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高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题09函数的单调性问题(原卷版+解析)
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这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题09函数的单调性问题(原卷版+解析)，共47页。
一．证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
二．函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
三．单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
（2）函数在区间上是减函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
四．复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．
列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．
【题型归纳目录】
题型一：直接判断函数单调性
题型二：定义法证明单调性
题型三：证明抽象函数的单调性
题型四：求单调区间
题型五：根据单调性求参数
题型六：根据图像判断单调性
题型七：复合函数的单调性
题型八：比较函数值的大小关系
【典型例题】
题型一：直接判断函数单调性
例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．(2023·江苏·高一）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
题型二：定义法证明单调性
例4．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
例6．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
例7．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数满足，且.
(1)求和函数的解析式；
(2)用定义法证明在其定义域的单调性.
题型三：证明抽象函数的单调性
例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.
例9．(2023·河北沧州·高一开学考试）设是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数都有；②当时，；③.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.
例10．(2023·辽宁·育明高中高一期末）已知函数对任意，都有，且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
例11．(2023·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③
(1)求的值.
(2)求证：对任意
(3)证明：在上是増函数.
例12．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
题型四：求单调区间
例14．(2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)；
(2)．
例15．(2023·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.
例16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．
例17．(2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：根据单调性求参数
例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.
例19．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
例20．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
例21．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例23．(2023·全国·高一课时练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
例24．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型六：根据图像判断单调性
例25．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
例26．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义城为
B．函数的值域为
C．当时，有两个不同的值与之对应
D．当、时，
例27．(2023·重庆复旦中学高一期中）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增B．在区间单调递减
C．有最小值D．没有最大值
例28．(2023·山东泰安·高一期中）设函数，则（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递增，在上单调递减
C．的最小值为
D．在上单调递增，在上单调递减
题型七：复合函数的单调性
例29．(2023·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
例30．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1]B．[1，）C．[1，4]D．[2，1]
例31．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（ ）．
A．B．C．D．
例32．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
例33．(2023·河北·邯郸市旭日中学高一期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
题型八：比较函数值的大小关系
例34．(2023·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
例35．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设，，，则( )
A．B．C．D．
例36．(2023·上海市建平中学高一期中）设，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例37．(2023·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例38．(2023·全国·高一课时练习）函数在是增函数，若，则有 （ ）
A．B．
C．D．
题型九：根据函数单调性解不等式
例39．(2023·全国·高一课时练习）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例40．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，
那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（ ）
A．（-1，2）B．（1，4）
C．（-∞，1]∪[4，+∞）D．（-∞，-1]∪[2，+∞）
例41．(2023·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（ ）
A．B．C．D．
例42．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例43．(2023·全国·高一课时练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．（-2，1）C．（0，）D．（0，2）
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江苏省如皋中学高一期末）解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（ ）
A．B．函数不是周期函数
C．D．函数在上不是单调函数
3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高一课时练习）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减B．单调递增区间为
C．最大值为2D．没有最小值
9．(2023·黑龙江·哈尔滨七十三中高一期中）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为3，最小值为
B．最大值为，无最小值
C．单调递增区间为和，单调递减区间为和
D．单调递增区间为和，单调递减区间为和
10．(2023·广东·普宁市第二中学高一阶段练习）下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．(2023·浙江浙江·高一期中）若函数在区间上是单调函数，则实数t的取值范围是__________．
12．(2023·江苏·高一）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
13．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数(常数).
(1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.
14．(2023·全国·高一专题练习）已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的的个数.
15．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
(1)证明：当时，；
(2)判断的单调性并加以证明；
(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
微专题09 函数的单调性问题
【方法技巧与总结】
一．证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
二．函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
三．单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
（2）函数在区间上是减函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
四．复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．
列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．
【题型归纳目录】
题型一：直接判断函数单调性
题型二：定义法证明单调性
题型三：证明抽象函数的单调性
题型四：求单调区间
题型五：根据单调性求参数
题型六：根据图像判断单调性
题型七：复合函数的单调性
题型八：比较函数值的大小关系
【典型例题】
题型一：直接判断函数单调性
例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，在区间上为减函数，不符合题意
故选：B
例2．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】A. 由一次函数的性质知：在上为增函数，故错误；
B. 由二次函数的性质知：在的图像开口向下，对称轴为，
所以函数在递增，在 上递减，故错误；
C. 由反比例函数的性质知：在 上递增，在递增，
则在上为增函数，故错误；
D. 由知：函数在上为减函数，故正确；
故选：D.
例3．(2023·江苏·高一）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
答案：A
【解析】若函数在上严格递增，对任意的、且，，
由不等式的性质可得，即，
所以，在上严格递增，
所以，“在上严格递增”“在上严格递增”；
若在上严格递增，不妨取，
则函数在上严格递增，但函数在上严格递减，
所以，“在上严格递增”“在上严格递增”.
因此，“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件.
故选：A.
题型二：定义法证明单调性
例4．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
【解析】（1）任取，且，则，
所以，
所以，所以在区间上单调递增；
（2）当时，，
由可得，解得，
故不等式的解集为
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
【解析】在区间上单调递增，理由如下：
任取，，且，
．
因为，
所以，，，
所以
所以，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增．
例6．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
【解析】（1）证明：设对任意的，则
由题设可得，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由题知，
又的定义域为关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得在上为减函数，
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
例7．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数满足，且.
(1)求和函数的解析式；
(2)用定义法证明在其定义域的单调性.
【解析】（1）由，则有，
又由，则；
所以.
（2）证明：在其定义域为单调增函数.
证明：，其定义域为，
令，所以，
所以，
因为，，
所以，
所以在其定义域为单调增函数.
题型三：证明抽象函数的单调性
例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.
【解析】（1）令，则，解得：；
（2）设，则，
，，，是定义域上的减函数；
（3）由得：，即，
又，，
是定义域上的减函数，，解得：；
又，，
的解集为.
例9．(2023·河北沧州·高一开学考试）设是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数都有；②当时，；③.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.
【解析】(1)根据题意，令，有对任意都成立，所以.
因为可得，
；
(2)在上是单调递减的函数，理由如下：
对任意的，有：，
，
所以在上是单调递减的函数.
(3)，
由于在上是单调递减，
只需要有解，即，
又因为是正数，只需要，即或（舍）
当时，因为二次函数的对称轴是，一定有，
，所以在内必定有解.
综上可知，的取值范围是.
例10．(2023·辽宁·育明高中高一期末）已知函数对任意，都有，且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
【解析】(1)依题意，且时，，
令，则，
，
任取，
，
由于，所以，
所以，所以在上递增.
(2)由（1）知，在上递增，
，
.
(3)依题意，在上递增，.
，，
，
当时，不等式的解集为空集.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
例11．(2023·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③
(1)求的值.
(2)求证：对任意
(3)证明：在上是増函数.
【解析】（1）因为，，
所以；
（2）证明：令，
则，所以，
当时，，所以，
则，
所以，
所以对任意；
（3）证明：设，
则，所以，
由，
所以在上是増函数.
例12．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
【解析】(1)得，则，
而，
且，则；
(2)取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
(3)由条件①及（1）的结果得，
，，
，，解得，
故的取值集合为.
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
【解析】证明：任取、，且，
则．
因为，所以，所以，即，
所以函数是上的增函数．
题型四：求单调区间
例14．(2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)；
(2)．
【解析】（1）画出的图象如图所示，
可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．
（2） ，作出该函数的图象如图所示，
观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
例15．(2023·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.
【解析】（1） 函数的解析式．
，；
（2）因为且，
所以，解得，
，解得（舍去），
，解得，
综上或．
（3）画出函数的图象如图：
由图可知，函数的单调递增区间，单调递减区间为，函数的值域．
例16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．
答案：和.
【解析】解析:时，，对称轴，开口向上，在递增，
时，，对称轴，开口向下，在递增，
函数的递增区间是和.
故答案为：和.
例17．(2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到， 如下图
的单调增区间是．
故选：C.
题型五：根据单调性求参数
例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.
答案：
【解析】由题意知，解得，
所以实数a的值为.
当时，在区间上是减函数，所以满足题意；
当时，因为在区间上是减函数，
所以，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：；.
例19．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
答案：
【解析】因为函数，
故当时，单调递减，当时，单调递增.
因为函数的增区间是，
所以，所以.
故答案为：.
例20．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
答案：
【解析】由题意， 的对称轴为 ，即 或 ，
或 ，
故答案为： .
例21．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】当a=0时，，不符合题意.
当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.
当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.
综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.
故选：A.
例22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．
当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；
当时，函数图象的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，
当时，函数在区间上单调递增，
要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．
故实数t的取值范围为．
故选：A
例23．(2023·全国·高一课时练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
答案：D
【解析】根据题意，任意实数都有成立，
所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是：,.
故选：D.
例24．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：AC
【解析】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
题型六：根据图像判断单调性
例25．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
答案：BD
【解析】由图象知：
A.函数的定义域为，故错误；
B.函数的值域为，故正确；
C. 函数在，上递增，但在定义域内不单调，故错误；
D.对于任意的，都有唯一的自变量与之对应，故正确；
故选：BD
例26．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义城为
B．函数的值域为
C．当时，有两个不同的值与之对应
D．当、时，
答案：D
【解析】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义城不是，故A错误；
对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误；
对于C：由图象可知，当时，有个不同的值与之对应，故C错误；
对于D：由图象可知函数在上单调递增，
所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确.
故选：D.
例27．(2023·重庆复旦中学高一期中）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增B．在区间单调递减
C．有最小值D．没有最大值
答案：B
【解析】作出图像如下实线部分：
由图可知：在区间，上单调递增，在，上单调递减，
故A错误，B正确
没有最小值，有最大值1，故CD错误
故选：B.
例28．(2023·山东泰安·高一期中）设函数，则（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递增，在上单调递减
C．的最小值为
D．在上单调递增，在上单调递减
答案：B
【解析】函数的定义域为，其图象如下图所示：
由图象知：
A. 无最大值，故错误；
B. 在上单调递增，在上单调递减，故正确；
C. 无最小值，故错误；
D. 在上单调递减，在上单调递增，故错误；
故选：B
题型七：复合函数的单调性
例29．(2023·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，得或，则函数的定义域为，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调增区间为，
故选：C
例30．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1]B．[1，）C．[1，4]D．[2，1]
答案：D
【解析】由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
例31．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】令，若，可得，
∴在上递增，在上递减；
又在定义域上为递减，
∴在上递减.
故选：D
例32．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】的定义域为．
函数由与复合而成，
当时，单调递增，当时，单调递减，
又在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为．
故选：C
例33．(2023·河北·邯郸市旭日中学高一期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，即，即解得，
即函数的定义域为，
函数在上单调递减，在定义域上单调递增；
由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为
故选：B．
题型八：比较函数值的大小关系
例34．(2023·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由可得函数在上是增函数，
所以.
故选：D.
例35．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设，，，则( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因函数在上单调递增，
故，即.
故选:A.
例36．(2023·上海市建平中学高一期中）设，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】令，
因为在上递增，且，
所以函数在在上递减，
所以，
即，所以，
故A正确，B错误；
因为，
所以，故C错误；
因为，
当且仅当，即时，取等号，
又，
所以，故D错误.
故选：A.
例37．(2023·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】二次函数的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，
且当时，对于函数，随着的增大而增大，
又因为，因此，.
故选：B.
例38．(2023·全国·高一课时练习）函数在是增函数，若，则有 （ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，
又函数在上是增函数，故
故选：C.
题型九：根据函数单调性解不等式
例39．(2023·全国·高一课时练习）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为函数在R单调递增，且，
所以当时，，
不等式可化为，
所以，
当时，，
不等式可化为，
所以满足条件的不存在，
当时，，不满足关系，
所以满足的x的取值范围是，
故选：D.
例40．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，
那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（ ）
A．（-1，2）B．（1，4）
C．（-∞，1]∪[4，+∞）D．（-∞，-1]∪[2，+∞）
答案：D
【解析】不等式可变形为，
∵，是函数图象上的两点，∴，，
∴等价于不等式，
又因为函数是上的增函数，
∴等价于，
解得，
∴不等式的解集为：，
∴其补集为：．
故选：D．
例41．(2023·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】可转化为，不妨设，则，∴.
令，由单调性定义可知，为上的增函数.
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴，
∴，即x的取值范围为.
故选：B.
例42．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，
所以，解得．
故选：B
例43．(2023·全国·高一课时练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．（-2，1）C．（0，）D．（0，2）
答案：A
【解析】因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当a=0时，函数在R上单调递增，
所以在上单调递增，则a＝0符合题意；
当 时，函数是二次函数，又在上单调递增，
由二次函数的性质知， ，解得.
综上，实数a的取值范围是,
故选:A.
2．(2023·江苏省如皋中学高一期末）解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（ ）
A．B．函数不是周期函数
C．D．函数在上不是单调函数
答案：B
【解析】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，对于任意非零有理数，若为任意有理数，则也为有理数，所以，若为任意无理数，则也为无理数，所以，所以任意非零有理数，为实数，都有，所以有理数为函数的周期，所以B错误，
对于C，当为有理数时，，当为无理数时，，所以，所以C正确，
对于D，对于任意，且，若都为有理数或都为无理数，则，若为有理数，为无理数，则，若为无理数，为有理数，则，所以函数在上不是单调函数，所以D正确，
故选：B
3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，
由可得；由可得，综上可得.
故选：C.
4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因在上单调递增，在上单调递增，
因此，函数在R上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
5．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题设，恒成立，
令，则，
所以只需即可，故.
故选：D
6．(2023·全国·高一课时练习）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】在R上单调递增，在上单调递增.
要使函数是定义在R上的增函数，
只需，解得：或.
所以实数m的取值范围是.
故选：B
7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为在上单调递减，且最小值为-1.
所以要使函数f(x)=是R上的递减函数，
只需，解得：.
故选：C
二、多选题
8．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减B．单调递增区间为
C．最大值为2D．没有最小值
答案：ABC
【解析】由得，即函数的定义域为，
令，则的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故A，B正确；
，当x＝－3时，，当x＝1时，，则，故C正确，D错误.
故选：ABC.
9．(2023·黑龙江·哈尔滨七十三中高一期中）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为3，最小值为
B．最大值为，无最小值
C．单调递增区间为和，单调递减区间为和
D．单调递增区间为和，单调递减区间为和
答案：BC
【解析】在同一坐标系中先画出与的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
然后根据定义画出，
就容易看出有最大值，无最小值，
故A错误，
当时，由，得舍或，
此时的最大值为：，无最小值，
故B正确，
时，由，解得：（舍去），
故F在，递增，在和递减
故C正确，D错误，
故选：BC．
10．(2023·广东·普宁市第二中学高一阶段练习）下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】A. 由复合函数单调性原理得在上为增函数,符合题意；
B. 的图象对称轴为，所以函数在上是先减后增，所以该选项不符合题意；
C. 时，是增函数，所以该选项符合题意；
D. 在上是减函数，所以该选项不符合题意.
故选：AC
三、填空题
11．(2023·浙江浙江·高一期中）若函数在区间上是单调函数，则实数t的取值范围是__________．
答案：
【解析】，
时，时，，满足题意，
时，时，，单调，则
，，
时，时，，单调，则
，，
时，，
，因此在是单调递增，
要使得在上单调，则在上是增函数，
因此，即，无解，
综上，的范围是．
故答案为：．
12．(2023·江苏·高一）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
答案：
【解析】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数(常数).
(1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.
【解析】（1）当时，，
列表如下：
函数图像如下：
（2），
任取，且，
因为该函数在区间上是严格减函数，
所以，
因为，
所以，
因为
所以，得，
因为在上存在自变量，使得函数值为正，
所以在上有解，
因为，所以在上有解，
所以在上有解，
所以，
因为在上递增，所以当时，取得最小值为，
所以，
综上，
因为，
所以或
14．(2023·全国·高一专题练习）已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的的个数.
【解析】(1)任取，且,
则，
因为，则，
因为函数在定义域上单调递增，
所以，在上恒成立，
所以在上恒成立，
∴，，
所以.
(2)因为，
所以，即，
解得：（舍去），或，
因为大于，不大于的整数有个，
所以方程存在整数解，满足条件的有个．
15．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
(1)证明：当时，；
(2)判断的单调性并加以证明；
(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)；
；
当时，；；
当时，.
(2)单调递减.
证明：
即
单调递减
(3)函数的定义域是 ；
恒成立；
由（2），单调递减，恒成立，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立
所以；
又有意义，所以
综上：.
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
……
0
……
……
0
3
2
……
一．证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
二．函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
三．单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
（2）函数在区间上是减函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
四．复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．
列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．
【题型归纳目录】
题型一：直接判断函数单调性
题型二：定义法证明单调性
题型三：证明抽象函数的单调性
题型四：求单调区间
题型五：根据单调性求参数
题型六：根据图像判断单调性
题型七：复合函数的单调性
题型八：比较函数值的大小关系
【典型例题】
题型一：直接判断函数单调性
例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
例3．(2023·江苏·高一）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
题型二：定义法证明单调性
例4．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
例6．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
例7．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数满足，且.
(1)求和函数的解析式；
(2)用定义法证明在其定义域的单调性.
题型三：证明抽象函数的单调性
例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.
例9．(2023·河北沧州·高一开学考试）设是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数都有；②当时，；③.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.
例10．(2023·辽宁·育明高中高一期末）已知函数对任意，都有，且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
例11．(2023·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③
(1)求的值.
(2)求证：对任意
(3)证明：在上是増函数.
例12．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
题型四：求单调区间
例14．(2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)；
(2)．
例15．(2023·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.
例16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．
例17．(2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：根据单调性求参数
例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.
例19．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
例20．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
例21．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例23．(2023·全国·高一课时练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
例24．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型六：根据图像判断单调性
例25．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
例26．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义城为
B．函数的值域为
C．当时，有两个不同的值与之对应
D．当、时，
例27．(2023·重庆复旦中学高一期中）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增B．在区间单调递减
C．有最小值D．没有最大值
例28．(2023·山东泰安·高一期中）设函数，则（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递增，在上单调递减
C．的最小值为
D．在上单调递增，在上单调递减
题型七：复合函数的单调性
例29．(2023·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
例30．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1]B．[1，）C．[1，4]D．[2，1]
例31．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（ ）．
A．B．C．D．
例32．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
例33．(2023·河北·邯郸市旭日中学高一期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
题型八：比较函数值的大小关系
例34．(2023·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
例35．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设，，，则( )
A．B．C．D．
例36．(2023·上海市建平中学高一期中）设，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
例37．(2023·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例38．(2023·全国·高一课时练习）函数在是增函数，若，则有 （ ）
A．B．
C．D．
题型九：根据函数单调性解不等式
例39．(2023·全国·高一课时练习）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例40．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，
那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（ ）
A．（-1，2）B．（1，4）
C．（-∞，1]∪[4，+∞）D．（-∞，-1]∪[2，+∞）
例41．(2023·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（ ）
A．B．C．D．
例42．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
例43．(2023·全国·高一课时练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．（-2，1）C．（0，）D．（0，2）
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江苏省如皋中学高一期末）解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（ ）
A．B．函数不是周期函数
C．D．函数在上不是单调函数
3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·高一课时练习）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减B．单调递增区间为
C．最大值为2D．没有最小值
9．(2023·黑龙江·哈尔滨七十三中高一期中）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为3，最小值为
B．最大值为，无最小值
C．单调递增区间为和，单调递减区间为和
D．单调递增区间为和，单调递减区间为和
10．(2023·广东·普宁市第二中学高一阶段练习）下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．(2023·浙江浙江·高一期中）若函数在区间上是单调函数，则实数t的取值范围是__________．
12．(2023·江苏·高一）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
13．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数(常数).
(1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.
14．(2023·全国·高一专题练习）已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的的个数.
15．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
(1)证明：当时，；
(2)判断的单调性并加以证明；
(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
微专题09 函数的单调性问题
【方法技巧与总结】
一．证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
二．函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（4）记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
三．单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
（2）函数在区间上是减函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
四．复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．
列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．
【题型归纳目录】
题型一：直接判断函数单调性
题型二：定义法证明单调性
题型三：证明抽象函数的单调性
题型四：求单调区间
题型五：根据单调性求参数
题型六：根据图像判断单调性
题型七：复合函数的单调性
题型八：比较函数值的大小关系
【典型例题】
题型一：直接判断函数单调性
例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；
对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，在区间上为减函数，不符合题意
故选：B
例2．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】A. 由一次函数的性质知：在上为增函数，故错误；
B. 由二次函数的性质知：在的图像开口向下，对称轴为，
所以函数在递增，在 上递减，故错误；
C. 由反比例函数的性质知：在 上递增，在递增，
则在上为增函数，故错误；
D. 由知：函数在上为减函数，故正确；
故选：D.
例3．(2023·江苏·高一）设函数的定义域为．则“在上严格递增”是“在上严格递增”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
答案：A
【解析】若函数在上严格递增，对任意的、且，，
由不等式的性质可得，即，
所以，在上严格递增，
所以，“在上严格递增”“在上严格递增”；
若在上严格递增，不妨取，
则函数在上严格递增，但函数在上严格递减，
所以，“在上严格递增”“在上严格递增”.
因此，“在上严格递增”是“在上严格递增”的充分不必要条件.
故选：A.
题型二：定义法证明单调性
例4．(2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
【解析】（1）任取，且，则，
所以，
所以，所以在区间上单调递增；
（2）当时，，
由可得，解得，
故不等式的解集为
例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
【解析】在区间上单调递增，理由如下：
任取，，且，
．
因为，
所以，，，
所以
所以，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增．
例6．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）已知函数.
(1)用单调性定义证明函数在上为减函数；
(2)求函数在上的最大值.
【解析】（1）证明：设对任意的，则
由题设可得，，
，即.
故函数在上为减函数..
（2）由题知，
又的定义域为关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得在上为减函数，
在上也是减函数.
函数在上的最大值为.
例7．(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数满足，且.
(1)求和函数的解析式；
(2)用定义法证明在其定义域的单调性.
【解析】（1）由，则有，
又由，则；
所以.
（2）证明：在其定义域为单调增函数.
证明：，其定义域为，
令，所以，
所以，
因为，，
所以，
所以在其定义域为单调增函数.
题型三：证明抽象函数的单调性
例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.
【解析】（1）令，则，解得：；
（2）设，则，
，，，是定义域上的减函数；
（3）由得：，即，
又，，
是定义域上的减函数，，解得：；
又，，
的解集为.
例9．(2023·河北沧州·高一开学考试）设是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数都有；②当时，；③.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(3)如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.
【解析】(1)根据题意，令，有对任意都成立，所以.
因为可得，
；
(2)在上是单调递减的函数，理由如下：
对任意的，有：，
，
所以在上是单调递减的函数.
(3)，
由于在上是单调递减，
只需要有解，即，
又因为是正数，只需要，即或（舍）
当时，因为二次函数的对称轴是，一定有，
，所以在内必定有解.
综上可知，的取值范围是.
例10．(2023·辽宁·育明高中高一期末）已知函数对任意，都有，且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
【解析】(1)依题意，且时，，
令，则，
，
任取，
，
由于，所以，
所以，所以在上递增.
(2)由（1）知，在上递增，
，
.
(3)依题意，在上递增，.
，，
，
当时，不等式的解集为空集.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
例11．(2023·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）已知定义在上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③
(1)求的值.
(2)求证：对任意
(3)证明：在上是増函数.
【解析】（1）因为，，
所以；
（2）证明：令，
则，所以，
当时，，所以，
则，
所以，
所以对任意；
（3）证明：设，
则，所以，
由，
所以在上是増函数.
例12．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
【解析】(1)得，则，
而，
且，则；
(2)取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
(3)由条件①及（1）的结果得，
，，
，，解得，
故的取值集合为.
例13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
【解析】证明：任取、，且，
则．
因为，所以，所以，即，
所以函数是上的增函数．
题型四：求单调区间
例14．(2023·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)；
(2)．
【解析】（1）画出的图象如图所示，
可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．
（2） ，作出该函数的图象如图所示，
观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
例15．(2023·黑龙江·哈九中高一阶段练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域（直接写出结果即可）.
【解析】（1） 函数的解析式．
，；
（2）因为且，
所以，解得，
，解得（舍去），
，解得，
综上或．
（3）画出函数的图象如图：
由图可知，函数的单调递增区间，单调递减区间为，函数的值域．
例16．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的单调增区间为_______．
答案：和.
【解析】解析:时，，对称轴，开口向上，在递增，
时，，对称轴，开口向下，在递增，
函数的递增区间是和.
故答案为：和.
例17．(2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到， 如下图
的单调增区间是．
故选：C.
题型五：根据单调性求参数
例18．(2023·全国·高一课时练习）已知函数.若的减区间为，则实数a的值为___________；若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为___________.
答案：
【解析】由题意知，解得，
所以实数a的值为.
当时，在区间上是减函数，所以满足题意；
当时，因为在区间上是减函数，
所以，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：；.
例19．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.
答案：
【解析】因为函数，
故当时，单调递减，当时，单调递增.
因为函数的增区间是，
所以，所以.
故答案为：.
例20．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知函数，若对于区间上任意两个不相等的实数，，都有，则实数a的取值范围为___________．
答案：
【解析】由题意， 的对称轴为 ，即 或 ，
或 ，
故答案为： .
例21．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】当a=0时，，不符合题意.
当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.
当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.
综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.
故选：A.
例22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．
当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；
当时，函数图象的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，
当时，函数在区间上单调递增，
要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．
故实数t的取值范围为．
故选：A
例23．(2023·全国·高一课时练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．C．，D．
答案：D
【解析】根据题意，任意实数都有成立，
所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是：,.
故选：D.
例24．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：AC
【解析】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
题型六：根据图像判断单调性
例25．（多选题）(2023·全国·高一课时练习）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
答案：BD
【解析】由图象知：
A.函数的定义域为，故错误；
B.函数的值域为，故正确；
C. 函数在，上递增，但在定义域内不单调，故错误；
D.对于任意的，都有唯一的自变量与之对应，故正确；
故选：BD
例26．(2023·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）函数的图象如图所示（图象与正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义城为
B．函数的值域为
C．当时，有两个不同的值与之对应
D．当、时，
答案：D
【解析】对于A：由图象可知：函数在没有图象，故定义城不是，故A错误；
对于B：由图象可知函数的值域为，故B错误；
对于C：由图象可知，当时，有个不同的值与之对应，故C错误；
对于D：由图象可知函数在上单调递增，
所以，当、时，不妨设，则，则，故D正确.
故选：D.
例27．(2023·重庆复旦中学高一期中）已知，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增B．在区间单调递减
C．有最小值D．没有最大值
答案：B
【解析】作出图像如下实线部分：
由图可知：在区间，上单调递增，在，上单调递减，
故A错误，B正确
没有最小值，有最大值1，故CD错误
故选：B.
例28．(2023·山东泰安·高一期中）设函数，则（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递增，在上单调递减
C．的最小值为
D．在上单调递增，在上单调递减
答案：B
【解析】函数的定义域为，其图象如下图所示：
由图象知：
A. 无最大值，故错误；
B. 在上单调递增，在上单调递减，故正确；
C. 无最小值，故错误；
D. 在上单调递减，在上单调递增，故错误；
故选：B
题型七：复合函数的单调性
例29．(2023·四川巴中·高一期中）的单调增区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，得或，则函数的定义域为，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调增区间为，
故选：C
例30．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1]B．[1，）C．[1，4]D．[2，1]
答案：D
【解析】由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
例31．(2023·江苏·常州市第一中学高一期中）若函数则，该函数的单调递减区间是（ ）．
A．B．C．D．
答案：D
【解析】令，若，可得，
∴在上递增，在上递减；
又在定义域上为递减，
∴在上递减.
故选：D
例32．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】的定义域为．
函数由与复合而成，
当时，单调递增，当时，单调递减，
又在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为．
故选：C
例33．(2023·河北·邯郸市旭日中学高一期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，即，即解得，
即函数的定义域为，
函数在上单调递减，在定义域上单调递增；
由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为
故选：B．
题型八：比较函数值的大小关系
例34．(2023·全国·高一课时练习）已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由可得函数在上是增函数，
所以.
故选：D.
例35．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设，，，则( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因函数在上单调递增，
故，即.
故选:A.
例36．(2023·上海市建平中学高一期中）设，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】令，
因为在上递增，且，
所以函数在在上递减，
所以，
即，所以，
故A正确，B错误；
因为，
所以，故C错误；
因为，
当且仅当，即时，取等号，
又，
所以，故D错误.
故选：A.
例37．(2023·辽宁·沈阳市第八十三中学高一开学考试）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】二次函数的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，
且当时，对于函数，随着的增大而增大，
又因为，因此，.
故选：B.
例38．(2023·全国·高一课时练习）函数在是增函数，若，则有 （ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】，
又函数在上是增函数，故
故选：C.
题型九：根据函数单调性解不等式
例39．(2023·全国·高一课时练习）若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为函数在R单调递增，且，
所以当时，，
不等式可化为，
所以，
当时，，
不等式可化为，
所以满足条件的不存在，
当时，，不满足关系，
所以满足的x的取值范围是，
故选：D.
例40．(2023·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，
那么|f（x+1）|<1的解集的补集是（ ）
A．（-1，2）B．（1，4）
C．（-∞，1]∪[4，+∞）D．（-∞，-1]∪[2，+∞）
答案：D
【解析】不等式可变形为，
∵，是函数图象上的两点，∴，，
∴等价于不等式，
又因为函数是上的增函数，
∴等价于，
解得，
∴不等式的解集为：，
∴其补集为：．
故选：D．
例41．(2023·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】可转化为，不妨设，则，∴.
令，由单调性定义可知，为上的增函数.
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴，
∴，即x的取值范围为.
故选：B.
例42．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，
所以，解得．
故选：B
例43．(2023·全国·高一课时练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．（-2，1）C．（0，）D．（0，2）
答案：A
【解析】因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当a=0时，函数在R上单调递增，
所以在上单调递增，则a＝0符合题意；
当 时，函数是二次函数，又在上单调递增，
由二次函数的性质知， ，解得.
综上，实数a的取值范围是,
故选:A.
2．(2023·江苏省如皋中学高一期末）解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数 以下结论错误的是（ ）
A．B．函数不是周期函数
C．D．函数在上不是单调函数
答案：B
【解析】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，对于任意非零有理数，若为任意有理数，则也为有理数，所以，若为任意无理数，则也为无理数，所以，所以任意非零有理数，为实数，都有，所以有理数为函数的周期，所以B错误，
对于C，当为有理数时，，当为无理数时，，所以，所以C正确，
对于D，对于任意，且，若都为有理数或都为无理数，则，若为有理数，为无理数，则，若为无理数，为有理数，则，所以函数在上不是单调函数，所以D正确，
故选：B
3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，
由可得；由可得，综上可得.
故选：C.
4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因在上单调递增，在上单调递增，
因此，函数在R上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
5．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题设，恒成立，
令，则，
所以只需即可，故.
故选：D
6．(2023·全国·高一课时练习）若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】在R上单调递增，在上单调递增.
要使函数是定义在R上的增函数，
只需，解得：或.
所以实数m的取值范围是.
故选：B
7．(2023·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为在上单调递减，且最小值为-1.
所以要使函数f(x)=是R上的递减函数，
只需，解得：.
故选：C
二、多选题
8．(2023·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减B．单调递增区间为
C．最大值为2D．没有最小值
答案：ABC
【解析】由得，即函数的定义域为，
令，则的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故A，B正确；
，当x＝－3时，，当x＝1时，，则，故C正确，D错误.
故选：ABC.
9．(2023·黑龙江·哈尔滨七十三中高一期中）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为3，最小值为
B．最大值为，无最小值
C．单调递增区间为和，单调递减区间为和
D．单调递增区间为和，单调递减区间为和
答案：BC
【解析】在同一坐标系中先画出与的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
然后根据定义画出，
就容易看出有最大值，无最小值，
故A错误，
当时，由，得舍或，
此时的最大值为：，无最小值，
故B正确，
时，由，解得：（舍去），
故F在，递增，在和递减
故C正确，D错误，
故选：BC．
10．(2023·广东·普宁市第二中学高一阶段练习）下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】A. 由复合函数单调性原理得在上为增函数,符合题意；
B. 的图象对称轴为，所以函数在上是先减后增，所以该选项不符合题意；
C. 时，是增函数，所以该选项符合题意；
D. 在上是减函数，所以该选项不符合题意.
故选：AC
三、填空题
11．(2023·浙江浙江·高一期中）若函数在区间上是单调函数，则实数t的取值范围是__________．
答案：
【解析】，
时，时，，满足题意，
时，时，，单调，则
，，
时，时，，单调，则
，，
时，，
，因此在是单调递增，
要使得在上单调，则在上是增函数，
因此，即，无解，
综上，的范围是．
故答案为：．
12．(2023·江苏·高一）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
答案：
【解析】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．(2023·上海市杨浦高级中学高一期中）已知函数(常数).
(1)若，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2)若该函数在区间上是严格减函数，且在上存在自变量，使得函数值为正，求整数的值.
【解析】（1）当时，，
列表如下：
函数图像如下：
（2），
任取，且，
因为该函数在区间上是严格减函数，
所以，
因为，
所以，
因为
所以，得，
因为在上存在自变量，使得函数值为正，
所以在上有解，
因为，所以在上有解，
所以在上有解，
所以，
因为在上递增，所以当时，取得最小值为，
所以，
综上，
因为，
所以或
14．(2023·全国·高一专题练习）已知函数在定义域上单调递增
(1)求的取值范围；
(2)若方程存在整数解，求满足条件的的个数.
【解析】(1)任取，且,
则，
因为，则，
因为函数在定义域上单调递增，
所以，在上恒成立，
所以在上恒成立，
∴，，
所以.
(2)因为，
所以，即，
解得：（舍去），或，
因为大于，不大于的整数有个，
所以方程存在整数解，满足条件的有个．
15．(2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
(1)证明：当时，；
(2)判断的单调性并加以证明；
(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)；
；
当时，；；
当时，.
(2)单调递减.
证明：
即
单调递减
(3)函数的定义域是 ；
恒成立；
由（2），单调递减，恒成立，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立
所以；
又有意义，所以
综上：.
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
……
0
……
……
0
3
2
……
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