高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题06含参数不等式问题的处理策略(原卷版+解析)

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解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。
【题型归纳目录】
题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）
题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）
题型三：分式、根式含参数不等式问题
题型四：绝对值含参不等式问题
【典型例题】
题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）
例1．(2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)．
例2．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于的不等式.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集.
例3．(2023·全国·高一专题练习）设，则关于的不等式的解集是_________.
例4．(2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．
题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）
例5．(2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式．
例6．解关于的不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
例7．解关于的不等式：
（1）；
（2）．
题型三：分式、根式含参数不等式问题
例8．不等式的解集是
A．B．或
C．D．或
例9．(2023秋•清河区校级期中）已知，解不等式．
例10．(2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式（其中）
例11．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为S，若且，则实数的取值范围为_____;
例12．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于的不等式：（为实数）
(1)
(2).
例13．(2023·全国·高一课时练习）解不等式：．
题型四：绝对值含参不等式问题
例14．(2023春•安平县校级期中）对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．，
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是______．
例16．(2023·全国·高一专题练习）设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A是B的真子集，则a的取值范围为___．
由A是B的真子集，得 ，∴2＜a＜4．
又当a＝2时，A＝{x|1＜x＜3}， a＝4时，A＝{x|3＜x＜5}， 均满足A是B的真子集，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4
例17．(2023·全国·高一单元测试）若不等式的解集中的整数有且仅有2、3，则的取值范围是______．
例18．(2023·上海·高一课时练习）解关于x的不等式：.
例19．(2023·上海嘉定·高一期末）已知集合，集合．若．求实数的取值范围．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·四川德阳·高一期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(-1，0)
3．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A．B．C．D．5
5．(2023·全国·高一课时练习）已知，关于x的不等式的解集可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．(2023·全国·高一课时练习）已知集合 ， ，设全集为R，若，则实数m的取值范围为______．
7．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为正实数，关于的不等式的解集为，则当的值变化时，集合中的元素个数的最小值为______;
8．(2023·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．
四、解答题
9．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
已知一元二次不等式的解集或，关于的不等式的解集为（其中）．
(1)求、的值；
(2)求集合；
(3)是否存在实数，使得______？
10．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）设集合，若，求实数的取值范围.
11．(2023·全国·高一课时练习）已知集合若求实数的取值范围．
12．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））解关于的不等式.
13．(2023·全国·高一专题练习）当a≤0时，解关于x的不等式．
14．(2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式 ．
15．(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知关于x不等式的解集为或．
(1)求实数、的值.
(2)解关于x不等式+(ac+b)xbc>0.
16．(2023·安徽宣城·高一期中）（1）已知不等式的解集为，求m，n的值；
（2）求关于x的不等式 （其中）的解集.
微专题06 含参数不等式问题的处理策略
【方法技巧与总结】
解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。
【题型归纳目录】
题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）
题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）
题型三：分式、根式含参数不等式问题
题型四：绝对值含参不等式问题
【典型例题】
题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型）
例1．(2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)．
【解析】（1）依题意，
，
解得，
所以不等式的解集为.
（2）依题意，
，
解得，
所以不等式的解集为.
例2．(2023·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于的不等式.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集.
【解析】（1）因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得；
（2），
当a=0，不等式为，不等式的解集为；
当时，不等式化为，不等式的解集为
当时，方程的两个根分别为：.
当时，两根相等，故不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或，.
综上：
当时，不等式的解集为
当a=0，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
例3．(2023·全国·高一专题练习）设，则关于的不等式的解集是_________.
答案：
【解析】时，，且，
则关于的不等式可化为，
解得或， 所以不等式的解集为，，．
故答案为：
例4．(2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．
【解析】（1）当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，
∴不等式的解集为；
（2）不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，
当a＞0时，，
的根为：，
①当时，，∴不等式解集为，
②当时，，不等式解集为∅，
③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，
综上，当时，不等式解集为，
当a时，不等式解集为，
当时，不等式解集为{x|x＜1}．．
题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）
例5．(2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式．
【解析】（1）当时，原不等式，解得，
不等式解集为；
（2）当时，，
开口向上，由图象得：
若时，，
的两个零点为，，
不等式的解集为；
若时，，不等式解集为；
（3）当时，，
的两个零点为，
开口向下，
由图象得不等式解集为；
综上可知，当时不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
例6．解关于的不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【解析】解：（1）等价于，
当时，不等式的解集为，
当时，等价于，
即当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为空集，
当时，不等式的解集为，，
当时，不等式等价于，
即不等式的解集为，，
（2）等价于
当时，不等式的解集为，
当时，不等式等价于，不等式的解集为
当时，不等式等价于，
当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，，
（3）；
当时，不等式的解集为，，
当时，且△时，即时，不等式的解集为，，
当是，且△时，即时，不等式的解集为空集，
当时，且△时，即时，不等式的解集为，，，
（4），
当△时，即时，的根为（舍去）或，
若当时，即时，不等式的解集为，，
若当时，即时，不等式的解集为空集
若当时，即时，不等式的解集为空集
当△时，即时，不等式的解集为空集，
当△时，即时，不等式的解集为空集，
综上所述当时，不等式的解集为，，当时，不等式的解集为空集．
例7．解关于的不等式：
（1）；
（2）．
【解析】解：（1）△时，解得或．
当或时，不等式化为，此时不等式的解集为．
由△解得或，此时不等式化为 ，
解得，此时不等式的解集为：
；
△时，即时，不等式的解集为．
综上可得：时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为．
（2）当时，不等式化为，解得，此时不等式的解集为．
当时，由△，解得或．
当或且时，不等式化为．
当或时，不等式的解集为或．
当时，不等式的解集为．
综上可得：当时，不等式的解集为．
当或时，不等式的解集为或．
当时，不等式的解集为．
题型三：分式、根式含参数不等式问题
例8．不等式的解集是
A．B．或
C．D．或
答案：A
【解析】解：不等式可化为：，
即，
解得：或，
又由，且得：．
综上可得：．
故不等式的解集是，
故选：．
例9．(2023秋•清河区校级期中）已知，解不等式．
【解析】解：原不等式化为①
（1）当时，原不等式为．
在①中，分子中的系数含有字母，分类讨论就从这里引起．
（2）当时，原不等式化为． ②
对于不等式②，分子中的系数不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变．
当时，原不等式等价于．
由于，可解得．也可先确定两根，，
然后直接写出解集．
当时，等价于．
由可解得或．
综上，当时原不等式的解集为．
当时，解集为
当时，解集为．
例10．(2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式（其中）
【解析】，
又由知
当时，则集合；
当时，原不等式解集为空集；
当时，则集合；
综上：当时，；
当时，为空集；
当时，.
例11．(2023·上海交大附中高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为S，若且，则实数的取值范围为_____;
答案：；
【解析】由题意，
故且，可得
由可得，或；
由可得，
因此：
故答案为：
例12．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于的不等式：（为实数）
(1)
(2).
【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：，
，
当时，，原不等式无解；
当时，对应一元二次方程的两个解为：，
所以的解为：，
综上所述，时，原不等式无解，当时，原不等式的解集为；
（2）原不等式等价于，
当时，解集为；
当时，原不等式可化为，
因为，所以解集为；
当时，，解集为；
当时，原不等式等价于，
所以，解集为；
当时，，解集为；
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为.
例13．(2023·全国·高一课时练习）解不等式：．
【解析】且．
当时，且且，
此时原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，且且或，
此时原不等式的解集为或．
综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或．
题型四：绝对值含参不等式问题
例14．(2023春•安平县校级期中）对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【解析】解：不等式恒成立，
的图象不能在 的图象的下方，如图所示：
；
故选：．
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是______．
答案：
【解析】由，得，∴．
由，得.
显然，∴，解得．
故答案为：.
例16．(2023·全国·高一专题练习）设集合A＝{x||x﹣a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A是B的真子集，则a的取值范围为___．
答案：2≤a≤4
【解析】由|x﹣a|＜1，得﹣1＜x﹣a＜1，∴a﹣1＜x＜a+1，
由A是B的真子集，得 ，∴2＜a＜4．
又当a＝2时，A＝{x|1＜x＜3}， a＝4时，A＝{x|3＜x＜5}， 均满足A是B的真子集，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4
例17．(2023·全国·高一单元测试）若不等式的解集中的整数有且仅有2、3，则的取值范围是______．
答案：
【解析】由可得，也就是，
因为解集中的整数只有2,3，所以，
所以，故．
填．
例18．(2023·上海·高一课时练习）解关于x的不等式：.
【解析】两边平方，得，
即.
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
例19．(2023·上海嘉定·高一期末）已知集合，集合．若．求实数的取值范围．
【解析】
由得，解得，即．
又由解得，即．
因为，所以，解得．
因此所求实数的取值范围是．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为不等式的解集为，
由题意得不等式的解集是的子集，
不等式，即，
①当时，不等式的解集为，满足；
②当时，不等式的解集为，
若，则，
所以；
③当时，不等式的解集为，满足；
综上所述，实数a的取值范围为．
故选：B．
2．(2023·四川德阳·高一期末）若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(-1，0)
答案：C
【解析】不等式 等价于，设 ，
显然a=0不符合题意，
若 ， ， 是开口向上，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，解集为 或 ，不符合题意；
若 ，则是开口向下，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，依题意解集为 ， ，即 ，
故选：C.
3．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．
故选：C
二、多选题
4．(2023·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A．B．C．D．5
答案：ABD
【解析】解不等式，得或
解方程，得
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，依题意，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，
则需满足：，即；
所以k的取值范围为.
故选：ABD.
5．(2023·全国·高一课时练习）已知，关于x的不等式的解集可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式等价于，解得或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式等价于，解得或．
故选:BCD．
三、填空题
6．(2023·全国·高一课时练习）已知集合 ， ，设全集为R，若，则实数m的取值范围为______．
答案：
【解析】解不等式，得，所以或 ，
，
因为，
当时，，满足题意；
当时，，满足题意．
当时，，
由，得，所以．
综上，m的取值范围为．
故答案为：
7．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为正实数，关于的不等式的解集为，则当的值变化时，集合中的元素个数的最小值为______;
答案：
【解析】由方程，可解得，当且仅当时，等号成立，
则，即，由，则集合中的元素最少有个，
故答案为：.
8．(2023·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式的解集是全体实数，求实数a的取值范围________．
答案：
【解析】根据题意，
当时，可得，解得，
当时，不等式显然成立.
综上可得，，
故答案为：.
四、解答题
9．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
已知一元二次不等式的解集或，关于的不等式的解集为（其中）．
(1)求、的值；
(2)求集合；
(3)是否存在实数，使得______？
【解析】（1）因为一元二次不等式的解集或，
则关于的一元二次方程的两根分别为、，
所以，，解得.
（2）由（1）可得.
当时，；
当时，；
当时，.
（3）若选①，或，由，则，
当时，；
当时，，不合乎题意；
当时，，合乎题意.
综上所述，；
选②，当时，，此时，不合乎题意；
当时，，若，则，此时；
当时，，此时.
综上所述，或；
选③，.
当时，；
当时，，则；
当时，，不合乎题意.
综上所述，.
10．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）设集合，若，求实数的取值范围.
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
由，而，
若，有（等号不同时成立），则；
若，显然成立；
若，有（等号不同时成立），则；
综上，.
11．(2023·全国·高一课时练习）已知集合若求实数的取值范围．
【解析】集合，，
若，一定非空，
若，得，，成立，
若，即或者，设，
(1)，
即，对称轴所以，
(2)，
即，对称轴，不成立，
综上，．
12．(2023·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））解关于的不等式.
【解析】①当时，原不等式可化为，解得；
②当时，原不等式可化为，解得；
③当时，原不等式可化为，
当，即时，解得或；
<ⅱ>当，即时，解得或；
<ⅲ>当，即时，解得或.
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
13．(2023·全国·高一专题练习）当a≤0时，解关于x的不等式．
【解析】由可得（ax＋1）（x－2）≥0
①当a＝0时，原不等式即x－2≥0﹐解得x≥2﹔
②当a<0时，（ax＋1）（x－2）≥0，
方程（ax＋1）（x－2）＝0的两根为，
当时，原不等式解为：x＝2﹔
当时，，原不等式的解为；，
当时，，原不等式的解为：，
综上，当a＝0时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解为：．
14．(2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式 ．
【解析】方程中，
①当即时，不等式的解集是，
②当，即时，不等式的解集是，
③当即时，
由解得：，
时，不等式的解集是或，
综上，时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是，
时，不等式的解集是或，
15．(2023·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知关于x不等式的解集为或．
(1)求实数、的值.
(2)解关于x不等式+(ac+b)xbc>0.
【解析】(1)因为不等式的解集为或，
所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且 b>1．
由根与系数的关系得 ，解得.
(2)原不等式化为，即，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为．
16．(2023·安徽宣城·高一期中）（1）已知不等式的解集为，求m，n的值；
（2）求关于x的不等式 （其中）的解集.
【解析】（1）由题意，，
不等式为，即，解得，所以；
（2）不等式可化为，
时，或，
时，，
时，或．
综上，时，不等式的解集为，时，解集为．