高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题27三角函数中求值和求角问题(原卷版+解析)

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1、两角和与差的余弦公式
2、两角和与差的正弦公式
3、两角和与差的正切公式
4、二倍角的正弦、余弦、正切公式
5、升幂公式：，
6、降幂公式：，
【题型归纳目录】
题型一：求值问题
题型二：给值求角
题型三：已知正切值, 求关于的齐次式的值
【典型例题】
题型一：求值问题
例1．若，则的值为
A．B．C．D．
例2．已知，则
A．B．C．D．
例3．已知，，则
A．3B．C．D．3或
变式1．已知，则
A．B．C．D．
变式2．若，则等于 ．
题型二：给值求角
例4．（1）求值
（2）已知，求的值．
例5．已知在中、均为锐角，，，
（1）求
（2）求的度数．
例6．已知．则的值是
A．B．C．D．
变式3．设
A．B．C．D．或
题型三：已知正切值, 求关于的齐次式的值
例7．（Ⅰ）化简：；
（Ⅱ）已知：，求的值．
例8．已知，且是第三象限角，分别求：
（1）化简的值；
（2）的值．
例9．已知，且．
（1）确定角的象限并求，，的值；
（2）求的值．
【过关测试】
1．已知，均为锐角，满足，，则
A．B．C．D．
2．已知，，则的值为
A．B．C．D．
3．在斜三角形中，且，则的值为
A．B．C．D．
4．若，，，，则
A．B．C．D．
5．已知，则
A．B．C．D．
6．已知，则的值等于
A．B．C．D．
7．已知，则
A．B．C．D．
8．已知，是方程的两个实数根，则
A．2B．C．D．
9．已知在中，，那么等于
A．B．C．D．
10．（多选题）已知，且，则
A．B．C．D．
11．已知，且，则的值为 ．
12． ．
13．观察等式：，，照此规律，对于一般的角，，有等式 ．
14．定义函数，若，则
15．已知，其中．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．已知
（Ⅰ）化简：；
（Ⅱ）计算：．
17．若已知，求的值．
18．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值．
19．求值．
20．计算：．
21．化简：
22．（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，求，的值．
23．已知，且．
（1）求的值； （2）求的值．
24．已知，．
（1）求的值；
（2）设角的终边与单位圆的交点为，，求的大小．
25．已知，其中．
（1）求；
（2）若，求的值．
26．设，，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
微专题27 三角函数中求值和求角问题
【方法技巧与总结】
1、两角和与差的余弦公式
2、两角和与差的正弦公式
3、两角和与差的正切公式
4、二倍角的正弦、余弦、正切公式
5、升幂公式：，
6、降幂公式：，
【题型归纳目录】
题型一：求值问题
题型二：给值求角
题型三：已知正切值, 求关于的齐次式的值
【典型例题】
题型一：求值问题
例1．若，则的值为
A．B．C．D．
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
例2．已知，则
A．B．C．D．
【解析】解：
．
故选：．
例3．已知，，则
A．3B．C．D．3或
【解析】解：，
两边平方可得：，
，
化为，
化为：，
解得或．
故选：．
变式1．已知，则
A．B．C．D．
【解析】解：由题意得，，
两边平方得，，
即，
则，解得或，
所以，
故选：．
变式2．若，则等于 ．
【解析】解：，
．
故答案为：
题型二：给值求角
例4．（1）求值
（2）已知，求的值．
【解析】解：（1）原式．
（2），，
又，，
，，
．
例5．已知在中、均为锐角，，，
（1）求
（2）求的度数．
【解析】解：（1）、均为锐角，，，
，，
．
（2）由（1）可得：．
在中，，，
．
．
例6．已知．则的值是
A．B．C．D．
【解析】解：
故选：．
变式3．设
A．B．C．D．或
【解析】解：、为钝角
又
，，
又
故选：．
题型三：已知正切值, 求关于的齐次式的值
例7．（Ⅰ）化简：；
（Ⅱ）已知：，求的值．
【解析】解：（Ⅰ）原式
；
（Ⅱ）因为，则原式．
例8．已知，且是第三象限角，分别求：
（1）化简的值；
（2）的值．
【解析】解：（1）由于，且是第三象限角，
解得或，
可得
，
当时，原式，
当时，原式．
（2）原式，或．
例9．已知，且．
（1）确定角的象限并求，，的值；
（2）求的值．
【解析】解：（1）已知，且，为第四象限角，，
，
．
（2）．
【过关测试】
1．已知，均为锐角，满足，，则
A．B．C．D．
【解析】解：、均为锐角，满足，，
，，
，
又，
．
故选：．
2．已知，，则的值为
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，
，
又，
，
即，即，
则．
故选：．
3．在斜三角形中，且，则的值为
A．B．C．D．
【解析】解：在斜三角形中，，
两边同除可得．
又，
所以，
，．
故选：．
4．若，，，，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，，则，，
，，
，，
，
，
故选：．
5．已知，则
A．B．C．D．
【解析】解：，，化为，①
又，，，化为，②
联立①②解得，，．
．
故选：．
6．已知，则的值等于
A．B．C．D．
【解析】解：因为
．
故选：．
7．已知，则
A．B．C．D．
【解析】解：因为，
所以，，整理得，解得，
所以或．
①当成立时，，
所以．
②当成立时，，
所以，
由①②得．
故选：．
8．已知，是方程的两个实数根，则
A．2B．C．D．
【解析】解：已知，是方程的两个实数根，
即：已知，是方程的两个实数根，
所以：，，
则：．
故选：．
9．已知在中，，那么等于
A．B．C．D．
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
10．（多选题）已知，且，则
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可得，
令，则原式可化为，
解得，或，
因为，
所以，
所以，，
即，可得，
解得，或．
故选：．
11．已知，且，则的值为 ．
【解析】解：由于，
．
再根据，且，可得为钝角，
，，，，
故答案为：．
12． ．
【解析】解：原式，
故答案为：．
13．观察等式：，，照此规律，对于一般的角，，有等式 ．
【解析】解：
，
，
对于一般的角，，有等式，
故答案为：．
14．定义函数，若，则
【解析】解：由，且，
得，
，
即，解得．
．
则．
．
故答案为：．
15．已知，其中．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】解：（1）依题意，，（2分）
因为，解得，（4分）
故；（6分）
（2）因为，且，
故，则，（9分）
故．（12分）
16．已知
（Ⅰ）化简：；
（Ⅱ）计算：．
【解析】解：法一：（Ⅰ）由，及，
得，
可得：
．
（Ⅱ）由，两边平方得：，
故有，
从而，
法二：
（Ⅰ），
（Ⅱ）由得，
可得．
17．若已知，求的值．
【解析】解：，，
．
．
18．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值．
【解析】解：（1）角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
则：，．
所以：．
（2）由于角满足，
所以：．
所以：或
19．求值．
【解析】解：由．
．
20．计算：．
【解析】解：．
，
，
，
，
21．化简：
【解析】解：
．
22．（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，求，的值．
【解析】解：（1），，
．
（2）由已知条件，得，
两式求平方和得，即，所以．
又因为，所以，．
把代入得．
考虑到，得，因此有，．
23．已知，且．
（1）求的值； （2）求的值．
【解析】解 （1），
（2），，
，又
则
24．已知，．
（1）求的值；
（2）设角的终边与单位圆的交点为，，求的大小．
【解析】解：（1）因为，，
所以，
所以．
（2）令角的终边与单位圆的交点为，
则，
因为
所以，
由（Ⅰ）知，，
所以，，
则，
由，得，且，
所以，
所以．
25．已知，其中．
（1）求；
（2）若，求的值．
【解析】解：（1）因为，，
所以，；
（2）因为，
所以，
所以．
26．设，，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【解析】解：（Ⅰ），，．
所以：，
即：，
所以：，
则：．
（Ⅱ）由于：，
且：，
故：，
且，
故：，
所以：，
则：，
，
，
．