2023·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.
答案：
【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
9．(2023·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
答案：
【详解】因为为等差数列，所以，所以.
故答案为：
10．(2023·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．
答案：##
【详解】
故答案为：
重点题型四：数列求通项、求和
典型例题
例题1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
答案：B
【详解】由于函数为奇函数，则，
即，所以，
所以，
所以
因此数列的前2022项和为．
故选：B.
例题2．(2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）变形为，因为，所以，故；
（2）当为奇数时，，当为偶数时，，则
例题3．(2023·辽宁鞍山·一模）已知等差数列满足首项为的值，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）
根据题意得， ，
因为数列是等差数列，设公差为，则由，得，解得，所以.
（2）
由（1）可得，
所以.
例题4．(2023·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求及；
(2)若，求数列的前项和．
答案：(1)，
(2)
（1）
设等差数列的公差为d，
则，解得，
所以，
．
（2）
由（1）得：，，
则，
所以
..
例题5．(2023·安徽·高三开学考试）已知数列满足且，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为，求证：.
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）
解：因为，所以，
两式相减得，
当时，， 又，所以，
所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）
证明：，
所以， 由，得，
所以，
综上，.
例题6．(2023·河北·石家庄二中高二期末）已知等差数列为递增数列，
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和：
(3)若数列满足，求的前项和的最大值､最小值.
答案：(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为
(1)
因为，所以，所以，
又，且为递增数列，则可解得，所以公差为2，
所以.
(2)
因为，
所以①，
②，
①-②得，
；
(3)
，
记的前项和为，
则
，
当为奇数时随着的增大而减小，可得，
当为偶数时随着的增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
例题7．(2023·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和
答案：(1)
(2)
(1)
当时，，解得：；
当时，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，.
(2)
由（1）得：，，
.
例题8．(2023·湖北·高三开学考试）已知数列前项和为，且.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）
解：，
，
，
，
数列为等差数列，且，
又时，，
，
；
（2）
，
，
，
，
两式相减得，
，
，
，
.
例题9．(2023·四川泸州·高一期末）已知数列满足，等差数列的前3项和为.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记数列，求数列的前项和.
答案：(1)，；
(2).
（1）
因为，所以是首项为公比的等比数列，
所以，
设等差数列的公差为，
，所以，
因为，所以，解得，
所以；
（2）
由（1）知，
所以，①
，②
①-②得，
.
所以.
例题10．(2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）已知是数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．
答案：(1)
(2)
（1）
∵；
∵，∴
两式相减可得，又，∴.
（2）
由（1）知：，
所以当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，
所以数列的前10项和为．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高三专题练习）设函数，，．则数列的前n项和______．
答案：
【详解】由题设，，
所以，
即且n ≥ 2，
当时，，
当时，，
所以，
故答案为：.
2．(2023·山东潍坊·高二阶段练习）设数列的前n项和为，且满足．
(1)求；
(2)设求数列的前n项和．
答案：(1)
(2)
(1)
当时，，
当时，因为，
所以，
得，
所以数列为首项为3，公比为3的等比数列，
得；
(2)
，
当n为偶数时，
，
当n为奇数时，
，
所以
3．(2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）证明：当时，∴当时，，∴∴数列是以2为公比，首项的等比数列
（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴综上所述
4．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，等差数列数列的前n项和，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)设 ，求数列的前2n项和.
(3)设，，的前n项和，求证：.
答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
为q，则有 解得 或 （由于 是正数列，舍），由 ， ， ；对于 由等差中项可知 ，设公差为d， ， ， ；
（2）设数列 的前n项和为 ，则有： = 设 …①，…② ，-②得：，K ， ；
（3） ， ；综上， ， ， 的前2n项和= .
5．(2023·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．
设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
答案：(1)条件选择见解析，；
(2).
（1）若选①②作为条件，设|的公差为d，由成等比数列可知，所以，整理得． 由得，整理得， 当时，不合题意， 所以，则，解得，故． 若选①③作为条件．设的公差为d，由成等比数列可知，所以整理得． 由得，整理得，所以，解得或，当时，，不合题意，所以，则，故；若选②③作为条件．设的公差为d，由得，整理得， 由得，整理得，由两式联立得，故；
（2）由（1）得，所以，故数列的前n项和．
6．(2023·山西大附中高三阶段练习）在数列中，，，，其中.
(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；
(2)设，且，数列的前项和为，求；
答案：(1)证明见解析
(2)
（1）
解：因为，，，
所以
，
又，所以数列是以为公差，为首项的等差数列；
（2）
解：由（1）可得，所以，
所以①，
②，
所以①②得
，
所以.
7．(2023·全国·高三专题练习）从条件①，②，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列的前项和为，___________.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，是否存在正整数使得.
答案：(1)答案见解析
(2)答案见解析
（1）
若选择①，因为，所以，
两式相减得，整理得,
即，所以为常数列，而，所以；
若选择②，因为，所以，
两式相减，
得，
因为，
所以是等差数列，所以；
若选择③，由变形得，，
所以，
由题意知，所以，所以为等差数列，
又，所以，
又时，也满足上式，所以；
（2）
若选择①或②，，
所以
所以，
两式相减得
，
则，故要使得，即，整理得，，
当时，，所以不存在，使得.
若选择③，依题意，，
所以，
故，
两式相减得：
，则，令，则，
即，令，则，
当时，，
又，故，
综上，使得成立的最小正整数的值为5.
8．(2023·湖北·高三期末）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，．
(1)求；
(2)记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和．
答案：(1)
(2)
(1)
由得，则，
因为，则，，
又，，则，
所以.
(2)
（2）由题设及（1）得，且当时，，即
，
，
所以．
第三部分：数 学 思 想 与 方 法
函数方程
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求数列中的最大项．
答案：
【详解】解法一：（作差比较法）：，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
所以，，
所以数列中的最大项为或，且；
解法二（作商比较法）：，
令，解得；令，解得；令，解得．
又，故，，
所以数列中的最大项为或，且．
例题2．(2023·全国·高三专题练习）记关于的不等式的整数解的个数为，数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意，都有成立，试求实数的取值范围.
答案：(1)
(2)
（1）
由不等式可得：，
，
，
当时，，
当时，，
因为适合上式，
；
（2）
由（1）可得：，
，
，
，
当为奇数时，，
由于随着的增大而增大，当时，的最小值为，
，
当为偶数时，，
由于随着的增大而减小，当时，的最大值为，
，
综上可知：．
同类题型归类练
1．(2023·四川宜宾·高一期末）已知数列的前项和，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若存在且，使得成立，求实数的最小值．
答案：(1)；
(2)3.
(1)
依题意，当时，，而满足上式，
所以数列的通项公式是.
(2)
由（1）知，，
，
则有，
两式相减得：，
于是得，且，，
令，，则，即，当时，数列是递增数列，
即，因此，，
所以实数的最小值是3.
2．(2023·四川资阳·高一期末）已知数列的前项和为，且，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若（），求实数的取值范围．
答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
(1)
解：由，得，
则，又，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)
解：由（1）得，，
则时，
．
当时，满足上式，所以，数列的通项公式为．
(3)
解：由（2）可知，数列为首项为1，公比为2的等比数列，则，
由即恒成立．
令，则，
则时，，即数列递增；当时，，即数列递减，
又，，则的最大值，
所以，实数的取值范围是．
分类讨论思想
典型例题
例题1．(2023·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
(1)
由题意得：，解得，；
(2)
，当时，，；时，，；
当时，；
当时，；即
，综上所述：.
例题2．(2023·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知等差数列的公差，其前项和为，.
(1)求通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
答案：(1)
(2)
（1）因为等差数列的公差，其前n项和为，
所以
则，
所以，解得，，
由可得.
（2）
；
当为偶数时，；
当为奇数时，
.
所以，其中.
同类题型归类练
1．(2023·广东广州·高二期末）已知数列的前n项和为
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
答案：(1)
(2)
（1）
解：当时，，两式作差，整理得，
当时，，所以，
故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）
由（1）得，，
当时，，
当时，
，
综上，
2．(2023·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和的公式．
答案：(1)
(2)
(1)
当n＝1时，；
当时，，
显然时也满足上式，
所以.
(2)
由（1）知，
所以当时，；当时，，
①当时，，
则，
此时
②当时，，
=
.
综上可得：.