高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题04利用基本不等式解决多元最值问题(原卷版+解析)

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利用基本不等式求解多元最值的常用技巧
（1）互倒模型
（2）平方和与积的转换
（3）条件等式求范围
（4）换元消元法
【题型归纳目录】
题型一：互倒模型
题型二：平方和与积的转换
题型三：条件等式求范围
题型四：换元消元法
【典型例题】
题型一：互倒模型
例1．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
例2．(2023·天津·一模）设，那么 的最小值是___________．
例3．(2023·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数，且，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例4．(2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足1，则的最小值为__．
例5．(2023·全国·高三专题练习）已知实数，，则的最小值为___________．
例6．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知，当取到最小值时，___________．
例7．(2023·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数满足，，则的最小值为__________．
题型二：平方和与积的转换
例8．(2023·全国·高一专题练习）是不同时为0的实数，则的最大值为________．
例9．(2023·浙江·高一阶段练习）若实数m，n满足，则的最小值是___________．
例10．(2023·辽宁·高二期末）若实数满足，则的最小值为__________．
例11．(2023·河南·高二阶段练习（文））已知，则的最大值为______．
例12．(2023·浙江·高一课时练习）若均为正实数，则的最大值是_______．
例13．(2023·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知，，，则的最大值为________．
例14．(2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
例15．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
例16．已知实数，且，则的最大值为______．
例17．(2023·天津英华国际学校高一阶段练习）设且，则的最大值为_______
例18．(2023·江苏泰州·高一阶段练习）已知正实数，，满足，则的最大值为___________．
例19．(2023·四川巴中·高一期中）已知正实数，满足，则的最小值为________．
题型三：条件等式求范围
例20．(2023·全国·高三专题练习）设，则的最小值等于（ ）
A．2B．4C．D．
例21．(2023·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知实数，满足，则的最小值为__________．
例22．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知，，且，则的最小值为__________．
例23．(2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足，则的最小值是__．
例24．(2023·山东德州·高二期末）若，且满足，则的最小值为______．
例25．(2023·上海交大附中高一期中）已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
例26．(2023·江苏苏州·高二竞赛）已知正实数a，b，c满足，且，则c的最大值为___________．
例27．(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为___________．
例28．(2023·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________．
例29．(2023·天津河北·二模）已知，，且，则的最大值为___________．
例30．(2023·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______．
题型四：换元消元法
例31．(2023·江西省铜鼓中学高一开学考试）已知，，，则的最大值为___________．
例32．(2023·福建三明·高二期末）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
例33．(2023·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．
例34．(2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________．
例35．(2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________．
例36．(2023·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））的最大值为______．
例37．(2023·江苏省上冈高级中学高二期中）设正实数、、满足，当取得最大值时，的最小值为______．
例38．(2023·浙江杭州·高一期末）已知x，y＝R+，且满足x2y6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝_____．
例39．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若实数满足，则的最大值为________．
例40．(2023·江苏连云港·高二期末（文））已知，，则的最小值为____．
例41．(2023·黑龙江·铁人中学高二期中）若y均为正实数，且，则的最小值为________．
微专题04 利用基本不等式解决多元最值问题
【方法技巧与总结】
利用基本不等式求解多元最值的常用技巧
（1）互倒模型
（2）平方和与积的转换
（3）条件等式求范围
（4）换元消元法
【题型归纳目录】
题型一：互倒模型
题型二：平方和与积的转换
题型三：条件等式求范围
题型四：换元消元法
【典型例题】
题型一：互倒模型
例1．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（ ）
A．16B．18C．20D．22
答案：C
【解析】因为，，所以
（当且仅当时，等号成立），所以的最小值是20．
故选：C
例2．(2023·天津·一模）设，那么 的最小值是___________．
答案：16
【解析】因，则，当且仅当，即时取“=”，
因此，，当且仅当，即时取“=”，
所以，当时，取最小值16．
故答案为：16
例3．(2023·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数，且，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为正实数，，故，
所以，
故，
当且仅当时取得等号，
故选：C
例4．(2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足1，则的最小值为__．
答案：16
【解析】因为正数a，b满足1，
则有1，
则有，
1，即有，
则有16，
当且仅当即有b＝2a，又1，
即有a，b＝3，取得最小值，且为16．
故答案为：16．
例5．(2023·全国·高三专题练习）已知实数，，则的最小值为___________．
答案：【解析】因为，，
所以
当"取等号“
综上所述：的最小值为；
故答案为：
例6．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知，当取到最小值时，___________．
答案：【解析】知，当取到最小值时，
由题意知：
，
当且仅当，即时取等，
故当取到最小值时，．
故答案为：．
例7．(2023·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数满足，，则的最小值为__________．
答案：
【解析】由，得，，
则，
，当且仅当时取“=”，
所以当时，的最小值为．
故答案为：
题型二：平方和与积的转换
例8．(2023·全国·高一专题练习）是不同时为0的实数，则的最大值为________．
答案：
【解析】，
，
当且仅当时取等号，所以
的最大值为．
故答案为：．
例9．(2023·浙江·高一阶段练习）若实数m，n满足，则的最小值是___________．
答案：【解析】解析：令，则，因为，所以．从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为．
故答案为：．
例10．(2023·辽宁·高二期末）若实数满足，则的最小值为__________．
答案：4
【解析】，设，则，，
，
，
等号在，即，或时成立．
所以的最小值为4．
故答案为：4
例11．(2023·河南·高二阶段练习（文））已知，则的最大值为______．
答案：
【解析】当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立．
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立．
因此，当时，取得最大值，即．
故答案为：．
例12．(2023·浙江·高一课时练习）若均为正实数，则的最大值是_______．
答案：
【解析】因为均为正实数，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
故答案为：．
例13．(2023·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知，，，则的最大值为________．
答案：
【解析】，
，即，当且仅当，即或时，等号成立，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
例14．(2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．
答案：1
【解析】因为，当时取等号，所以
的最大值是，即，
解得，所以a的最大值是1．
故答案为：
例15．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
答案：D
【解析】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故选：D
例16．已知实数，且，则的最大值为______．
答案：
【解析】由，所以，
又由，
当且仅当时，等号成立，所以．
故答案为：．
例17．(2023·天津英华国际学校高一阶段练习）设且，则的最大值为_______
答案：
【解析】由题意，
由均值不等式，当时，，
当且仅当即时等号成立
故，即
当且仅当即时等号成立
故答案为：
例18．(2023·江苏泰州·高一阶段练习）已知正实数，，满足，则的最大值为___________．
答案：
【解析】∵，，为正实数，
∴，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴的最大值为．
故答案为：
例19．(2023·四川巴中·高一期中）已知正实数，满足，则的最小值为________．
答案：12【解析】因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：．
题型三：条件等式求范围
例20．(2023·全国·高三专题练习）设，则的最小值等于（ ）
A．2B．4C．D．
答案：B
【解析】因为，可得且，
所以，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最小值为．
故选：B．
例21．(2023·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知实数，满足，则的最小值为__________．
答案：
【解析】设，，，
可得，
则．
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：．
例22．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知，，且，则的最小值为__________．
答案：
【解析】因为
所以
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为．
故答案为：
例23．(2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足，则的最小值是__．
答案：
【解析】设，则，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，取得最小值．
故答案为：．
例24．(2023·山东德州·高二期末）若，且满足，则的最小值为______．
答案：3
【解析】由
又，则
所以
当且仅当以及，即时取得等号．
所以的最小值为3
故答案为：3
例25．(2023·上海交大附中高一期中）已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
答案：
【解析】因为正实数，，满足，
则，
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
令，，
则原式
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，
故答案为：．
例26．(2023·江苏苏州·高二竞赛）已知正实数a，b，c满足，且，则c的最大值为___________．
答案：
【解析】由，则，可得，当且仅当时取等；
又由可得，由可得，
则，则c的最大值为．
故答案为：．
例27．(2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为___________．
答案：4
【解析】由题得，
所以．
（当且仅当时取等）
因为，所以的最小值为4．
故答案为：4
例28．(2023·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________．
答案：
【解析】直线过点，则
又，设，则

由，当且仅当，即时等号成立．
所以，即
所以的最大值为，当且仅当时等号成立．
故答案为：
例29．(2023·天津河北·二模）已知，，且，则的最大值为___________．
答案：
【解析】因为，，且，
所以
又，当且仅当，即时取等号，
，当且仅当，即时取等号，
所以，则，
即，当且仅当、时取等号；
故答案为：
例30．(2023·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______．
答案：
【解析】因为、且，
所以
当仅当时取等号，
即解得或（舍去），当且仅当、时取等号；
故答案为：
题型四：换元消元法
例31．(2023·江西省铜鼓中学高一开学考试）已知，，，则的最大值为___________．
答案：
【解析】，当时取等，
所以，
故令，则，
所以，
当时，等号成立．
所以的最大值为
故答案为：
例32．(2023·福建三明·高二期末）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
答案：A
【解析】因为，所以，所以 ，
所以，
令，则，且 ，
所以，当且仅当，即，时，取等号，
所以的最小值是．
故选：A．
例33．(2023·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．
答案：
【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，
所以a＝，
则＝＝＝﹣2 （）2+，
当，即b＝2 时取得最大值．
故答案为：．
例34．(2023·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________．
答案：
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
令，
则，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
例35．(2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________．
答案：
【解析】令，则，即，
所以，
当时，；
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以．
所以的最大值为．
故答案为：．
例36．(2023·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））的最大值为______．
答案：
【解析】令，则，，
所以，当且仅当，即时，等号成立．
所以的最大值为．
故答案为：．
例37．(2023·江苏省上冈高级中学高二期中）设正实数、、满足，当取得最大值时，的最小值为______．
答案：
【解析】正实数、、满足，则，
，当且仅当时，等号成立，
所以，当时，取得最大值，此时，
，当且仅当时，等号成立．
因此，的最小值为．
故答案为：．
例38．(2023·浙江杭州·高一期末）已知x，y＝R+，且满足x2y6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝_____．
答案：
【解析】∵x，y＝R+，设，则，
∴
∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y，
∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，
∴，
∵xy的最大值与最小值分别为M和m，
∴M，m，
∴M+m．
例39．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若实数满足，则的最大值为________．
答案：
【解析】由，得，
设，其中．
则，从而，
记，则，
不妨设，则，
当且仅当，即时取等号，即最大值为．
故答案为：．
例40．(2023·江苏连云港·高二期末（文））已知，，则的最小值为____．
答案：2
【解析】∵x，y＞0，则＝，
设＝t，t＞0，
则＝（t+1）+﹣2≥2﹣2＝4﹣2＝2，
当且仅当t+1＝，即t＝1时取等号，此时x＝y，
故的最小值为2，
故答案为2
例41．(2023·黑龙江·铁人中学高二期中）若y均为正实数，且，则的最小值为________．
答案：
【解析】令，则，
由得，即，
所以，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，即，当且仅当，时，等号成立．
故答案为：．