高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题33共零点问题(原卷版+解析)

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题型一：方程的求根及函数零点式
题型二：共零点问题
题型三：零点问题综合运用
【典型例题】
题型一：方程的求根及函数零点式
例1．若关于的方程有三不等的实数根，，，且满足其中两根，，则的取值范围是
A．B．，C．D．
例2．(2023秋•永州校级月考）已知函数，且（1）（2）（3），则的取值范围是
A．B．C．D．
例3．函数图象如图所示，则
A．B．C．D．
变式1．(2023春•湖州期末）设函数．已知，且（a），则实数 ， ．
变式2．若方程的三根为1，，，则？
题型二：共零点问题
例4．在下列各图中，与的图象只可能是
A．B．
C．D．
例5．(2023•浙江）已知，且，对于任意均有，则
A．B．C．D．
例6．(2023•海南）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
变式3．(2023春•长沙期末）设，若时，均有，则 ．
变式4．设，若时均有，则 ．
变式5．(2023秋•杭州期末）已知不等式对恒成立，则的值为 ．
题型三：零点问题综合运用
例7．(2023春•杭州期末）若不等式对任意实数恒成立，则
A．B．0C．1D．2
例8．(2023秋•温州期末）已知函数，，，若在定义域上恒成立，则的值是
A．B．0C．1D．2
例9．(2023秋•嘉兴期末）已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是 ．
变式6．(2023秋•鄞州区校级期中）不等式对任意恒成立，则 ．
【过关测试】
1．(2023秋•仓山区校级期中）已知，则使得，2，都成立的的取值范围是
A．B．C．D．
2．(2023秋•杭州期末）若不等式对任意的，恒成立，则
A．B．，C．，D．
3．(2023•浙江开学）已知对任意，不等式恒成立，则
A．B．
C．存在，，有D．对于任意，，有
4．(2023秋•宁波期中）已知，，对任意的实数均有，则的最小值为
A．B．1C．D．2
5．(2023秋•宁波期末）已知函数，，，当时，，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
6．(2023秋•衢州期中）已知，，当时，，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
7．(2023秋•义乌市月考）已知，满足在定义域上恒成立，则的值为 ．
8．(2023秋•湖州期中）若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
9．(2023•上城区校级模拟）已知函数的最小值为2，则 ．
10．(2023秋•椒江区校级期中）已知，，，若对于任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
11．(2023秋•浙江期中）若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
12．(2023秋•泰兴市校级期中）已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为 ．
13．(2023秋•海淀区校级期中）设，，为实数，，．记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数．
（1）当，，时，求，；
（2）试判断是否存在一组实数，，，使得，？若有，请写出实数，，的值；若无，请说明理由．
微专题33 共零点问题
【题型归纳目录】
题型一：方程的求根及函数零点式
题型二：共零点问题
题型三：零点问题综合运用
【典型例题】
题型一：方程的求根及函数零点式
例1．若关于的方程有三不等的实数根，，，且满足其中两根，，则的取值范围是
A．B．，C．D．
【解析】解：设，
满足其中两根，，
，（1），
，，
即，，
，
当时，有一个根，不满足题意，故，
，
即，
解得，
故选：．
例2．(2023秋•永州校级月考）已知函数，且（1）（2）（3），则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：由（1）（2）（3），
得，解得，
则，
由（1），得．
即．
故选：．
例3．函数图象如图所示，则
A．B．C．D．
【解析】解：由图得：函数有三个零点：0，1，2．
由图象知，1，2是方程的三个根，
则可设，
即．
因此．
因为当时，
所以，．
故
故选：．
变式1．(2023春•湖州期末）设函数．已知，且（a），则实数 ， ．
【解析】解：因为函数．
又（a），
令得：
（a），
又，
所以，①
令得：
（b）（a），
所以，②
联立①②得：
，
解得：或，
经检验得，不合题意，
即，，
故答案为：，．
变式2．若方程的三根为1，，，则？
【解析】解：方程的三根为1，，，
方程可化为
即
故
题型二：共零点问题
例4．在下列各图中，与的图象只可能是
A．B．
C．D．
【解析】解：在中，由二次函数开口向上，故
故此时一次函数应为单调递增，故不正确；
在中，由，则二次函数图象必过原点
故也不正确；
在中，由二次函数开口向下，故
故此时一次函数应为单调递减，故不正确；
故选：．
例5．(2023•浙江）已知，且，对于任意均有，则
A．B．C．D．
【解析】解：设，可得的图象与轴有三个交点，
即有三个零点，，且，
由题意知，在上恒成立，则，，，
可得，恒成立，排除，；
我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．
则有或或三种情况，此时显然成立；
若，则不成立；
若，即，可得，且和都在正半轴上，符合题意，
综上恒成立．
故选：．
例6．(2023•海南）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是
A．，，B．，，C．，，D．，，
【解析】解：定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：
在上单调递减，且；
故；
当时，不等式成立，
当时，不等式成立，
当或时，即或时，不等式成立，
当时，不等式等价为，
此时，此时，
当时，不等式等价为，
即，得，
综上或，
即实数的取值范围是，，，
故选：．
变式3．(2023春•长沙期末）设，若时，均有，则 ．
【解析】解：当时，均有，
（1）时，代入题中不等式，明显不成立．
（2），构造函数，，它们都过定点．
考查函数：令，得，，．
考查函数，时均有，
故的图象经过，
代入得，，
解之得：，或（舍去）．
故答案为：．
变式4．设，若时均有，则 ．
【解析】解：（1）时，代入不等式，不等式明显不成立．
（2），构造函数，，它们都过定点．
考查函数，令，得，，因为，不等式成立；
；
考查函数，因为时均有，显然此函数过点，，代入得：，
解之得：，或（舍去）．
故答案为：．
变式5．(2023秋•杭州期末）已知不等式对恒成立，则的值为 ．
【解析】解：，
当时，，
当时，，
又对恒成立，
①若，与均为定义域上的增函数，
在上，可均大于0，不满足题意；
②若，则对不恒成立，不满足题意；
．
作图如下：
由图可知，当且仅当方程为的曲线与方程为的直线相交于点，
即满足时，对恒成立，
解方程得，解得．
故答案为：．
题型三：零点问题综合运用
例7．(2023春•杭州期末）若不等式对任意实数恒成立，则
A．B．0C．1D．2
【解析】解：不等式对任意实数恒成立，
由于的解集为，，可得在，恒成立，
可得，且，
即且，
解得，
又的解集为，，，可得在，，恒成立，
可得，或，
即或，
解得，
综上可得，
故选：．
例8．(2023秋•温州期末）已知函数，，，若在定义域上恒成立，则的值是
A．B．0C．1D．2
【解析】解：令，解得或，
依题意，函数的零点也为或的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾），
即，
解得，，
经检验，当，时，为偶函数，且当时，恒成立，符合题意，
所以，
故选：．
例9．(2023秋•嘉兴期末）已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是 4 ．
【解析】解：根据题意，对于，
设，，
对于，，在上，，在，上，，
又由不等式或，
对于，必有，即，
则，
又由，则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为4；
故答案为：4．
变式6．(2023秋•鄞州区校级期中）不等式对任意恒成立，则 1 ．
【解析】解：由题意不等式，等价于
①或②
解①，，即，由绝对值的几何意义可知，
，对任意恒成立，由二次函数图象可知，，故只能取1，
解②，由①知无解，
故答案为：1．
【过关测试】
1．(2023秋•仓山区校级期中）已知，则使得，2，都成立的的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：，，
则使得，2，都成立，
即 恒成立，即，求得，
，
故选：．
2．(2023秋•杭州期末）若不等式对任意的，恒成立，则
A．B．，C．，D．
【解析】解：对任意，恒成立，
当时，不等式等价为，即，
当时，，此时，则，
设，，
若，则，
函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；
若，则，而此时时，不满足条件，故；
函数在上，则，上，
而在上的零点为，且在上，
则，上，
要使对任意，恒成立，
则函数与的零点相同，即，
，
故选：．
3．(2023•浙江开学）已知对任意，不等式恒成立，则
A．B．
C．存在，，有D．对于任意，，有
【解析】解：不等式 恒成立，，
当 且 恒成立时，，，故，此时不成立，成立；
当且恒成立时，，
即，则，，不满足 （舍，此时和不成立，
综上，．
故选：．
4．(2023秋•宁波期中）已知，，对任意的实数均有，则的最小值为
A．B．1C．D．2
【解析】解：当时，不等式即为，可得，
当时，，不等式恒成立，显然；
当时，，不等式恒成立，
显然，该方程无实数解．
综上可得，，
则，时取得等号，
所以的最小值为2．
故选：．
5．(2023秋•宁波期末）已知函数，，，当时，，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：设，，
则在上为增函数，且（1），
若当时，则满足当时，，
当时，，
即必需过点点，
则（1），即，
此时函数与满足如图所示：
此时，
则满足函数的另外一个零点，
即，
故选：．
6．(2023秋•衢州期中）已知，，当时，，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：设，，
则在上为增函数，且（1），
若当时，则满足当时，，
当时，，
即必需过点点，
则（1），即，
此时函数与满足如图所示：
此时，
则满足函数，
即，
故选：．
7．(2023秋•义乌市月考）已知，满足在定义域上恒成立，则的值为 0 ．
【解析】解：令，解得或，
依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾．
即，解得．
经检验，符合题意．
故答案为：0．
8．(2023秋•湖州期中）若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
【解析】解：令，
因为时，恒成立，
所以，其零点，
由题意，函数的图象不穿过轴，
则有两个正的零点且它们相同，
所以，
化简可得，
则，
所以，
因为，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
9．(2023•上城区校级模拟）已知函数的最小值为2，则 ．
【解析】解：设，
△，
则的两个根为，，
且，
当时，即或时，
即，是开口向上的二次函数．
当时，即时，即，
是开口向下的二次函数．
是分段函数，且两段都是二次函数，
由其图象知，在，或者，处取最小值．
最小值为2
，，
．
故答案为：．
10．(2023秋•椒江区校级期中）已知，，，若对于任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围为 ，． ．
【解析】解：若对于任意的实数，不等式恒成立，
则，无解；
或，无解；
或；
或，
所以，
所以的最小值为0，
故的取值范围为，．
故答案为：，．
11．(2023秋•浙江期中）若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
【解析】解：由对任意，恒成立，
当时，不等式等价为，即，
当时，，此时，则，
设，，
若，则，
函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；
若，则，而此时时，不满足条件，故；
而函数在上，则，上，
而在上的零点为，且在上，
则，上，
要使对任意，恒成立，
则函数与的零点相同，即，
即，
由，
则，
当且仅当时，取得等号．
故答案为：．
12．(2023秋•泰兴市校级期中）已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为 ．
【解析】解：当时，时，
有，
，
，
欲使，恒成立，则，
；
当时，时，
有，
，
，
欲使，恒成立，则，
；
故．
故答案为：．
13．(2023秋•海淀区校级期中）设，，为实数，，．记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数．
（1）当，，时，求，；
（2）试判断是否存在一组实数，，，使得，？若有，请写出实数，，的值；若无，请说明理由．
【解析】解：（1）当，，时，
有且只有一个零点0，
无零点．
故，；
（2）若．则方程有三个不同的非零实根，
则他们的倒数也不同，故，
故不存在实数，，，使得，