高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题14幂函数与对勾函数(原卷版+解析)

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知识点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
知识点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．
知识点二、幂函数的图象及性质
1、作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
知识点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
知识点三、对勾函数的图象及性质
（1）定义域：；
（2）值域：；
（3）奇偶性：奇函数，函数图象整体呈两个“对勾”的形状，且函数图象关于原点呈中心对称，即；
（4）图象在一、三象限，当时，，（当且仅当取等号），即在时，取最小值；由奇函数性质知：当时，在时，取最大值；
（5）单调性：增区间为，减区间是．
当时，类同．
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的定义、性质与图像
题型二：对勾函数的图象及性质
【典型例题】
题型一：幂函数的定义、性质与图像
例1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的图像不可能是（ ）
A．B．
C．D．
例3．(2023·全国·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
例4．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．在单调递减D．定义域为
例5．（多选题）(2023·全国·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．当时，D．当时，
例6．(2023·全国·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．
例7．(2023·全国·高一期中）已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
例9．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
例10．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．
例11．(2023·广西河池·高一阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求实数m的值；
(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．
例12．(2023·全国·高一学业考试）已知幂函数的图象经过点，则______，若，则实数的取值范围是______．
题型二：对勾函数的图象及性质
例13．(2023·重庆复旦中学高一期中）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．
(1)若函数，，求的最值；
(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
例14．(2023·河南洛阳·高一期中）因函数(t>0)的图象形状象对勾，我们称形如“(t>0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0,]上是减函数，在(,+)上是增函数.
（1）已知利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意[1,3]，总存在[1,3]，使得成立，求实数m的取值范围.
例15．(2023·贵州省思南中学高一阶段练习）已知（双勾函数）．
（1）利用函数的单调性证明在上的单调性；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）画出的简图，并直接写出它单调区间．
例16．(2023·山东济南·高一期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 ________.
例17．(2023·河北易县中学高一期中）已知勾函数在和内均为增函数，在和 内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为___________．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A．－1B．－1或3C．3D．2
3．(2023·全国·高一）若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
4．(2023·广东·揭阳华侨高中高一期中）已知函数是幂函数，且时，f(x)是增函数，则m的值为（ ）
A．-1B．2C．-1或2D．3
5．(2023·全国·高一专题练习）已知，若，则（ ）
A．－2B．－1C．D．2
6．(2023·全国·高一课时练习）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
7．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
二、多选题
8．(2023·广东揭阳·高一期末）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）
A．为偶函数B．为增函数
C．若，则D．若，则
9．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数，则（ ）
A．B．定义域为
C．D．
10．(2023·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知，且，则下列式子一定成立的是（ ）．
A．B．C．D．
11．(2023·福建福州·高一期中）方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数a可能取值是（ ）.
A．B．
C．D．
三、填空题
12．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．
13．(2023·山东济宁·高一期末）已知是奇函数，当时，，则______．
14．(2023·全国·高一课时练习）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
15．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
四、解答题
16．(2023·安徽·池州市贵池区乌沙中学高一期中）已知幂函数的图像过点.
(1)求的值；
(2)证明：函数是增函数.
17．(2023·上海市大同中学高一期末）已知幂函数为偶函数，．
(1)求的解析式；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围．
18．(2023·云南·祥云祥华中学高一期末）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
(1)求函数的解析式.
(2)若，求的取值范围.
微专题14 幂函数与对勾函数
【方法技巧与总结】
知识点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
知识点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．
知识点二、幂函数的图象及性质
1、作出下列函数的图象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
知识点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
知识点三、对勾函数的图象及性质
（1）定义域：；
（2）值域：；
（3）奇偶性：奇函数，函数图象整体呈两个“对勾”的形状，且函数图象关于原点呈中心对称，即；
（4）图象在一、三象限，当时，，（当且仅当取等号），即在时，取最小值；由奇函数性质知：当时，在时，取最大值；
（5）单调性：增区间为，减区间是．
当时，类同．
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的定义、性质与图像
题型二：对勾函数的图象及性质
【典型例题】
题型一：幂函数的定义、性质与图像
例1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的图像不可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.
故选：A
例3．(2023·全国·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，
所以，即，
解得，
所以，
则函数的定义域为，所以排除CD，
因为，所以在上为减函数，
所以排除B，
故选：A
例4．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．在单调递减D．定义域为
答案：C
【解析】设幂函数，
由题意得： ，
故，定义域为 ，故D错误；
定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；
由于 ，故在在单调递减，C正确，
故选：C
例5．（多选题）(2023·全国·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数B．函数为偶函数
C．当时，D．当时，
答案：ACD
【解析】设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
例6．(2023·全国·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．
答案：2
【解析】因为函数是幂函数，
则有，解得或，
当时，函数在上单调递增，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，符合题意.
所以的值为
故答案为：
例7．(2023·全国·高一期中）已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
答案：
【解析】幂函数在上是减函数，
，解得，
，或．
当时，为偶函数满足条件，
当时，为奇函数不满足条件，
则不等式等价为，即，
在R上为增函数，
，解得：.
故答案为：.
例8．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．
答案：＜
【解析】因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．
当m＝－1时，；当m＝2时，．
因为函数对任意的，，且，满足，
所以函数在上单调递增，
所以，
又，
所以函数是奇函数，且为增函数，
因为，
所以，
所以，即．
故答案为：＜.
例9．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】（1）∵是幂函数，∴，∴或2.
当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴.
（2）即，要使此不等式在上恒成立，
令,只需使函数在上的最小值大于0.
∵图象的对称轴为，故在上单调递减，
∴，
由，得，
∴实数k的取值范围是.
例10．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．
【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，
又∵，∴或1．
因为函数是偶函数，将分别代入，
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
的解析式为．
例11．(2023·广西河池·高一阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求实数m的值；
(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．
【解析】(1)∵为幂函数，∴，
解得或，
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
∴；
(2)由（1）得，∴时，，
∵为上的减函数，
∴当时，，
∵，∴，
∴解得，
实数k的取值范围是．
例12．(2023·全国·高一学业考试）已知幂函数的图象经过点，则______，若，则实数的取值范围是______．
答案：
【解析】由题意可得，，所以，
所以幂函数．
可知函数在上单调递增，
由，得，
解得：．
故答案为：；.
题型二：对勾函数的图象及性质
例13．(2023·重庆复旦中学高一期中）因函数的图象形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”，该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．
(1)若函数，，求的最值；
(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由题意知，函数在单调递减，
∴，；
(2)，令，
∵，∴，则，
由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递増，
∴在上是减函数，在上是增函数，
，，．
综上可得，的单调递减区间为，
单调递增区间为，值域为；
(3)由（2）知时，若存在，
使得成立，只需在上值域包含，
则分成以下四种情况：
；；，
解集均为空集，所以m不存在．
例14．(2023·河南洛阳·高一期中）因函数(t>0)的图象形状象对勾，我们称形如“(t>0)”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在(0,]上是减函数，在(,+)上是增函数.
（1）已知利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意[1,3]，总存在[1,3]，使得成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）
令∵1，∴1.
则
由对勾函数的性质，可得在[1，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增，
∴在[1，]上是减函数，在(，3]上是增函数.
，
综上可得，的单调递减区间为[1，]，单调递增区间为(，3]，值域为[0，].
（2）由（1）知时，若存在，3]，使得g()<成立，
只需g(x)=在，3]上有解即可，
即m>(x+)最小值，令u(x)=x+，u(x)在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是
增函数
u(x)最小值=u（2）=4，
∴m>4.
即实数m的取值范围为(4，+.
例15．(2023·贵州省思南中学高一阶段练习）已知（双勾函数）．
（1）利用函数的单调性证明在上的单调性；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）画出的简图，并直接写出它单调区间．
【解析】（1）设，
则，
则，
当时，，则，则，
即，
此时函数为减函数，
当时，，则，则，
即，
此时函数为增函数．
（2），
则函数为奇函数．
（3）由（1）知结合函数奇偶性和单调性作出函数的图象如图：
由图象和性质知的单调递增区间为，，
单调递减区间为，．
例16．(2023·山东济南·高一期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 ________.
答案：或
【解析】由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增.
①当，即时，在上单调递增，，解得；
②当，即时，在上单调递减，，解得(舍去)；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，或.
当时，，
解得或(舍去)，则，经验证，符合题意.
当时，，
解得或，即(舍去)或(舍去).
综上，的值为或.
故答案为：或.
例17．(2023·河北易县中学高一期中）已知勾函数在和内均为增函数，在和 内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为___________．
答案：
【解析】根据题意在，内为增函数；要使在整数集合内为增函数，则即解得，∴实数的取值范围为，故答案为.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．
当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；
当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故应选：D．
2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A．－1B．－1或3C．3D．2
答案：C
【解析】由题意知：，即，解得或，
∴当时，，则在上单调递减，不合题意;
当时，，则在上单调递增，符合题意,
∴,
故选：C
3．(2023·全国·高一）若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若，则
C．为偶函数
D．若，则
答案：D
【解析】设，将代入得：，解得：，所以，定义域为，故不是奇函数也不是偶函数，AC错误；
因为，所以，，B错误；
，，由于，则
，故，D正确.
故选：D
4．(2023·广东·揭阳华侨高中高一期中）已知函数是幂函数，且时，f(x)是增函数，则m的值为（ ）
A．-1B．2C．-1或2D．3
答案：B
【解析】因函数是幂函数，且f(x)是上的增函数，
于是得，解得，
所以m的值为2.
故选：B
5．(2023·全国·高一专题练习）已知，若，则（ ）
A．－2B．－1C．D．2
答案：A
【解析】设，由
，
当且时，即时，等式显然成立，
当时，则有，因为，
所以，
当时，则有，即，
因为函数是实数集上的增函数，
由，而与矛盾，
所以不成立，
当时，则有，即，
因为函数是实数集上的增函数，
由，而与矛盾，
所以不成立，
综上所述：，
故选：A
6．(2023·全国·高一课时练习）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
答案：A
【解析】由函数是幂函数，可得，解得或．
当时，；当时，．
因为函数在上是单调递增函数，故．
又，所以，
所以，则．
故选：A．
7．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B． C．D．
答案：A
【解析】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．
故选：A.
二、多选题
8．(2023·广东揭阳·高一期末）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）
A．为偶函数B．为增函数
C．若，则D．若，则
答案：BCD
【解析】将点代入函数得：，则，
所以，
∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确；
函数在定义域上为增函数，所以B正确；
当时，，即，所以C正确；
若时，
=
=.
即成立，所以D正确.
故选：BCD.
9．(2023·全国·高一课时练习）已知幂函数，则（ ）
A．B．定义域为
C．D．
答案：AC
【解析】为幂函数，，得，A对；
函数的定义域为，B错误；
由于在上为增函数，，C对；
，，D错误，
故选：AC.
10．(2023·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知，且，则下列式子一定成立的是（ ）．
A．B．C．D．
答案：CD
【解析】对A，令，此时满足，但，故A错；
对B，令，，此时满足，但，故B错；
对C，因为，由不等式性质可得，故C正确；
对D，是上的单调递增函数， 时，成立，即，故D正确.
故选：CD
11．(2023·福建福州·高一期中）方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数a可能取值是（ ）.
A．B．
C．D．
答案：AD
【解析】显然不是方程的根，故方程可等价于,
所以原方程的实根是 与曲线的交点的横坐标,
曲线可看作是由曲线向上或向下平移个单位而得到,
若交点均在直线的同侧,因与的交点为,
所以结合图象可得:或恒成立,
所以在上恒成立,或在上恒成立,
所以,或,
即实数的取值范围是.
故选：AD.
三、填空题
12．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．
答案：
【解析】由题意得，函数为幂函数且在内是单调递减，所以，解得．
故答案为：.
13．(2023·山东济宁·高一期末）已知是奇函数，当时，，则______．
答案：-4
【解析】因为是奇函数，当时，，
所以，得，
所以，，
因为是奇函数
所以，
故答案为：
14．(2023·全国·高一课时练习）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
答案：（答案不唯一）
【解析】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
15．(2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
答案：
【解析】幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：
四、解答题
16．(2023·安徽·池州市贵池区乌沙中学高一期中）已知幂函数的图像过点.
(1)求的值；
(2)证明：函数是增函数.
【解析】(1)设幂函数，将点代入得，解得，所以，
则
(2)函数的定义域为
设，且，
则
由，得，，
则，即，
故函数是上增函数.
17．(2023·上海市大同中学高一期末）已知幂函数为偶函数，．
(1)求的解析式；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围．
【解析】（1）因为为偶函数，所以
解得或
当时，为偶函数，满足题意
当时，是非奇非偶函数，不满足题意
所以
（2）因为，所以
所以当时，，为偶函数，
当时，，为非奇非偶函数，
（3）因为函数在上是严格增函数，
所以当时，，即
所以，
因为，所以，所以
因为，所以，所以
18．(2023·云南·祥云祥华中学高一期末）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
(1)求函数的解析式.
(2)若，求的取值范围.
【解析】（1）由是幂函数，则，解得，又是偶函数，
∴是偶数，
又在上单调递增，则，可得，
∴或2.
综上，，即.
（2）由（1）偶函数在上递增，
∴
∴的范围是.