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高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题03基本不等式和积问题(原卷版+解析)
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这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题03基本不等式和积问题(原卷版+解析)，共39页。
一．重要不等式
，有，当且仅当时，等号成立．
二．基本不等式
如果，，则，当且仅当时，等号成立．
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
三．与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有，当且仅当时，等号成立．
（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立．
（3）当时，有，当且仅当时，等号成立．
四．利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值．
【题型归纳目录】
题型一：比较大小及不等式证明问题
题型二：简单的和为定值或积为定值型
题型三：含或以及可以转化为此的类型
题型四：含类型
【典型例题】
题型一：比较大小及不等式证明问题
例1．（多选题）(2023·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（多选题）(2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a＞0，b＞0，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．(2023·河南·高一期中）已知、、都是正数．
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
例4．(2023·广东茂名·高一期末）已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立．
例5．(2023·辽宁沈阳·高一期中）已知a，b，，求证：．
例6．(2023·江苏·高一单元测试）设a0，b0，a+b＝2．
（1）证明：≥4；
（2）证明：a3+b3≥2．
题型二：简单的和为定值或积为定值型
例7．(2023·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例8．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（ ）
A．有最大值B．有最大值4
C．有最小值D．有最小值2
例9．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
例10．(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若则的最大值是（ ）
A．4B．1C．D．不存在
例11．(2023·河南郑州·高一期中）设正实数x，y满足x+2y=1，则下列结论正确的是（ ）
A．x的最大值为
B．的最小值为，
C．+的最大值为4
D．的最小值为
例12．(2023·山东青岛·高一期末）已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
例13．(2023·江苏·常州市第一中学高一期末）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
例14．(2023·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
例15．(2023·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（ ）
A．B．
C．D．
例16．(2023·贵州遵义·高一期末）负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
题型三：含或以及可以转化为此的类型
例17．(2023·四川·华阳中学高一期中）若正实数，，满足，则当取最大值时，的最大值为______．
例18．(2023·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
例19．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
例20．(2023·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例22．(2023·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．D．
例23．(2023·江西省丰城中学高一期中）已知正实数，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例24．(2023·河南三门峡·高一期末）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例25．(2023·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．D．
例26．(2023·重庆八中高一期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8B．C．9D．
题型四：含类型
例27．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
例28．(2023·全国·高一单元测试）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例29．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
例30．(2023·天津·南开中学高一期中）若，，则的最小值为___________．
例31．(2023·云南丽江·高一期末）若正数a，b满足，则的最小值为___________．
例32．(2023·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
例33．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
例34．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例35．(2023·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
例36．(2023·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则函数的最大值为
B．若，，则的最小值为
C．若，，，则的最大值为
D．若，，，则的最小值为
例37．(2023·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例38．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例39．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）已知，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·福建三明·高一期中）已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．(2023·浙江杭州·高一期末）若a，b，c均为正实数，则三个数，，（ ）
A．都不大于2B．都不小于2
C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2
4．(2023·云南玉溪·高一期末）现有以下结论：
①函数的最小值是；
②若、且，则；
③的最小值是；
④函数的最小值为．
其中，正确的有（ ）个
A．B．C．D．
5．(2023·河南·林州一中高一开学考试）已知，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知，，且，，，那么的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．(2023·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
8．(2023·河南新乡·高一期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
二、多选题
9．(2023·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
10．(2023·福建·福州三中高一期末）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最小值为
11．(2023·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为10
C．的最小值为D．的最小值为
12．(2023·湖北·华中师大一附中高一期末）已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为1
13．(2023·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a＞0，b＞0，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
14．(2023·江苏扬州·高一期中）若则的最小值为_________．
15．(2023·湖北十堰·高一期中）已知，则的最小值为___________．
16．(2023·上海交大附中高一期中）已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
17．(2023·江西·上高二中高一期末（理））已知，为正实数，且，则的最小值为___________．
18．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知，，，则的最小值为__．
四、解答题
19．(2023·河南焦作·高一期中）已知，是正实数，且，证明下列不等式并指出等号成立的条件：
（1）；
（2）．
20．(2023·全国·高一单元测试）已知，，均为正数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：．
微专题03 基本不等式和积问题
【方法技巧与总结】
一．重要不等式
，有，当且仅当时，等号成立．
二．基本不等式
如果，，则，当且仅当时，等号成立．
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
三．与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有，当且仅当时，等号成立．
（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立．
（3）当时，有，当且仅当时，等号成立．
四．利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值．
【题型归纳目录】
题型一：比较大小及不等式证明问题
题型二：简单的和为定值或积为定值型
题型三：含或以及可以转化为此的类型
题型四：含类型
【典型例题】
题型一：比较大小及不等式证明问题
例1．（多选题）(2023·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】当时，得，A错；
当时，，B错；
，，当且仅当时，等号成立．C正确；
是实数，则，，所以，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：CD．
例2．（多选题）(2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a＞0，b＞0，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】a＞0，b＞0，
对A：，当且仅当时等号成立，故选项A正确；
对B：因为，所以选项B错误；
对C：因为，
所以，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
对D：因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故选项D正确．
故选：ACD．
例3．(2023·河南·高一期中）已知、、都是正数．
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）证明：要证，
左右两边同乘以可知即证，
即证．
因为、、都是正数，由基本不等式可知，，，
当且仅当时，以上三式等号成立，
将上述三个不等式两边分别相加并除以，得．
所以，原不等式得证．
（2），
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，即，解得，
故实数的取值范围为．
例4．(2023·广东茂名·高一期末）已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立．
【解析】证明：因为均为正数，所以．
所以①
故，
而．②
所以原不等式成立．当且仅当①式和②式等号成立，
即当且仅当时，故当且仅当时，原不等式等号成立．
例5．(2023·辽宁沈阳·高一期中）已知a，b，，求证：．
【解析】因为a，b，，则，，，
于是得，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
将上述三个不等式相加得：，
当且仅当时等号成立，因此有，
所以，当a，b，时，．
例6．(2023·江苏·高一单元测试）设a0，b0，a+b＝2．
（1）证明：≥4；
（2）证明：a3+b3≥2．
【解析】（1）证明：因为，，．
．
且（当且仅当时取等号），
故．
所以
（2）证明：
当且仅当时取等号，
又，
故．
题型二：简单的和为定值或积为定值型
例7．(2023·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；
对于选项B： ，，∴B错误；
对于选项C ：，
因为 ∴C错误；
对于选项D：∵，当且仅当时取等号，
∴，D正确；
故选：D
例8．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（ ）
A．有最大值B．有最大值4
C．有最小值D．有最小值2
答案：A
【解析】因为正实数满足
所以，当且仅当，，即取等号，故A正确、C错误．
，当且仅当，，即取等号，故B、D错误．
故选：A
例9．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为正数满足 ，
所以有，当且仅当时取等号，
故选：B
例10．(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若则的最大值是（ ）
A．4B．1C．D．不存在
答案：A
【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；故选：A
例11．(2023·河南郑州·高一期中）设正实数x，y满足x+2y=1，则下列结论正确的是（ ）
A．x的最大值为
B．的最小值为，
C．+的最大值为4
D．的最小值为
答案：B
【解析】正实数x，y满足x+2y=1，则，无最大值，A错误；
由基本不等式得：，而，所以，当且仅当，即时，等号成立，B正确；
，其中，当且仅当，即时等号成立，所以，故+的最小值为4，C错误；
显然，其中，其中，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，即的最大值为，D错误．．
故选：B
例12．(2023·山东青岛·高一期末）已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：D
【解析】由可知
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
以上三个不等式两边同时相乘，可得
（当且仅当时等号成立）
故选：D
例13．(2023·江苏·常州市第一中学高一期末）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
答案：D
【解析】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2．
故选：D．
例14．(2023·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
答案：C
【解析】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；
故选：C
例15．(2023·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A，当时，显然不满足题意；
对于B，因为，又在上单调递减，所以当时，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，当时，取得最小值，D不符合题意．
故选：C
例16．(2023·贵州遵义·高一期末）负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
答案：A
【解析】根据题意有，故，当且仅当，时取等号．
故选：A
题型三：含或以及可以转化为此的类型
例17．(2023·四川·华阳中学高一期中）若正实数，，满足，则当取最大值时，的最大值为______．
答案：
【解析】正实数，，满足
则
则
，当且仅当时取得等号
所以，此时
所以
所以
所以的最大值为
故答案为：
例18．(2023·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
答案：B
【解析】∵正实数a、b满足，
∴，
当且仅当，即时，取等号，
故选：B．
例19．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
答案：D
【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故选：D
例20．(2023·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．
故选：D
例21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为ab+a+2b=7，
所以，，
所以，
当且仅当时等号成立，
故选：A
例22．(2023·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．D．
答案：B
【解析】，
可得，，所以，
所以的最小值为，
故选：B
例23．(2023·江西省丰城中学高一期中）已知正实数，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，
得，化简得，
解得，即的取值范围为，
故选：B．
例24．(2023·河南三门峡·高一期末）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，正实数满足，则，
令，可得，即，解得，或（舍去），
所以当且仅当时，取得最小值2，
故选：B．
例25．(2023·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．D．
答案：A
【解析】由题设，，
∴，又x，y，z为正实数，则，
∴，当且仅当时等号成立．
∴的最小值是4．
故选：A
例26．(2023·重庆八中高一期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8B．C．9D．
答案：C
【解析】由题意得，
，
因，所以，结合对勾函数的性质得，在时取得最小值．
故选：C．
题型四：含类型
例27．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
答案：A
【解析】因为，所以．因为，所以，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是6．
故选：A
例28．(2023·全国·高一单元测试）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
例29．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
答案：C
【解析】因为，，所以
（当且仅当时，等号成立），所以的最小值是20．
故选：C
例30．(2023·天津·南开中学高一期中）若，，则的最小值为___________．
答案：
【解析】因为且，则两边同除以，得，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以．
故答案为：
例31．(2023·云南丽江·高一期末）若正数a，b满足，则的最小值为___________．
答案：9
【解析】因为正数，满足，
所以，
则，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
例32．(2023·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
答案：9
【解析】正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：．
例33．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
【解析】因为，所以．
因为x，y都是正数，由基本不等式有：，
所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误．
故选：B．
例34．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为 为正实数，
所以
所以
当且仅当，即时，取等号，
故 的最小值为8．
故选：C
例35．(2023·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
答案：A
【解析】由题意可得．因为，，所以，则，
当且仅当，时，等号成立．
故选：A
例36．(2023·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则函数的最大值为
B．若，，则的最小值为
C．若，，，则的最大值为
D．若，，，则的最小值为
答案：B
【解析】对于A，若，则函数
，
当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，若，，则，
所以，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，若，，，
则由可得：，即，故C错误；
对于D，若，，，则
，
当且仅当，即，时等号成立，故D错误．
故选：B．
例37．(2023·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由可知，
，
当，即时，“”成立，
故选：A．
例38．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立．
故选：．
例39．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）已知，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，
所以，
又，，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，
故选：C
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D．
2．(2023·福建三明·高一期中）已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：C
【解析】，
当且仅当，即，即时，等号成立
故当，时，取最小值．
故选：C
3．(2023·浙江杭州·高一期末）若a，b，c均为正实数，则三个数，，（ ）
A．都不大于2B．都不小于2
C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2
答案：D
【解析】A．都不大于2，结论不一定成立，如时，三个数，，都大于2，所以选项A错误；
B．都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如则，所以选项B错误；
C．至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如时，三个数，，都大于2，所以选项C错误．
由题意，∵a，b，c均为正实数，
∴．
当且仅当时，取“=”号，
若，，，则结论不成立，
∴，，至少有一个不小于2，所以选项D正确；
故选：D．
4．(2023·云南玉溪·高一期末）现有以下结论：
①函数的最小值是；
②若、且，则；
③的最小值是；
④函数的最小值为．
其中，正确的有（ ）个
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误．
【详解】
对于①，当时，，①错误；
对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确；
对于③，，
当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误；
对于④，因为，所以，
函数的最大值为，所以结论不正确，④错误．
故选：B．
5．(2023·河南·林州一中高一开学考试）已知，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当时，，，所以CD选项错误．
当时，，，所以B选项错误．
，
即当且仅当或时等号成立．
则，，解得．
故选：A
6．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知，，且，，，那么的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
答案：C
【解析】根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为1．
故选：
7．(2023·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
答案：C
【解析】因为，所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是2，
故选：C
8．(2023·河南新乡·高一期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
答案：B
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，，等号成立．
所以的最小值为25，
故选：B
二、多选题
9．(2023·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
答案：BCD
【解析】选项A： ，
当 时， ，当且仅当时有最小值．
故A不正确．
选项B：
对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，
当且仅当 时取得最大值．
所以 ，当且仅当时取得最大值．
故B正确．
选项C：对于正数， ，所以
所以
当且仅当 ，即时取得最小值．
故C正确．
选项D：因
所以 ，即
所以 ，当且仅当 时等号成立．
故D正确．
故选：BCD．
10．(2023·福建·福州三中高一期末）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最小值为
答案：AB
【解析】对于A：由，，，则，
所以，解得，
所以，
所以当时，有最小值，故A正确．
对于B：由，，，即，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值是，故B正确；
对于C：由，，，则，所以，解得，
所以，因为，所以，
所以，所以，即，故C错误；
对于D：，
当且仅当，即，时取等号，故D错误；
故选：AB
11．(2023·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为10
C．的最小值为D．的最小值为
答案：ACD
【解析】因为（当且仅当时，等号成立），所以，A正确．
因为，
（当且仅当时，等号成立），所以，B错误．
因为（当且仅当时，等号成立），所以，C正确．
，
（当且仅当时，等号成立），D正确，
故选：ACD
12．(2023·湖北·华中师大一附中高一期末）已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为1
答案：BC
【解析】由，即，当且仅当时等号．故A错，，
进而可得：，当且仅当取等号，故B正确，
令，则，所以，故可化为，整理得，
由，得，即，解得或（舍去），C正确，
，，当且仅当时等号成立，D错误
故选：BC．
13．(2023·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a＞0，b＞0，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】A．，当且仅当时，等号成立，故正确；
B．因为，正负不定，故错误；
C．，当且仅当，时，等号成立，故正确；
D．，故正确；
故选：ACD
三、填空题
14．(2023·江苏扬州·高一期中）若则的最小值为_________．
答案：
【解析】因为，则，
，当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为．
故答案为：．
15．(2023·湖北十堰·高一期中）已知，则的最小值为___________．
答案：
【解析】由，则，
当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：
16．(2023·上海交大附中高一期中）已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
答案：
【解析】因为正实数，，满足，
则，
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
令，，
则原式
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，
故答案为：．
17．(2023·江西·上高二中高一期末（理））已知，为正实数，且，则的最小值为___________．
答案：
【解析】由为正实数，且，可化为，
则
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
18．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知，，，则的最小值为__．
答案：
【解析】
，当且仅当析，时，等号成立．
故答案为：
四、解答题
19．(2023·河南焦作·高一期中）已知，是正实数，且，证明下列不等式并指出等号成立的条件：
（1）；
（2）．
【解析】（1）因为，所以
所以，当且仅当时等号成立；
（2）
当且仅当即时等号成立．
20．(2023·全国·高一单元测试）已知，，均为正数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：．
【解析】（1）由得，
所，
当且仅当时，等号成立，即，．故的最小值为9，此时，；
（2）因为，所以又因为，，均为正数，所以，，．
所以，故，
当且仅当时，等号成立．
一．重要不等式
，有，当且仅当时，等号成立．
二．基本不等式
如果，，则，当且仅当时，等号成立．
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
三．与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有，当且仅当时，等号成立．
（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立．
（3）当时，有，当且仅当时，等号成立．
四．利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值．
【题型归纳目录】
题型一：比较大小及不等式证明问题
题型二：简单的和为定值或积为定值型
题型三：含或以及可以转化为此的类型
题型四：含类型
【典型例题】
题型一：比较大小及不等式证明问题
例1．（多选题）(2023·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（多选题）(2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a＞0，b＞0，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．(2023·河南·高一期中）已知、、都是正数．
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
例4．(2023·广东茂名·高一期末）已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立．
例5．(2023·辽宁沈阳·高一期中）已知a，b，，求证：．
例6．(2023·江苏·高一单元测试）设a0，b0，a+b＝2．
（1）证明：≥4；
（2）证明：a3+b3≥2．
题型二：简单的和为定值或积为定值型
例7．(2023·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例8．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（ ）
A．有最大值B．有最大值4
C．有最小值D．有最小值2
例9．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
例10．(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若则的最大值是（ ）
A．4B．1C．D．不存在
例11．(2023·河南郑州·高一期中）设正实数x，y满足x+2y=1，则下列结论正确的是（ ）
A．x的最大值为
B．的最小值为，
C．+的最大值为4
D．的最小值为
例12．(2023·山东青岛·高一期末）已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
例13．(2023·江苏·常州市第一中学高一期末）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
例14．(2023·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
例15．(2023·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（ ）
A．B．
C．D．
例16．(2023·贵州遵义·高一期末）负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
题型三：含或以及可以转化为此的类型
例17．(2023·四川·华阳中学高一期中）若正实数，，满足，则当取最大值时，的最大值为______．
例18．(2023·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
例19．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
例20．(2023·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例22．(2023·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．D．
例23．(2023·江西省丰城中学高一期中）已知正实数，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例24．(2023·河南三门峡·高一期末）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例25．(2023·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．D．
例26．(2023·重庆八中高一期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8B．C．9D．
题型四：含类型
例27．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
例28．(2023·全国·高一单元测试）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例29．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
例30．(2023·天津·南开中学高一期中）若，，则的最小值为___________．
例31．(2023·云南丽江·高一期末）若正数a，b满足，则的最小值为___________．
例32．(2023·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
例33．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
例34．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例35．(2023·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
例36．(2023·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则函数的最大值为
B．若，，则的最小值为
C．若，，，则的最大值为
D．若，，，则的最小值为
例37．(2023·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例38．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例39．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）已知，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·福建三明·高一期中）已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．(2023·浙江杭州·高一期末）若a，b，c均为正实数，则三个数，，（ ）
A．都不大于2B．都不小于2
C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2
4．(2023·云南玉溪·高一期末）现有以下结论：
①函数的最小值是；
②若、且，则；
③的最小值是；
④函数的最小值为．
其中，正确的有（ ）个
A．B．C．D．
5．(2023·河南·林州一中高一开学考试）已知，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知，，且，，，那么的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．(2023·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
8．(2023·河南新乡·高一期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
二、多选题
9．(2023·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
10．(2023·福建·福州三中高一期末）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最小值为
11．(2023·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为10
C．的最小值为D．的最小值为
12．(2023·湖北·华中师大一附中高一期末）已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为1
13．(2023·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a＞0，b＞0，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
14．(2023·江苏扬州·高一期中）若则的最小值为_________．
15．(2023·湖北十堰·高一期中）已知，则的最小值为___________．
16．(2023·上海交大附中高一期中）已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
17．(2023·江西·上高二中高一期末（理））已知，为正实数，且，则的最小值为___________．
18．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知，，，则的最小值为__．
四、解答题
19．(2023·河南焦作·高一期中）已知，是正实数，且，证明下列不等式并指出等号成立的条件：
（1）；
（2）．
20．(2023·全国·高一单元测试）已知，，均为正数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：．
微专题03 基本不等式和积问题
【方法技巧与总结】
一．重要不等式
，有，当且仅当时，等号成立．
二．基本不等式
如果，，则，当且仅当时，等号成立．
叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
三．与基本不等式相关的不等式
（1）当时，有，当且仅当时，等号成立．
（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立．
（3）当时，有，当且仅当时，等号成立．
四．利用基本不等式求最值
已知，，那么
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值．
【题型归纳目录】
题型一：比较大小及不等式证明问题
题型二：简单的和为定值或积为定值型
题型三：含或以及可以转化为此的类型
题型四：含类型
【典型例题】
题型一：比较大小及不等式证明问题
例1．（多选题）(2023·河北唐山·高一期末）已知两个不为零的实数x，y满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】当时，得，A错；
当时，，B错；
，，当且仅当时，等号成立．C正确；
是实数，则，，所以，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：CD．
例2．（多选题）(2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）设a＞0，b＞0，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】a＞0，b＞0，
对A：，当且仅当时等号成立，故选项A正确；
对B：因为，所以选项B错误；
对C：因为，
所以，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
对D：因为，所以，即，当且仅当时等号成立，故选项D正确．
故选：ACD．
例3．(2023·河南·高一期中）已知、、都是正数．
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）证明：要证，
左右两边同乘以可知即证，
即证．
因为、、都是正数，由基本不等式可知，，，
当且仅当时，以上三式等号成立，
将上述三个不等式两边分别相加并除以，得．
所以，原不等式得证．
（2），
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，即，解得，
故实数的取值范围为．
例4．(2023·广东茂名·高一期末）已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立．
【解析】证明：因为均为正数，所以．
所以①
故，
而．②
所以原不等式成立．当且仅当①式和②式等号成立，
即当且仅当时，故当且仅当时，原不等式等号成立．
例5．(2023·辽宁沈阳·高一期中）已知a，b，，求证：．
【解析】因为a，b，，则，，，
于是得，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
将上述三个不等式相加得：，
当且仅当时等号成立，因此有，
所以，当a，b，时，．
例6．(2023·江苏·高一单元测试）设a0，b0，a+b＝2．
（1）证明：≥4；
（2）证明：a3+b3≥2．
【解析】（1）证明：因为，，．
．
且（当且仅当时取等号），
故．
所以
（2）证明：
当且仅当时取等号，
又，
故．
题型二：简单的和为定值或积为定值型
例7．(2023·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；
对于选项B： ，，∴B错误；
对于选项C ：，
因为 ∴C错误；
对于选项D：∵，当且仅当时取等号，
∴，D正确；
故选：D
例8．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（ ）
A．有最大值B．有最大值4
C．有最小值D．有最小值2
答案：A
【解析】因为正实数满足
所以，当且仅当，，即取等号，故A正确、C错误．
，当且仅当，，即取等号，故B、D错误．
故选：A
例9．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为正数满足 ，
所以有，当且仅当时取等号，
故选：B
例10．(2023·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）若则的最大值是（ ）
A．4B．1C．D．不存在
答案：A
【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；故选：A
例11．(2023·河南郑州·高一期中）设正实数x，y满足x+2y=1，则下列结论正确的是（ ）
A．x的最大值为
B．的最小值为，
C．+的最大值为4
D．的最小值为
答案：B
【解析】正实数x，y满足x+2y=1，则，无最大值，A错误；
由基本不等式得：，而，所以，当且仅当，即时，等号成立，B正确；
，其中，当且仅当，即时等号成立，所以，故+的最小值为4，C错误；
显然，其中，其中，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以，即的最大值为，D错误．．
故选：B
例12．(2023·山东青岛·高一期末）已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
答案：D
【解析】由可知
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
以上三个不等式两边同时相乘，可得
（当且仅当时等号成立）
故选：D
例13．(2023·江苏·常州市第一中学高一期末）若，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
答案：D
【解析】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2．
故选：D．
例14．(2023·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．9
答案：C
【解析】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；
故选：C
例15．(2023·云南楚雄·高一期末）下列函数中最小值为8的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A，当时，显然不满足题意；
对于B，因为，又在上单调递减，所以当时，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，当时，取得最小值，D不符合题意．
故选：C
例16．(2023·贵州遵义·高一期末）负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
答案：A
【解析】根据题意有，故，当且仅当，时取等号．
故选：A
题型三：含或以及可以转化为此的类型
例17．(2023·四川·华阳中学高一期中）若正实数，，满足，则当取最大值时，的最大值为______．
答案：
【解析】正实数，，满足
则
则
，当且仅当时取得等号
所以，此时
所以
所以
所以的最大值为
故答案为：
例18．(2023·四川内江·高一期末（文））已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
答案：B
【解析】∵正实数a、b满足，
∴，
当且仅当，即时，取等号，
故选：B．
例19．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
答案：D
【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故选：D
例20．(2023·河南·商丘市第一高级中学高一期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．
故选：D
例21．(2023·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为ab+a+2b=7，
所以，，
所以，
当且仅当时等号成立，
故选：A
例22．(2023·浙江·宁波市鄞州高级中学高一期中）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．D．
答案：B
【解析】，
可得，，所以，
所以的最小值为，
故选：B
例23．(2023·江西省丰城中学高一期中）已知正实数，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，
得，化简得，
解得，即的取值范围为，
故选：B．
例24．(2023·河南三门峡·高一期末）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意，正实数满足，则，
令，可得，即，解得，或（舍去），
所以当且仅当时，取得最小值2，
故选：B．
例25．(2023·贵州·六盘水红桥学校高一期中）设x，y，z为正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．D．
答案：A
【解析】由题设，，
∴，又x，y，z为正实数，则，
∴，当且仅当时等号成立．
∴的最小值是4．
故选：A
例26．(2023·重庆八中高一期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8B．C．9D．
答案：C
【解析】由题意得，
，
因，所以，结合对勾函数的性质得，在时取得最小值．
故选：C．
题型四：含类型
例27．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．14D．16
答案：A
【解析】因为，所以．因为，所以，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是6．
故选：A
例28．(2023·全国·高一单元测试）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
例29．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
答案：C
【解析】因为，，所以
（当且仅当时，等号成立），所以的最小值是20．
故选：C
例30．(2023·天津·南开中学高一期中）若，，则的最小值为___________．
答案：
【解析】因为且，则两边同除以，得，
又因为，当且仅当，即时等号成立，所以．
故答案为：
例31．(2023·云南丽江·高一期末）若正数a，b满足，则的最小值为___________．
答案：9
【解析】因为正数，满足，
所以，
则，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
例32．(2023·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
答案：9
【解析】正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：．
例33．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
【解析】因为，所以．
因为x，y都是正数，由基本不等式有：，
所以，当且仅当
即时取“＝”．故A，C，D错误．
故选：B．
例34．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为 为正实数，
所以
所以
当且仅当，即时，取等号，
故 的最小值为8．
故选：C
例35．(2023·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
答案：A
【解析】由题意可得．因为，，所以，则，
当且仅当，时，等号成立．
故选：A
例36．(2023·广东·化州市第三中学高一期中）下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则函数的最大值为
B．若，，则的最小值为
C．若，，，则的最大值为
D．若，，，则的最小值为
答案：B
【解析】对于A，若，则函数
，
当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，若，，则，
所以，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，若，，，
则由可得：，即，故C错误；
对于D，若，，，则
，
当且仅当，即，时等号成立，故D错误．
故选：B．
例37．(2023·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由可知，
，
当，即时，“”成立，
故选：A．
例38．(2023·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立．
故选：．
例39．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）已知，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为，
所以，
又，，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，
故选：C
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·江苏·高一期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D．
2．(2023·福建三明·高一期中）已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：C
【解析】，
当且仅当，即，即时，等号成立
故当，时，取最小值．
故选：C
3．(2023·浙江杭州·高一期末）若a，b，c均为正实数，则三个数，，（ ）
A．都不大于2B．都不小于2
C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2
答案：D
【解析】A．都不大于2，结论不一定成立，如时，三个数，，都大于2，所以选项A错误；
B．都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如则，所以选项B错误；
C．至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如时，三个数，，都大于2，所以选项C错误．
由题意，∵a，b，c均为正实数，
∴．
当且仅当时，取“=”号，
若，，，则结论不成立，
∴，，至少有一个不小于2，所以选项D正确；
故选：D．
4．(2023·云南玉溪·高一期末）现有以下结论：
①函数的最小值是；
②若、且，则；
③的最小值是；
④函数的最小值为．
其中，正确的有（ ）个
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误．
【详解】
对于①，当时，，①错误；
对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确；
对于③，，
当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误；
对于④，因为，所以，
函数的最大值为，所以结论不正确，④错误．
故选：B．
5．(2023·河南·林州一中高一开学考试）已知，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当时，，，所以CD选项错误．
当时，，，所以B选项错误．
，
即当且仅当或时等号成立．
则，，解得．
故选：A
6．(2023·甘肃兰州·高一期末）已知，，且，，，那么的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
答案：C
【解析】根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为1．
故选：
7．(2023·浙江省乐清中学高一开学考试）已知实数，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
答案：C
【解析】因为，所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是2，
故选：C
8．(2023·河南新乡·高一期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
答案：B
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，，等号成立．
所以的最小值为25，
故选：B
二、多选题
9．(2023·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
答案：BCD
【解析】选项A： ，
当 时， ，当且仅当时有最小值．
故A不正确．
选项B：
对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，
当且仅当 时取得最大值．
所以 ，当且仅当时取得最大值．
故B正确．
选项C：对于正数， ，所以
所以
当且仅当 ，即时取得最小值．
故C正确．
选项D：因
所以 ，即
所以 ，当且仅当 时等号成立．
故D正确．
故选：BCD．
10．(2023·福建·福州三中高一期末）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最小值为
答案：AB
【解析】对于A：由，，，则，
所以，解得，
所以，
所以当时，有最小值，故A正确．
对于B：由，，，即，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值是，故B正确；
对于C：由，，，则，所以，解得，
所以，因为，所以，
所以，所以，即，故C错误；
对于D：，
当且仅当，即，时取等号，故D错误；
故选：AB
11．(2023·河北·邢台市第二中学高一开学考试）若，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为10
C．的最小值为D．的最小值为
答案：ACD
【解析】因为（当且仅当时，等号成立），所以，A正确．
因为，
（当且仅当时，等号成立），所以，B错误．
因为（当且仅当时，等号成立），所以，C正确．
，
（当且仅当时，等号成立），D正确，
故选：ACD
12．(2023·湖北·华中师大一附中高一期末）已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为1
答案：BC
【解析】由，即，当且仅当时等号．故A错，，
进而可得：，当且仅当取等号，故B正确，
令，则，所以，故可化为，整理得，
由，得，即，解得或（舍去），C正确，
，，当且仅当时等号成立，D错误
故选：BC．
13．(2023·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a＞0，b＞0，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】A．，当且仅当时，等号成立，故正确；
B．因为，正负不定，故错误；
C．，当且仅当，时，等号成立，故正确；
D．，故正确；
故选：ACD
三、填空题
14．(2023·江苏扬州·高一期中）若则的最小值为_________．
答案：
【解析】因为，则，
，当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为．
故答案为：．
15．(2023·湖北十堰·高一期中）已知，则的最小值为___________．
答案：
【解析】由，则，
当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：
16．(2023·上海交大附中高一期中）已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
答案：
【解析】因为正实数，，满足，
则，
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
令，，
则原式
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，
故答案为：．
17．(2023·江西·上高二中高一期末（理））已知，为正实数，且，则的最小值为___________．
答案：
【解析】由为正实数，且，可化为，
则
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
18．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知，，，则的最小值为__．
答案：
【解析】
，当且仅当析，时，等号成立．
故答案为：
四、解答题
19．(2023·河南焦作·高一期中）已知，是正实数，且，证明下列不等式并指出等号成立的条件：
（1）；
（2）．
【解析】（1）因为，所以
所以，当且仅当时等号成立；
（2）
当且仅当即时等号成立．
20．(2023·全国·高一单元测试）已知，，均为正数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求证：．
【解析】（1）由得，
所，
当且仅当时，等号成立，即，．故的最小值为9，此时，；
（2）因为，所以又因为，，均为正数，所以，，．
所以，故，
当且仅当时，等号成立．
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