高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题18函数的应用(原卷版+解析)

这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题18函数的应用(原卷版+解析)，共55页。
知识点一、几种常见的函数模型
1、一次函数模型：（，为常数，）
2、二次函数模型：（为常数，）
3、指数函数模型：（为常数，，且）
4、对数函数模型：（为常数，，且）
5、幂函数模型：（为常数，）
6、分段函数模型：
知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤
1、解应用题的基本思想
2、解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．
上述四步可概括为以下流程：
实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．
【题型归纳目录】
题型一：几类不同增长的函数模型
题型二：二次函数模型
题型三：分段函数模型
题型四：分式型函数模型
题型五：对数函数模型
题型六：幂函数模型
题型七：利用给定函数模型解决实际问题
【典型例题】
题型一：几类不同增长的函数模型
例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间（单位：天）的数据如下表：
由表知，体现与数据关系的最佳函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知三个变量，，随变量的变化数据如下表：
则反映，，随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
例3．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，当很大时，随的增大而增大速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·全国·高一课时练习）下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（ ）
A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢
B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快
C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢
D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快
变式2．(2023·全国·高一课时练习）在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
则，的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中，为待定系数）（ ）
A．B．C．D．
题型二：二次函数模型
例4．(2023·上海市莘庄中学高一阶段练习）行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离与汽车的车速满足下列关系：（为常数，且），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中．
(1)求的值；
(2)要使刹车距离不超过，则行驶的最大速度是多少？
例5．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益（单位：元）函数为，其中是仪器的产量（单位：台）
(1)将利润（单位：元）表示为产量的函数（利润＝总收益－总成本）；
(2)当产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
例6．(2023·江苏·常熟中学高一阶段练习）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中、分别靠现有墙、（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门，已知篱笆总长为54米，设长为米，面积为平方米．
(1)求与的函数关系式及的取值范围；
(2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？
变式3．(2023·广东汕头·高一期末）为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）．
(1)求函数；
(2)试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
题型三：分段函数模型
例7．(2023·云南师大附中高一期中）第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西､C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.
(1)写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）
(2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
例8．(2023·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数（其中x是仪器的月产量）．
(1)将利润y表示为月产量x的函数；
(2)当月产量x为何值时，平均每件产品所获利润最大？每件产品的最大利润为多少元？
例9．(2023·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.
(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;
(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.
变式4．(2023·云南·高一阶段练习）为了解决受新冠疫情影响，文具用品滞销的问题，文具店老板利用某直播平台卖货，销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔，价格依次为2元/支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量，老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销：优惠活动①，提供满50元减4元的优惠券，优惠券可叠加；优惠活动②，提供买1套文具（包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔）减x（，且）元的优惠券，优惠券可叠加，每位顾客只能参加其中一种优惠活动，每位顾客在网上支付订单成功后，文具店老板都会得到支付款的80%.已知甲顾客购买了1套文具，选择优惠活动②，并且文具店老板从甲顾客的支付款中得到了36元.
(1)求x的值；
(2)已知乙、丙两位顺客计划在该文具店购买圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔这4种文具，计划购买的圆珠笔的数量多于笔记本的数量的2倍，笔记本的数量多于文具盒的数量，文具盒的数量多于钢笔的数量，钢笔数量的3倍多于圆珠笔的数量，当乙、丙购买的文具总数最少时，请你给乙、丙设计1种最省钱的购买方案，并求乙、丙花费的总费用的最小值.
题型四：分式型函数模型
例10．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）甲乙两地相距，汽车从甲地以的速度匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为元，可变成本与速度的平方成正比，比例系数为.已知当速度为进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，设全程运输成本元.
(1)求全程运输成本关于速度的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
例11．(2023·湖南·长沙一中高一阶段练习）某品牌电动汽车在某路段以每小时x千米的速度匀速行驶240千米．该路段限速（单位：千米/时）．充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮胎磨损费为元/千米，道路通行费为0.2元/千米．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当行车速度x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
例12．(2023·上海市第二中学高一阶段练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图，设矩形温室的室内长为(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为().
(1)写出与之间的关系式，并写出的取值范围∶
(2)若要求矩形区域总面积不少于656m²，求室内长的取值范围.
变式5．(2023·宁夏·石嘴山市第一中学高一阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，宁夏政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业国庆节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.A企业在收到政府x（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时A企业生产t（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本
(1)求企业国庆节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；
(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A企业国庆节期间加班追产所获收益最大？
题型五：对数函数模型
例13．(2023·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．
(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．
（参考数据：）
例14．(2023·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，
②，③供选择.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
例15．(2023·云南玉溪·高一期末）某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的.
(1)若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金.试分析函数模型（为常数）是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；
(2)设，若函数模型符合奖励原则，试求的取值范围.参考数据：.
变式6．(2023·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：，．
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
变式7．(2023·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
题型六：幂函数模型
例16．(2023·全国·高一专题练习）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）
例17．(2023·广东珠海·高一期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.
(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；
(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？
例18．(2023·全国·高一专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
变式8．(2023·福建漳州·高一期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益.
(1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：）
(2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.
题型七：利用给定函数模型解决实际问题
例19．(2023·浙江省衢州第三中学高一阶段练习）今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和.
(1)求的表达式；
(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值.
例20．(2023·辽宁·沈阳市辽中区第二高级中学高一阶段练习）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
例21．(2023·黑龙江·哈师大附中高一阶段练习）前一阶段，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“十一期间非必要不返乡”的倡议．为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在十一期间留住员工在本市过节并加班追产．为此，该地政府决定为当地企业十一期间加班追产提供（万元）的专项补贴．企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本
(1)求企业十一期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；
(2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业十一期间加班追产所获收益最大?
变式9．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作．
(1)写出k关于x的函数关系式；
(2)应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用）
变式10．(2023·宁夏六盘山高级中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.
(1)若该厂某日的销货量是30件，求该厂当日的获利是多少元？
(2)若该厂日获利不少于1300元，求该厂日产量的取值范围.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·云南·高一阶段练习）某农家院有客房 20 间，日常每间客房日租金为 100 元，每天都客满.该农家院欲重新装修提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，每天客房的出租间数就会减少1，则该农家院重新装修后，每天客房的租金总收入最高为（ ）
A．2250 元B．2300 元C．2350 元D．2400 元
3．(2023·甘肃·天水市第一中学高一开学考试）一件工艺品的进价为元，标价元出售，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降价元，则每天可多售出件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A．元B．元C．元D．元
4．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习）我们通常以分贝为单位来表示声音大小的等级，分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（ ）
A．40B．100C．40000D．10000
5．(2023·全国·高一单元测试）2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是（参考数据：，）（ ）
A．40B．41C．42D．43
6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C．当时，的增长速度一直快于
D．当时，
7．(2023·全国·高一单元测试）春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（ ）
A．17天B．15天C．12天D．10天
8．(2023·贵州·遵义四中高一期末）为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家年共缴纳的水费为元，则艾世宗一家年共用水（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
10．(2023·全国·高一课时练习）某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）（ ）
A．当对折4次时，的最小值为64
B．当对折4次时，的最小值为32
C．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次
D．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次
11．(2023·全国·高一课时练习）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ）
A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱
B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元
三、填空题
12．(2023·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________
13．(2023·全国·高一单元测试）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应______天购买一次大米．
14．(2023·全国·高一单元测试）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）
四、解答题
15．(2023·四川·成都市新都香城中学高一阶段练习）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本（万元）与月产量（吨）之间的关系式为：，已知此生产线月产量最大为20吨．
(1)求月产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
(2)经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为32万元，且最大利润不超过200万元，由该生产线月产量的最大值应为多少？
16．(2023·浙江宁波·高一期中）因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入成本500万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等成本共为万元，每年的销售收入为260万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．
(1)写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利？（利润=销售收入-总成本）
(2)问使用到第几年末，年平均利润最大，最大值为多少？
17．(2023·北京·牛栏山一中高一期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均时间，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），.而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当时，求该地上班族的人均通勤时间；
(2)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(3)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义.
18．(2023·江苏·常州高级中学高一阶段练习）近年来，某企业每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入企业内电网，安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式，假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是（，k为常数）.记F（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与安装后该企业15年内共消耗的电费之和.
(1)求k的值，并建立F关于x的函数关系式；
(2)当x何值时，F取得最小值？最小值是多少万元？
19．(2023·河南南阳·高一期中）为了激励销售人员的积极性，某企业根据业务员的销售额发放奖金（奖金和销售额的单位都为十万元），奖金发放方案要求同时具备下列两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金金额不低于销售额的5%.经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案.
(1)若，，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由.
(2)若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围.
时间
50
120
150
种植成本
2600
500
2600
1
2
4
6
8
…
2
4
16
64
256
…
1
4
16
36
64
…
0
1
2
2.585
3
…
－2
－1
0
1
2
3
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
年份
2015
2016
2017
2018
投资成本
3
5
9
17
…
年利润
1
2
3
4
…
1
4
9
16
1
分档
户年用水量
综合用水单价/（元）
第一阶梯
（含）
第二阶梯
（含）
第三阶梯
以上
微专题18 函数的应用
【方法技巧与总结】
知识点一、几种常见的函数模型
1、一次函数模型：（，为常数，）
2、二次函数模型：（为常数，）
3、指数函数模型：（为常数，，且）
4、对数函数模型：（为常数，，且）
5、幂函数模型：（为常数，）
6、分段函数模型：
知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤
1、解应用题的基本思想
2、解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．
上述四步可概括为以下流程：
实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．
【题型归纳目录】
题型一：几类不同增长的函数模型
题型二：二次函数模型
题型三：分段函数模型
题型四：分式型函数模型
题型五：对数函数模型
题型六：幂函数模型
题型七：利用给定函数模型解决实际问题
【典型例题】
题型一：几类不同增长的函数模型
例1．(2023·陕西·榆林市第十中学高一期中）某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间（单位：天）的数据如下表：
由表知，体现与数据关系的最佳函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，
也不是单调函数；而A，C，D对应的函数，在时，均为单调函数，
这与表格提供的数据不吻合，所以，选取B，
故选：B．
例2．(2023·全国·高一课时练习）已知三个变量，，随变量的变化数据如下表：
则反映，，随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
答案：B
【解析】从题表可以看出，三个变量，，都随x的增大而增大，但是增长速度不同，其中变量的增长呈指数函数型变化，变量的增长呈幂函数型变化，变量的增长呈对数函数型变化．
此外，也可以使用第五组数据代入检验得到答案.
故选：B.
例3．(2023·全国·高一课时练习）下列函数中，当很大时，随的增大而增大速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，当很大时，指数函数增长速度大于一次函数的增长速度，一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度，又，所以当很大时，随的增大而增大速度最快的是.
故选：A
变式1．(2023·全国·高一课时练习）下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（ ）
A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢
B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快
C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢
D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快
答案：C
【解析】由函数，与在区间上的图象以及性质知函数，，的衰减速度均逐渐变慢，
故选:C．
变式2．(2023·全国·高一课时练习）在一次数学实验中，采集到如下一组数据：
则，的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中，为待定系数）（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据题表中的数据描点如图所示．
∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A不成立；
∵C是偶函数，∴的函数值应该相等，∴C不成立；
∵时，无意义，∴D不成立；
对于B，当时，，当时，，经验证它与各数据比较接近.
故选：B.
题型二：二次函数模型
例4．(2023·上海市莘庄中学高一阶段练习）行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离与汽车的车速满足下列关系：（为常数，且），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中．
(1)求的值；
(2)要使刹车距离不超过，则行驶的最大速度是多少？
【解析】（1）观察图象知，，而，即，解得，
因，于是得，
所以的值为6.
（2）由（1）知，，当时，，整理得：，
解得，显然，因此，即，
所以行驶的最大速度是.
例5．(2023·浙江省永嘉县碧莲中学高一期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益（单位：元）函数为，其中是仪器的产量（单位：台）
(1)将利润（单位：元）表示为产量的函数（利润＝总收益－总成本）；
(2)当产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）依题意，总成本为，
当时，，
当时，，
综上所述，其中；
（2）当时，，
当时，；
当时，是单调递减函数，
，
当时，.
答：当产量为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元.
例6．(2023·江苏·常熟中学高一阶段练习）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中、分别靠现有墙、（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门，已知篱笆总长为54米，设长为米，面积为平方米．
(1)求与的函数关系式及的取值范围；
(2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？
【解析】（1），
因为长为米，所以米，
因为篱笆总长为54米，三处各留2米宽的大门,
所以米，
由长为27米，墙足够长，可知，解得：，
所以长方形的面积为，
所以，；
（2）令平方米，
即，解得：或8，
因为，
所以，
所以当长为16米时，游乐场的面积为320平方米.
变式3．(2023·广东汕头·高一期末）为节约能源，倡导绿色环保，某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用，管理这些电动观光车的费用是每日120元.根据经验，若每辆电动观光车的日租金不超过5元，则电动观光车可以全部租出；若超过5元，则每超过1元，租不出的电动观光车就增加2辆．为了便于结算，每辆电动观光车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租电动观光车的日净收入（即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得）．
(1)求函数；
(2)试问当每辆电动观光车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解析】（1）当时，，令，解得，
，，，，
当时，，
令，其整数解为：，，
所以，，
所以
（2）对于，显然当时，元，
对于，
因为，
所以当或时，元，，
当每辆电动观光车的日租金定在17或18元时，才能使一日的净收入最多.
题型三：分段函数模型
例7．(2023·云南师大附中高一期中）第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西､C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.
(1)写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）
(2)求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意知，当时，，
所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，有最大值，最大值为1500；
当时，由基本不等式，得
，
当且仅当时取等号，
所以当时，有最大值，最大值为1550；
因为，
所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
例8．(2023·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数（其中x是仪器的月产量）．
(1)将利润y表示为月产量x的函数；
(2)当月产量x为何值时，平均每件产品所获利润最大？每件产品的最大利润为多少元？
【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为，
从而，
（2）设平均每件产品的月利润为，
则，
当时，设任意的，
则，
显然当时，，
当时，，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，取得最大值为200元；
当时，，
∵，所以当时，平均每件产品所获利润最大为200元．
例9．(2023·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.
(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;
(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.
【解析】（1）10 000台=10千台,则，根据题意得：，解得，
当时，，
当时，
，
综上所述.
（2）当时，
当时， 取得最大值；
当时，
，
当且仅当时，
因为，
故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.
变式4．(2023·云南·高一阶段练习）为了解决受新冠疫情影响，文具用品滞销的问题，文具店老板利用某直播平台卖货，销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔，价格依次为2元/支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量，老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销：优惠活动①，提供满50元减4元的优惠券，优惠券可叠加；优惠活动②，提供买1套文具（包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔）减x（，且）元的优惠券，优惠券可叠加，每位顾客只能参加其中一种优惠活动，每位顾客在网上支付订单成功后，文具店老板都会得到支付款的80%.已知甲顾客购买了1套文具，选择优惠活动②，并且文具店老板从甲顾客的支付款中得到了36元.
(1)求x的值；
(2)已知乙、丙两位顺客计划在该文具店购买圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔这4种文具，计划购买的圆珠笔的数量多于笔记本的数量的2倍，笔记本的数量多于文具盒的数量，文具盒的数量多于钢笔的数量，钢笔数量的3倍多于圆珠笔的数量，当乙、丙购买的文具总数最少时，请你给乙、丙设计1种最省钱的购买方案，并求乙、丙花费的总费用的最小值.
【解析】（1）由题意得，
解得.
（2）设购买圆珠笔，笔记本，文具盒，钢笔的数量分别为a，b，c，d，且.
由题意得，
得，得，
所以，，.
当乙、丙购买的文具总数最少时，，，，.
未选择优惠活动之前，文具总价格为元.
方案1：乙、丙一起购买，选择优惠活动①，可以优惠元.
方案2，乙，丙一起购买，选择优惠活动②，可以优惠元.
方案3：乙、丙分开购买，因为优惠活动②的优惠力度更大，所以安排1人先购买6套文具，选择优惠活动②，另一个人购买11支圆珠笔、2本笔记本、1个文具盒，选择优惠活动①.
因为，所以可以优惠元，此时乙、丙花费的总费用最小，最小值为元.
故方案3最省钱，乙、丙花费的总费用的最小值为322元.
题型四：分式型函数模型
例10．(2023·江苏省新海高级中学高一期中）甲乙两地相距，汽车从甲地以的速度匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为元，可变成本与速度的平方成正比，比例系数为.已知当速度为进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，设全程运输成本元.
(1)求全程运输成本关于速度的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【解析】（1）由题意可设每小时运输的可变成本为，
因为当速度为进行行驶时，每小时运输的可变成本的36元，
所以有，即，
因此；
（2）因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，即当时，有
当且仅当时取等号，即当时取等号，
当时，即时，应以速度为速度行驶，
所以为使全程运输成本最小，当时，汽车应以的速度行驶，
当时，应以速度为速度行驶.
例11．(2023·湖南·长沙一中高一阶段练习）某品牌电动汽车在某路段以每小时x千米的速度匀速行驶240千米．该路段限速（单位：千米/时）．充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮胎磨损费为元/千米，道路通行费为0.2元/千米．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当行车速度x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
【解析】（1）．
（2）因为，．
所以，所以行车费最低为（）元．
当，即，时取得．
答：行车速度为千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（）元．
例12．(2023·上海市第二中学高一阶段练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图，设矩形温室的室内长为(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为().
(1)写出与之间的关系式，并写出的取值范围∶
(2)若要求矩形区域总面积不少于656m²，求室内长的取值范围.
【解析】（1）根据题意，温室的室内长为，则宽为，
所以三块种植植物的矩形区域的总面积为：
，
由，可得；
（2）由，
可得，
解得，
即室内长的取值范围为(单位m).
变式5．(2023·宁夏·石嘴山市第一中学高一阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，宁夏政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业国庆节期间加班追产提供（万元）的专项补贴.A企业在收到政府x（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时A企业生产t（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本
(1)求企业国庆节期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；
(2)当政府的专项补贴为多少万元时，A企业国庆节期间加班追产所获收益最大？
【解析】（1）由题意，销售金额：（万元），政府专项补贴：（万元），成本：（万元）.
所以收益，.
（2）由（1）可知，.
其中，当且仅当，即时取等号，所以，
所以当时，企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为万元，
即当政府的专项补贴为万元时，企业国庆期间加班追产所获收益最大，最大值为万元.
题型五：对数函数模型
例13．(2023·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．
(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．
（参考数据：）
【解析】（1）由题意，，，，
∴，
∴该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．
（2）∵，，∴．
∵，∴，
即．
∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒．
例14．(2023·全国·高一课时练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，
②，③供选择.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
【解析】（1）第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当时，匀速增长；
对于模型二，当时，先慢后快增长；
对于模型三，当时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.
第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，
解得，即.
第四步：验证模型是否合适
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为.
（2）由，得，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
例15．(2023·云南玉溪·高一期末）某集团公司为鼓励下属企业创业，拟对年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，但奖金不低于7万元，且不超过年产值的.
(1)若某下属企业年产值100万元，核定可得9万元奖金.试分析函数模型（为常数）是否为符合集团的奖励原则，并说明原因；
(2)设，若函数模型符合奖励原则，试求的取值范围.参考数据：.
【解析】(1)对于函数模型（为常数），
当时，，代入模型解得，
所以，
奖励原则为：①在区间上递增；②恒成立，
当时，模型是增函数，符合奖励原则①；
当时，；
，所以，模型不符合奖励原则②，
故该函数模型不符合奖励原则.
(2)对于函数模型，可得，
因为，故函数在递增，则在递增，符合奖励原则①；
由奖励原则②得，即，解得；
又由奖励原则②得，即在恒成立，
即，，
设，则抛物线开口向下，对称轴为，
所以当时，，由得，
综上，.
所以的取值范围是.
变式6．(2023·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：，．
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
【解析】(1)当总质比为230时，，
即A型火箭的最大速度为.
(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
由题意得：
因为，所以，
即，所以不小于T的最小整数为45．
变式7．(2023·吉林·长春市第二中学高一期末）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
【解析】（1）由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，，不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，；当时，.
故可用③来描述x，y之间的关系.
（2）由题知，解得.
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
题型六：幂函数模型
例16．(2023·全国·高一专题练习）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；
(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）
【解析】（1）因为函数中，随的增长而增长的速度越来越快，
而函数，随的增长而增长的速度越来越慢，
故由题意应选；
则有，解得，
∴；
（2）设经过年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍，
则，即，
∴，
∴，
故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．
例17．(2023·广东珠海·高一期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.
(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；
(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？
【解析】(1)①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得
此时，当时，，
当时，，
与表格中的和相差较大，
所以不适合作为与的函数模型.
②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得
此时，当时，，
当时，，
刚好与表格中的和相符合，
所以更适合作为与的函数模型.
(2)由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为，
令，则
经计算，当时，取最大值（万元），
即，时（每亩约38棵），利润最大.
例18．(2023·全国·高一专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
【解析】（1）设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，
由题设，，
由图可知（1），所以，又（4），所以，
所以，；
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，
，，
令，则，，
所以当时，，此时，
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.0625万元．
变式8．(2023·福建漳州·高一期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益.
(1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：）
(2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.
【解析】(1)函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
因为，
所以当时，，即奖金超过90万，不满足要求；
函数模型，当时，，此时奖金超过收益的，不满足要求；
函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
当时，，满足奖金不超过90万元，
又时，，满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.
(2)函数模型，
因为奖金随收益增加而增加，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，恒成立，
即，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
题型七：利用给定函数模型解决实际问题
例19．(2023·浙江省衢州第三中学高一阶段练习）今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和.
(1)求的表达式；
(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值.
【解析】（1）由题意知，距离为1km时，隔离病房建造费用为100万元，
所以，得，
所以；
（2）由(1)知，
，
当且仅当即时，等号成立，
即当时，函数取到最小值75万元，
所以隔离病房与药物仓库距离5km时，可使得总费用最小，最小值为75万元.
例20．(2023·辽宁·沈阳市辽中区第二高级中学高一阶段练习）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
【解析】（1）设每件定价为t元，依题意，有，
整理得，解得
因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
（2）依题意，时，
不等式能成立，
等价于时，有解.
∵时，（当且仅当时，等号成立），
∴.
因此当该商品明年的销售量a至少应达到12.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元.
例21．(2023·黑龙江·哈师大附中高一阶段练习）前一阶段，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“十一期间非必要不返乡”的倡议．为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在十一期间留住员工在本市过节并加班追产．为此，该地政府决定为当地企业十一期间加班追产提供（万元）的专项补贴．企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时企业生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本
(1)求企业十一期间加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式；
(2)当政府的专项补贴为多少万元时，企业十一期间加班追产所获收益最大?
【解析】（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；
所以收益，
（2）由（1）可知，
其中，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，A企业十一期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
即当政府的专项补贴为万元时，A企业十一期间加班追产所获收益最大，最大值为万元
变式9．(2023·山东省青岛第五十八中学高一期中）2022年第12号强台风“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日减弱为温带气旋停止编号，共历时8天，期间4次登录我国东部沿海。9月14日20时30分前后，在我国浙江省舟山普陀沿海首次登陆，登陆时中心附近最大风力14级，9月16日0时左右在山东省青岛市崂山区沿海第三次登陆，台风过境时带来的狂风暴雨天气，造成了人民生命、财产的巨大损失，受灾民众不惧困难，众志成城，积极开展抗灾、救灾，守护自己的美丽家园。某地受其影响普降暴雨，一大型堤坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝面每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为300元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人600元，劳务费及耗材费为每人每天300元．若安排x名人员参与抢修，需要k天完成抢修工作．
(1)写出k关于x的函数关系式；
(2)应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失＋部门的各项支出费用）
【解析】（1）由题意得，
所以，，
（2）设总损失为元，则
当且仅当，即时，等号成立．
所以，应安排22名民工参与抢修，才能使总损失最小．
变式10．(2023·宁夏六盘山高级中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.
(1)若该厂某日的销货量是30件，求该厂当日的获利是多少元？
(2)若该厂日获利不少于1300元，求该厂日产量的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
所以该厂当日的获利是(元)；
（2）设该厂日获利为，则由题意得
，
由，得，
所以，即，
解得，
所以当日产量在20到45件之间（含20件和45件）时，日获利不少于1300元.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，
所以，即，
因为，
所以，解得，
则地疫苗的接种率至少为．
故选：A．
2．(2023·云南·高一阶段练习）某农家院有客房 20 间，日常每间客房日租金为 100 元，每天都客满.该农家院欲重新装修提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，每天客房的出租间数就会减少1，则该农家院重新装修后，每天客房的租金总收入最高为（ ）
A．2250 元B．2300 元C．2350 元D．2400 元
答案：A
【解析】设每间客房日租金提高个10元，每天客房的租金总收入为元，则
当且仅当时，取得最大值
故选：
3．(2023·甘肃·天水市第一中学高一开学考试）一件工艺品的进价为元，标价元出售，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降价元，则每天可多售出件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A．元B．元C．元D．元
答案：B
【解析】设每天的销售量为件，每件工艺品的标价为元，则关于的函数为一次函数，设，
由题意可得，解得，则，
故每天获得的利润为，
故当元时，每天获得的利润最大，
因此，要使每天获得的利润最大，则每件需降价元.
故选：B.
4．(2023·四川省德阳中学校高一阶段练习）我们通常以分贝为单位来表示声音大小的等级，分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（ ）
A．40B．100C．40000D．10000
答案：D
【解析】由题意可知,当声音强度的等级为90dB时,有,得；此时对应的强度.
当声音强度的等级为50dB时,有,得,此时对应的强度.
∴90dB的声音与50dB的声音强度之比为.
故选：D.
5．(2023·全国·高一单元测试）2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是（参考数据：，）（ ）
A．40B．41C．42D．43
答案：C
【解析】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），
由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，则.
令，即，
所以，即，
所以至少对折的次数n是42.
故选：C.
6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C．当时，的增长速度一直快于
D．当时，
答案：B
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图像，
如图所示，在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快，且快于，故A错误；B正确；
对于C，当时，的增长速度不是一直快于，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：B.
7．(2023·全国·高一单元测试）春天是一个美丽、神奇，充满希望的季节，我们每个人都应当保持像春天一样朝气蓬勃的生命力，去创造属于我们自己的美好生活．随着2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据）（ ）
A．17天B．15天C．12天D．10天
答案：A
【解析】设荷叶覆盖水面的初始面积为，则天后荷叶覆盖水面的面积，根据题意，令，即，两边取以10为底的对数得，所以解得．
故选：A．
8．(2023·贵州·遵义四中高一期末）为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家年共缴纳的水费为元，则艾世宗一家年共用水（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设户年用水量为，年缴纳的税费为元，
则，即，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，解得，
所以艾世宗一家年共用水.
故选：B
二、多选题
9．(2023·全国·高一课时练习）（多选）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D．浮萍每月增加的面积都相等
答案：AB
【解析】由题意，函数图像满足的关系，由图象可知，当时，，
所以，解得，当时，，满足，
当时，，满足，故，选项A正确；
当时，，故浮萍蔓延的面积就会超过，选项B正确；
由题意，，所以，，所以，所以增加的时间为
，而，所以，故选项C错误；
由题意可知，当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以从第一个开始，每个月增加的面积分别为、、、，
所以增加的面积不相等，故选项D错误.
故选：AB.
10．(2023·全国·高一课时练习）某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长和厚度满足：.根据以上信息，下列说法正确的是（参考数值：，）（ ）
A．当对折4次时，的最小值为64
B．当对折4次时，的最小值为32
C．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折6次
D．一张长边长为，厚度为的矩形纸最多能对折8次
答案：AC
【解析】令，则，则，即，
即当对折4次时，的最小值为64，故A正确，B错误；
当，x=0.05cm时，，
所以该矩形纸最多能对折6次，故C正确，D错误,
故选:AC.
11．(2023·全国·高一课时练习）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ）
A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱
B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元
答案：ABC
【解析】对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，故A正确；
对于B，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；
对于C，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元），乙方案每千米增加的费用为（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；
对于D，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），故D错误.
故选:ABC.
三、填空题
12．(2023·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________
答案：10
【解析】由题意，设该厂月获利为元，则：
，
当工厂日获利不少于1 000元时，即，
即，
解得：.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
故答案为：10
13．(2023·全国·高一单元测试）某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6t，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用z（单位：元）与购买天数x（单位：天）的关系为（），每次购买大米需支付其他固定费用900元．若要使食堂平均每天所支付的总费用最少，则食堂应______天购买一次大米．
答案：10
【解析】设平均每天所支付的总费用为y元，
则
，
当且仅当，即时取等号，故该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．
故答案为：10.
14．(2023·全国·高一单元测试）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）
答案：9
【解析】因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，
因为当时，，所以，所以，
即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为．
对于芯片，因为函数的图象过点，，所以，解得，所以，
即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为．
设投入，千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，
则公司所获利润，，
所以当，即时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元．
故答案为：
四、解答题
15．(2023·四川·成都市新都香城中学高一阶段练习）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本（万元）与月产量（吨）之间的关系式为：，已知此生产线月产量最大为20吨．
(1)求月产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
(2)经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为32万元，且最大利润不超过200万元，由该生产线月产量的最大值应为多少？
【解析】（1）设每吨的平均成本为万元，且，
则，
当且仅当，即（吨）时，每吨平均成本最低，且最低成本为12万元．
（2）由题意得，，即，
整理得，解得或，
因为，所以，
所以当最大利润不超过200万元时，年产量的最大值应为10吨．
16．(2023·浙江宁波·高一期中）因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入成本500万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等成本共为万元，每年的销售收入为260万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．
(1)写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利？（利润=销售收入-总成本）
(2)问使用到第几年末，年平均利润最大，最大值为多少？
【解析】（1），
令，解得， 而，
所以该设备第3年开始盈利；
（2），
因为，当且仅当时取到等号，
所以万元，
故在使用第5年末，年平均利润最大为50万元．
17．(2023·北京·牛栏山一中高一期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均时间，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），.而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当时，求该地上班族的人均通勤时间；
(2)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(3)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义.
【解析】（1）当 时，有 ，公交人群占S的比例为 ，
所以S的人均通勤时间为 （分钟）；
（2）解不等式 ，即 ，
化简得 （舍）或者 ，
所以当 时，公交群体的通勤时间小于自驾群体的通勤时间；
（3）公交群体占S的比例为 ，当 时，其平均通勤时间为 ；
当 时， 其平均通勤时间为 ；
，
当 时， 单调递减，当 时， 为开口向上的二次函数，对称轴 ，故单调递增；
综上，（1）人均通勤时间为37（分钟）；
（2）当 时，公交群体的通勤时间小于自驾群体的通勤时间；
（3），在 单调递减，在 单调递增.
18．(2023·江苏·常州高级中学高一阶段练习）近年来，某企业每年消耗电费24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入企业内电网，安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.5，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式，假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是（，k为常数）.记F（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与安装后该企业15年内共消耗的电费之和.
(1)求k的值，并建立F关于x的函数关系式；
(2)当x何值时，F取得最小值？最小值是多少万元？
【解析】（1）将代入C表达式得： ，即 ，
F与x的函数关系式为：， ；
（2）由（1）： ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 时，F取最小值，最小值是57.5.
19．(2023·河南南阳·高一期中）为了激励销售人员的积极性，某企业根据业务员的销售额发放奖金（奖金和销售额的单位都为十万元），奖金发放方案要求同时具备下列两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金金额不低于销售额的5%.经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案.
(1)若，，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由.
(2)若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）当，时，，
因为在上单调递增，且也在上单调递增，
所以在上单调递增，满足条件①；
若奖金金额不低于销售额的5%，则，
当时，不等式左边右边，不等式不成立，不满足条件②；
故，时不满足条件.
（2）当时，函数，
因为，所以在上单调递增，奖金发放方案满足条件①.
由条件②可知，即在时恒成立，
所以，在时恒成立，
当时，取得最小值，
所以，
所以要使奖金发放方案满足条件，的取值范围为.
时间
50
120
150
种植成本
2600
500
2600
1
2
4
6
8
…
2
4
16
64
256
…
1
4
16
36
64
…
0
1
2
2.585
3
…
－2
－1
0
1
2
3
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
年份
2015
2016
2017
2018
投资成本
3
5
9
17
…
年利润
1
2
3
4
…
1
4
9
16
1
分档
户年用水量
综合用水单价/（元）
第一阶梯
（含）
第二阶梯
（含）
第三阶梯
以上