高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题31三角函数的最值问题求解策略(原卷版+解析)

这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题31三角函数的最值问题求解策略(原卷版+解析)，共33页。

三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．
【题型归纳目录】
题型一：恒等变形的应用，形如
题型二：二次函数型，形如
题型三：形如
题型四：分式结构，形如
【典型例题】
题型一：恒等变形的应用，形如
例1．(2023秋•景洪市校级期中）求函数的周期，最大值和最小值．
例2．(2023秋•镇江期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和增区间；
（2）当，时，求函数的最大值和最小值．
例3．(2023•浙江模拟）已知函数的最大值为2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当，时，求的最值以及取得最值时的集合．
变式1．(2023秋•六枝特区校级月考）已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）当，时，求的最大值和最小值．
变式2．已知函数，求：
（1）函数的周期；
（2）当为何值时函数取得最大值？最大值为多少？
题型二：二次函数型，形如
例4．(2023秋•梅州期末）函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
例5．(2023春•衡水期中）函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
例6．(2023•湖南一模）函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
变式3．(2023秋•天河区校级月考）函数的最大值为
A．4B．5C．6D．7
变式4．(2023•浙江）已知，则函数的最小值是
A．1B．C．D．
变式5．(2023秋•崇川区校级期中）已知函数在时有最大值为，则实数的值为 1 ．
变式6．已知函数在，上的最大值为5，求实数的值．
题型三：形如
例7．(2023春•习水县校级期末）函数，，的最大值是 ．
例8．求函数的最大值．
例9．(2023春•香洲区校级期中）已知
（Ⅰ）用表示的值；
（Ⅱ）求函数，，的最大值和最小值．
（参考公式：
变式7．已知，，求函数的最大值和最小值．
变式8．设，．
（1）求，的关系式；
（2）若，求的最大值．
题型四：分式结构，形如
例10．求函数的值域．
例11．已知，，求函数的值域．
例12．求函数，，的值域．
变式9．用至少2种方法求函数的值域．
变式10．（1）求值域
（2）求的值域．
【过关测试】
一．选择题
1．(2023秋•湖州期末）函数，的值域是
A．，B．C．D．
2．函数的值域为
A．，B．，C．，D．
3．(2023春•渝中区校级期中）函数的值域是
A．，B．，C．，D．，
4．(2023秋•武冈市校级期中）函数的最大值是
A．1B．C．D．
5．(2023秋•鄂尔多斯期中）设当时，函数取得最大值，则
A．B．C．D．
6．(2023秋•贵阳期末）当时，函数的最小值为
A．2B．C．4D．
7．(2023秋•镜湖区校级期末）已知函数，则的最大值为
A．B．C．0D．1
8．(2023秋•诸暨市校级月考）已知当时，函数取到最大值，则是
A．奇函数，在时取到最小值B．偶函数，在时取到最小值
C．奇函数，在时取到最小值D．偶函数，在时取到最小值
二．填空题
9．(2023春•南关区校级期中）函数，的值域是 ．
10．(2023•江西）设，若对任意实数都有，则实数的取值范围是 ．
11．(2023秋•南昌期末）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是 ．
12．(2023秋•阆中市校级月考）函数的值域为 ．
13．函数的最大值是 ．
14．函数的值域是 ．
15．(2023•湖南）若则的最小值为 ．
16．(2023春•蚌埠期末）当时，函数的最小值为 ．
17．(2023秋•东城区期末）已知函数，则的最大值为 ．
18．(2023秋•台江区校级期末）当时，函数的最小值是 ．
19．(2023秋•杭州期末）函数在，上的最大值为 ．
三．解答题
20．(2023春•石门县校级期末）已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间和单调递减区间；
（3）当，，求值域．
21．（1）求函数，，的最大值和最小值及相应的值．
（2）求函数，的值域．
（3）若函数，，的最小值为，求的值．
22．(2023秋•南阳期中）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数的图像关于点中心对称，求在上的值域．
23．(2023春•浦东新区校级期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和严格递减区间；
（2）若，，求函数的值域．
24．(2023秋•硚口区期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求函数，的值域．
25．(2023春•柳州期末）已知函数．求：
（1）函数的最小正周期；
（2）方程的解集；
（3）当时，函数的值域．
26．(2023秋•汶上县校级月考）已知函数，是常数
（1）求的值
（2）若函数在上的最大值与最小值之和为，求实数的值．
27．(2023春•兴庆区校级期末）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间，上的值域．
28．求函数的值域．
微专题31 三角函数的最值问题求解策略
【方法技巧与总结】
三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．
【题型归纳目录】
题型一：恒等变形的应用，形如
题型二：二次函数型，形如
题型三：形如
题型四：分式结构，形如
【典型例题】
题型一：恒等变形的应用，形如
例1．(2023秋•景洪市校级期中）求函数的周期，最大值和最小值．
【解析】解：化简可得
原函数的周期为，最大值为2，最小值为
例2．(2023秋•镇江期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和增区间；
（2）当，时，求函数的最大值和最小值．
【解析】解：（1）
，
，
令，，，．
函数的增区间为：，，
（2），时，；
当即时，，
当即时，．
例3．(2023•浙江模拟）已知函数的最大值为2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当，时，求的最值以及取得最值时的集合．
【解析】解：（Ⅰ）
的最大值为2，
，可得，
，
．
（Ⅱ）当，时，
，
当时，即时，；
当时，即时，．
变式1．(2023秋•六枝特区校级月考）已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴；
（2）当，时，求的最大值和最小值．
【解析】解：（1）函数；
故函数的最小正周期为，
令，，整理得，．
故函数的对称轴方程为，．
（2）由于，时，
所以，
故．
当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为1．
变式2．已知函数，求：
（1）函数的周期；
（2）当为何值时函数取得最大值？最大值为多少？
【解析】解：（1）
，
故；
（2）令，解得：，
故时，取得最大值．
题型二：二次函数型，形如
例4．(2023秋•梅州期末）函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：，
，
，
当，．
当时，
故函数的值域为：．
故选：．
例5．(2023春•衡水期中）函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：，令 ，则有，，，
函数的对称轴：，开口向上，
当及时，函数取最值，代入可得，．
故选：．
例6．(2023•湖南一模）函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：函数
，当时，函数有最小值为．
时，函数 有最大值为1，
故函数 的值域为，，
故选：．
变式3．(2023秋•天河区校级月考）函数的最大值为
A．4B．5C．6D．7
【解析】解：，
令，，，
则函数可转化为关于的二次函数，，，
图象开口向下，对称轴为，
所以函数在，上单调递增，
所以当时，函数取得最大值为5，
故选：．
变式4．(2023•浙江）已知，则函数的最小值是
A．1B．C．D．
【解析】解：
令，则是开口向上的二次函数，对称轴为
当是原函数取到最小值1
故选：．
变式5．(2023秋•崇川区校级期中）已知函数在时有最大值为，则实数的值为 1 ．
【解析】解：函数
．
①当时，函数化为：．当时，函数取得最大值，．满足题意．
②当时，函数化为：，当时，函数取得最大值，
可得，解得，不满足题意．
③当时，，当时，函数取得最大值，此时，解得，不满足题意．
④当时，时函数取得最大值，此时有，解得不满足题意．
综上，．
故答案为：1．
变式6．已知函数在，上的最大值为5，求实数的值．
【解析】解：设，，且，，
则，，
；
，
当时，，在时取到最大值5，符合题意；
当时，，
由抛物线性质，知：
当时，，
解得，不符条件，舍去；
当时，若，则，
，解得，不符条件，舍去；
若，则，解得，不符条件，舍去；
若，则，解得，不符条件，舍去；
综上，只有一个解；
即在，上的最大值为5时，．
题型三：形如
例7．(2023春•习水县校级期末）函数，，的最大值是 ．
【解析】解：令，，，可得，，
，，，，．
函数，
故当时，函数取得最大值为，
故答案为：．
例8．求函数的最大值．
【解析】解：令，
则，则，
故，
对称轴是，
故当时，有最大值．
例9．(2023春•香洲区校级期中）已知
（Ⅰ）用表示的值；
（Ⅱ）求函数，，的最大值和最小值．（参考公式：
【解析】解：由，得，即，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）由题设知：，，
，
，且，，
当时，；当时，．
变式7．已知，，求函数的最大值和最小值．
【解析】解：函数
，
令，
，，，，
，，
，，
又，
，
，
对称轴：，
区间，在对称轴的右边，为递增区间．
，
．
变式8．设，．
（1）求，的关系式；
（2）若，求的最大值．
【解析】解：（1），
；
（2）由（1），，．
，
时，的最大值为．
题型四：分式结构，形如
例10．求函数的值域．
【解析】解：由．
当时，，
当时，．
函数的值域为．
例11．已知，，求函数的值域．
【解析】解：
，
，
，其中
，
，，
，
，
解得
即函数的值域为，．
例12．求函数，，的值域．
【解析】解：函数，，
可得，，，
．
变式9．用至少2种方法求函数的值域．
【解析】解：方法
，
，，，
，解得，
函数的值域为：．
方法，令，则，
当时，，
当时，，，．
函数的值域为：．
故答案为：．
变式10．（1）求值域
（2）求的值域．
【解析】解：（1）由可得，，
由于，即为，
即，
解得或，
则值域为，，；
（2），
，
即，
，
，
又，
，
解得，
即函数的值域是，．
【过关测试】
一．选择题
1．(2023秋•湖州期末）函数，的值域是
A．，B．C．D．
【解析】解：函数．
．
故选：．
2．函数的值域为
A．，B．，C．，D．
【解析】解：函数的值域为，，
故选：．
3．(2023春•渝中区校级期中）函数的值域是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：令，则，，，
由二次函数性质，当时，取得最小值．
当时，取得最大值3，，
故选：．
4．(2023秋•武冈市校级期中）函数的最大值是
A．1B．C．D．
【解析】解：，
令，
，，，，
则原函数化为，
其对称轴方程为，
当时，有最大值为1．
故选：．
5．(2023秋•鄂尔多斯期中）设当时，函数取得最大值，则
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可得，
．
再结合，
求得，，
故选：．
6．(2023秋•贵阳期末）当时，函数的最小值为
A．2B．C．4D．
【解析】解：当时，，
函数，
当且仅当时，取等号，
故的最小值为4，
故选：．
7．(2023秋•镜湖区校级期末）已知函数，则的最大值为
A．B．C．0D．1
【解析】解：，
令，，，则，
由对勾函数的性质可知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，时，，
所以函数的最大值为1．
故选：．
8．(2023秋•诸暨市校级月考）已知当时，函数取到最大值，则是
A．奇函数，在时取到最小值B．偶函数，在时取到最小值
C．奇函数，在时取到最小值D．偶函数，在时取到最小值
【解析】解：由于当时，函数取到最大值，
故，解得，
故，
所以，故函数为偶函数，在时，函数取得最小值．
故选：．
二．填空题
9．(2023春•南关区校级期中）函数，的值域是 ．
【解析】解：函数，
，，
，
故函数的值域为，
故答案为．
10．(2023•江西）设，若对任意实数都有，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：不等式对任意实数恒成立，
令，
则．
．
即实数的取值范围是
故答案为：．
11．(2023秋•南昌期末）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是 ．
【解析】解：（其中，
又是函数的一条对称轴，
，即，．
由，
得．
函数的最大值是．
故答案为：．
12．(2023秋•阆中市校级月考）函数的值域为 ．
【解析】解：，
，当时，，
故函数的最小值为，
当时，最大为，故函数的最小值为，
的值域为，．
故答案为：，．
13．函数的最大值是 ．
【解析】解：函数
，
设，
则，；
，
，
，
当，时，函数单调递增；
时，取得最大值是．
故答案为：．
14．函数的值域是 ．
【解析】解：由得，
，
，
，解得
故答案为：，．
15．(2023•湖南）若则的最小值为 ．
【解析】解：
，，
（当且仅当时，等号成立）
故答案为：．
16．(2023春•蚌埠期末）当时，函数的最小值为 ．
【解析】解：
当且仅当时等号成立．
故答案为：4
17．(2023秋•东城区期末）已知函数，则的最大值为 ．
【解析】解：函数，
的最大值为2，
故答案为：2．
18．(2023秋•台江区校级期末）当时，函数的最小值是 ．
【解析】解：．
当时，，
，
．
19．(2023秋•杭州期末）函数在，上的最大值为 ．
【解析】解：，，
，，
，，
函数在，上的最大值为，
故答案为：．
三．解答题
20．(2023春•石门县校级期末）已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间和单调递减区间；
（3）当，，求值域．
【解析】解：（1）由解析式得，
则函数的最小正周期．
（2）由，，
得，，
即，，
即函数的单调递增区间为，，，
由，，
得，，
即函数的单调递减区间为，，．
（3）当，时，，，
，，
则当时，函数取得最大值，此时，
当时，函数取得最小值，此时，
即值域为，．
21．（1）求函数，，的最大值和最小值及相应的值．
（2）求函数，的值域．
（3）若函数，，的最小值为，求的值．
【解析】解：（1），，，
，，
当时取最小值，最小值为，即，
时取最大值，最大值为5，即，
时，取最小值为，
时，取最大值为5；
（2），
，
令，，，
，，，
由二次函数图象可知，对称轴为1，
在定义域，上单调递增，
的值域为，，
函数，的值域，；
（3），，，
，，，
令，，，
，，，
由二次函数性质可知：，
当对称轴，即时，
最小值为（1），
，不成立，
当，，
当取最小值，
．
22．(2023秋•南阳期中）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数的图像关于点中心对称，求在上的值域．
【解析】解：（1）
，
即，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）因为，
又的图像关于点中心对称，
所以，解得，
因为，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，
即在上的值域为．
23．(2023春•浦东新区校级期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和严格递减区间；
（2）若，，求函数的值域．
【解析】解：（1），
所以最小正周期，
令，，，则，，，
故最小正周期为，严格递减区间为，，．
（2），
因为，所以，，所以，，
故，．
24．(2023秋•硚口区期末）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求函数，的值域．
【解析】解：（1）由三角函数公式化简可得：
，
由可得，
的单调递增区间为：；
（2）由（1）可得，
，，
，
函数的值域为：，
25．(2023春•柳州期末）已知函数．求：
（1）函数的最小正周期；
（2）方程的解集；
（3）当时，函数的值域．
【解析】解：（1）函数
，
故它的最小正周期为．
（2）由，可得，，，
求得，，故方程的解集为，．
（3）当时，，，，，
故函数的值域为，．
26．(2023秋•汶上县校级月考）已知函数，是常数
（1）求的值
（2）若函数在上的最大值与最小值之和为，求实数的值．
【解析】解：（1），，
（3分）
（2）因为，，
，，
，（6分）
（9分）
即，
，由已知得
（12分）
27．(2023春•兴庆区校级期末）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间，上的值域．
【解析】解：（1），
的最小正周期为．
（2），，，，，，，，
故的值域为．
28．求函数的值域．
【解析】解：函数，，即，
即，即．
根据，求得，平方化简可得，
即，解得，或，即函数的值域为，或．