高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题02充分、必要、充要问题的研究(原卷版+解析)

这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题02充分、必要、充要问题的研究(原卷版+解析)，共20页。

一．充分、不要条件的判断
充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件．
二．根据充分、必要条件判断含参的问题
解决此类问题要注意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）根据集合之间的关系列出关于参数的不等式．
【典型例题】
例1．(2023·浙江·义乌市福田书院高二期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例2．(2023·四川省绵阳南山中学高二期中（理））是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例3．(2023·浙江·桐乡市凤鸣高级中学高二期中）已知，是实数，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例4．(2023·湖北·宜昌市一中高一期中）设是一元二次方程的根，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例5．(2023·全国·高一单元测试）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023·全国·高一单元测试）“关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．-4≤a≤0B．-4C．-4≤a<0D．-4例7．(2023·陕西·西工大附中分校高一期中）已知：关于的方程的解集至多有个子集；
：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
例8．（多选题）(2023·江苏省镇江中学高一期中）下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（ ）
A．p：中，，q：中，；
B．p：， q：；
C．p：，q：；
D．p：，q：关于x的方程有两个实数解．
例9．（多选题）(2023·浙江·高一期末）给出下列四个选项，其中能成为的充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
例10．（多选题）(2023·江苏·高一单元测试）“不等式在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·福建·漳州三中高二期末）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
2．(2023·宁夏银川·高一期末）已知，，则“使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．(2023·浙江省杭州第二中学高一期中）“aA．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．(2023·上海市徐汇中学高三期中）如果对于任意实数，表示不小于的最小整数．例如 ，，．那么“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
5．(2023·全国·高一期中）已知p：“”，q：“”，则q是p的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要
C．充分不必要D．必要不充分
6．(2023·江苏·高一单元测试）方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
7．(2023·江苏南京·高三开学考试）已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．(2023·江苏·高一单元测试）已知、、、，则“”是“”的（ ）注：表示、之间的较大者．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．(2023·黑龙江·鹤岗一中高一期中）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．(2023·浙江·效实中学高一期中）下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
11．(2023·全国·高一单元测试）已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
12．(2023·江苏·高一单元测试）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的充要条件是
D．当m=3时，方程的两个实数根之和为0
13．(2023·全国·高一单元测试）已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有（ ）
A．B．0C．1D．2
三、填空题
14．(2023·上海师大附中高一期中）如果，那么“”是“”成立的_________条件（选填“充分非必要”“必要非充分”“充要”、“非充分非必要”）
15．(2023·河南·濮阳一高高一期中）在下列所示电路图中，下列说法正确的是____（填序号）．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
16．(2023·江苏·高一单元测试）若α是β的必要非充分条件，β是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是α的__条件．
17．(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高一期中）已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是_______________．
四、解答题
18．(2023·全国·高一单元测试）设，现有以下三个条件：
甲：且
乙：
丙：
求证：甲分别是乙和丙的充分条件．
19．(2023·江苏·高一单元测试）已知关于的方程的解集至多有两个子集，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20．(2023·安徽芜湖·高一期中）在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合．
（1）当时，求；
（2）若选__________，求实数m的取值范围．
21．(2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高一期中）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若______，求实数a的取值范围．
22．(2023·安徽·芜湖一中高一期中）已知集合，集合．
（1）若，求实数a的值；
（2）若成立的一个必要不充分条件是，求实数a的取值组成的集合．
微专题02 充分、必要、充要问题的研究
【方法技巧与总结】
一．充分、不要条件的判断
充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件．
二．根据充分、必要条件判断含参的问题
解决此类问题要注意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）根据集合之间的关系列出关于参数的不等式．
【典型例题】
例1．(2023·浙江·义乌市福田书院高二期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】因为能推出，而不能推出，例如，
不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
例2．(2023·四川省绵阳南山中学高二期中（理））是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
当时，，，，
则有成立，即成立；
当时，，
即成立，但此时不成立．
综上可知，是的充分不必要条件
故选：A
例3．(2023·浙江·桐乡市凤鸣高级中学高二期中）已知，是实数，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】由可得，则，
所以且或且，
不一定有且，且则必有，
所以，“”是“且”的必要不充分条件．
故选：B．
例4．(2023·湖北·宜昌市一中高一期中）设是一元二次方程的根，，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】由题意，若是一元二次方程的根，故，即p可以推出q，充分性成立；
反之，若，则，即
，即是一元二次方程的根，即q可以推出p，必要性成立；
即p是q的充要条件
故选：C
例5．(2023·全国·高一单元测试）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则，解得．
故选：A．
例6．(2023·全国·高一单元测试）“关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．-4≤a≤0B．-4C．-4≤a<0D．-4答案：A
【解析】关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R，
当时，，解集为R；
当时，，解得
综合可得，
观察选项要找范围大的，可得的一个必要不充分条件是．
故选：A．
例7．(2023·陕西·西工大附中分校高一期中）已知：关于的方程的解集至多有个子集；
：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
答案：A
【解析】因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，
对于，依题意，知，
所以，
设，，
由题意知，所以，解得，经检验满足题意
故选：A．
例8．（多选题）(2023·江苏省镇江中学高一期中）下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（ ）
A．p：中，，q：中，；
B．p：， q：；
C．p：，q：；
D．p：，q：关于x的方程有两个实数解．
答案：AD
【解析】对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件；
对于B，由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的充分不必要条件；
对于C，由可知，当时，；当时，；而当时，若，则，若，则，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件；
故选：AD
例9．（多选题）(2023·浙江·高一期末）给出下列四个选项，其中能成为的充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】对于A选项：若，则，能推出，故选项A正确；
对于B选项：由，不能推出，例如取，故选项B错误；
对于C选项：时，若，则，所以不能推出，故选项C不正确；
对于D选项：在单调递减，若，则，故选项D正确；
故选：AD
例10．（多选题）(2023·江苏·高一单元测试）“不等式在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：CD
【解析】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即．
所以A选项是充要条件，A不正确；
B选项中，不可推导出，B不正确；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，故C正确；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，故D正确．
故选：CD．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·福建·漳州三中高二期末）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
答案：A
【解析】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件，
故选：A．
2．(2023·宁夏银川·高一期末）已知，，则“使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案：C
【解析】若使得，则有成立；
若，则有使得成立．
则“使得”是“”的充要条件
故选：C
3．(2023·浙江省杭州第二中学高一期中）“aA．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：D
【解析】若，，则满足，不满足；
由可得，不能推出，
所以“a故选：D．
4．(2023·上海市徐汇中学高三期中）如果对于任意实数，表示不小于的最小整数．例如 ，，．那么“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
答案：A
【解析】由题意，若，则满足，而；反之，若，则必须同在两个相邻整数之间，则必有．因此“”是“” 充分非必要条件
故选：A
5．(2023·全国·高一期中）已知p：“”，q：“”，则q是p的（ ）
A．充要条件B．既不充分也不必要
C．充分不必要D．必要不充分
答案：C
【解析】由解得或，
因为或，或，
所以q是p的充分不必要条件．
故选：C
6．(2023·江苏·高一单元测试）方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
答案：C
【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有．
所以方程至少有一个负实根的充要条件是．
故选：C
7．(2023·江苏南京·高三开学考试）已知，为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】结论，
当时，；
当时，；
当时，；
综上：．
故选：C
8．(2023·江苏·高一单元测试）已知、、、，则“”是“”的（ ）注：表示、之间的较大者．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】充分性：取，，则成立，
但，充分性不成立；
必要性：设，则，，
从而可得，必要性成立．
因此，“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
9．(2023·黑龙江·鹤岗一中高一期中）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可．
【详解】
因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得．
A选项是充要条件，不成立；
B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确．
故选：C．
二、多选题
10．(2023·浙江·效实中学高一期中）下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
答案：BD
【解析】对于A选项，当时，，但反之，不能得到，故错误；
对于B 选项，不能得到，反之能够得到，故正确；
对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误；
对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确．
故选：BD
11．(2023·全国·高一单元测试）已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
答案：BCD
【解析】对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误；
对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确；
对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；
对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确．
故选：BCD
12．(2023·江苏·高一单元测试）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程有一个正根一个负根的充要条件是
B．方程有两个正实数根的充要条件是
C．方程无实数根的充要条件是
D．当m=3时，方程的两个实数根之和为0
答案：AB
【解析】对A，当时，函数的值为，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是，故A正确；
对B，若方程有两个正实数根，，
即解得：，故B正确；
对C，方程无实数根，
即，解得：，
方程无实数根的充要条件是，故C错误；
对D，当时，方程为，无实数根，故D错误．
故答案为：AB．
13．(2023·全国·高一单元测试）已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有（ ）
A．B．0C．1D．2
答案：ABC
【解析】由，得，所以p：，则，
又p是q的充分不必要条件，所以，
故选：ABC．
三、填空题
14．(2023·上海师大附中高一期中）如果，那么“”是“”成立的_________条件（选填“充分非必要”“必要非充分”“充要”、“非充分非必要”）
答案：充分非必要
【解析】若“”，则x，y同号，则“”成立
即“”是“”成立的充分条件
但“”成立时，x，y不异号，“”，“”不一定成立，
即“”是“”成立的不必要条件
即“”是“”成立的充分非必要条件
故答案为：充分非必要
15．(2023·河南·濮阳一高高一期中）在下列所示电路图中，下列说法正确的是____（填序号）．
（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；
（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；
（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．
答案：（1）（2）（3）
【解析】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确．
（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确．
（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确．
（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误．
故答案为（1）（2）（3）．
16．(2023·江苏·高一单元测试）若α是β的必要非充分条件，β是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是α的__条件．
答案：充分不必要
【解析】∵α是β的必要非充分条件，∴β⇒α，不能推出；
∵β是γ的充要条件，∴β⇔γ；
∵γ是δ的必要非充分条件，∴δ⇒γ，不能推出；
∴δ⇒α，不能推出，
故δ是α的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
17．(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高一期中）已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是_______________．
答案：
【解析】因为成立的一个必要不充分条件是，所以推不出，且可推出，故集合B是集合A的真子集．
当时即，集合A的真子集，符合题意；
当时即，要使集合B是集合A的真子集，则需，即，故；
综上，实数m的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题
18．(2023·全国·高一单元测试）设，现有以下三个条件：
甲：且
乙：
丙：
求证：甲分别是乙和丙的充分条件．
【解析】设，则，，
则，
因为
所以，
所以，
所以甲是乙的充分条件；
，
因为
所以若，则；若，则，
所以甲是乙的充分条件
所以甲分别是乙和丙的充分条件．
19．(2023·江苏·高一单元测试）已知关于的方程的解集至多有两个子集，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【解析】已知关于的方程的解集至多有两个子集，
则关于的方程至多一个解，，解得，
又，若是的必要不充分条件，
，解得．
20．(2023·安徽芜湖·高一期中）在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合．
（1）当时，求；
（2）若选__________，求实数m的取值范围．
【解析】（1）当时，集合，，
所以；
（2）选择①：因为“” 是“”的充分不必要条件，所以 ，
因为，所以．
又因为，所以（等号不同时成立），所以， 所以
解得，
因此实数m的取值范围是．
选择②：因为，所以．因为，
所以．又因为，所以，解得，
因此实数m的取值范围是．
选择③：因为，而，且不为空集，
，所以或，解得或，
所以实数m的取值范围是或．
21．(2023·山东·临沂市兰山区教学研究室高一期中）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若______，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，集合，，
∴或，
所以；
（2）若选择①，则，因为，
时，，即，；
时，
所以实数a的取值范围是．
若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则，
因为，时，，即，；
时，；
所以实数a的取值范围是．
若选择③，，因为，
时，，即，；
时，或，解得
所以实数a的取值范围是或．
22．(2023·安徽·芜湖一中高一期中）已知集合，集合．
（1）若，求实数a的值；
（2）若成立的一个必要不充分条件是，求实数a的取值组成的集合．
【解析】（1）因为，所以，解得；
（2）因成立的一个必要不充分条件是，所以是的必要不充分条件，因此B是A的真子集，，
①当时，，解得；
②当时，，此时无解；
③当时，，此时无解；
综上可得，实数a的取值范围为．