高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题21抽象函数的处理技巧(原卷版+解析)

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常见抽象函数的模型
【题型归纳目录】
题型一：求抽象函数的解析式及函数值
题型二：抽象函数的奇偶性问题
题型三：抽象函数的单调性问题
【典型例题】
题型一：求抽象函数的解析式及函数值
例1．设函数满足，且对任意，，都有，
则
A．0B．2018C．2017D．1
例2．设函数满足，且对任意，，都有，则（1）
A．2B．C．1D．
例3．设函数满足，且对任意，都有，则
A．0B．1C．2019D．2021
变式1．若函数对定义域内任意两个自变量，都有，则可以是
A．B．C．D．
变式2．函数满足对定义域内的任意，都有，则函数可以是
A．B．C．D．
变式3．若满足对任意的实数，都有（a）（b）且（1），则下列判断正确的有
A．是奇函数
B． 在定义域上单调递增
C．当时，函数
D．
变式4．已知函数对一切实数，都有成立，且（1），则 ，= ．
变式5．若函数对任意实数，均有，则的解析式为 ．
变式6．对任意正实数，，，（9），则 ．
变式7．（1）已知，求的解析式．
（2）设是上的函数，且，并且对任意实数，都有，求的解析式．
题型二：抽象函数的奇偶性问题
例4．(2023·重庆市辅仁中学校高一期中）已知定义域为，对任意都有，当时，．
(1)求;
(2)试判断在上的单调性，并证明;
(3)解不等式：．
例5．(2023·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数对任意的实数都有，且当时，有．
(1)求证：在上为增函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
例6．(2023·广西梧州·高一阶段练习）（1）已知函数对任意的，都有，且当时，，求证：是上的增函数；
（2）若是上的增函数，且，解不等式．
变式8．(2023·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）对任意的函数满足对任意的a，b都有，且当时，.
(1)判断的奇偶性，并加以证明；
(2)判断的单调性，并加以证明；
(3)对任意的都有不等式恒成立，求的取值范围.
变式9．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
变式10．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
变式11．(2023·全国·高一期中）已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
变式12．(2023·全国·高一单元测试）已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
题型三：抽象函数的单调性问题
例7．(2023·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)判断在上的单调性，不需证明；
(3)解不等式．
例8．(2023·湖南·慈利县教育科学研究室高一期中）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足
(1)求的值.
(2)判断函数的奇偶性.
(3)若，求x的取值范围.
例9．(2023·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．
变式13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
变式14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在上是增函数；
(3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
变式15．(2023·黑龙江双鸭山·高一期末）设函数是增函数，对于任意都有．
(1)写一个满足条件的；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
变式16．(2023·重庆·西南大学附中高一期中）已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.
变式17．(2023·全国·高一课时练习）函数f（x）对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
(1)证明函数f（x）的奇偶性；
(2)若f（1）= －2，求函数f（x）在[－2，2]上的最大值；
(3)解关于x的不等式
变式18．(2023·河南焦作·高一期中）已知f (xy)＝f (x)＋f (y).
(1)若x，y∈R，求f (1)，f (－1)的值；
(2)若x，y∈R，判断y＝f (x)的奇偶性；
(3)若函数f (x)在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝1，f (x)＋f (x－6)≤4，求x的取值范围.
【过关测试】
一．单选题
1．若对任意，，有，函数，则（2）的值等于
A．0B．4C．6D．8
2．若对，，有，函数，则（2）的值
A．0B．4C．6D．9
3．已知定义在上的减函数满足条件：对任意，，总有，则关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
二．填空题
4．函数的定义域为，且对于定义域内的任意，都有，且（2），则的值为 ．
5．已知函数的定义域是，满足（2），且对于定义域内任意，都有成立，那么（1）（4） ．
6．已知函数的定义域是，且满足，（2）．如果对于，都有，则不等式的解集为 （表示成集合）．
7．已知定义在正实数集上的函数满足①若，则；②；③对定义域内的任意实数，，都有：，则不等式的解集为 ．
三．解答题
8．已知函数，同时满足：；，，（1），求，（1），（2）的值．
9．若函数，满足，并且，，（1）．
（1）证明：．
（2）求，（1），，（2）的值．
（3）判断，的奇偶性．
10．(2023·北京市第五中学高一期末）已知定义在R上的函数满足：
①对任意实数，，均有；
②；
③对任意，．
(1)求的值，并判断的奇偶性；
(2)对任意的x∈R，证明：；
(3)直接写出的所有零点(不需要证明)．
11．(2023·山西太原·高一开学考试）若定义在上的函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
(1)求证：为奇函数；
(2)判断在上的单调性，并说明理由；
(3)若，解不等式.
12．(2023·福建·泉州市第六中学高一期中）设函数对任意，都有，且当时，.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：为减函数，
(3)若，试求关于的不等式的解集.
13．(2023·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）已知函数对任意实数､恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)证明函数单调性并求在区间上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
14．(2023·海南中学三亚学校（三亚市实验中学）高一期中）已知函数对一切实数，都有，且当时，，又．
(1)试判定该函数的奇偶性；
(2)试判断该函数在R上的单调性；
(3)若，求的取值范围．
15．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的定义域为，且满足对于任意，，有．
(1)判断的奇偶性并证明你的结论；
(2)如果，，且在上是增函数，求的取值范围．
16．(2023·宁夏·银川一中高一期中）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数在上的单调性；
(3)若f（1）=1，，对所有，恒成立，求m的取值范围；
17．(2023·四川·攀枝花市第十五中学校高一期中）函数对任意实数恒有，且当时，
(1)判断的奇偶性；
(2)求证∶是上的减函数∶
(3)若，求关于的不等式的解集.
微专题21 抽象函数的处理技巧
【方法技巧与总结】
常见抽象函数的模型
【题型归纳目录】
题型一：求抽象函数的解析式及函数值
题型二：抽象函数的奇偶性问题
题型三：抽象函数的单调性问题
【典型例题】
题型一：求抽象函数的解析式及函数值
例1．设函数满足，且对任意，，都有，
则
A．0B．2018C．2017D．1
【解析】，，
令，得（1），
令，得（1），
即，
数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
（1），
故选：．
例2．设函数满足，且对任意，，都有，则（1）
A．2B．C．1D．
【解析】令得（1），
故选：．
例3．设函数满足，且对任意，都有，则
A．0B．1C．2019D．2021
【解析】根据题意，在中，
令得（1），
令，则（1），
即，
则（1），
（2）（1），
（3）（2），
，
，
等式两边同时相加，得，
得，
故选：．
变式1．若函数对定义域内任意两个自变量，都有，则可以是
A．B．C．D．
【解析】函数满足对定义域内任意实数，都有，
当时，有，，
即；
所以该函数可以是指数函数．
故选：．
变式2．函数满足对定义域内的任意，都有，则函数可以是
A．B．C．D．
【解析】由得，
①，
，
①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，
对于、是一次函数，且在上直线递增，函数值的变化量是相等的，错；
对于、在定义域上不是单调函数，在上递减，在递增，错；
对于、是增长速度最快呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，
对应函数值的变化量越来越大，错；
对于、是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，
对应函数值的变化量越来越小，正确．
故选：．
变式3．若满足对任意的实数，都有（a）（b）且（1），则下列判断正确的有
A．是奇函数
B． 在定义域上单调递增
C．当时，函数
D．
【解析】令，可得（1）（1），即，，
不是奇函数，故错误；
若存在，使得，则，与矛盾，
故对，，
对任意，都有，
对于任意正整数，（1），，
若为正整数，则（1），
若为正有理数为与互质的正整数），则，
若为正无理数，则可看作某个有理数列的极限，故可看作的极限，而，故，
故当时，，故正确；
不妨设，则，切，
，，，
，故是增函数，故正确；
令可得（a）（1）（a），
，故，
，故正确，
故选：．
变式4．已知函数对一切实数，都有成立，且（1），则 ， ．
【解析】函数对一切实数，都有成立．且（1），
令，，
代入上式得（1），
．
函数对一切实数，都有成立，
令，代入上式得
，
又由（1）知，
．
故答案为：；．
变式5．若函数对任意实数，均有，则的解析式为 ．
【解析】令得所以
令得
所以
故答案为：
变式6．对任意正实数，，，（9），则 ．
【解析】令，则（9）（3），
（3），
令，则，
．
故答案为：1．
变式7．（1）已知，求的解析式．
（2）设是上的函数，且，并且对任意实数，都有，求的解析式．
【解析】（1）因为，
所以，
于是得到关于的方程组，
解得；
（2）令得，，即，
又令，代入上式得，，
所以．
题型二：抽象函数的奇偶性问题
例4．(2023·重庆市辅仁中学校高一期中）已知定义域为，对任意都有，当时，．
(1)求;
(2)试判断在上的单调性，并证明;
(3)解不等式：．
【解析】（1）根据,
令，得，解得，
再令，则有，解得.
（2）判断：在上单调递减，证明如下：
设，则，
所以，即，
因为 所以，所以，
即都有，
所以在上单调递减.
（3）由题可知，
所以，
所以由得，
即，即，
又因为，所以，
由(2)知在上单调递减，所以，
即即，解得.
例5．(2023·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数对任意的实数都有，且当时，有．
(1)求证：在上为增函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）设，
令，，，
则；
，，，
在上为增函数.
（2）由题意得：，
，
令，则，解得：，
为上的增函数，，，
令，设，，，
即实数的取值范围为.
例6．(2023·广西梧州·高一阶段练习）（1）已知函数对任意的，都有，且当时，，求证：是上的增函数；
（2）若是上的增函数，且，解不等式．
【解析】（1） 设，，且，
则， 即，
所以，
所以，
所以是上的增函数．
（2）因为，所以．
在上式中取，，则有，
因为，所以．
于是不等式等价于．
又是上的增函数，
所以，解得或，
所以原不等式的解集为．
变式8．(2023·湖南省临澧县第一中学高一阶段练习）对任意的函数满足对任意的a，b都有，且当时，.
(1)判断的奇偶性，并加以证明；
(2)判断的单调性，并加以证明；
(3)对任意的都有不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）为偶函数，证明如下：
∵函数的定义域为，令，
，
令，所以，解得：，
令，所以，解得：，
所以，∴为偶函数.
（2）在上单调递增，在上单调递减， 证明如下：
证明：且
因为，
所以，
，，，
即，在上单调递增.
由（1）知，为偶函数，所以在上单调递减.
（3）对任意的都有不等式恒成立,
所以对任意的恒成立,
因为为偶函数，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减.
所以对任意的恒成立，
所以或，
当时，有最大值为，当时，有最小值为，
所以或（舍去），
则或.
故的取值范围为.
变式9．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．
【解析】证明：任取、，且，
则．
因为，所以，所以，即，
所以函数是上的增函数．
变式10．(2023·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
【解析】（1）得，则，
而，
且，则；
（2）取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
（3）由条件①及（1）的结果得，
，，
，，解得，
故的取值集合为.
变式11．(2023·全国·高一期中）已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）因为函数的定义域为R，
令，所以，即，
令，所以，即，
所以函数为奇函数．
（2）不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．
（3）由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．
变式12．(2023·全国·高一单元测试）已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝.
由已知条件得.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
（2）∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.
题型三：抽象函数的单调性问题
例7．(2023·辽宁·铁岭市清河高级中学高一阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)判断在上的单调性，不需证明；
(3)解不等式．
【解析】（1）令，得，即，
任取，则，
，
即，所以在上为奇函数；
（2）判断函数在上单调递减.
任取，且，
则，
因为，，，
所以，即，
所以，所以，
即，得，
所以函数在区间单调递减；
（3），即，
因为函数单调递减，所以需满足，解得：，
所以不等式的解集为.
例8．(2023·湖南·慈利县教育科学研究室高一期中）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足
(1)求的值.
(2)判断函数的奇偶性.
(3)若，求x的取值范围.
【解析】（1）令, 得，解得；
（2）因为函数的定义域为R，
令y=－x,
则有，即，
∴，
∴函数为奇函数，
∴为奇函数；
（3）因为，
所以，
又因为，
即有，
即，
又因为为增函数，

解得，
故x的取值范围为.
例9．(2023·全国·高一课时练习）设函数对任意，都有，证明：为奇函数．
【解析】证明：函数的定义域为，关于原点对称，
因为函数对任意，都有，
令，则，得，
令，则，
所以，
即，所以为奇函数．
变式13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）令，可得，
令，则，所以，
所以，
所以为奇函数；
（2），即，
所以，
又当时，成立，所以为增函数，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以当时，，
所以，即.
变式14．(2023·全国·高一课时练习）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在上是增函数；
(3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）因为有，
令，得，所以，
令可得：，
所以，
故为奇函数．
（2）由（1）可知是定义在，上的奇函数，
由题意设，则
由题意时，有，
是在上为单调递增函数；
（3）由（1）（2）可知是上为单调递增函数,所以在上的最大值为
所以要使，对所有，恒成立，只要，
由，可得
解得
所以实数的取值范围为
变式15．(2023·黑龙江双鸭山·高一期末）设函数是增函数，对于任意都有．
(1)写一个满足条件的；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
【解析】(1)因为函数是增函数，对于任意都有，这样的函数很多，其中一种为：，证明如下：
函数满足是增函数， ，所以满足题意.
(2)令，则由
得，
即得，故是奇函数．
(3)，所以，则
，因为，所以
，所以，又因为函数是增函数，所以
，所以或.所以的解集为：.
变式16．(2023·重庆·西南大学附中高一期中）已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.
【解析】(1)为奇函数，
证明：令，则有，
所以，故为奇函数；
(2)令，则；
又，令，则，
即，
所以，则，
，
，
，
所以所求式子的值为.
变式17．(2023·全国·高一课时练习）函数f（x）对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
(1)证明函数f（x）的奇偶性；
(2)若f（1）= －2，求函数f（x）在[－2，2]上的最大值；
(3)解关于x的不等式
【解析】(1)令x=y=0得f(0)=0,
再令y=—x即得f(－x)=－f(x）,
∴是奇函数.
(2)设任意，且，则，由已知得①，
又②，
由①②可知，
由函数的单调性定义知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，
∴x∈[－2，2]时，，
∴f(x)当x∈[－2，2]时的最大值为4．
(3)由已知得：，
由（1）知f(x）是奇函数，
∴上式又可化为：，
由（2）知f(x）是R上的减函数，
∴上式即：，
化简得，
∴ 原不等式的解集为或.
变式18．(2023·河南焦作·高一期中）已知f (xy)＝f (x)＋f (y).
(1)若x，y∈R，求f (1)，f (－1)的值；
(2)若x，y∈R，判断y＝f (x)的奇偶性；
(3)若函数f (x)在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝1，f (x)＋f (x－6)≤4，求x的取值范围.
【解析】(1)令x＝y＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，
所以f (1)＝0.
又令x＝y＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
所以f (－1)＝0.
(2)因为函数定义域为R，关于原点对称，
令y＝－1，则f (－x)＝f (x)＋f (－1)，
由(1)知f (－1)＝0，
所以f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)为偶函数．
(3)因为f (4)= f (2)+f (2)= 1+1=2，
所以f (16)= f (4)+f (4) = 2 + 2 = 4，
因为f (x)＋f (x－6) ≤ 4，
所以，
因为f (x)在(0，+∞)上是增函数，
所以，
即，
所以x的取值范围是(6 , 8].
【过关测试】
一．单选题
1．若对任意，，有，函数，则（2）的值等于
A．0B．4C．6D．8
【解析】解：，
令得，，
令得，，
（2）（2）．
故选：．
2．若对，，有，函数，则（2）的值
A．0B．4C．6D．9
【解析】解：令，可得，即，
可令，可得，
则（2）（2）（2）．
故选：．
3．已知定义在上的减函数满足条件：对任意，，总有，则关于的不等式的解集是
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意，对任意，，总有，
令可得：（1）（1）（1），
变形可得：（1），
又由函数是定义在上的减函数，
则不等式，
解可得，
即不等式的解集为；
故选：．
二．填空题
4．函数的定义域为，且对于定义域内的任意，都有，且（2），则的值为 ．
【解析】解：，且（2），
令，得（2），
，
故答案为：．
5．已知函数的定义域是，满足（2），且对于定义域内任意，都有成立，那么（1）（4） ．
【解析】解：（1）（1）（1）（1），
（1）．
（4）（2）（2），
（1）（4），
故答案为2．
6．已知函数的定义域是，且满足，（2）．如果对于，都有，则不等式的解集为 （表示成集合）．
【解析】解：由题意，令，可得（4），
对于，都有，
可知是递增函数．
不等式转化为（4），
解得：
故答案为：
7．已知定义在正实数集上的函数满足①若，则；②；③对定义域内的任意实数，，都有：，则不等式的解集为 ．
【解析】解：
令
（1）
，
不等式可转化为：
（1）
设，且
是减函数
解得：或
故答案为：，，
三．解答题
8．已知函数，同时满足：；，，（1），求，（1），（2）的值．
【解析】解：由题设条件，令，则有
又，故
解得，或者
若，令得（1）（1）
又（1）知（1），此式无意义，故
此时有（1）（1）
即（1），故（1）
令，得（1）
令，得（2）（1）（1）
综上得，（1），（2）
9．若函数，满足，并且，，（1）．
（1）证明：．
（2）求，（1），，（2）的值．
（3）判断，的奇偶性．
【解析】（1）证明：令，；
（2），
或1；
若，则由（1）可知，与题设矛盾，
故．
又（1）（1）（1）（1），
，
故（1），，令，，
（2）（1）（1），（2）．
（3），
故是偶函数；
用， 替换，，，是偶函数，
与原式联立可得，令，可得．
是奇函数．
10．(2023·北京市第五中学高一期末）已知定义在R上的函数满足：
①对任意实数，，均有；
②；
③对任意，．
(1)求的值，并判断的奇偶性；
(2)对任意的x∈R，证明：；
(3)直接写出的所有零点(不需要证明)．
【解析】(1)∵对任意实数，，均有，
∴令，则，可得，
∵对任意,，，∴f(0)＞0，
∴；
令，则；
∴；
∵f(x)定义域为R关于原点对称，且令时，，
∴是R上的偶函数；
(2)令，则，
则，
∴，
即；
(3)(1)，且是以4为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得，从而可得f(－1)＝(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝0，故f(x)的零点为奇数，
即f(x)所有零点为，.
11．(2023·山西太原·高一开学考试）若定义在上的函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
(1)求证：为奇函数；
(2)判断在上的单调性，并说明理由；
(3)若，解不等式.
【解析】(1)证明：∵，
∴.
设，则.
令，则，解得.
令，，则，∴.
由函数的定义域为R，得函数的定义域为R，关于原点对称，
综上，为奇函数.
(2)函数在上单调递增，理由如下：
任取，则，∴，
由（1）知，，
即，
∴函数在上单调递增，即函数在上单调递增.
(3)∵，∴，
∴，
由，得，
即，
∵函数在上单调递增，
∴，即，解得，
即不等式的解集为.
12．(2023·福建·泉州市第六中学高一期中）设函数对任意，都有，且当时，.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：为减函数，
(3)若，试求关于的不等式的解集.
【解析】(1)证明：因为函数对任意，都有，
所以令，则，得，
令，则有，
所以，即，
所以为奇函数
(2)证明：设，则，而时，有，则
，
所以，
所以为减函数
(3)因为为奇函数，，所以，
所以，
所以，
所以不等式可转化为
，
因为为减函数，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为
13．(2023·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）已知函数对任意实数､恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)证明函数单调性并求在区间上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)取，则
取，则
对任意恒成立为奇函数
(2)证明：任取且，
则又为奇函数
故为上的减函数
故在上的最大值为
(3)在上是减函数
，对所有恒成立
恒成立即恒成立
令，则，即解得或
实数的取值范围为
14．(2023·海南中学三亚学校（三亚市实验中学）高一期中）已知函数对一切实数，都有，且当时，，又．
(1)试判定该函数的奇偶性；
(2)试判断该函数在R上的单调性；
(3)若，求的取值范围．
【解析】(1)在中，
令得，，
令得，，
所以是奇函数；
(2)设是任意两个实数，且，则，，
，
所以是R上的减函数；
(3)因为，所以，，
化为
，
所以，解得．
15．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的定义域为，且满足对于任意，，有．
(1)判断的奇偶性并证明你的结论；
(2)如果，，且在上是增函数，求的取值范围．
【解析】(1)为偶函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
因为对于任意，，有，
令可得，所以，
令可得，所以，
令，可得，所以，
所以为偶函数.
(2)令可得，
所以．
由（1）知为偶函数，可得，
又因为在上是增函数，
所以，解得：且，
所以取值范围是且.
16．(2023·宁夏·银川一中高一期中）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数在上的单调性；
(3)若f（1）=1，，对所有，恒成立，求m的取值范围；
【解析】(1)∵，令，得，∴，令可得：，∴，∴为奇函数
(2)∵是定义在上的奇函数，由题意设，
则，
由题意时，有，而，所以，即，∴是在上为单调递增函数
(3)∵在上为单调递增函数，∴在上的最大值为，
∴要使，对所有，恒成立，
只要，即恒成立；
令，由得，解得：或.
故m的取值范围为.
17．(2023·四川·攀枝花市第十五中学校高一期中）函数对任意实数恒有，且当时，
(1)判断的奇偶性；
(2)求证∶是上的减函数∶
(3)若，求关于的不等式的解集.
【解析】(1)解∶取，则，∴.
取，则，即 对任意 恒成立，
∴为奇函数.
(2)证明∶任取， 且，
则，，
∴，
又为奇函数，
∴
∴是上的减函数.
(3)为奇函数，整理原式得， .
∵在上是减函数，
∴， 即
①当时，原不等式的解为；
②当时，原不等式化为，即
若，原不等式化为，原不等式的解为；
若，则，原不等式的解为或；
若，则 ，原不等式的解为或
③当时，原不等式化为即
则， 原不等式的解为
综上所述∶
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或