高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题32周期性与双对称问题(原卷版+解析)

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1、周期性技巧
2、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
3、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【题型归纳目录】
题型一：单纯考查周期性
题型二：双对称函数的周期性
题型三：函数对称性与周期性的综合问题
【典型例题】
题型一：单纯考查周期性
例1．已知定义域为的函数，满足对任意，都有，且，当，时，，若函数，则函数在区间，上的零点的个数是
A．18B．19C．20D．21
例2．(2023•道里区校级三模）定义在上的函数满足以下三个条件：
①对于任意的实数，都有成立；
②函数的图象关于轴对称；
③对任意的，，，，都有成立．
则，，的大小关系为
A．B．
C．D．
例3．(2023•顺义区一模）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当，时，，给出下列命题：
①；
②函数在定义域上是周期为2的函数；
③直线与函数的图象有2个交点；
④函数的值域为．
其中正确的是
A．①②B．②③C．①④D．①②③④
变式1．（多选题）(2023•南通模拟）已知定义在上的奇函数，满足对任意的，都有成立，且当时，，那么下列说法中正确的有
A．函数为周期函数
B．函数的对称中心为点，
C．当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为2
D．（1）（2）（3）
变式2．(2023•西湖区校级模拟）设是定义在上且周期为2的函数，在区间，上，，其中，，则（1） （或 ，若，则的值为 ．
变式3．(2023春•通州区期中）已知，可知函数的一个周期为．类比上述结论，设为正常数，且，则函数的一个周期为 ．
变式4．(2023•涪城区校级模拟）设是周期为4的奇函数，当时，，则 ．
变式5．(2023•上海）设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间，上的值域为，，则在区间，上的值域为 ．
题型二：双对称函数的周期性
例4．(2023春•晋中期末）已知定义在上的函数满足，，当时，，则
A．0B．1C．2D．3
例5．(2023•陕西二模）已知定义在上的函数满足，且，当时，，则
A．B．0C．1D．2
例6．(2023春•金安区校级月考）定义在上的函数满足，，且当，时，，则
A．0B．1C．2D．3
变式6．已知是定义在上的偶函数，且．若当，时，，则
A．2B．3C．5D．6
变式7．(2023秋•蚌埠月考）已知定义在上的偶函数满足，若，则
A．0B．C．3D．6
变式8．(2023•吉林三模）已知函数为上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，则函数在区间，上的
A．最小值为B．最小值为C．最大值为0D．最大值为
变式9．(2023•邯郸模拟）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，则当，时，的最小值为
A．0B．C．D．
变式10．(2023秋•东丽区校级期中）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则 ．
题型三：函数对称性与周期性的综合问题
例7．(2023秋•临朐县校级期中）已知定义在上的奇函数满足，且在区间，上是增函数，则有
A．B．
C．D．
例8．(2023春•东城区校级期中）已知定义在上的奇函数满足，关于对称且在区间，上单调递增，则
A．B．
C．D．
例9．(2023秋•安康校级月考）函数是定义域在上的偶函数，且，若在区间，上是减函数，则
A．在区间，上是增函数，在区间，上是增函数
B．在区间，上是增函数，在区间，上是减函数
C．在区间，上是减函数，在区间，上是增函数
D．在区间，上是减函数，在区间，上是减函数
变式11．(2023•全国模拟）已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称．以下关于的结论：
①是周期函数；
②满足；
③在上单调递减；
④是满足条件的一个函数．
其中所有正确的结论是
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①④
变式12．（多选题）(2023秋•华安县校级期中）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当，时，，则
A．是周期为2的函数B．
C．的值域为，D．在，上有4个零点
变式13．（多选题）(2023秋•张家港市校级期中）已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当，时，，下列命题错误的是
A．
B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．直线与函数的图象有2个交点
D．函数的值域为，
变式14．(2023秋•南安市校级期中）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间，上是减函数，则在区间，上是 （填增．减）函数．
变式15．(2023•合肥三模）设函数的定义域为，若与都是奇函数，则函数在区间，上至少有个 零点．
【过关测试】
一．选择题
1．(2023•西安三模）若定义在上的函数满足且，时，，则方程的根的个数是
A．4B．5C．6D．7
2．(2023•甘州区校级二模）已知是定义在上的奇函数，满足．当时，，则函数在区间，上的零点个数是
A．3B．5C．7D．9
3．(2023秋•庐阳区校级月考）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间，上与轴的交点个数为
A．6B．7C．8D．9
4．(2023秋•朝阳区期中）已知定义在上的函数且．若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
5．(2023秋•漳州期末）定义在上的偶函数满足，且在，上是增函数，、是锐角三角形的两个内角，则
A．B．
C．D．
6．(2023秋•顺庆区校级期末）定义在上的偶函数满足，且在，上是增函数，，是锐角三角形的两个内角，则
A．B．
C．D．
7．(2023•成都一模）已知定义在上的奇函数满足，且，时，，则下列说法正确的是
A．（3）
B．函数在，上是增函数
C．函数关于直线对称
D．若关于的方程在，上所有根之和为，则一定有
8．(2023秋•恩施市校级月考）若定义在上的偶函数满足，且在区间，上单调递减，则
A．B．
C．D．
9．(2023秋•福田区校级月考）已知定义在正整数集上的函数满足条件：（1），（2），，则的值为
A．2B．C．4D．
二．多选题
10．(2023秋•大埔县校级月考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则
A．函数是周期函数
B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数
D．函数为上的单调函数
11．(2023•全国模拟）函数的定义域为，且与都为奇函数，则
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
12．(2023•连云港模拟）函数的定义域为，且与都为奇函数，则
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
三．填空题
13．(2023春•沙坪坝区校级期中）已知定义在上的函数满足，当，时，则关于函数有如下四个结论：①为偶函数；②的图象关于直线对称；③方程有两个不等实根；④其中所有正确结论的编号是
四．解答题
14．是定义在上的奇函数，且十，当时．．
（1）求函数的周期；
（2）求函数在时的表达式；
（3）求．
15．已知是定义在上的函数，满足．
（1）求证：是周期函数，并求周期；
（2）当，时，，求在，的解析式；
（3）当，时，对于（2）中的函数，求的解析式．
16．(2023秋•湖北期中）设函数满足：
①对任意实数，都有；
②对任意，都有恒成立；
③不恒为0，且当时，．
（1）求，（1）的值；
（2）判断函数的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”．试证明：函数为周期函数，并求出的值．
17．(2023秋•徐汇区校级期中）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“（a）性质”；
（1）判断函数是否具有“（a）性质”，若具有“（a）性质”，试写出所有的值；若不具有“（a）性质”，请说明理由；
（2）已知具有“性质”，当时，，，求在，上的最大值；
（3）设函数具有“性质”，且当时，，求：当时，函数的解析式，若与交点个数为1001个，求的值．
微专题32 周期性与双对称问题
【方法技巧与总结】
1、周期性技巧
2、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
3、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【题型归纳目录】
题型一：单纯考查周期性
题型二：双对称函数的周期性
题型三：函数对称性与周期性的综合问题
【典型例题】
题型一：单纯考查周期性
例1．已知定义域为的函数，满足对任意，都有，且，当，时，，若函数，则函数在区间，上的零点的个数是
A．18B．19C．20D．21
【解析】解：令，由，
得到，
，
，
为以2为周期的周期函数，
，时，，
当，，，
作出函数与的图象，
由图象可知，两个图象有19个交点，
即函数在区间，上零点的个数是19个．
故选：．
例2．(2023•道里区校级三模）定义在上的函数满足以下三个条件：
①对于任意的实数，都有成立；
②函数的图象关于轴对称；
③对任意的，，，，都有成立．
则，，的大小关系为
A．B．
C．D．
【解析】解：对于任意的实数，都有成立，
函数的图象关于成中心对称；①
又函数为偶函数，
的图象关于对称，即，
，用替换，得，即函数的周期；②
又对任意的，，，，都有成立，
即，，，，都有，
在，上单调递增，③
由①②③得函数的图象如下：
则（1），（2），（3），
由图知，（1）（2）（3），
，
故选：．
例3．(2023•顺义区一模）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当，时，，给出下列命题：
①；
②函数在定义域上是周期为2的函数；
③直线与函数的图象有2个交点；
④函数的值域为．
其中正确的是
A．①②B．②③C．①④D．①②③④
【解析】解：为定义在上的偶函数，
且当时，有，
且当，时，，
故函数的图象如下图所示：
由图可得：，故①正确；
函数在定义域上不是周期函数，故②错误；
直线与函数的图象有1个交点，故③错误；
函数的值域为，故④正确；
故正确的命题序号有：①④
故选：．
变式1．（多选题）(2023•南通模拟）已知定义在上的奇函数，满足对任意的，都有成立，且当时，，那么下列说法中正确的有
A．函数为周期函数
B．函数的对称中心为点，
C．当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为2
D．（1）（2）（3）
【解析】解：为奇函数，，
，又，
，函数的周期为4，正确，
，函数的对称轴为，点不是对称中心，错误，
当时，，（1），（3），
函数的周期为4，（2），（4），
（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）（1），正确，
函数的大致图象如下：
当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为，正确．
故选：．
变式2．(2023•西湖区校级模拟）设是定义在上且周期为2的函数，在区间，上，，其中，，则（1） （或 ，若，则的值为 ．
【解析】解：因为在区间，上，，
所以（1）（或（1）；
又知道，
而①，
由（1）得②，
联立①②得，
所以，
故答案为：（或，．
变式3．(2023春•通州区期中）已知，可知函数的一个周期为．类比上述结论，设为正常数，且，则函数的一个周期为 ．
【解析】解：，可知函数的一个周期为．
设为正常数，且，
，
．
故函数的一个周期为．
故答案为：．
变式4．(2023•涪城区校级模拟）设是周期为4的奇函数，当时，，则 ．
【解析】解：由题意可得，．
故答案为：．
变式5．(2023•上海）设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间，上的值域为，，则在区间，上的值域为 ， ．
【解析】解：法一：为上周期为1的函数，则
又函数在，的值域是，
令，当，时，，
此时，
所以，在，时，，（1）
同理，令，在当，时，，
此时，
所以，当，时，，（2）
由（1）（2）得到，在，上的值域为，
故答案为：，
法二：由题意 在上成立
故
所以
由此知自变量增大1，函数值也增大1
故在，上的值域为，
故答案为：，
题型二：双对称函数的周期性
例4．(2023春•晋中期末）已知定义在上的函数满足，，当时，，则
A．0B．1C．2D．3
【解析】解：定义在上的函数满足，
函数为奇函数，
又，
可得，
即为，
即有，
函数为周期为4的周期函数，
（1），
由当时，，
可得（1），
由，
则（1）．
故选：．
例5．(2023•陕西二模）已知定义在上的函数满足，且，当时，，则
A．B．0C．1D．2
【解析】解：由函数满足，可知的对称中心为，
因为，可知的对称轴为，所以可得的周期为8，
所以（4），由已知函数满足，令，
（4），由已知，令，，所以（4）．
故选：．
例6．(2023春•金安区校级月考）定义在上的函数满足，，且当，时，，则
A．0B．1C．2D．3
【解析】解：若定义在上的函数满足，
则函数的图象关于直线对称
若定义在上的函数满足，
则函数的图象关于点点中心对称
由函数周期的确定方法可得4为函数的一个周期
则（3）（1）
又当，时，，
故选：．
变式6．已知是定义在上的偶函数，且．若当，时，，则
A．2B．3C．5D．6
【解析】解：．
的周期为6，
（1）．
故选：．
变式7．(2023秋•蚌埠月考）已知定义在上的偶函数满足，若，则
A．0B．C．3D．6
【解析】解：根据题意，函数满足，则，
又由为偶函数，则有，
则有，即函数是周期为4的周期函数，
又由，令可得：（1）（1），变形可得（1），
（2），
（3）（1），
则，
故选：．
变式8．(2023•吉林三模）已知函数为上的奇函数，且图象关于点对称，且当时，，则函数在区间，上的
A．最小值为B．最小值为C．最大值为0D．最大值为
【解析】解：由函数为上的奇函数，可知图象关于对称，，
图象关于点对称，则
，
函数是以为周期的周期函数，
当时，，
时，根据奇函数关于原点对称可知，，
在，上单调递减，函数取得最小值（2），
，
在区间，上取得最小值，
故选：．
变式9．(2023•邯郸模拟）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，则当，时，的最小值为
A．0B．C．D．
【解析】解：关于对称，，
，的周期为6，
，时，最小值即为，时的最小值．
，，，
（3）（3），（3），
，，．
故选：．
变式10．(2023秋•东丽区校级期中）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则 ．
【解析】解：是定义在上的周期为2的奇函数，
，（1），即（1）（1），
（1），且，
又时，，
，
，．
故答案为：．
题型三：函数对称性与周期性的综合问题
例7．(2023秋•临朐县校级期中）已知定义在上的奇函数满足，且在区间，上是增函数，则有
A．B．
C．D．
【解析】解：由，得，即函数的周期是8．
因为是奇函数，所以，即函数关于对称，同时关于对称．
所以，（3）（1），．
因为奇函数在区间，上是增函数，所以函数在，上为增函数．
所以（1），即．
故选：．
例8．(2023春•东城区校级期中）已知定义在上的奇函数满足，关于对称且在区间，上单调递增，则
A．B．
C．D．
【解析】解：因为满足，
所以的周期为8，
则，，（3），
又因为为上的奇函数，且关于对称，
所以（3）（1），
又在区间，上单调递增，
则在，上也是单调递增，
所以在，上单调递增，
故（1），
所以．
故选：．
例9．(2023秋•安康校级月考）函数是定义域在上的偶函数，且，若在区间，上是减函数，则
A．在区间，上是增函数，在区间，上是增函数
B．在区间，上是增函数，在区间，上是减函数
C．在区间，上是减函数，在区间，上是增函数
D．在区间，上是减函数，在区间，上是减函数
【解析】解：是定义域在上的偶函数，且，
，
即，
则，
即函数的周期是4，
在区间，上是减函数，
在区间，上是增函数，
，
函数关于成中心对称，
则函数在，上为减函数，则，上为增函数，
则在，上为增函数，
故选：．
变式11．(2023•全国模拟）已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称．以下关于的结论：
①是周期函数；
②满足；
③在上单调递减；
④是满足条件的一个函数．
其中所有正确的结论是
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①④
【解析】解：函数是定义在上的偶函数，其图象关于点对称．
对于①，由于，函数的图象关于对称，故，
所以，所以函数是周期函数，故①正确；
对于②，函数为偶函数，则，由于函数为偶函数，故满足故②正确；
③由于函数关于轴对称，且函数关于对称，所以函数在上不单调，故函数在上单调递减错误，故③错误；
④由于函数既关于轴对称，又关于对称，故④正确．
故选：．
变式12．（多选题）(2023秋•华安县校级期中）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当，时，，则
A．是周期为2的函数B．
C．的值域为，D．在，上有4个零点
【解析】解：对于，为上的奇函数，为偶函数，
所以图象关于对称，
即
则是周期为4的周期函数，错误；
对于，定义域为的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；
当，时，，则（1），
则（1），
则，故正确．
对于，当，时，，此时有，
又由为上的奇函数，则，时，，，函数关于对称，
所以函数的值域，．故正确．
对于，，且，时，，，，，
，，，，，，，，
是奇函数，，，，
的周期为4，，，，
，，，，，，
根据解析式，可得，上有4个交点，故正确．
故选：．
变式13．（多选题）(2023秋•张家港市校级期中）已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当，时，，下列命题错误的是
A．
B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．直线与函数的图象有2个交点
D．函数的值域为，
【解析】解：当，则，
则由时，有，得，
当时，有，得，则是周期为2的周期函数，
是奇函数，作出函数的图象如图，则在定义域上不是正切函数，故错误，
且（1），
（1），故正确，
作出函数的图象如图：当时，，
即在，内直线与函数的图象有1个交点，故错误，
函数的值域为，故错误，
故选：．
变式14．(2023秋•南安市校级期中）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间，上是减函数，则在区间，上是 增 （填增．减）函数．
【解析】解：是偶函数，
，
又，则，即，
是周期函数，周期，
设，，则，，
当，时，，
，
关于直线对称，
又在区间，上是减函数，根据对称区间上单调性相反，
在，上是增函数，
函数在区间，上是单调增函数．
故答案为：增．
变式15．(2023•合肥三模）设函数的定义域为，若与都是奇函数，则函数在区间，上至少有个 50 零点．
【解析】解：与都是奇函数
①
②
由①知关于点对称，（1）
由②知关于点对称，
又由②得③
联立①③可得：
原函数周期
令，
得：，
又，
，各有25个取值
在，上至少有50个零点
故答案为：50
【过关测试】
一．选择题
1．(2023•西安三模）若定义在上的函数满足且，时，，则方程的根的个数是
A．4B．5C．6D．7
【解析】解：根据题意，函数满足，则是周期为2的周期函数，又由，时，，
则的图象如图，
再作出的图象，分析可得两个函数的图象有4个交点，
则方程有4个根，
故选：．
2．(2023•甘州区校级二模）已知是定义在上的奇函数，满足．当时，，则函数在区间，上的零点个数是
A．3B．5C．7D．9
【解析】解：是定义在上的奇函数，满足．
，可得，
函数的周期为3，
当时，
令，则，解得
又函数是定义域为的奇函数，
在区间，上，
（1），．
，
（1）
又函数是周期为3的周期函数，
则方程在区间，上的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6，
共9个，
故选：．
3．(2023秋•庐阳区校级月考）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间，上与轴的交点个数为
A．6B．7C．8D．9
【解析】解：由是上最小正周期为2的周期函数可得（2），即，解得．
故当时，，故函数在一个周期上有3个零点，即，1，3．
再由函数的周期性可得，在区间，上有9个零点，即，1，2，3，4，5，6，7，8，9．
故选：．
4．(2023秋•朝阳区期中）已知定义在上的函数且．若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：作函数与的图象如下，
，
直线恒过点，
，
，
，
，
结合图象可知，
实数的取值范围是，
故选：．
5．(2023秋•漳州期末）定义在上的偶函数满足，且在，上是增函数，、是锐角三角形的两个内角，则
A．B．
C．D．
【解析】解：由得即，所以函数的周期为2，
因为在，上是增函数，所以在，上为增函数，
因为为偶函数，所以在，上为单调减函数．
因为在锐角三角形中，，所以，所以，
所以，
因为在，上为单调减函数．
所以，
故选：．
6．(2023秋•顺庆区校级期末）定义在上的偶函数满足，且在，上是增函数，，是锐角三角形的两个内角，则
A．B．
C．D．
【解析】解：、是锐角三角形的两个内角，
，可得，
在区间上是减函数，，
，即锐角三角形的两个内角、是满足，
函数满足，
，可得函数是周期为2的函数．
在，上是增函数，
在，上也是增函数，
再结合函数是定义在上的偶函数，可得在，上是减函数．
锐角三角形的两个内角、是满足，且、，
．
故选：．
7．(2023•成都一模）已知定义在上的奇函数满足，且，时，，则下列说法正确的是
A．（3）
B．函数在，上是增函数
C．函数关于直线对称
D．若关于的方程在，上所有根之和为，则一定有
【解析】解：取，得（1），所以（3），故正确；
奇函数，，时，，
，时，函数为单调增函数，
函数关于直线对称，
函数在，上是减函数，故不正确；
定义在上的奇函数满足，
则，
，
函数关于直线对称，故不正确；
若，则关于的方程在，上有4个根，
其中两根的和为，另两根的和为，所以所有根之和为．
反之，不一定成立，故不正确．
故选：．
8．(2023秋•恩施市校级月考）若定义在上的偶函数满足，且在区间，上单调递减，则
A．B．
C．D．
【解析】解：，
，
函数的周期，（2），
又函数为偶函数，且在区间，上单调递减，
函数必在区间，单调递增，
由对称性可知（1）
故选：．
9．(2023秋•福田区校级月考）已知定义在正整数集上的函数满足条件：（1），（2），，则的值为
A．2B．C．4D．
【解析】解：由题意，（1），（2），，
（3），（4），
，
两式相加，得
函数值以6为周期，周期出现
（4）
故选：．
二．多选题
10．(2023秋•大埔县校级月考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则
A．函数是周期函数
B．函数的图象关于点对称
C．函数为上的偶函数
D．函数为上的单调函数
【解析】解：因为，所以，即，故正确；
因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称．
将的图象向左平移1个单位可得的图象，则的图象关于点对称，所以正确；
又函数为奇函数，所以，即，
根据，有，即函数为上的偶函数，正确；
因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，（1），所以函数不单调，不正确．
故选：．
11．(2023•全国模拟）函数的定义域为，且与都为奇函数，则
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
【解析】解：与都为奇函数，
①，②，
由①可得，即③，
由②③得，所以的周期为2，
，则为奇函数，
，则为奇函数，
故选：．
12．(2023•连云港模拟）函数的定义域为，且与都为奇函数，则
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
【解析】解：根据题意，都为奇函数，则的图象关于点对称，则有，
又由为奇函数，则，
则有，则是周期为2的周期函数，正确，
又由的图象关于点对称，则点和也是函数图象的对称中心，
则函数与都是奇函数，则、正确；
对于，，是奇函数，错误；
故选：．
三．填空题
13．(2023春•沙坪坝区校级期中）已知定义在上的函数满足，当，时，则关于函数有如下四个结论：①为偶函数；②的图象关于直线对称；③方程有两个不等实根；④其中所有正确结论的编号是
【解析】解：对于①，由题意知，所以是周期为2的函数；
当，时，，，
所以为偶函数，①正确；
对于②，是偶函数，对称轴是，又是周期为2的函数，
所以的图象关于直线对称，②正确；
对于③，由①②知是周期函数，且为偶函数，由函数和的图象知，
方程有两个不同的实数根，③正确；
对于④，是周期为2的函数，且为偶函数，在，上是单调减函数；
所以；
又，所以，
即，所以④错误．
综上知，正确的命题序号是①②③．
故答案为：①②③．
四．解答题
14．是定义在上的奇函数，且十，当时．．
（1）求函数的周期；
（2）求函数在时的表达式；
（3）求．
【解析】解：（1）；
即；
的周期为4；
（2）设，则；
；
；
即时，；
（3）．
15．已知是定义在上的函数，满足．
（1）求证：是周期函数，并求周期；
（2）当，时，，求在，的解析式；
（3）当，时，对于（2）中的函数，求的解析式．
【解析】（1）证明：是定义在上的函数，满足．
，
是周期函数，周期．
（2）解：设，，则，．
当，时，，
，解得．
（3）解：由（2）可得：．
，时，，，
．
16．(2023秋•湖北期中）设函数满足：
①对任意实数，都有；
②对任意，都有恒成立；
③不恒为0，且当时，．
（1）求，（1）的值；
（2）判断函数的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”．试证明：函数为周期函数，并求出的值．
【解析】（1）解：由于不恒为0，故存在，使，令，，
则，，
令（2）（1），
由并令得：（2），
结合以上结果可得（1），
又令（因为，
（1），故（1）；
（2）解：为偶函数．
证明如下：
令，，得：，以及有，
即有，即有为偶函数；
（3）证明：由，并取，得，又为偶函数，
则，即是以2为周期的周期函数；
令，
再令，．
而，解得，，
由得，，
，
又由于是以2为周期的周期函数，
．
17．(2023秋•徐汇区校级期中）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“（a）性质”；
（1）判断函数是否具有“（a）性质”，若具有“（a）性质”，试写出所有的值；若不具有“（a）性质”，请说明理由；
（2）已知具有“性质”，当时，，，求在，上的最大值；
（3）设函数具有“性质”，且当时，，求：当时，函数的解析式，若与交点个数为1001个，求的值．
【解析】解：（1）由得，
根据诱导公式得．
具有“（a）性质”，其中．
（2）具有“性质”，
．
设，则，
当时，在，递增，
时，
当时，在，上递减，在，上递增，且（1），
时，
当时，
在，上递减，在，上递增，且（1），
时，，
综上所述：当时，（1），
当，
（3）具有“性质”，
，，
，从而得到是以2为周期的函数．
又设，则，
．
再设，
当，则，则，
；
当，则，则
；
对于，，都有，而，
，
是周期为1的函数．
①当时，要使与有1001个交点，只要与在，有1000个交点，而在，有一个交点．
过，，从而得
②当时，同理可得
③当时，不合题意．
综上所述