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高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题07具体函数与抽象函数定义域(原卷版+解析)
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这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题07具体函数与抽象函数定义域(原卷版+解析)，共28页。
一．已知具体函数解析式求其定义域，主要考查方向有：
（1）整式函数定义域为全体实数；
（2）分式的分母不为零；
（3）偶次根号下被开方数非负；
（4）在中底数；
（5）若f（x）是由几个部分构成的，则应采用交集法；
（6）实际问题结合变量的实际意义来确定．
二．含抽象函数复合函数类型的定义域，主要考查方向有：
（1）已知原函数的定义域求复合函数的定义域；
（2）已知复合函数的定义域求原函数的定义域；
（3）已知复合函数的定义域求复合函数的定义域．
【题型归纳目录】
题型一：具体函数的定义域
题型二：抽象函数的定义域
题型三：复合函数的定义域
题型四：已知函数的定义域求参数
题型五：实际问题中的定义域
【典型例题】
题型一：具体函数的定义域
例1．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的定义域是（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·四川省内江市第二中学高一开学考试）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
例3．(2023·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．且D．且
例4．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，集合，则（ ）．
A．B．C．D．
例6．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.
(1)；
(2).
题型二：抽象函数的定义域
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例9．(2023·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为______；若函数的定义域为，则函数的定义域为______.
例10．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______；
（2）已知函数的定义域为，则的定义域为______．
例11．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例12．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
例13．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
例14．(2023·全国·高一专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
题型三：复合函数的定义域
例16．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例17．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的定义域为 （ ）
A．B．C．且D．且
例18．(2023·湖北·黄冈中学新兴分校高一期中）已知，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
例19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
例21．(2023·广东·广州市第二中学高一期中）已知函数的定义域为，函数的定义域为集合B．
(1)求集合B；
(2)设不等式的解集为A，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
题型四：已知函数的定义域求参数
例22．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
例23．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是__________.
例24．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
例25．(2023·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例26．(2023·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______；
（2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______.
题型五：实际问题中的定义域
例27．(2023·全国·高一课时练习）高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm，其中长边 AD 为 x cm，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E．
(1)用 x 表示图1中的面积；
(2)已知镀金工艺是2元/，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．
例28．(2023·湖南·高一课时练习）已知圆的直径为4，将该圆的内接矩形（四个点都在圆周上）的面积表示为它的一边的长的函数，并求出其定义域．
例29．(2023·全国·高一专题练习）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(如等)上铺草坪，造价为80元/m2．设AD长为x m，DQ长为y m．
(1)试找出与满足的等量关系式；
(2)设总造价为元，试建立与的函数关系；
(3)若总造价不超过138 000元，求长的取值范围．
例30．(2023·上海·格致中学高一期末）已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域）
例31．(2023·全国·高一课时练习）一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（ ）
A．B．
C．D．
例32．(2023·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为20 cm，设矩形的宽为x（cm），面积为，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．(2023·福建省永泰县第一中学高一开学考试）下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．y=t+1C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（ ）．
A．B．C．D．
5．(2023·安徽·高一阶段练习）欧拉公式被数学家们称为“宇宙第一公式”．（其中无理数e＝2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274…），如果记e小数点后第n位上的数字为y，则y是关于n的函数，记为．设此函数定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
6．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
7．(2023·安徽省舒城中学高一阶段练习）设函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是________.
8．(2023·上海·高一专题练习）若等腰三角形的周长为，将腰长表示成底边长的函数（需注明定义域）_______.
9．(2023·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.
10．(2023·全国·高一课时练习）（1）若函数在区间上有意义，则实数的取值范围为______；
（2）若函数的定义域为，则实数的值为______．
11．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
12．(2023·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）函数的定义域是______，则的定义域是___________．
四、解答题
13．(2023·吉林油田高级中学高一开学考试）设全集为R，，．
(1)若a=5，求，；
(2)若，且“”是“”的______，求实数a的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．
14．(2023·全国·高一课时练习）求抽象函数的定义域.
(1)已知函数，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域为，求的定义域.
15．(2023·江苏·高一专题练习）若f(x)的定义域为，求的定义域．
微专题07 具体函数与抽象函数定义域
【方法技巧与总结】
一．已知具体函数解析式求其定义域，主要考查方向有：
（1）整式函数定义域为全体实数；
（2）分式的分母不为零；
（3）偶次根号下被开方数非负；
（4）在中底数；
（5）若f（x）是由几个部分构成的，则应采用交集法；
（6）实际问题结合变量的实际意义来确定．
二．含抽象函数复合函数类型的定义域，主要考查方向有：
（1）已知原函数的定义域求复合函数的定义域；
（2）已知复合函数的定义域求原函数的定义域；
（3）已知复合函数的定义域求复合函数的定义域．
【题型归纳目录】
题型一：具体函数的定义域
题型二：抽象函数的定义域
题型三：复合函数的定义域
题型四：已知函数的定义域求参数
题型五：实际问题中的定义域
【典型例题】
题型一：具体函数的定义域
例1．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的定义域是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题， 函数定义域满足，解得.
故选：C
例2．(2023·四川省内江市第二中学高一开学考试）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
答案：C
【解析】由题意知：且.
故选：C.
例3．(2023·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．且D．且
答案：D
【解析】由函数解析式有意义可得
且，
所以函数的定义域是且，
故选：D.
例4．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由已知得，解得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，集合，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以，即，故，
因为，且，得，
所以且，因此，故B项正确.
故选：B.
例6．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
分析：
根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.
（1）要使该函数有意义，只需，解得，且，
所以该函数的定义域为:
（2）要使该函数有意义，只需，解得，且，
所以该函数的定义域为:
题型二：抽象函数的定义域
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：C.
例8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
例9．(2023·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为______；若函数的定义域为，则函数的定义域为______.
答案：
【解析】因为函数的定义域为，即，
所以，，故函数的定义域为.
因为函数的定义域为，即，所以，
则函数的定义域为，令，得，所以函数的定义域为.
故答案为: ，
例10．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______；
（2）已知函数的定义域为，则的定义域为______．
答案：
【解析】解:（1）因为函数的定义域为，
所以，即，所以，
所以函数的定义域为．
（2）因为函数的定义域为，即，
所以，即的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域为．
故答案为：（1）；（2）.
例11．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为函数的定义域为，
所以，则，
所以，解得，
所以的定义域为，
故选：B
例12．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
答案：
【解析】因为函数的定义域为，所以，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
例13．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
答案：
【解析】由解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
例14．(2023·全国·高一专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
答案：
【解析】因的定义域为，则当时，，
即的定义域为，于是中有，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
答案：
【解析】函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
题型三：复合函数的定义域
例16．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】∵的定义域为，∴，，则．令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是．
故选：C．
例17．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的定义域为 （ ）
A．B．C．且D．且
答案：C
【解析】因为，所以，又因为在中，，所以，所以，
所以的定义域为且.
故选：C
例18．(2023·湖北·黄冈中学新兴分校高一期中）已知，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】,,的定义域为.
又，且.
的定义域是.
故选：A
例19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意得：，即，又，
∴．
故选：B
例20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【解析】因为函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
例21．(2023·广东·广州市第二中学高一期中）已知函数的定义域为，函数的定义域为集合B．
(1)求集合B；
(2)设不等式的解集为A，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题意，解得，所以；
(2)若是的充分不必要条件，则且，
方程的两根为，
即时，，即时，，，即时，,
满足题意，显然不合题意，
时，，无解．
所以的范围是．
题型四：已知函数的定义域求参数
例22．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【解析】由题意，函数的定义域为，
即在上恒成立，
当时，对任意恒成立；
当时，要使恒成立，即方程无实根，
只需判别式，解得，
综上，实数的取值范围是.
例23．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是__________.
答案：
【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，
所以的范围是.
故答案为：
例24．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，
所以的范围是.
故选：A
例25．(2023·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由题意可知，函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立.
当时，当时，，
所以不等式在上恒成立显然不成立，
当时，则满足，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
例26．(2023·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______；
（2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______.
答案：
【解析】（1）根据题意，知关于x的不等式的解集为.
当时，不符合题意；
当时，关于x的不等式的解集为，故，所以.
综上，.
（2）根据题意，知当时，关于x的不等式恒成立.
当a＝0时，符合题意；
当a≠0时，设，根据一次函数的性质，得解得.
综上，.
故答案为：-1；
题型五：实际问题中的定义域
例27．(2023·全国·高一课时练习）高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm，其中长边 AD 为 x cm，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E．
(1)用 x 表示图1中的面积；
(2)已知镀金工艺是2元/，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．
【解析】（1）因为cm，所以cm，
设 cm，则cm，
因为，，，
所以，所以cm，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
所以，
所以的面积．
所以的面积；
（2）设一个会徽的镀金费用为y元，
则，
当且仅当，，即时等号成立，
所以当AD为cm时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为元．
例28．(2023·湖南·高一课时练习）已知圆的直径为4，将该圆的内接矩形（四个点都在圆周上）的面积表示为它的一边的长的函数，并求出其定义域．
【解析】由题意，
，
显然小于直径，所以，即定义域为．
例29．(2023·全国·高一专题练习）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(如等)上铺草坪，造价为80元/m2．设AD长为x m，DQ长为y m．
(1)试找出与满足的等量关系式；
(2)设总造价为元，试建立与的函数关系；
(3)若总造价不超过138 000元，求长的取值范围．
【解析】(1)由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，
得出与满足的等量关系式为：；
(2)由(1)得
；
(3)由，得，
，即，
∴长的取值范围是，．
例30．(2023·上海·格致中学高一期末）已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域）
答案：
【解析】根据题意得，
由三角形两边之和大于第三边得，
所以，即，
又因为，解得
所以该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为
故答案为：
例31．(2023·全国·高一课时练习）一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】∵，∴.
由题意得解得.
∴.
故选：D.
例32．(2023·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为20 cm，设矩形的宽为x（cm），面积为，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由矩形的周长为20 cm，矩形的宽为x（cm），则矩形的长为（cm），
∴面积为.
故选：C.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由，
，
所以.
故选：C
2．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，解得
故选：D
二、多选题
3．(2023·福建省永泰县第一中学高一开学考试）下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．y=t+1C．D．
答案：BD
【解析】两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.
函数的定义域是.
的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数；
与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；
与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；
与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.
故选：BD．
4．(2023·全国·高一课时练习）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（ ）．
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】由交汇函数定义可知：交汇函数表示函数定义域与值域交集为；
对于A，的定义域，值域，则，A错误；
对于B，的定义域，值域，则，B正确；
对于C，的定义域为，值域，则，C错误；
对于D，的定义域为，值域，则，D正确.
故选：BD.
5．(2023·安徽·高一阶段练习）欧拉公式被数学家们称为“宇宙第一公式”．（其中无理数e＝2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274…），如果记e小数点后第n位上的数字为y，则y是关于n的函数，记为．设此函数定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】由题意得：，，，，
所以，，，，
故选：BC
三、填空题
6．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
答案：
【解析】的定义域是R，则恒成立，
时，恒成立，
时，则，解得，
综上，．
故答案为：．
7．(2023·安徽省舒城中学高一阶段练习）设函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是________.
答案：
【解析】因为函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立，
转化为.
因为，
当且仅当时等号成立，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
8．(2023·上海·高一专题练习）若等腰三角形的周长为，将腰长表示成底边长的函数（需注明定义域）_______.
答案：
【解析】因为等腰三角形的周长，所以，根据三角形任意两边之和大于第三边可知，所以函数解析式为.
故答案为
9．(2023·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.
答案：
【解析】因为函数的定义域为，
所以要使函数有意义，只需，即，
所以函数的定义城是.
故答案为：
10．(2023·全国·高一课时练习）（1）若函数在区间上有意义，则实数的取值范围为______；
（2）若函数的定义域为，则实数的值为______．
答案：
【解析】（1）由题意知：当时，恒成立；
当时，恒成立，满足题意；
当时，设，由一次函数性质知：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）由题意知：的解集为；
当时，显然不合题意；
当时，的解集为，，解得：.
综上所述：实数的值为.
故答案为：；.
11．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
答案：
【解析】由题可得，解得，，且；
的定义域为：．
故答案为：.
12．(2023·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）函数的定义域是______，则的定义域是___________．
答案： 且； 且.
【解析】由可得且，
所以函数的定义域是：且，
由可得且，
所以的定义域是且,
故答案为：且；且.
四、解答题
13．(2023·吉林油田高级中学高一开学考试）设全集为R，，．
(1)若a=5，求，；
(2)若，且“”是“”的______，求实数a的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．
【解析】（1）当a=5时，，
因为需满足，解得，所以，
所以，或 ．
（2）若选择①充分不必要条件，则，
因为，故，不等式无解，故，
若选择②必要不充分条件，则，所以，解得，
所以实数a的取值范围为．
若选择③充要条件，则A＝B，由题意，故．
14．(2023·全国·高一课时练习）求抽象函数的定义域.
(1)已知函数，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域为，求的定义域.
【解析】(1)由，
得，解得：，
∴函数的定义域为，
由，得，
即函数的定义域为.
(2)∵函数的定义域为，
∴，则，
即函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为.
15．(2023·江苏·高一专题练习）若f(x)的定义域为，求的定义域．
【解析】因f(x)的定义域为，又，则，即，解得，
所以函数的定义域为.
一．已知具体函数解析式求其定义域，主要考查方向有：
（1）整式函数定义域为全体实数；
（2）分式的分母不为零；
（3）偶次根号下被开方数非负；
（4）在中底数；
（5）若f（x）是由几个部分构成的，则应采用交集法；
（6）实际问题结合变量的实际意义来确定．
二．含抽象函数复合函数类型的定义域，主要考查方向有：
（1）已知原函数的定义域求复合函数的定义域；
（2）已知复合函数的定义域求原函数的定义域；
（3）已知复合函数的定义域求复合函数的定义域．
【题型归纳目录】
题型一：具体函数的定义域
题型二：抽象函数的定义域
题型三：复合函数的定义域
题型四：已知函数的定义域求参数
题型五：实际问题中的定义域
【典型例题】
题型一：具体函数的定义域
例1．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的定义域是（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·四川省内江市第二中学高一开学考试）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
例3．(2023·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．且D．且
例4．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，集合，则（ ）．
A．B．C．D．
例6．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.
(1)；
(2).
题型二：抽象函数的定义域
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例9．(2023·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为______；若函数的定义域为，则函数的定义域为______.
例10．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______；
（2）已知函数的定义域为，则的定义域为______．
例11．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例12．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
例13．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
例14．(2023·全国·高一专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
题型三：复合函数的定义域
例16．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例17．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的定义域为 （ ）
A．B．C．且D．且
例18．(2023·湖北·黄冈中学新兴分校高一期中）已知，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
例19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
例20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
例21．(2023·广东·广州市第二中学高一期中）已知函数的定义域为，函数的定义域为集合B．
(1)求集合B；
(2)设不等式的解集为A，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
题型四：已知函数的定义域求参数
例22．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
例23．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是__________.
例24．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
例25．(2023·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例26．(2023·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______；
（2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______.
题型五：实际问题中的定义域
例27．(2023·全国·高一课时练习）高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm，其中长边 AD 为 x cm，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E．
(1)用 x 表示图1中的面积；
(2)已知镀金工艺是2元/，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．
例28．(2023·湖南·高一课时练习）已知圆的直径为4，将该圆的内接矩形（四个点都在圆周上）的面积表示为它的一边的长的函数，并求出其定义域．
例29．(2023·全国·高一专题练习）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(如等)上铺草坪，造价为80元/m2．设AD长为x m，DQ长为y m．
(1)试找出与满足的等量关系式；
(2)设总造价为元，试建立与的函数关系；
(3)若总造价不超过138 000元，求长的取值范围．
例30．(2023·上海·格致中学高一期末）已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域）
例31．(2023·全国·高一课时练习）一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（ ）
A．B．
C．D．
例32．(2023·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为20 cm，设矩形的宽为x（cm），面积为，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．(2023·福建省永泰县第一中学高一开学考试）下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．y=t+1C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（ ）．
A．B．C．D．
5．(2023·安徽·高一阶段练习）欧拉公式被数学家们称为“宇宙第一公式”．（其中无理数e＝2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274…），如果记e小数点后第n位上的数字为y，则y是关于n的函数，记为．设此函数定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
6．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
7．(2023·安徽省舒城中学高一阶段练习）设函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是________.
8．(2023·上海·高一专题练习）若等腰三角形的周长为，将腰长表示成底边长的函数（需注明定义域）_______.
9．(2023·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.
10．(2023·全国·高一课时练习）（1）若函数在区间上有意义，则实数的取值范围为______；
（2）若函数的定义域为，则实数的值为______．
11．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
12．(2023·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）函数的定义域是______，则的定义域是___________．
四、解答题
13．(2023·吉林油田高级中学高一开学考试）设全集为R，，．
(1)若a=5，求，；
(2)若，且“”是“”的______，求实数a的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．
14．(2023·全国·高一课时练习）求抽象函数的定义域.
(1)已知函数，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域为，求的定义域.
15．(2023·江苏·高一专题练习）若f(x)的定义域为，求的定义域．
微专题07 具体函数与抽象函数定义域
【方法技巧与总结】
一．已知具体函数解析式求其定义域，主要考查方向有：
（1）整式函数定义域为全体实数；
（2）分式的分母不为零；
（3）偶次根号下被开方数非负；
（4）在中底数；
（5）若f（x）是由几个部分构成的，则应采用交集法；
（6）实际问题结合变量的实际意义来确定．
二．含抽象函数复合函数类型的定义域，主要考查方向有：
（1）已知原函数的定义域求复合函数的定义域；
（2）已知复合函数的定义域求原函数的定义域；
（3）已知复合函数的定义域求复合函数的定义域．
【题型归纳目录】
题型一：具体函数的定义域
题型二：抽象函数的定义域
题型三：复合函数的定义域
题型四：已知函数的定义域求参数
题型五：实际问题中的定义域
【典型例题】
题型一：具体函数的定义域
例1．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数 的定义域是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题， 函数定义域满足，解得.
故选：C
例2．(2023·四川省内江市第二中学高一开学考试）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
答案：C
【解析】由题意知：且.
故选：C.
例3．(2023·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．且D．且
答案：D
【解析】由函数解析式有意义可得
且，
所以函数的定义域是且，
故选：D.
例4．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由已知得，解得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，集合，则（ ）．
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以，即，故，
因为，且，得，
所以且，因此，故B项正确.
故选：B.
例6．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
分析：
根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.
（1）要使该函数有意义，只需，解得，且，
所以该函数的定义域为:
（2）要使该函数有意义，只需，解得，且，
所以该函数的定义域为:
题型二：抽象函数的定义域
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：C.
例8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
例9．(2023·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为______；若函数的定义域为，则函数的定义域为______.
答案：
【解析】因为函数的定义域为，即，
所以，，故函数的定义域为.
因为函数的定义域为，即，所以，
则函数的定义域为，令，得，所以函数的定义域为.
故答案为: ，
例10．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______；
（2）已知函数的定义域为，则的定义域为______．
答案：
【解析】解:（1）因为函数的定义域为，
所以，即，所以，
所以函数的定义域为．
（2）因为函数的定义域为，即，
所以，即的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域为．
故答案为：（1）；（2）.
例11．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为函数的定义域为，
所以，则，
所以，解得，
所以的定义域为，
故选：B
例12．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.
答案：
【解析】因为函数的定义域为，所以，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
例13．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
答案：
【解析】由解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
例14．(2023·全国·高一专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
答案：
【解析】因的定义域为，则当时，，
即的定义域为，于是中有，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
例15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
答案：
【解析】函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
题型三：复合函数的定义域
例16．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的定义域为，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】∵的定义域为，∴，，则．令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是．
故选：C．
例17．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的定义域为 （ ）
A．B．C．且D．且
答案：C
【解析】因为，所以，又因为在中，，所以，所以，
所以的定义域为且.
故选：C
例18．(2023·湖北·黄冈中学新兴分校高一期中）已知，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】,,的定义域为.
又，且.
的定义域是.
故选：A
例19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意得：，即，又，
∴．
故选：B
例20．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【解析】因为函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
例21．(2023·广东·广州市第二中学高一期中）已知函数的定义域为，函数的定义域为集合B．
(1)求集合B；
(2)设不等式的解集为A，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题意，解得，所以；
(2)若是的充分不必要条件，则且，
方程的两根为，
即时，，即时，，，即时，,
满足题意，显然不合题意，
时，，无解．
所以的范围是．
题型四：已知函数的定义域求参数
例22．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【解析】由题意，函数的定义域为，
即在上恒成立，
当时，对任意恒成立；
当时，要使恒成立，即方程无实根，
只需判别式，解得，
综上，实数的取值范围是.
例23．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是__________.
答案：
【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，
所以的范围是.
故答案为：
例24．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，
当时，，解得，因此得，
所以的范围是.
故选：A
例25．(2023·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由题意可知，函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立.
当时，当时，，
所以不等式在上恒成立显然不成立，
当时，则满足，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
例26．(2023·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数a的值为______；
（2）若函数在区间上有意义，则实数a的取值范围为______.
答案：
【解析】（1）根据题意，知关于x的不等式的解集为.
当时，不符合题意；
当时，关于x的不等式的解集为，故，所以.
综上，.
（2）根据题意，知当时，关于x的不等式恒成立.
当a＝0时，符合题意；
当a≠0时，设，根据一次函数的性质，得解得.
综上，.
故答案为：-1；
题型五：实际问题中的定义域
例27．(2023·全国·高一课时练习）高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm，其中长边 AD 为 x cm，将沿BD向折叠，BC折过去后交AD于点E．
(1)用 x 表示图1中的面积；
(2)已知镀金工艺是2元/，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．
【解析】（1）因为cm，所以cm，
设 cm，则cm，
因为，，，
所以，所以cm，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
所以，
所以的面积．
所以的面积；
（2）设一个会徽的镀金费用为y元，
则，
当且仅当，，即时等号成立，
所以当AD为cm时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为元．
例28．(2023·湖南·高一课时练习）已知圆的直径为4，将该圆的内接矩形（四个点都在圆周上）的面积表示为它的一边的长的函数，并求出其定义域．
【解析】由题意，
，
显然小于直径，所以，即定义域为．
例29．(2023·全国·高一专题练习）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(如等)上铺草坪，造价为80元/m2．设AD长为x m，DQ长为y m．
(1)试找出与满足的等量关系式；
(2)设总造价为元，试建立与的函数关系；
(3)若总造价不超过138 000元，求长的取值范围．
【解析】(1)由已知，十字形区域面积为矩形面积的四倍与正方形面积之和，
得出与满足的等量关系式为：；
(2)由(1)得
；
(3)由，得，
，即，
∴长的取值范围是，．
例30．(2023·上海·格致中学高一期末）已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域）
答案：
【解析】根据题意得，
由三角形两边之和大于第三边得，
所以，即，
又因为，解得
所以该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为
故答案为：
例31．(2023·全国·高一课时练习）一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】∵，∴.
由题意得解得.
∴.
故选：D.
例32．(2023·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为20 cm，设矩形的宽为x（cm），面积为，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由矩形的周长为20 cm，矩形的宽为x（cm），则矩形的长为（cm），
∴面积为.
故选：C.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由，
，
所以.
故选：C
2．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，解得
故选：D
二、多选题
3．(2023·福建省永泰县第一中学高一开学考试）下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．y=t+1C．D．
答案：BD
【解析】两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.
函数的定义域是.
的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数；
与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；
与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；
与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.
故选：BD．
4．(2023·全国·高一课时练习）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（ ）．
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】由交汇函数定义可知：交汇函数表示函数定义域与值域交集为；
对于A，的定义域，值域，则，A错误；
对于B，的定义域，值域，则，B正确；
对于C，的定义域为，值域，则，C错误；
对于D，的定义域为，值域，则，D正确.
故选：BD.
5．(2023·安徽·高一阶段练习）欧拉公式被数学家们称为“宇宙第一公式”．（其中无理数e＝2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274…），如果记e小数点后第n位上的数字为y，则y是关于n的函数，记为．设此函数定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】由题意得：，，，，
所以，，，，
故选：BC
三、填空题
6．(2023·安徽·合肥市第十中学高一期中）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
答案：
【解析】的定义域是R，则恒成立，
时，恒成立，
时，则，解得，
综上，．
故答案为：．
7．(2023·安徽省舒城中学高一阶段练习）设函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是________.
答案：
【解析】因为函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立，
转化为.
因为，
当且仅当时等号成立，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
8．(2023·上海·高一专题练习）若等腰三角形的周长为，将腰长表示成底边长的函数（需注明定义域）_______.
答案：
【解析】因为等腰三角形的周长，所以，根据三角形任意两边之和大于第三边可知，所以函数解析式为.
故答案为
9．(2023·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.
答案：
【解析】因为函数的定义域为，
所以要使函数有意义，只需，即，
所以函数的定义城是.
故答案为：
10．(2023·全国·高一课时练习）（1）若函数在区间上有意义，则实数的取值范围为______；
（2）若函数的定义域为，则实数的值为______．
答案：
【解析】（1）由题意知：当时，恒成立；
当时，恒成立，满足题意；
当时，设，由一次函数性质知：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）由题意知：的解集为；
当时，显然不合题意；
当时，的解集为，，解得：.
综上所述：实数的值为.
故答案为：；.
11．(2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
答案：
【解析】由题可得，解得，，且；
的定义域为：．
故答案为：.
12．(2023·陕西·宝鸡市渭滨中学高一阶段练习）函数的定义域是______，则的定义域是___________．
答案： 且； 且.
【解析】由可得且，
所以函数的定义域是：且，
由可得且，
所以的定义域是且,
故答案为：且；且.
四、解答题
13．(2023·吉林油田高级中学高一开学考试）设全集为R，，．
(1)若a=5，求，；
(2)若，且“”是“”的______，求实数a的取值范围．
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．
【解析】（1）当a=5时，，
因为需满足，解得，所以，
所以，或 ．
（2）若选择①充分不必要条件，则，
因为，故，不等式无解，故，
若选择②必要不充分条件，则，所以，解得，
所以实数a的取值范围为．
若选择③充要条件，则A＝B，由题意，故．
14．(2023·全国·高一课时练习）求抽象函数的定义域.
(1)已知函数，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域为，求的定义域.
【解析】(1)由，
得，解得：，
∴函数的定义域为，
由，得，
即函数的定义域为.
(2)∵函数的定义域为，
∴，则，
即函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为.
15．(2023·江苏·高一专题练习）若f(x)的定义域为，求的定义域．
【解析】因f(x)的定义域为，又，则，即，解得，
所以函数的定义域为.
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