高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题30三角函数中的ω取值与范围问题(原卷版+解析)

这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题30三角函数中的ω取值与范围问题(原卷版+解析)，共40页。

1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点

3、在区间内有个零点

同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
【题型归纳目录】
题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值
题型二：三角函数与零点
题型三：三角函数性质综合应用
【典型例题】
题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值
例1．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是
A．B．C．D．
例2．已知在区间上单调递增，则的取值范围是
A．，B．，，C．，D．，
例3．已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
变式1．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
变式2．为了使在区间，上至少出现50次最大值，则的最小值是
A．B．C．D．
变式3．（多选题）已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为
A．B．C．D．
变式4．若函数的部分图象如图，则 ．
变式5．为了使函数在区间，上至少出现4次最大值，则的最小值是 ．
变式6．已知函数，在，上单调，其图象经过点，，且有一条对称轴为直线，则的最大值是 ．
题型二：三角函数与零点
例4．已知函数，，若在区间内有零点，则的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
例5．已知函数，，若函数在区间内没有零点，则的取值范围
A．，B．，
C．，D．
例6．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
变式7．已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
变式8．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是 ．
变式9．已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ．
变式10．已知函数，其中常数
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间，，且满足，在，上恰有30个零点，求的取值范围．
题型三：三角函数性质综合应用
例7．已知函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则
A．B．C．D．
例8．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，则的最大值为
A．12B．11C．10D．9
例9．已知函数为图象的对称轴，为的零点，且在区间上单调，则的最大值为
A．13B．12C．9D．5
变式11．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且，，，则的最大值为
A．5B．4C．3D．2
变式12．将函数，，图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在，上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为，则的取值范围是
A．B．C．D．
变式13．已知．给出下列判断：
①若，，且，则；
②若在，上恰有9个零点，则的取值范围为；
③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
④若在上单调递增，则的取值范围为．
其中，判断正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
变式14．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，求的最大值．
【过关测试】
一．选择题
2．若函数能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在上是单调函数，则整数的值是
A．4B．5C．6D．7
3．已知函数，，，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为
A．5B．7C．9D．11
4．已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当，时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是
A．，B．，C．D．
5．已知函数在区间，上是增函数，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
6．已知函数在区间，上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是
A．在区间上有且仅有3个不同的零点
B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是
D．在区间上单调递增
7．函数在区间，上恰有三个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
8．已知函数的图象在区间，上恰有3个最高点，则的取值范围为
A．B．C．D．，
9．若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
二．多选题
10．已知函数，在区间上单调，且满足则
A．
B．
C．关于的方程在区间，上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
11．已知函数在上恰有3个零点，则
A．在上恰有2个极大值点和2个极小值点
B．在上的最大值是2
C．在上是增函数
D．的取值范围是
12．已知函数，下面结论正确的是
A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则
B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在，上恰有6个零点，则的取值范围是
D．若，则在上单调递增
三．填空题
13．若函数能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间上为增函数，则正整数的值为 ．
14．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 ．
15．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在，上有且只有5个零点，则的取值范围是 ．
16．若函数在，和，上均单调递增，则实数的取值范围为 ．
17．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 ．
18．已知函数，在区间上单调，且满足．（1）若，则函数的最小正周期为 ；（2）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 ．
19．设，若在上为增函数，则的取值范围是 ．
20．已知函数，，的值域为，则的取值范围是 ．
21．已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为，，，且是钝角三角形，则的取值范围是 ．
微专题30 三角函数中的ω取值与范围问题
【方法技巧与总结】
1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点

3、在区间内有个零点

同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
【题型归纳目录】
题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值
题型二：三角函数与零点
题型三：三角函数性质综合应用
【典型例题】
题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值
例1．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：当，时，，，
要使在，上单调递增，
则，得，得，
又，
．
故选：．
例2．已知在区间上单调递增，则的取值范围是
A．，B．，，C．，D．，
【解析】解：，
由，，
得，，
即，即函数的单调递增区间为，，，
在区间上单调递增，
，即，
即，
，
当时，此时，
当时，，
当时，，此时不成立，
综上的范围是或，
即，，，
故选：．
例3．已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：函数在区间，上单调递增，
，
解得：
，
当时，可得：．
故选：．
变式1．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由，
得，
取，得，
函数在区间上单调递增，
，即．
又，
的取值范围是，．
故选：．
变式2．为了使在区间，上至少出现50次最大值，则的最小值是
A．B．C．D．
【解析】解：使在区间，上至少出现50次最大值
，即，
．
故选：．
变式3．（多选题）已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为
A．B．C．D．
【解析】解：根据题意，，则，
若为偶函数，则且，
则，，
必有，则，必有，
当时，，当时，，
故选：．
变式4．若函数的部分图象如图，则 4 ．
【解析】解：由函数的图象可知，，与，，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，
所以函数的周期，
所以，所以．
故答案为：4．
变式5．为了使函数在区间，上至少出现4次最大值，则的最小值是 ．
【解析】解：为了使函数在区间，上至少出现4次最大值，则取得最小值时，需有，
解得，
故答案为．
变式6．已知函数，在，上单调，其图象经过点，，且有一条对称轴为直线，则的最大值是 5 ．
【解析】解：因为函数图象经过点，
所以，，①
因为直线为函数的一条对称轴，
所以，，②
①②可得，即，
由，，可得，3，5，，
因为函数在上单调，
所以，即，解得，
所以的最大值是5．
故答案为：5．
题型二：三角函数与零点
例4．已知函数，，若在区间内有零点，则的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解析】解： ，由，可得，
令得函数有一零点，排除（B）、（C），
令得函数在上的零点从小到大为：，，
显然，，可排除（A），
故选：．
例5．已知函数，，若函数在区间内没有零点，则的取值范围
A．，B．，
C．，D．
【解析】解：函数，
，
，
函数在区间内没有零点，
所以：，
即：，
所以：①，
解得：，
②，
解得：，
综上所述：，，
故选：．
例6．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：依题意得为的最大值1，，，，
①
又在区间上恰有两个零点，，且，
即，即，解得，②
由①②．
故选：．
变式7．已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：．
令可得，．
令解得，
函数在区间内没有零点，
区间，内不存在整数．
又，，
又，
，，或，，．
或，
解得或．
故选：．
变式8．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是 ．
【解析】解：函数，其中，，恒成立，
，，，
，．
结合的范围，可得或．
①当时，，
由，且，可得，2 ．
在区间上恰有3个零点，，
，即，
即，即．
综合可得，．
②当时，，
由，且，可得，10 ．
在区间上恰有3个零点，，
，即，
即．
综合可得，此时，．
综上，结合①②可得，，
故答案为：．
变式9．已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ， ．
【解析】解：由
．
在区间内没有零点，
，可得．
当时，，，
，或，
解得，或，
又，或．
的取值范围是，．
故答案为：，．
变式10．已知函数，其中常数
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间，，且满足，在，上恰有30个零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）对于函数，其中常数，若在，上单调递增，
则，且，求得，即的取值范围为，．
（2）令，将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，
令，求得，
，或，，
求得 或，，故函数的零点为或，．
的零点相离间隔依次为和，
在，上恰有30个零点，
的最小值为，
，
．
题型三：三角函数性质综合应用
例7．已知函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则
A．B．C．D．
【解析】解：把函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
若和的图象都关于对称，
则，①
，②
由①②得，；
，
又，；
；
由，解得，
又，，，
．
故选：．
例8．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，则的最大值为
A．12B．11C．10D．9
【解析】解：函数，，
为的零点，为图象的对称轴，
，且，、，，即为奇数①．
在，单调，，②．
由①②可得的最大值为11．
当时，由为图象的对称轴，可得，，
故有，，满足为的零点，
同时也满足满足在，单调，
故为的最大值，
故选：．
例9．已知函数为图象的对称轴，为的零点，且在区间上单调，则的最大值为
A．13B．12C．9D．5
【解析】解：函数 为图象的对称轴，为的零点，
在区间上单调，周期，即，．
为图象的对称轴，为的零点，，，．
当时，由题意可得，，函数为，
在区间上，，，在区间上不单调，．
当时，由题意可得，，函数为，
在区间上，，，在区间上单调，满足条件，
则的最大值为9，
故选：．
变式11．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且，，，则的最大值为
A．5B．4C．3D．2
【解析】解：函数，，为的零点，为图象的对称轴．
，．
，即为奇数．
下面验证不符合题意，
当时，可得，函数，
且，时，，
而，不符合，，，则的最大值为3，
故选：．
变式12．将函数，，图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在，上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：将函数，，图象上每点的横坐标变为原来的2倍，
得函数，由图象过点以及点在图象上的位置，
知，，，，
由在，上恰有一个最大值和一个最小值，，
，
故选：．
变式13．已知．给出下列判断：
①若，，且，则；
②若在，上恰有9个零点，则的取值范围为；
③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
④若在上单调递增，则的取值范围为．
其中，判断正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：．
①由题可知，最小正周期，，即①错误；
②设函数在轴右侧与轴的第9个交点的横坐标为，第10个交点的横坐标为，
则，，解得，，
若在，上恰有9个零点，则，解得，即②正确；
③的图象向右平移个单位得到函数，
函数的图象关于轴对称，，，，
若存在，则，解得，与相矛盾，即③错误；
④令，得，，
在上单调递增，
当时，有，解得，
，，
故的取值范围为，即④错误．
正确的只有②，
故选：．
变式14．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，求的最大值．
【解析】解：函数，，为的零点，为图象的对称轴，
，，且，，
相减可得，，即，即为奇数．
在，单调，
（1）若在，单调递增，
则，且，，
即①，且，②，
把①②可得：，，故有奇数的最大值为11．
当时，，，，．
此时在，上不单调，不满足题意．
当时，，，，，
此时在，上单调递减，不满足题意；
故此时无解．
（2）若在，单调递减，
则，且，，
即③，且，④，
把③④可得：，，故有奇数的最大值为11．
当时，，，，．
此时在，上不单调，不满足题意．
当时，，，，，
此时在，上单调递减，满足题意；
故的最大值为9．
故答案为：9．
【过关测试】
一．选择题
2．若函数能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在上是单调函数，则整数的值是
A．4B．5C．6D．7
【解析】解：函数能够在某个长度为3的区间上至少三次出现最大值3，
如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3，
由三角函数的图象与性质可知：即：；
解得：；
又，上为单调函数，
，且，
解得；
综上可得，正整数．
故选：．
3．已知函数，，，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为
A．5B．7C．9D．11
【解析】解：函数，，，
满足，，①．
对于任意的都有，故的图象关于直线对称，
，②．
②①可得，即，即等于的奇数倍．
若在上单调，则，求得．
当时，由①可得，，结合，
可得，此时，，当，，，
故不满足在上单调，故不满足条件．
当时，，由①可得，，结合，
可得或，满足在上单调，也满足③．
故的最大值为9，
故选：．
4．已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当，时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是
A．，B．，C．D．
【解析】解：由，得，
即，
即，
则，，
当时，，当时，，
相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，
，
即，
则，
当，时，函数的图象恒在轴的上方，即此时，恒成立，
由，得，，
得，
则，得，得，
当时，得，得，
则的取值范围是，，
故选：．
5．已知函数在区间，上是增函数，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：函数，
区间，上是增函数，
则有，，
解得：且，
，
，．
故选：．
6．已知函数在区间，上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是
A．在区间上有且仅有3个不同的零点
B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是
D．在区间上单调递增
【解析】解：函数，
令，，得，，
函数在区间，上有且仅有4条对称轴，即有4个整数满足，
由，得，可得，1，2，3，
则，
，即的取值范围是，故正确；
，，，得，，
当，时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故错误；
周期，由，得，，
，，的最小正周期不可能是，故错误；
，，，
又，，，，
又，在区间上不一定单调递增，故错误．
故选：．
7．函数在区间，上恰有三个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：函数在区间，恰有3个零点，
，，
可得，
可得．
故选：．
8．已知函数的图象在区间，上恰有3个最高点，则的取值范围为
A．B．C．D．，
【解析】解：因为，，所以，，
因为的图象在区间，上恰有3个最高点，
所以，解得．
故选：．
9．若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：函数，其对称方程为，，
解得，；
对称轴，
当时，可得对称性：，，解得：；
当时，可得对称性：，解得：；
的取值范围是，．
故选：．
二．多选题
10．已知函数，在区间上单调，且满足则
A．
B．
C．关于的方程在区间，上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
【解析】解：函数满足．
对于，因为，所以的一个对称中心是，，即，选项正确；
对于，因为，解得，即，解得，所以，选项正确；
对于，关于的方程只有一个实数解，函数，在区间，上单调，且满足，
所以，
当时，，在区间，上的实数解为，，共有三个，选项错误；
对于，函数在区间，上恰有5个零点，所以，
所以，解得，
且满足，即，解得，所以，，选项正确．
故选：．
11．已知函数在上恰有3个零点，则
A．在上恰有2个极大值点和2个极小值点
B．在上的最大值是2
C．在上是增函数
D．的取值范围是
【解析】解：函数
，；
当时，，，
对于，因为在内恰好3个零点，所以，解得，选项正确；
对于，当时，，，因为，所以在区间上可能有2个或1个极小值点，选项错误；
对于，当时，，，因为，所以，所以在区间上有最大值为2，选项正确；
对于，当时，，，因为，所以，所以在区间上单调递增，选项正确．
故选：．
12．已知函数，下面结论正确的是
A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则
B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在，上恰有6个零点，则的取值范围是
D．若，则在上单调递增
【解析】解：，
对于，，，，错误；
对于，平移后关于原点对称，则，，当时，，正确；
对于，，，，，正确；
对于，当，则，，
若在上单调递增，则，，，正确．
故选：．
三．填空题
13．若函数能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间上为增函数，则正整数的值为 ．
【解析】解：由题意函数图象过，其周期，
要使长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，则有，
即，解得，
在区间上为增函数，
且，，
解得且，
当时，正整数值为7，符合条件．
故答案为：7．
14．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 ．
【解析】解：
，
令，解得，
因为在区间上恰好取得一次最大值，
所以，解得，
令，
解得，
因为在区间上是增函数，
所以，解得，
综上所述，，
所以的取值范围为．
故答案为：．
15．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在，上有且只有5个零点，则的取值范围是 ．
【解析】解：由题意知，，
因为，，所以，，
又在，上有且只有5个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
16．若函数在，和，上均单调递增，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：由知，当，时，
在和上单调递增，
，和，上均单调递增，
，，
的取值范围为：．
故答案为：．
17．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：令，则，，，
由于在上有且仅有2个零点，则有，且有，
则有为所求范围．
故答案为：，．
18．已知函数，在区间上单调，且满足．（1）若，则函数的最小正周期为 ；（2）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 ．
【解析】解：因为，，，
所以在，上单调，
又，
所以，可得，
又由于，
所以函数的对称轴方程为，
则，所以函数的最小正周期为；
因为函数在区间，上恰有5个零点，
所以，
所以，解得，
且满足，即，即，
故，，故④正确；
故答案为：，．
19．设，若在上为增函数，则的取值范围是 ．
【解析】解：设，若在上为增函数，
，，
故有，，求得，
可得的取值范围是，
故答案为：，．
20．已知函数，，的值域为，则的取值范围是 ．
【解析】解：因为，，所以，
因为函数的值域为，
所以，，解得．
故答案为：．
21．已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为，，，且是钝角三角形，则的取值范围是 ．
【解析】解：因为，所以函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，画出两函数和函数的部分图象，如图所示：
根据图象知，，取的中点，连接，由对称性知，是以为顶角的等腰三角形，
因为是钝角三角形，所以，所以，所以，由，
整理可得，，可得，；
则，所以，要使为钝角三角形，
只需，即，解得，所以的取值范围是．
故答案为：．