高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题22函数嵌套问题(原卷版+解析)

这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题22函数嵌套问题(原卷版+解析)，共42页。
题型一：“”型问题
题型二：“”型问题
题型三：复合函数的零点问题
题型四：复合函数的零点问题
题型五：含参二次函数复合型零点问题
题型六：零点求和问题
题型七：其他型
【典型例题】
题型一：“”型问题
例1．设函数，是函数的所有零点中的最大值，若，，则 ．
例2．设函数，则当时，函数的最大值等于 ，若是函数的所有零点中的最大值，且，，则 ．
例3．已知函数，则函数的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
变式1．已知函数，则函数的零点个数为
A．4B．7C．8D．9
变式2．已知函数，则函数的零点个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式3．已知函数，集合，，，，若为单元素集，试求的值．
题型二：“”型问题
例4．已知函数，
（1）求（1）的值；
（2）若方程有4个实数根．求实数的取值范围．
例5．设函数，，．
（1）求函数的单调递增区间．
（2）若关于的方程有4个不同的实数很，求实数的取值范围．
例6．设函数，，，求函数的单调递增区间．
变式4．已知函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．
变式5．已知函数，，则当方程有6个解时的取值范围是
A．B．或C．D．
题型三：复合函数的零点问题
例7．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点，已知函数．
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值．
例8．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数．
当，时，求函数的不动点；
（Ⅱ）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围．
例9．设函数，，为自然对数的底数），若存在，使（b）成立，则的取值范围是 ．
变式6．设函数．若对任意，均有，则实数的取值范围是 ．
变式7．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是
A．对于函数，有成立
B．若是二次函数，且是空集，则为空集
C．对于函数，有成立
D．对于函数，存在，使得成立
变式8．对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为的“稳定点”，如果函数的稳定点恰是它的不动点，那么的取值范围为
A．B．C．D．
变式9．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
变式10．设函数．若存在，，使（b）成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
变式11．设函数，为自然对数的底数），若存在，使（b）成立，则的取值范围
A．，B．，C．，D．，
变式12．设函数，若存在，，使得（b）成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
变式13．设函数．若方程有解，则的取值范围为
A．B．C．D．，
题型四：复合函数的零点问题
例10．设，都是定义在上的函数，若函数有零点，则函数不可能是
A．B．C．D．
例11．和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则不可能是
A．B．C．D．
例12．函数、都是定义在上的函数，若方程有解，则函数不可能是
A．B．C．D．
题型五：含参二次函数复合型零点问题
例13．设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则
A．B．C．或2D．
例14．设定义域为的函数若关于的方程有5个不同的实数解，则
A．6B．4或6C．6或2D．2
例15．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为
A．0B．1C．D．不能确定
变式14．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是
A．B．
C．D．
变式15．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是
A．B．
C．D．
变式16．设定义域为的函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围为
A．B．，C．，D．
变式17．（多选题）函数的图象关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集不可能是
A．，B．，3，6，C．，2，3，D．，4，16，
变式18．设定义域为的函数，找出一组和的值，使得关于的方程有7个不同的实根 ．
变式19．设定义域为的函数，（2），．
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程有7个不同的实数解，求实数的值．
题型六：零点求和问题
例16．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是
A．1B．3C．5D．10
例17．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的实数根，，，则等于
A．5B．4C．1D．0
例18．设定义域为的函数，则关于的方程有5个不同的实数解，2，3，4，，则
A．B．C．2D．1
变式20．（多选题）设定义域为的函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，，，且．下列说法正确的是
A．B．
C．D．
变式21．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则 ．
题型七：其他型
例19．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间，上有两解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
例20．已知定义域为的单调函数，若对任意，都有”，则方程的解的个数是
A．3B．2C．1D．0
例21．已知定义域为的单调函数，若对任意的，都有，则方程的解的个数是 ．
微专题22 函数嵌套问题
【题型归纳目录】
题型一：“”型问题
题型二：“”型问题
题型三：复合函数的零点问题
题型四：复合函数的零点问题
题型五：含参二次函数复合型零点问题
题型六：零点求和问题
题型七：其他型
【典型例题】
题型一：“”型问题
例1．设函数，是函数的所有零点中的最大值，若，，则 ．
【解析】解：函数，
当时，
；
作函数的图象如下：
解，得到或，
又是函数的所有零点中的最大值，
所以，且（2），（3），
因为，，
所以，
故答案为：2．
例2．设函数，则当时，函数的最大值等于 ，若是函数的所有零点中的最大值，且，，则 ．
【解析】解：当时，
；
作函数的图象如下，
解得，
或；
又是函数的所有零点中的最大值，
；
且（2），（3）；
故．
故答案为：1，2．
例3．已知函数，则函数的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：令，可得或或，
函数的图象如图所示，
由图象可知，当时，有1个解；
当时，有3个解；
当时，有1个解．
综上所述，函数的零点个数为5个．
故选：．
变式1．已知函数，则函数的零点个数为
A．4B．7C．8D．9
【解析】解：令，解得或，
则令，可得或，
作出函数的图象如图所示，
由图象可知，有3个零点，有3个零点，有1个零点，
故函数有7个零点．
故选：．
变式2．已知函数，则函数的零点个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：设，解，得或，
①当时，由，得或，
即得或；
②当时，由得，
即或，即或，
综合①②得：
函数的零点为：或或或共4个；
故选：．
变式3．已知函数，集合，，，，若为单元素集，试求的值．
【解析】集合，，
为单元集，，
，
，，
当时，不符题意，故，
当时，△，解得：，
，
△
，
，方程无解，不符为单元集，故．
方程有2个不相等的实数解：，
当时有，解得：或（舍去）．
同理当时有：或（舍去）．
综上，．
题型二：“”型问题
例4．已知函数，
（1）求（1）的值；
（2）若方程有4个实数根．求实数的取值范围．
【解析】解：（1）（1），
（1），
即（1）．
（2）令，则原方程化为，
易知方程在内有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数与的图象有2个不同的交点，作出函数的图象，如图；
（1），，
由图象可知，当时，函数，与有2个不同的交点，
即所求的取值范囿是，．
例5．设函数，，．
（1）求函数的单调递增区间．
（2）若关于的方程有4个不同的实数很，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）令得，，或；
当，或时，，
当时，；
；
①当时，函数为增函数；时，函数为减函数；
②当时，令，，
设，则：，，
，
时，，为减函数，
，时，，为增函数；
令，则，
当时，为增函数，为减函数，故为减函数；
当时，为增函数，为增函数，故为增函数；
当时，为减函数，为增函数，故为减函数；
当时，为减函数，为减函数，故为增函数；
综上所述，函数的单调递增区间为，，，，，；
（2）由（1）可得，当或时，；
时，取得极大值；时，取得极小值1；
时，取得极小值1．
由方程有4个不同的实数很，
即为的图象与直线有4个交点．
则的取值范围是，．
例6．设函数，，，求函数的单调递增区间．
【解析】解：令得，，或；
当，或时，，
当时，；
；
（1）当时，函数为减函数；
（2）当时，令，，
设，则：，，；
时，，为减函数，时，，为增函数；
令，则，
当时，为增函数，为减函数，故为减函数；
当时，为增函数，为增函数，故为增函数；
当时，为减函数，为增函数，故为减函数；
当时，为减函数，为减函数，故为增函数；
（3）当时，为增函数；
综上所述，函数的单调递增区间为，，，．
变式4．已知函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：由题意可得函数与函数有4个交点，如图所示：
，
结合图象可得，
故答案为，．
变式5．已知函数，，则当方程有6个解时的取值范围是
A．B．或C．D．
【解析】解：函数，，
，
令得：，或，
故当时，函数取极大值1，当时，函数取极小值；
则与的交点情况为：
当，或时，有一个交点；
当，或时，有两个交点；
当时，有三个交点；
与的交点情况为：
当时有两个交点，一个在区间上，一个在区间上；
当时有两个交点，一个为，一个为；
当时有两个交点，一个在区间上，一个在区间，上．
若方程有6个解，有两个根，均在上，
故，
故选：．
题型三：复合函数的零点问题
例7．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点，已知函数．
（1）当，时，求函数的不动点；
（2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值．
【解析】解：（1），由，解得或，所以所求的不动点为或．
（2）令，则①，
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△，
即恒成立，则△，故．
（3）设，，，，，，
又的中点在该直线上，所以，
，
而，应是方程①的两个根，所以，即，
，
当时，．
例8．定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数．
当，时，求函数的不动点；
（Ⅱ）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）当，时，，
因为为的不动点，
所以，
即解得，，
所以和3是的不动点．
（Ⅱ）因为恒有两个相异的不动点，
即方程恒有两个不同的解，
即有两个不相等的实数根，
所以恒成立，
即对任意，恒成立，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
例9．设函数，，为自然对数的底数），若存在，使（b）成立，则的取值范围是 ．
【解析】解：存在，，使（b）成立
存在，，使（b）（b）
即函数与其反函数在，上有交点
在，上为增函数
函数与其反函数在，的交点在直线上，
即函数与其反函数的交点就是与的交点
令：，则方程在，上一定有解
，
．
故答案为：．
变式6．设函数．若对任意，均有，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：函数．若对任意，均有，
即为，
即，
可得恒成立，
由，
即有，
故答案为：．
变式7．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是
A．对于函数，有成立
B．若是二次函数，且是空集，则为空集
C．对于函数，有成立
D．对于函数，存在，使得成立
【解析】解：对于：函数，
，故正确；
对于：若为二次函数，是空集，
则对任意实数，方程无解，
这样也无解，
所以也为空集，故正确；
对于：函数为单调减函数，
任取，则，
而，即，
反之，任取，则，
若，则，出现矛盾，
若，则，出现矛盾，
所以，则，
综上所述，，故正确；
对于：对于函数，
由，得，
当时，，
所以，，
又，
所以，
所以，故错误；
故选：．
变式8．对于函数，若，则称为函数的“不动点”：若，则称为的“稳定点”，如果函数的稳定点恰是它的不动点，那么的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：为函数的“不动点”，则方程，即有实根，故△，，
如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根为方程，即的实根，
方程可化为：，即，利用平方差公式分解因式得，
，，
函数的“稳定点”恰是它的“不动点”， 方程无实数根，
，，
综上，，
故选：．
变式9．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：为函数的“不动点”，则方程，即有实根，故△，，
如果“稳定点”恰是它的“不动点”，则上述方程的根为方程，即的实根，
方程可化为：，即，利用平方差公式分解因式得，
，，
函数的“稳定点”恰是它的“不动点”， 方程无实数根，
，，
当时，解得，此时的解为，，两方程具有相同的实根，能同时满足有实根且有实根，因此满足题意．
综上，，
故选：．
变式10．设函数．若存在，，使（b）成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由（b），可得（b）（b），
其中是函数的反函数
因此命题“存在，使（b）成立”，转化为
“存在，，使（b）（b）”，
即的图象与函数的图象有交点，
且交点的横坐标，，
的图象与的图象关于直线对称，
的图象与函数的图象的交点必定在直线上，
由此可得，的图象与直线有交点，且交点横坐标，，
根据，化简整理得．，，
即，，，
根据二次函数的性质得出：
即实数的取值范围为，．
故选：．
变式11．设函数，为自然对数的底数），若存在，使（b）成立，则的取值范围
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：因为存在，，使（b）成立，
所以存在，，使（b）（b），
即函数与其反函数在，上有交点，
因为函数在，上为单调递增函数，
所以函数与其反函数在，的交点在直线上，
即函数与其反函数的交点即为与的交点，
令，即在，上有解，
所以在，上有解，
因为在，上单调递增，
所以，
则的取值范围为，．
故选：．
变式12．设函数，若存在，，使得（b）成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由（b），可得（b）（b），
其中是函数的反函数
因此命题“存在，使（b）成立”，转化为
“存在，，使（b）（b）”，
即的图象与函数的图象有交点，
且交点的横坐标，，
的图象与的图象关于直线对称，
的图象与函数的图象的交点必定在直线上，
由此可得，的图象与直线有交点，且交点横坐标，，
根据，化简整理得．
记，，
由，，
可得，，即．
即实数的取值范围为，．
故选：．
变式13．设函数．若方程有解，则的取值范围为
A．B．C．D．，
【解析】解：设，，则方程等价为，
即，
，
即，
在时有解，
即，
在时成立，
设，
当时，取得最大值，
，
即，
故选：．
题型四：复合函数的零点问题
例10．设，都是定义在上的函数，若函数有零点，则函数不可能是
A．B．C．D．
【解析】解：函数有零点，
方程有解，
，
有解，
若，
则可判断有解，故成立；
若，
则可判断有解，故成立；
若，
则可判断有解，故成立；
若，
则可判断无解，故不成立；
故选：．
例11．和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则不可能是
A．B．C．D．
【解析】解：因为，所以，得，
即，所以与是等价的，
即有解，也有解，也就是说有解得都是有可能的，
．当时，成立；
．当时，结合图象有解；
．当时，即，当时，得，舍去；
当时，无解，故方程无解，错误；
．当时，得有解．
故选：．
例12．函数、都是定义在上的函数，若方程有解，则函数不可能是
A．B．C．D．
【解析】解：方程有解，
得方程有实根，
直接把四个答案分别代入，发现只有无解；
题目要我们选不可能的，所以只能选无解的那个．
故选：．
题型五：含参二次函数复合型零点问题
例13．设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则
A．B．C．或2D．
【解析】解：当时，由得或，
当时，，
由得均符合，
由得，均符合，
当时，，
由得，均符合，
由得（舍，符合，
故时，关于的方程有7个不同的实数解，所以排除和；
当时，由得或，
当时，已经解出，，均符合；
当时，由，解得，
由得，
故时，原方程只有5个不同实根，不符合题意，故排除．
故选：．
例14．设定义域为的函数若关于的方程有5个不同的实数解，则
A．6B．4或6C．6或2D．2
【解析】解：题中原方程有5个不同的实数根，结合函数的图象可得，
令，则关于的方程有一根为，另一个根大于4或等于0．
把代入方程求得或．
当时，关于的方程有一根为，另一个根等于1，不满足条件．
当时，关于的方程有一根为，另一个根等于9，满足条件．
故选：．
例15．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为
A．0B．1C．D．不能确定
【解析】解：作函数的图象，
关于的方程有5个不同的实数解，
方程有2个不同的实数解1，，
，，
故，
故选：．
变式14．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：作出的图象如图：设，
则方程等价为，
由图象可知，
若关于的方程有五个不同的实数解，
即要求对应于等于某个常数有3个不同实数解，
故先根据题意作出的简图：
由图可知，只有当时，它有三个根．
所以有：①．
再根据有两个不等实根，
则判别式△，
解得，
故或，
故选：．
变式15．设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：题中原方程有且只有5个不同实数解，
即要求对应于等于某个常数有3个不同实数解，
故先根据题意作出的简图：
由图可知，只有当时，它有三个根．
所以有：①．
再根据有两个不等实根，
得：△②
结合①②得：或．
故选：．
变式16．设定义域为的函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围为
A．B．，C．，D．
【解析】解：作函数的图象如下，
，
，
或，
结合图象可知，
方程有且仅有一个根，
故方程有3个不同的根，
故，
故，
故选：．
变式17．（多选题）函数的图象关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集不可能是
A．，B．，3，6，C．，2，3，D．，4，16，
【解析】解：的对称轴为直线，
设方程的解为，，
则必有，，
那么从图象上看，，是一条平行于轴的直线，它们与有交点，
由对称性，则方程的两个解，要关于直线对称，即，
同理方程的两个解，也要关于直线对称，即，
在中，可以找到对称轴为直线，
在中，可以找到对称轴为直线，
在中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案不可能，
在中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案不可能，
故选：．
变式18．设定义域为的函数，找出一组和的值，使得关于的方程有7个不同的实根 ．
【解析】解：的图象如图所示：
，满足条件，理由如下：
设，，
由图象可得以上有关于的方程必须有一解为1，
另一解在区间中，
才会使得关于的方程有7个解．
其中，有3个解，
，有四个解．
所以可令，，
即可得方程，
则，．
故答案为：，．
变式19．设定义域为的函数，（2），．
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程有7个不同的实数解，求实数的值．
【解析】解：（1）由题意，（2）；
，
；
则，，；
故；
（2）作的图象如下，
则若使关于的方程有7个不同的实数解，
则有两个不同的实数解，且有一个解为1或4；
若1是得解，
则；
故或；
若，则的两个解为1，0；不成立；
若，则的两个解为1，4；由图知不成立；
若4是得解，
则；
故或；
若，则的两个解为4，9；不成立；
故不存在．
题型六：零点求和问题
例16．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的解，，，则的值是
A．1B．3C．5D．10
【解析】解：令，做出的函数图象如下：
由图象可知当时，有三解，
当或时，有两解，
当时，方程无解．
关于的方程有三个不同的解，，，
，
当时，令解得，
当时，令解得，
当时，显然是的解．
不妨设，则，，，
．
故选：．
例17．设定义域为的函数，若关于的方程有三个不同的实数根，，，则等于
A．5B．4C．1D．0
【解析】解：分段函数的图象如图所示：
由图可知，只有当时，它有三个根．
由，即，
解得，或．
关于的方程有且只有3个不同实数解，
解分别是2，1，0，即，，，
，
故选：．
例18．设定义域为的函数，则关于的方程有5个不同的实数解，2，3，4，，则
A．B．C．2D．1
【解析】解：画出的图象，
由于关于的方程有5个不同的实数解，令，则有两个不等的实数根，
且其中一个为2，
画出直线，
得到5个交点，其横坐标为，，，，，
设，
且，
由于的图象关于直线对称，
则，
即有，
则，
故选：．
变式20．（多选题）设定义域为的函数，若关于的方程有且仅有三个不同的实数解，，，且．下列说法正确的是
A．B．
C．D．
【解析】解：因为函数，作出函数图象如图所示，
关于的方程有且仅有三个不同的实数解，
由图象可知，只有当时，方程有三个根，，，且，
故，，，
所以，
故选项正确；
当时，由，可得，
故选项正确；
因为，
故选项错误；
因为，
故选项正确；
故选：．
变式21．设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则 ．
【解析】解：作出函数的图象，如图所示，
令，由图象可知，当时，方程有3个根，
当或时，方程有2个根，
则方程，等价于，
因为方程恰有5个不同的实数解，，，，，
所以等价于方程有两个实数解，或，或，
可得这5个根也关于直线对称，
所以．
故答案为：5．
题型七：其他型
例19．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间，上有两解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：是定义域为的单调函数，对任意的，都有，
必存在唯一的正实数，满足，（a）①，（a）②，
由①②得：，即，，解得．
故，，
由方程在区间，上有两解，
即有在区间，上有两解，
作出的图象，如图所示：
，
结合题意，，
故选：．
例20．已知定义域为的单调函数，若对任意，都有”，则方程的解的个数是
A．3B．2C．1D．0
【解析】解：定义域为的单调函数，
满足，，
必存在唯一的正实数，
满足，（a），①
，②
由①②得：，
，
，左增，右减，有唯一解，
故，
，
由，得，
，
令，则，
此方程只有两个正根，或，
，或．
故方程的解的个数是2．
故选：．
例21．已知定义域为的单调函数，若对任意的，都有，则方程的解的个数是 ．
【解析】解：定义域为的单调函数，
满足，，
必存在唯一的正实数，
满足，（a），①
（a），②
由①②得：，，，左增，右减，有唯一解，
故，
，
由，得，
由函数图象可知的解只有一个．
故答案为1．