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高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题16对数函数及其性质(原卷版+解析)
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这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题16对数函数及其性质(原卷版+解析)，共55页。
知识点一、对数函数的图象与性质
知识点诠释：
关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．
以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．
知识点二、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
【题型归纳目录】
题型一：对数函数与对数型函数图象问题
题型二：对数函数性质的理解与运用
题型三：对数不等式的解法
题型四：对数函数图象与性质的综合问题
题型五：反函数性质的高级应用
【典型例题】
题型一：对数函数与对数型函数图象问题
例1．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，，均不相等，且= =，则的取值范围是（ ）
A．（1，10）B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)
例3．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上选项均有可能
变式2．(2023·全国·高一专题练习）函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．(2023·湖南·高一期末）已知三个函数的图象示，则（ ）
A．B．
C．D．
变式4．(2023·全国·高一专题练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A．B．
C．D．
变式5．(2023·江西师大附中高一期末）已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式6．(2023·四川·广安二中高一期中）当时，，则的取值范围是
A．B．C．D．
变式7．(2023·黑龙江·哈九中高一期中）已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ）
A．4B．C．9D．
变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（ )
A．B．2C．1D．
变式9．(2023·全国·高一课时练习）已知，，分别为方程，，的根，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
题型二：对数函数性质的理解与运用
例4．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）=m+lg2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-，2]B．（-，2）
C．[2，+）D．（2，+）
例5．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023·陕西省安康中学高一期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式10．(2023·四川攀枝花·高一期末）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式11．(2023·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
变式12．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式13．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式14．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
变式15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式16．(2023·全国·高一课时练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式17．(2023·全国·高一单元测试）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
变式18．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）若函数在区间上恒有，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式19．(2023·全国·高一专题练习）已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式20．(2023·河南平顶山·高一期末）已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．4B．3C．2D．
题型三：对数不等式的解法
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________.
例8．(2023·吉林松原·高一阶段练习）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，，则不等式的解集为___．
例9．(2023·河南新乡·高一期末）已知函数，则不等式的解集为__________．
变式21．(2023·上海市控江中学高一期末）不等式的解集为______.
变式22．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是_______．
变式23．(2023·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）已知实数，且满足则不等式的解集为___________.
变式24．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集是______.
变式25．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集为______．
变式26．(2023·重庆市杨家坪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则的取值范围是________．
变式27．(2023·全国·高一专题练习）不等式lg2(2x＋3)＞lg2(5x－6)的解集为________．
变式28．(2023·全国·高一专题练习），则不等式的解集为__.
变式29．(2023·上海市行知中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为________．
变式30．(2023·云南·昭通市第一中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为___________.
变式31．(2023·浙江·高一期末）已知函数，则不等式的解集为____________．
题型四：对数函数图象与性质的综合问题
例10．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
例11．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)当时，求该函数的值域；
(3)若对于任意恒成立，求的取值范围.
例12．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数．
(1)若在区间为单调增函数，求的取值范围；
(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)设函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
变式32．(2023·上海交大附中高一期中）已知，函数．
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称；
(3)若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
变式33．(2023·全国·高一单元测试）已知函数），当点M（x，y）在函数g（x）的图象上运动时，对应的点在f（x）的图象上运动，则称g（x）是f（x）的相关函数．
(1)解关于x的不等式；
(2)若对任意的，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；
(3)设函数，，当时，求|F（x）|的最大值．
题型五：反函数性质的高级应用
例13．(2023·湖北·高一阶段练习）若实数，满足，，则（ ）
A．B．1C．D．2
例14．(2023·北京市八一中学高一阶段练习）已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1B．2021C．D．4016
例15．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的方程与的根分别为m、n，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式34．(2023·辽宁·高一阶段练习）设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
变式35．(2023·福建师大二附中高一期中）设方程的根为，方程的根为，则（ ）
A．1B．2C．3D．6
变式36．(2023·河北师范大学附属中学高一期中）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）对于实数 ，且， ，且，“ ”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．p＜n＜mB．n＜p＜mC．m＜n＜pD．n＜m＜p
3．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为（参考数据：，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数的图象沿轴向左平移个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·天津·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校高一阶段练习）已知函数，g（x）＝ax2＋2x＋a－1，若对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）下列判断正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上单调递减
C．函数过定点
D．函数的单调递增区间是
10．(2023·浙江师范大学附属中学高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·浙江·杭十四中高一期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
三、填空题
13．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________
14．(2023·天津南开·高一期末）下列命题中：
①与互为反函数，其图像关于对称;
②已知函数，则;
③当，且时，函数必过定点；
④已知，且，则实数.
上述命题中的所有正确命题的序号是___________.
15．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______.
16．(2023·云南省楚雄第一中学高一阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________.
17．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数，若，，则________．
18．(2023·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）已知函数，若有三个不同实根满足，则的取值范围为___________.
四、解答题
19．(2023·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知
(1)求的定义域、并判断函数的奇偶性；
(2)求使的的取值范围.
20．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数
(1)若函数过点，求此时函数的解析式；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
21．(2023·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数，的对称轴为且．
(1)求、的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若不等式成立，求实数的取值范围.
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
微专题16 对数函数及其性质
【方法技巧与总结】
知识点一、对数函数的图象与性质
知识点诠释：
关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．
以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．
知识点二、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
【题型归纳目录】
题型一：对数函数与对数型函数图象问题
题型二：对数函数性质的理解与运用
题型三：对数不等式的解法
题型四：对数函数图象与性质的综合问题
题型五：反函数性质的高级应用
【典型例题】
题型一：对数函数与对数型函数图象问题
例1．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当时，，在处取得最小值，排除C、D，
当时，为减函数，
故选:A．
例2．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，，均不相等，且= =，则的取值范围是（ ）
A．（1，10）B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)
答案：C
【解析】函数的图象如图所示，
不妨设，则，
所以，，
所以，，
所以，
故选：C
例3．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由且定义域为，
所以为奇函数，排除C、D；
又，排除B.
故选：A.
变式1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上选项均有可能
答案：C
【解析】作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
变式2．(2023·全国·高一专题练习）函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当时，在区间上单调递增，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A、B均不满足；当时，在区间上单调递减，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C满足．D不满足.
故选：C.
变式3．(2023·湖南·高一期末）已知三个函数的图象示，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由指数函数图象可知，，
由幂函数的图象可知，，
由对数函数的图象可知，
故可得，
故选：C
变式4．(2023·全国·高一专题练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；
故选：C
变式5．(2023·江西师大附中高一期末）已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
，
，
由函数的图象可知方程有四个不同的实根时，
设与的交点的横坐标为，
设，则，且，，
设与交点的横坐标为，则，
由得，，
，
.
故选：D.
变式6．(2023·四川·广安二中高一期中）当时，，则的取值范围是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当时， ， ，不成立，
当时，当时，，解得：，
如图，若时，时，.
故选B.
变式7．(2023·黑龙江·哈九中高一期中）已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ）
A．4B．C．9D．
答案：C
【解析】由过定点，
∴，
∴，当且仅当，即时取等号．
故选：C．
变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（ )
A．B．2C．1D．
答案：C
【解析】函数中，令，解得，此时；
所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得；所以，
所以．
故选：C．
变式9．(2023·全国·高一课时练习）已知，，分别为方程，，的根，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】在同一直角坐标系中作出函数，，和的大致图像，如图所示.
由函数与图像的交点的横坐标为，
函数与图像的交点的横坐标为，
函数与图像的交点的横坐标为，知.
故选：A.
题型二：对数函数性质的理解与运用
例4．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）=m+lg2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-，2]B．（-，2）
C．[2，+）D．（2，+）
答案：A
【解析】因为函数f（x）=m+lg2x2的定义域是[1，2]，
所以函数f（x）=m+lg2x2，且函数f（x）在上递增，
所以函数f（x）的值域为，
因为f（x）≤4，
所以，解得，
故选：A
例5．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，所以，所以，
故选：D
例6．(2023·陕西省安康中学高一期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可得当时，所以的值域为，
设时，的值域为，则由的值域为R可得，
∴，解得，即．
故选：D
变式10．(2023·四川攀枝花·高一期末）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】当时，，即，则的值域为[0，1]，
当时，，则的值域为，
因为存在，使得，
则
若，
则或，
得或，
则当时，，
即实数a的取值范围是，A，B，C错，D对.
故选：D．
变式11．(2023·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
答案：B
【解析】因为函数的值域为R，
所以取得一切正数，
即方程有实数解，
得，解得或；
又函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，且在上恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围为或.
故选：B
变式12．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，
，，
，，的大小关系为．
故选：D．
变式13．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，由换底公式，有，解得，
∴，A选项错误；
函数为减函数，∴，B选项正确；
，但不一定成立， 不能得到，C选项错误；
，D选项错误.
故选：B
变式14．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
变式15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以为减函数．又由函数在上为减函数，
可得函数在上大于零，且，故有，解得．
故选：A．
变式16．(2023·全国·高一课时练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】方法一 :
由得，
则，解得或.
方法二 :
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，
故选：D．
变式17．(2023·全国·高一单元测试）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由，
二次函数的对称轴为：，
所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，
而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数的单调增区间为，
故选：C
变式18．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）若函数在区间上恒有，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为在上单调递增.要使恒成立;
则只需
故选：A.
变式19．(2023·全国·高一专题练习）已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】函数在上单调递增，则有，
又在上单调递减，则有，
因为，，使得，于是得，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：D
变式20．(2023·河南平顶山·高一期末）已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．4B．3C．2D．
答案：C
【解析】由题意得在上为单调递增函数，
所以，，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
题型三：对数不等式的解法
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________.
答案：
【解析】由题意，则，即，
此时，而、均递增，它们的函数图象如下：
由图知：当时，当时.
综上，的解集是.
故答案为：
例8．(2023·吉林松原·高一阶段练习）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，，则不等式的解集为___．
答案：
【解析】∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数．，∴．则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为．
故答案为：
例9．(2023·河南新乡·高一期末）已知函数，则不等式的解集为__________．
答案：
【解析】由，得，
解得且．
所以不等式的解集为，
故答案为：
变式21．(2023·上海市控江中学高一期末）不等式的解集为______.
答案：
【解析】由，有，根据对数函数的单调性有：，
所以不等式的解集为
故答案为：.
变式22．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是_______．
答案：当时，解集为；当时，解集为
【解析】∵，
∴原不等式等价于，
当>1时，，解得0＜x＜2．
当时，，解得2＜x＜4．
∴当>1时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
故答案为：当>1时，解集为；当时，解集为
变式23．(2023·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）已知实数，且满足则不等式的解集为___________.
答案：
【解析】由实数，且满足，
根据指数函数的单调性，可得，解得，
所以函数为单调递减函数，
则不等式，可得，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.
变式24．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集是______.
答案：
【解析】即为，
故，所以即，
所以，
故答案为：.
变式25．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集为______．
答案：
【解析】由得：，
所以，
解得：
解集为
故答案为：
变式26．(2023·重庆市杨家坪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则的取值范围是________．
答案：
【解析】所给条件等价于的解集为，即的解集为，由此可得： 解得：
故答案为：
变式27．(2023·全国·高一专题练习）不等式lg2(2x＋3)＞lg2(5x－6)的解集为________．
答案：{x| ＜x＜3}
【解析】解析：由
解得即＜x＜3，故不等式的解集为{x|＜x＜3}．
故答案为：{x| ＜x＜3}
变式28．(2023·全国·高一专题练习），则不等式的解集为__.
答案：
【解析】由函数的解析式绘制函数图象如图所示，
易知函数为偶函数，且在区间上单调递减，
故题中的不等式等价于：，
则，平方可得：，解得，
不等式的解集为：.
变式29．(2023·上海市行知中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为________．
答案：或
【解析】∵函数为偶函数，
当时，函数单调递增，，
则不等式的解集为，
故当时，不等式的解集为，
综上，可得不等式的解集为或，
故答案为：或.
变式30．(2023·云南·昭通市第一中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为___________.
答案：
【解析】，
或，
解得或，即，
不等式的解集为.
故答案为：.
变式31．(2023·浙江·高一期末）已知函数，则不等式的解集为____________．
答案：
【解析】易知为减函数，且，
所以等价于，
所以.
所以或.
故答案为：.
题型四：对数函数图象与性质的综合问题
例10．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【解析】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
例11．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)当时，求该函数的值域；
(3)若对于任意恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）；
由,
即,
计算可得或,
或
故解集为：.
（2）,
令,则
,
当时,有最小值,
当时,有最大值5；
所以值域为.
（3）令,则,
原式可化为在上恒成立.
记函数在上单调递增,
,
故的取值范围是.
例12．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数．
(1)若在区间为单调增函数，求的取值范围；
(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)设函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为的图象开口向上，对称轴方程为，
所以在区间为单调增函数需满足，
解得.
（2）①当，即时，在区间为单调增函数，
此时.
②当，即时，在区间上是减函数，在区间上为增函数，此时.
③当即时，在区间上为减函数，
此时，
综上所述，
（3）对任意，不等式恒成立，
即，由（2）知，，
因为，
所以在上为单调递减函数，
所以
①当时，由得解得（舍去）
②当时，由得，即
，解得或，所以.
③当时，由得，解得，所以.
综上，实数的取值范围.
变式32．(2023·上海交大附中高一期中）已知，函数．
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称；
(3)若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
【解析】(1)当a=3时，不等式 ，即，
所以，解得，
故不等式的解集为；
(2)证明：因为，则函数 的定义域为，
任取，则，
则＝＝，
所以函数 的图象关于点成中心对称；
(3)由，可得，
解得，
若 ，则a=1，检验定义域，符合题意；
若 是原方程的解，则；
若 是原方程的解，则，即 ．
因为方程的解集恰有一个元素，
故当 是原方程的解， 不是原方程的解时，则 ；
当 不是原方程的解，是原方程的解时，，又，则，
所以实数a的取值范围为．
变式33．(2023·全国·高一单元测试）已知函数），当点M（x，y）在函数g（x）的图象上运动时，对应的点在f（x）的图象上运动，则称g（x）是f（x）的相关函数．
(1)解关于x的不等式；
(2)若对任意的，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；
(3)设函数，，当时，求|F（x）|的最大值．
【解析】（1）依题意得
则，
所以，
所以原不等式的解集为．
（2）由题意得，
所以，
所以f（x）的相关函数为．
依题意，对任意的，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，
即当时，恒成立①．
由，对任意的总成立，，结合题设条件有，
在此条件下，①等价于当时，恒成立，
即，即．
设，
要使当时，恒成立，
只需，即成立，
解得，即a的取值范围是（0，1]．
（3）由（2）可得当时，在区间（0，1）上，，
即．
设，则．
令，则，
所以，
因为（当且仅当时，等号成立），
可得，当时，等号成立，
满足，则t的最大值为，
所以|F（x）|的最大值是．
题型五：反函数性质的高级应用
例13．(2023·湖北·高一阶段练习）若实数，满足，，则（ ）
A．B．1C．D．2
答案：D
【解析】由可得，所以是方程的解，
即是与图象交点的横坐标，
由可得，所以是方程的解，
即是与图象交点的横坐标，
在平面直角坐标系中分别作出，，的图象如图所示，
因为与互为反函数，图象关于直线对称，
而的图象也关于直线对称，
所以两个交点，关于直线对称，
所以，可得，
故选：D
例14．(2023·北京市八一中学高一阶段练习）已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1B．2021C．D．4016
答案：B
【解析】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，
所以，，即，，
设函数与的交点为，则，，
设函数与的交点为，则，，
因为函数与函数互为反函数，
所以其图象关于对称，
所以点关于对称，即，所以由得，
即.
故选：B.
例15．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的方程与的根分别为m、n，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：B
【解析】由题意，可知，，作出函数，，的图像（如图），
A、B两点的横坐标分别为m、n，且A、B关于直线对称，AB的中点为C，联立可得点C的横坐标为2，因此．
故选：C.
变式34．(2023·辽宁·高一阶段练习）设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，
令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，则p+q＝2；
故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的图象上，
所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即，
两式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，
所以2a＝m+n+p+q＝2020+2＝2022，
解得a＝1011，
故选：A．
变式35．(2023·福建师大二附中高一期中）设方程的根为，方程的根为，则（ ）
A．1B．2C．3D．6
答案：C
【解析】
由可得，
因为方程的根为，
可得是和两个函数图象交点的横坐标，
由可得即，
因为方程的根为，
可得是和两个函数图象交点的横坐标，
由于和互为反函数，图象关于对称，
所以两点关于对称，所以，，
因为点在直线上，可得，
所以，
故选：C
变式36．(2023·河北师范大学附属中学高一期中）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，由于函数的零点为，则函数的零点为.
令，可得，令，可得出，
在同一平面直角坐标系中作出函数、、、的图象，如下图所示：
由于函数、的图象关于直线的对称，
直线与直线垂直，
设直线与函数的交点为点，直线与函数的图象的交点为点，易知点、关于直线对称，
直线与直线的交点为点，且为线段的中点，所以，
因此，.
故选：C.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）对于实数 ，且， ，且，“ ”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：D
【解析】对于实数且，，且，
由不等式，可得或，
故时不一定有，由也不能推出一定是，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
2．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．p＜n＜mB．n＜p＜mC．m＜n＜pD．n＜m＜p
答案：B
【解析】由于幂函数在单调递增，
故，
又，，
∴0＜p＜m＜1，
由对数函数在单调递减，
故，∴n＜p＜m．
故选：B
3．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为（参考数据：，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，，
，，
，
．
故选：B
4．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数的图象沿轴向左平移个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】关于轴对称的函数为，，
，.
故选：C.
5．(2023·天津·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，则，，解得，即函数的定义域，
由题意，令，，则，
易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间，
由，则在上二次函数的递增区间为，
故选：C.
6．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，
因为在上均为单调递增
所以，当时，为增函数，
所以，当时，为增函数，当时，为减函数，
因为，
所以，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，
所以，当时，不等式显然成立，
当时，不等式的解集为，
综上，的解集为
故选：C
7．(2023·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设，则
∴
对A：，A正确；
对B：由题意可得：，同理可得：
∵
∴，则，B错误；
对C：∵
∴，C正确；
对D：
∴，D正确；
故选：B.
8．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校高一阶段练习）已知函数，g（x）＝ax2＋2x＋a－1，若对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集．当0≤x<1时，f（x）＝x2－x＋1，此时f（x）∈；当x≥1时，f（x）＝lg2(x＋1)单调递增，f（x）∈[1，＋∞)，所以函数f（x）的值域为．
对于函数g（x）＝ax2＋2x＋a－1，当a＝0时，函数g（x）＝2x－1在[0，＋∞)上单调递增，此时g（x）的值域为[－1，＋∞)，满足⊆[－1，＋∞)；
当a≠0时，要使函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，则二次函数的图像开口必须向上，即a>0，此时函数g（x）的对称轴为，故函数g（x）在[0，＋∞)上单调递增，此时g（x）的值域为[a－1，＋∞)，由得，，即．综上可得：实数a的取值范围为．
故选：D．
二、多选题
9．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）下列判断正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上单调递减
C．函数过定点
D．函数的单调递增区间是
答案：CD
【解析】A选项：对于A，，故A错误；
B选项：对于B，在，是减函数，故B错误；
C选项：对于C，令x－1＝1，解得x＝2，
把x＝2代入函数，得．
∴函数恒过定点，故C正确；
D选项：令，则的增区间为，
又∵单调递增，∴函数的单调增区间为，故D正确．
故选:CD．
10．(2023·浙江师范大学附属中学高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】，，且，
，
当且仅当时取“=”，
选项A正确；
又
，选项B正确；
，当且仅当时取“=”，
选项C不正确；
又，
当且仅当时取“=”，
选项D正确．
故选：ABD．
11．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】由题意得，且，则，
故，故A错误，
对于B，，而，故，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确，
故选：CD
12．(2023·浙江·杭十四中高一期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
答案：BCD
【解析】对于A，由得，故的定义域为，故A错误，
对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确，
对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确，
对于D，任意，，，
，，故D正确，
故选：BCD
三、填空题
13．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________
答案：
【解析】因为不等式对于任意恒成立，
即不等式对于任意恒成立，
因为，所以，
所以不等式对于任意恒成立，
令，，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
即，
所以，
所以或，
解得或，即；
故答案为：
14．(2023·天津南开·高一期末）下列命题中：
①与互为反函数，其图像关于对称;
②已知函数，则;
③当，且时，函数必过定点；
④已知，且，则实数.
上述命题中的所有正确命题的序号是___________.
答案：①③
【解析】对于①，因为与互为反函数，其图像关于对称；所以当时，与互为反函数，其图像关于对称，故命题①正确；
对于②，因为，所以令，得，故命题②错误；
对于③，因为，所以令，即，则，故过定点，故命题③正确；
对于④，因为，所以，
所以，
故由得，即，即，
所以，故命题④错误.
故答案为：①③.
15．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______.
答案：
【解析】作出的图像如图：
当时，由，得，
若互不相等，不妨设，
因为，
所以由图像可知，
由，得，
即，即，
则，所以，
因为，
所以，
即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
16．(2023·云南省楚雄第一中学高一阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________.
答案：
【解析】由题意可得 则
当时，单调递增，因为是偶函数，
所以当时单调递减，而
故等价于，得，
解得或，
故答案为：
17．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数，若，，则________．
答案：
【解析】因为，所以，
所以，
所以函数的定义域为，
又
因为，，，
所以，
所以，
故答案为：．
18．(2023·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）已知函数，若有三个不同实根满足，则的取值范围为___________.
答案：
【解析】因为，所以的图象如下所示：
因为有三个不同实根满足，即与有三个不同的交点，
由图可知，且，由，解得，
所以
故答案为：
四、解答题
19．(2023·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知
(1)求的定义域、并判断函数的奇偶性；
(2)求使的的取值范围.
【解析】（1）由题意得，即，解得，
所以定义域为，
因为定义域为，关于原点对称，
且，所以是奇函数.
（2），，，，
，，，
综上的取值范围为.
20．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数
(1)若函数过点，求此时函数的解析式；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【解析】（1）因为函数过点，
即，
解得，
故；
（2）因为是复合函数，设，，
，在区间单调递增，单调递增，
故函数在区间上单调递增，，
由题意对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，，只需即可，
因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线，
故在单调递减，
故，
故.
21．(2023·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数，的对称轴为且．
(1)求、的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）二次函数的对称轴方程为，可得，且.
因此，，.
（2）由（1）可知，当时，.
（3）由，可得，
可得或，解得或.
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
知识点一、对数函数的图象与性质
知识点诠释：
关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．
以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．
知识点二、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
【题型归纳目录】
题型一：对数函数与对数型函数图象问题
题型二：对数函数性质的理解与运用
题型三：对数不等式的解法
题型四：对数函数图象与性质的综合问题
题型五：反函数性质的高级应用
【典型例题】
题型一：对数函数与对数型函数图象问题
例1．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，，均不相等，且= =，则的取值范围是（ ）
A．（1，10）B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)
例3．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上选项均有可能
变式2．(2023·全国·高一专题练习）函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．(2023·湖南·高一期末）已知三个函数的图象示，则（ ）
A．B．
C．D．
变式4．(2023·全国·高一专题练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A．B．
C．D．
变式5．(2023·江西师大附中高一期末）已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式6．(2023·四川·广安二中高一期中）当时，，则的取值范围是
A．B．C．D．
变式7．(2023·黑龙江·哈九中高一期中）已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ）
A．4B．C．9D．
变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（ )
A．B．2C．1D．
变式9．(2023·全国·高一课时练习）已知，，分别为方程，，的根，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
题型二：对数函数性质的理解与运用
例4．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）=m+lg2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-，2]B．（-，2）
C．[2，+）D．（2，+）
例5．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
例6．(2023·陕西省安康中学高一期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式10．(2023·四川攀枝花·高一期末）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式11．(2023·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
变式12．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式13．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式14．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
变式15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式16．(2023·全国·高一课时练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式17．(2023·全国·高一单元测试）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
变式18．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）若函数在区间上恒有，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式19．(2023·全国·高一专题练习）已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式20．(2023·河南平顶山·高一期末）已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．4B．3C．2D．
题型三：对数不等式的解法
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________.
例8．(2023·吉林松原·高一阶段练习）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，，则不等式的解集为___．
例9．(2023·河南新乡·高一期末）已知函数，则不等式的解集为__________．
变式21．(2023·上海市控江中学高一期末）不等式的解集为______.
变式22．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是_______．
变式23．(2023·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）已知实数，且满足则不等式的解集为___________.
变式24．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集是______.
变式25．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集为______．
变式26．(2023·重庆市杨家坪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则的取值范围是________．
变式27．(2023·全国·高一专题练习）不等式lg2(2x＋3)＞lg2(5x－6)的解集为________．
变式28．(2023·全国·高一专题练习），则不等式的解集为__.
变式29．(2023·上海市行知中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为________．
变式30．(2023·云南·昭通市第一中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为___________.
变式31．(2023·浙江·高一期末）已知函数，则不等式的解集为____________．
题型四：对数函数图象与性质的综合问题
例10．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
例11．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)当时，求该函数的值域；
(3)若对于任意恒成立，求的取值范围.
例12．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数．
(1)若在区间为单调增函数，求的取值范围；
(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)设函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
变式32．(2023·上海交大附中高一期中）已知，函数．
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称；
(3)若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
变式33．(2023·全国·高一单元测试）已知函数），当点M（x，y）在函数g（x）的图象上运动时，对应的点在f（x）的图象上运动，则称g（x）是f（x）的相关函数．
(1)解关于x的不等式；
(2)若对任意的，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；
(3)设函数，，当时，求|F（x）|的最大值．
题型五：反函数性质的高级应用
例13．(2023·湖北·高一阶段练习）若实数，满足，，则（ ）
A．B．1C．D．2
例14．(2023·北京市八一中学高一阶段练习）已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1B．2021C．D．4016
例15．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的方程与的根分别为m、n，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式34．(2023·辽宁·高一阶段练习）设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
变式35．(2023·福建师大二附中高一期中）设方程的根为，方程的根为，则（ ）
A．1B．2C．3D．6
变式36．(2023·河北师范大学附属中学高一期中）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）对于实数 ，且， ，且，“ ”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．p＜n＜mB．n＜p＜mC．m＜n＜pD．n＜m＜p
3．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为（参考数据：，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数的图象沿轴向左平移个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·天津·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校高一阶段练习）已知函数，g（x）＝ax2＋2x＋a－1，若对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）下列判断正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上单调递减
C．函数过定点
D．函数的单调递增区间是
10．(2023·浙江师范大学附属中学高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·浙江·杭十四中高一期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
三、填空题
13．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________
14．(2023·天津南开·高一期末）下列命题中：
①与互为反函数，其图像关于对称;
②已知函数，则;
③当，且时，函数必过定点；
④已知，且，则实数.
上述命题中的所有正确命题的序号是___________.
15．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______.
16．(2023·云南省楚雄第一中学高一阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________.
17．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数，若，，则________．
18．(2023·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）已知函数，若有三个不同实根满足，则的取值范围为___________.
四、解答题
19．(2023·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知
(1)求的定义域、并判断函数的奇偶性；
(2)求使的的取值范围.
20．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数
(1)若函数过点，求此时函数的解析式；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
21．(2023·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数，的对称轴为且．
(1)求、的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若不等式成立，求实数的取值范围.
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
微专题16 对数函数及其性质
【方法技巧与总结】
知识点一、对数函数的图象与性质
知识点诠释：
关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．
以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．
知识点二、底数对对数函数图象的影响
1、底数制约着图象的升降．
如图
知识点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）
【题型归纳目录】
题型一：对数函数与对数型函数图象问题
题型二：对数函数性质的理解与运用
题型三：对数不等式的解法
题型四：对数函数图象与性质的综合问题
题型五：反函数性质的高级应用
【典型例题】
题型一：对数函数与对数型函数图象问题
例1．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当时，，在处取得最小值，排除C、D，
当时，为减函数，
故选:A．
例2．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，，均不相等，且= =，则的取值范围是（ ）
A．（1，10）B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)
答案：C
【解析】函数的图象如图所示，
不妨设，则，
所以，，
所以，，
所以，
故选：C
例3．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由且定义域为，
所以为奇函数，排除C、D；
又，排除B.
故选：A.
变式1．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．以上选项均有可能
答案：C
【解析】作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
变式2．(2023·全国·高一专题练习）函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】当时，在区间上单调递增，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A、B均不满足；当时，在区间上单调递减，
此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C满足．D不满足.
故选：C.
变式3．(2023·湖南·高一期末）已知三个函数的图象示，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由指数函数图象可知，，
由幂函数的图象可知，，
由对数函数的图象可知，
故可得，
故选：C
变式4．(2023·全国·高一专题练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；
故选：C
变式5．(2023·江西师大附中高一期末）已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
，
，
由函数的图象可知方程有四个不同的实根时，
设与的交点的横坐标为，
设，则，且，，
设与交点的横坐标为，则，
由得，，
，
.
故选：D.
变式6．(2023·四川·广安二中高一期中）当时，，则的取值范围是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当时， ， ，不成立，
当时，当时，，解得：，
如图，若时，时，.
故选B.
变式7．(2023·黑龙江·哈九中高一期中）已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ）
A．4B．C．9D．
答案：C
【解析】由过定点，
∴，
∴，当且仅当，即时取等号．
故选：C．
变式8．(2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（ )
A．B．2C．1D．
答案：C
【解析】函数中，令，解得，此时；
所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得；所以，
所以．
故选：C．
变式9．(2023·全国·高一课时练习）已知，，分别为方程，，的根，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】在同一直角坐标系中作出函数，，和的大致图像，如图所示.
由函数与图像的交点的横坐标为，
函数与图像的交点的横坐标为，
函数与图像的交点的横坐标为，知.
故选：A.
题型二：对数函数性质的理解与运用
例4．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）=m+lg2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-，2]B．（-，2）
C．[2，+）D．（2，+）
答案：A
【解析】因为函数f（x）=m+lg2x2的定义域是[1，2]，
所以函数f（x）=m+lg2x2，且函数f（x）在上递增，
所以函数f（x）的值域为，
因为f（x）≤4，
所以，解得，
故选：A
例5．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，所以，所以，
故选：D
例6．(2023·陕西省安康中学高一期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可得当时，所以的值域为，
设时，的值域为，则由的值域为R可得，
∴，解得，即．
故选：D
变式10．(2023·四川攀枝花·高一期末）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】当时，，即，则的值域为[0，1]，
当时，，则的值域为，
因为存在，使得，
则
若，
则或，
得或，
则当时，，
即实数a的取值范围是，A，B，C错，D对.
故选：D．
变式11．(2023·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
答案：B
【解析】因为函数的值域为R，
所以取得一切正数，
即方程有实数解，
得，解得或；
又函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，且在上恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围为或.
故选：B
变式12．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，
，，
，，的大小关系为．
故选：D．
变式13．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，由换底公式，有，解得，
∴，A选项错误；
函数为减函数，∴，B选项正确；
，但不一定成立， 不能得到，C选项错误；
，D选项错误.
故选：B
变式14．(2023·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
变式15．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以为减函数．又由函数在上为减函数，
可得函数在上大于零，且，故有，解得．
故选：A．
变式16．(2023·全国·高一课时练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】方法一 :
由得，
则，解得或.
方法二 :
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，
故选：D．
变式17．(2023·全国·高一单元测试）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由，
二次函数的对称轴为：，
所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，
而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数的单调增区间为，
故选：C
变式18．(2023·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）若函数在区间上恒有，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为在上单调递增.要使恒成立;
则只需
故选：A.
变式19．(2023·全国·高一专题练习）已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】函数在上单调递增，则有，
又在上单调递减，则有，
因为，，使得，于是得，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：D
变式20．(2023·河南平顶山·高一期末）已知函数的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．4B．3C．2D．
答案：C
【解析】由题意得在上为单调递增函数，
所以，，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
题型三：对数不等式的解法
例7．(2023·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________.
答案：
【解析】由题意，则，即，
此时，而、均递增，它们的函数图象如下：
由图知：当时，当时.
综上，的解集是.
故答案为：
例8．(2023·吉林松原·高一阶段练习）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数，，则不等式的解集为___．
答案：
【解析】∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是减函数．，∴．则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为．
故答案为：
例9．(2023·河南新乡·高一期末）已知函数，则不等式的解集为__________．
答案：
【解析】由，得，
解得且．
所以不等式的解集为，
故答案为：
变式21．(2023·上海市控江中学高一期末）不等式的解集为______.
答案：
【解析】由，有，根据对数函数的单调性有：，
所以不等式的解集为
故答案为：.
变式22．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是_______．
答案：当时，解集为；当时，解集为
【解析】∵，
∴原不等式等价于，
当>1时，，解得0＜x＜2．
当时，，解得2＜x＜4．
∴当>1时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
故答案为：当>1时，解集为；当时，解集为
变式23．(2023·广东·深圳实验学校高中部高一阶段练习）已知实数，且满足则不等式的解集为___________.
答案：
【解析】由实数，且满足，
根据指数函数的单调性，可得，解得，
所以函数为单调递减函数，
则不等式，可得，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.
变式24．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集是______.
答案：
【解析】即为，
故，所以即，
所以，
故答案为：.
变式25．(2023·全国·高一单元测试）不等式的解集为______．
答案：
【解析】由得：，
所以，
解得：
解集为
故答案为：
变式26．(2023·重庆市杨家坪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则的取值范围是________．
答案：
【解析】所给条件等价于的解集为，即的解集为，由此可得： 解得：
故答案为：
变式27．(2023·全国·高一专题练习）不等式lg2(2x＋3)＞lg2(5x－6)的解集为________．
答案：{x| ＜x＜3}
【解析】解析：由
解得即＜x＜3，故不等式的解集为{x|＜x＜3}．
故答案为：{x| ＜x＜3}
变式28．(2023·全国·高一专题练习），则不等式的解集为__.
答案：
【解析】由函数的解析式绘制函数图象如图所示，
易知函数为偶函数，且在区间上单调递减，
故题中的不等式等价于：，
则，平方可得：，解得，
不等式的解集为：.
变式29．(2023·上海市行知中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为________．
答案：或
【解析】∵函数为偶函数，
当时，函数单调递增，，
则不等式的解集为，
故当时，不等式的解集为，
综上，可得不等式的解集为或，
故答案为：或.
变式30．(2023·云南·昭通市第一中学高一期中）已知函数，则不等式的解集为___________.
答案：
【解析】，
或，
解得或，即，
不等式的解集为.
故答案为：.
变式31．(2023·浙江·高一期末）已知函数，则不等式的解集为____________．
答案：
【解析】易知为减函数，且，
所以等价于，
所以.
所以或.
故答案为：.
题型四：对数函数图象与性质的综合问题
例10．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【解析】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
例11．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)当时，求该函数的值域；
(3)若对于任意恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）；
由,
即,
计算可得或,
或
故解集为：.
（2）,
令,则
,
当时,有最小值,
当时,有最大值5；
所以值域为.
（3）令,则,
原式可化为在上恒成立.
记函数在上单调递增,
,
故的取值范围是.
例12．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数．
(1)若在区间为单调增函数，求的取值范围；
(2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)设函数，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为的图象开口向上，对称轴方程为，
所以在区间为单调增函数需满足，
解得.
（2）①当，即时，在区间为单调增函数，
此时.
②当，即时，在区间上是减函数，在区间上为增函数，此时.
③当即时，在区间上为减函数，
此时，
综上所述，
（3）对任意，不等式恒成立，
即，由（2）知，，
因为，
所以在上为单调递减函数，
所以
①当时，由得解得（舍去）
②当时，由得，即
，解得或，所以.
③当时，由得，解得，所以.
综上，实数的取值范围.
变式32．(2023·上海交大附中高一期中）已知，函数．
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称；
(3)若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
【解析】(1)当a=3时，不等式 ，即，
所以，解得，
故不等式的解集为；
(2)证明：因为，则函数 的定义域为，
任取，则，
则＝＝，
所以函数 的图象关于点成中心对称；
(3)由，可得，
解得，
若 ，则a=1，检验定义域，符合题意；
若 是原方程的解，则；
若 是原方程的解，则，即 ．
因为方程的解集恰有一个元素，
故当 是原方程的解， 不是原方程的解时，则 ；
当 不是原方程的解，是原方程的解时，，又，则，
所以实数a的取值范围为．
变式33．(2023·全国·高一单元测试）已知函数），当点M（x，y）在函数g（x）的图象上运动时，对应的点在f（x）的图象上运动，则称g（x）是f（x）的相关函数．
(1)解关于x的不等式；
(2)若对任意的，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；
(3)设函数，，当时，求|F（x）|的最大值．
【解析】（1）依题意得
则，
所以，
所以原不等式的解集为．
（2）由题意得，
所以，
所以f（x）的相关函数为．
依题意，对任意的，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，
即当时，恒成立①．
由，对任意的总成立，，结合题设条件有，
在此条件下，①等价于当时，恒成立，
即，即．
设，
要使当时，恒成立，
只需，即成立，
解得，即a的取值范围是（0，1]．
（3）由（2）可得当时，在区间（0，1）上，，
即．
设，则．
令，则，
所以，
因为（当且仅当时，等号成立），
可得，当时，等号成立，
满足，则t的最大值为，
所以|F（x）|的最大值是．
题型五：反函数性质的高级应用
例13．(2023·湖北·高一阶段练习）若实数，满足，，则（ ）
A．B．1C．D．2
答案：D
【解析】由可得，所以是方程的解，
即是与图象交点的横坐标，
由可得，所以是方程的解，
即是与图象交点的横坐标，
在平面直角坐标系中分别作出，，的图象如图所示，
因为与互为反函数，图象关于直线对称，
而的图象也关于直线对称，
所以两个交点，关于直线对称，
所以，可得，
故选：D
例14．(2023·北京市八一中学高一阶段练习）已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1B．2021C．D．4016
答案：B
【解析】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，
所以，，即，，
设函数与的交点为，则，，
设函数与的交点为，则，，
因为函数与函数互为反函数，
所以其图象关于对称，
所以点关于对称，即，所以由得，
即.
故选：B.
例15．(2023·全国·高一课时练习）若关于x的方程与的根分别为m、n，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：B
【解析】由题意，可知，，作出函数，，的图像（如图），
A、B两点的横坐标分别为m、n，且A、B关于直线对称，AB的中点为C，联立可得点C的横坐标为2，因此．
故选：C.
变式34．(2023·辽宁·高一阶段练习）设函数的图象与的图象关于直线对称，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，
令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，则p+q＝2；
故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的图象上，
所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即，
两式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，
所以2a＝m+n+p+q＝2020+2＝2022，
解得a＝1011，
故选：A．
变式35．(2023·福建师大二附中高一期中）设方程的根为，方程的根为，则（ ）
A．1B．2C．3D．6
答案：C
【解析】
由可得，
因为方程的根为，
可得是和两个函数图象交点的横坐标，
由可得即，
因为方程的根为，
可得是和两个函数图象交点的横坐标，
由于和互为反函数，图象关于对称，
所以两点关于对称，所以，，
因为点在直线上，可得，
所以，
故选：C
变式36．(2023·河北师范大学附属中学高一期中）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，由于函数的零点为，则函数的零点为.
令，可得，令，可得出，
在同一平面直角坐标系中作出函数、、、的图象，如下图所示：
由于函数、的图象关于直线的对称，
直线与直线垂直，
设直线与函数的交点为点，直线与函数的图象的交点为点，易知点、关于直线对称，
直线与直线的交点为点，且为线段的中点，所以，
因此，.
故选：C.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）对于实数 ，且， ，且，“ ”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：D
【解析】对于实数且，，且，
由不等式，可得或，
故时不一定有，由也不能推出一定是，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
2．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）已知，，，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．p＜n＜mB．n＜p＜mC．m＜n＜pD．n＜m＜p
答案：B
【解析】由于幂函数在单调递增，
故，
又，，
∴0＜p＜m＜1，
由对数函数在单调递减，
故，∴n＜p＜m．
故选：B
3．(2023·江苏·宿迁中学高一期中）空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为（参考数据：，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，，
，，
，
．
故选：B
4．(2023·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知函数的图象沿轴向左平移个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】关于轴对称的函数为，，
，.
故选：C.
5．(2023·天津·高一期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，则，，解得，即函数的定义域，
由题意，令，，则，
易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间，
由，则在上二次函数的递增区间为，
故选：C.
6．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，
因为在上均为单调递增
所以，当时，为增函数，
所以，当时，为增函数，当时，为减函数，
因为，
所以，当时，，当时，，
所以，当时，，当时，
所以，当时，不等式显然成立，
当时，不等式的解集为，
综上，的解集为
故选：C
7．(2023·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设，则
∴
对A：，A正确；
对B：由题意可得：，同理可得：
∵
∴，则，B错误；
对C：∵
∴，C正确；
对D：
∴，D正确；
故选：B.
8．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校高一阶段练习）已知函数，g（x）＝ax2＋2x＋a－1，若对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为对任意的实数x1∈[0，＋∞)，总存在实数x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集．当0≤x<1时，f（x）＝x2－x＋1，此时f（x）∈；当x≥1时，f（x）＝lg2(x＋1)单调递增，f（x）∈[1，＋∞)，所以函数f（x）的值域为．
对于函数g（x）＝ax2＋2x＋a－1，当a＝0时，函数g（x）＝2x－1在[0，＋∞)上单调递增，此时g（x）的值域为[－1，＋∞)，满足⊆[－1，＋∞)；
当a≠0时，要使函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，则二次函数的图像开口必须向上，即a>0，此时函数g（x）的对称轴为，故函数g（x）在[0，＋∞)上单调递增，此时g（x）的值域为[a－1，＋∞)，由得，，即．综上可得：实数a的取值范围为．
故选：D．
二、多选题
9．(2023·山东省青岛第十九中学高一期中）下列判断正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上单调递减
C．函数过定点
D．函数的单调递增区间是
答案：CD
【解析】A选项：对于A，，故A错误；
B选项：对于B，在，是减函数，故B错误；
C选项：对于C，令x－1＝1，解得x＝2，
把x＝2代入函数，得．
∴函数恒过定点，故C正确；
D选项：令，则的增区间为，
又∵单调递增，∴函数的单调增区间为，故D正确．
故选:CD．
10．(2023·浙江师范大学附属中学高一期中）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】，，且，
，
当且仅当时取“=”，
选项A正确；
又
，选项B正确；
，当且仅当时取“=”，
选项C不正确；
又，
当且仅当时取“=”，
选项D正确．
故选：ABD．
11．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：CD
【解析】由题意得，且，则，
故，故A错误，
对于B，，而，故，故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，，故D正确，
故选：CD
12．(2023·浙江·杭十四中高一期末）关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
答案：BCD
【解析】对于A，由得，故的定义域为，故A错误，
对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确，
对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确，
对于D，任意，，，
，，故D正确，
故选：BCD
三、填空题
13．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________
答案：
【解析】因为不等式对于任意恒成立，
即不等式对于任意恒成立，
因为，所以，
所以不等式对于任意恒成立，
令，，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
即，
所以，
所以或，
解得或，即；
故答案为：
14．(2023·天津南开·高一期末）下列命题中：
①与互为反函数，其图像关于对称;
②已知函数，则;
③当，且时，函数必过定点；
④已知，且，则实数.
上述命题中的所有正确命题的序号是___________.
答案：①③
【解析】对于①，因为与互为反函数，其图像关于对称；所以当时，与互为反函数，其图像关于对称，故命题①正确；
对于②，因为，所以令，得，故命题②错误；
对于③，因为，所以令，即，则，故过定点，故命题③正确；
对于④，因为，所以，
所以，
故由得，即，即，
所以，故命题④错误.
故答案为：①③.
15．(2023·辽宁·东北育才学校高一阶段练习）已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______.
答案：
【解析】作出的图像如图：
当时，由，得，
若互不相等，不妨设，
因为，
所以由图像可知，
由，得，
即，即，
则，所以，
因为，
所以，
即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
16．(2023·云南省楚雄第一中学高一阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 若 则 的取值范围是__________.
答案：
【解析】由题意可得 则
当时，单调递增，因为是偶函数，
所以当时单调递减，而
故等价于，得，
解得或，
故答案为：
17．(2023·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数，若，，则________．
答案：
【解析】因为，所以，
所以，
所以函数的定义域为，
又
因为，，，
所以，
所以，
故答案为：．
18．(2023·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）已知函数，若有三个不同实根满足，则的取值范围为___________.
答案：
【解析】因为，所以的图象如下所示：
因为有三个不同实根满足，即与有三个不同的交点，
由图可知，且，由，解得，
所以
故答案为：
四、解答题
19．(2023·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知
(1)求的定义域、并判断函数的奇偶性；
(2)求使的的取值范围.
【解析】（1）由题意得，即，解得，
所以定义域为，
因为定义域为，关于原点对称，
且，所以是奇函数.
（2），，，，
，，，
综上的取值范围为.
20．(2023·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数
(1)若函数过点，求此时函数的解析式；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【解析】（1）因为函数过点，
即，
解得，
故；
（2）因为是复合函数，设，，
，在区间单调递增，单调递增，
故函数在区间上单调递增，，
由题意对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，，只需即可，
因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线，
故在单调递减，
故，
故.
21．(2023·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数，的对称轴为且．
(1)求、的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)若不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）二次函数的对称轴方程为，可得，且.
因此，，.
（2）由（1）可知，当时，.
（3）由，可得，
可得或，解得或.
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，
当时，
当时，，
当时，
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