高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题34函数中重要思想方法的应用(原卷版+解析)

这是一份高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题34函数中重要思想方法的应用(原卷版+解析)，共47页。

题型一：利用函数的定义和性质
题型二：换元、消元和主元思想
题型三：数形结合思想
题型四：分类讨论思想
【典型例题】
题型一：利用函数的定义和性质
例1．(2023春•绿园区校级期末）存在函数满足，对任意都有
A．B．
C．D．
例2．已知函数，不等式对任意的都成立，则实数的取值范围
A．B．C．，D．，
例3．(2023秋•绍兴期末）存在函数满足：对任意的都有
A．B．
C．D．
变式1．(2023秋•天津期中）设函数，则使得不等式成立的取值范围是
A．B．
C．D．
变式2．(2023秋•衢州期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则
A．B．C．D．3
变式3．（多选题）(2023秋•沙市区校级期末）已知函数，则下列的范围满足不等式的是
A．B．C．D．
变式4．(2023秋•台州期末）已知函数的最小正周期为2，当，时，．若，，则满足的所有取值的和为 ．
变式5．(2023秋•杭州期末）已知正实数，满足，是自然对数的底数），则 ．
题型二：换元、消元和主元思想
例4．(2023秋•上城区校级期末）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
例5．(2023秋•上城区校级期末）设不等式对所有的，均成立，则实数的取值范围是
A．或B．
C．或D．或
例6．(2023•黄冈模拟）函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
变式6．(2023秋•下城区校级期末）函数的值域为 ；函数的值域为 ．
变式7．(2023秋•金华期末）已知函数，，若的值域为，，则的取值范围是 ．
变式8．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．
变式9．设不等式对所有，成立，求实数的取值范围．
题型三：数形结合思想
例7．(2023秋•崇明区期末）若不等式对，恒成立，则的值等于
A．B．C．1D．2
例8．(2023秋•未央区校级期中）已知实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系式有
A．1个B．2个C．3个D．4个
例9．(2023秋•温州期末）已知函数恰有两个零点，则实数的值为 ．
变式10．(2023秋•绍兴期末）设关于的三个方程，，的实根分别为，，，，，若，则实数的取值范围是 ．
变式11．(2023•定海区校级开学）设关于的方程和的实根分别为，和，．若，则实数的取值范围为 ．
变式12．(2023秋•湖州期末）已知函数，若函数有三个互异的零点，则实数的取值范围是 ．
变式13．(2023秋•台州期末）设函数，若不等式的解集为，，则是下列说法中，正确的序号是 ．
①；②；③函数在上有零点；④函数在上单调递增．
题型四：分类讨论思想
例10．(2023秋•湖州期末）已知函数，则满足的实数的取值范围为
A．B．C．D．
例11．(2023•汕头三模）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
例12．(2023•天津）如果函数且在区间，上是增函数，那么实数的取值范围是
A．B．C．D．
变式14．(2023•西湖区校级模拟）已知函数且若对任意，恒有，则的取值范围是
A．B．C．D．
变式15．(2023春•黄陵县校级期中）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
变式16．(2023秋•湖州期中）已知函数且若对任意，恒有，则的取值范围是 ．
变式17．已知函数，．
（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）若，设函数在，上的最大值为（a），求（a）的最小值．
变式18．(2023秋•颍州区校级期中）已知函数，若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
变式19．(2023秋•诸暨市期末）已知．
（1）若和有相同的值域，求的取值范围；
（2）若（a），且，设在，上的最大值为（a），求（a）的取值范围．
【过关测试】
一．选择题
1．(2023•浙江模拟）函数的定义域为，，值域为，，当变动时，函数（a）的图象可以是
A．B．
C．D．
2．(2023秋•杨浦区期中）若实数，满足，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
3．(2023秋•下城区校级期末）已知函数是上的增函数，且，其中是锐角，并且使得在，上单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
4．(2023•广东模拟）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是
A．，B．C．，D．
5．(2023秋•台州期末）已知是定义在，，上的偶函数，若在上单调递减，且，则不等式的解集为
A．B．C．或D．
6．(2023秋•思南县校级期中）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A．B．，C．，D．，
7．(2023•苍南县校级模拟）已知实数，设方程的两个实根分别为，，则下列关系中恒成立的是
A．B．C．D．
8．(2023秋•杭州期末）已知，在函数图象上存在一点，，使，则实数的取值范围是
A．，B．C．D．
二．填空题
9．函数的定义域为，，值域为，，当变动时，函数（a）的图象可以是 ．
10．(2023秋•湘西州期末）若实数，满足，则的取值范围是 ．
11．(2023秋•衢州期末）已知函数，
①若不等式的解集为，则 ；
②若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
12．(2023秋•绍兴期末）设函数，，若关于的方程恰好有三个根，，，则 ．
13．(2023秋•长安区校级期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则 ．
三．解答题
14．(2023秋•桐乡市校级月考）设函数．
（1）若，解不等式；
（2）是否存在常数，时，使函数在，上的值域为，，
若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
15．(2023秋•滕州市校级月考）设，函数．
（1）若函数在上存在最小值，求的取值范围；
（2）若不等式在，上恒成立，求的取值范围．
16．(2023秋•台州期末）已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）若对于任意的，，恒成立，求实数的最大值．
17．(2023春•浙江月考）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的，，都有不等式成立，求实数的取值范围．
18．(2023秋•衢州期末）已知函数．
（1）若，求函数的单调增区间；
（2）当时，解不等式；
（3）当时，若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．(2023秋•下城区校级期末）已知为正数，函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意的实数，总存在，，，使得对任意，恒成立，求实数的最小值．
20．(2023秋•温州期末）已知函数，．
（1）判断的单调性，并证明之；
（2）若存在实数，，使得函数在区间，上的值域为，，求实数的取值范围．
微专题34 函数中重要思想方法的应用
【题型归纳目录】
题型一：利用函数的定义和性质
题型二：换元、消元和主元思想
题型三：数形结合思想
题型四：分类讨论思想
【典型例题】
题型一：利用函数的定义和性质
例1．(2023春•绿园区校级期末）存在函数满足，对任意都有
A．B．
C．D．
【解析】解：对于，令得；令得，错误；
对于，令，则．
故．
所以符合题意，故正确；
对于，令，得（2）；令，得（2），错误；
对于，令，得；令，得，错误．
故选：．
例2．已知函数，不等式对任意的都成立，则实数的取值范围
A．B．C．，D．，
【解析】解：作出的图象如图
则函数为奇函数，且为减函数，
则不等式等价为，
即，
即恒成立，
若，则不等式等价为，不等式成立，
若，若恒成立，
则满足，
即，即，
综上，
故选：．
例3．(2023秋•绍兴期末）存在函数满足：对任意的都有
A．B．
C．D．
【解析】解：对于选项：当或时，，而，不符合函数定义；
对于选项：当或时，，而或，不符合函数定义；
对于选项：当或时，，而或0，不符合函数定义；
对于选项：令，则，显然正确，
故选：．
变式1．(2023秋•天津期中）设函数，则使得不等式成立的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数，
当时，，
则在，上恒成立，
所以函数在，上单调递增，
故不等式等价于，
所以，即，
化简可得，解得，
所以使得不等式成立的取值范围是．
故选：．
变式2．(2023秋•衢州期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则
A．B．C．D．3
【解析】解：由题意可知，
因为即，
故函数的周期，
又当时，，
则（2）．
故选：．
变式3．（多选题）(2023秋•沙市区校级期末）已知函数，则下列的范围满足不等式的是
A．B．C．D．
【解析】解：因为函数，画出函数图象如图所示：
所以函数在上为增函数，
由，得，
即
解得，
故选：．
变式4．(2023秋•台州期末）已知函数的最小正周期为2，当，时，．若，，则满足的所有取值的和为 2019 ．
【解析】解：在函数的一个周期内，即，时，
，
又因为，
所以，且当且仅当时取得（1）．
在，内共有2019个周期，
且每个周期内的取奇数时的函数值为4，
故所有的值之和为：．
故答案为：2019．
变式5．(2023秋•杭州期末）已知正实数，满足，是自然对数的底数），则 ．
【解析】解：由题可知，，
又在单增，
则，则，
故．
故答案为：．
题型二：换元、消元和主元思想
例4．(2023秋•上城区校级期末）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解法（化为锅底函数）
设，则原不等式可化为．
令，则，
从而解不等式可得．
故选．
解法（特殊值法）
当时，因为，
当且仅当时，等号成立．
此时不恒成立，
所以不合题意，可以排除、．
当时，因为，
当且仅当时，等号成立．
此时恒成立，
所以符合题意，可以排除．
综上所述，正确．
故选：．
例5．(2023秋•上城区校级期末）设不等式对所有的，均成立，则实数的取值范围是
A．或B．
C．或D．或
【解析】解：当，不等式显然要成立，
即，解得或，
当，时，令，，
则，，，，
所以等价于，
①当时，即在，恒成立，
即，
即求的最大值，（4），所以；
②当时，在，恒成立，
即，
即求的最小值，（4）；
综上：或，
故选：．
例6．(2023•黄冈模拟）函数的值域为
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：对于，有，则，
令，
则
，
．
函数的值域为，
故选：．
变式6．(2023秋•下城区校级期末）函数的值域为 ；函数的值域为 ．
【解析】解：①函数，
当时，，
当时，．
故函数的值域为．
②函数，整理得，转换为，
整理得，
由于，
故，
整理得，解不等式组得：，
故函数的值域为．
故答案为：①．②．
变式7．(2023秋•金华期末）已知函数，，若的值域为，，则的取值范围是 ， ．
【解析】解：设，则，
则．
当时，则，得或；
当时，则，得或；
又，若的值域为，，则的取值范围是，．
故答案为：，．
变式8．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．
【解析】解：，即为，
可设，，
由题意可得，且（4），
即，且，
可得，
则的取值范围是，，．
故答案为：，，．
变式9．设不等式对所有，成立，求实数的取值范围．
【解析】解：设，
则，，
故对所有，成立，
，
，即，
对给定实数，设，
则是关于的一次函数或常值函数，，，
故等价于，解得，
故实数的取值范围为．
题型三：数形结合思想
例7．(2023秋•崇明区期末）若不等式对，恒成立，则的值等于
A．B．C．1D．2
【解析】解：当或时，，
当时，，
当或时，，当时，，
设，则在上单调递减，在上单调递增，
且的图象关于直线对称，
，
，即，又，故．
．
故选：．
例8．(2023秋•未央区校级期中）已知实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系式有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：如图，画出函数与图象示意图，因为，
由图可知，共有三种情况：（1）；（2）；（3）．
故①②⑤正确，
故选：．
例9．(2023秋•温州期末）已知函数恰有两个零点，则实数的值为 ．
【解析】解：函数恰有两个零点，即函数与直线恰有两个交点，作函数图象如图所示，
由图可知，要使函数与直线有两个交点，当且仅当有唯一解时满足条件，
即有唯一解，则△，解得．
故答案为：．
变式10．(2023秋•绍兴期末）设关于的三个方程，，的实根分别为，，，，，若，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：方法（分离参数、数形结合）如图所示：
两根为，，的两根为，，，两边取对数得的根为，然后在同一坐标系中分别作出对应的函数图象，，与相交的交点横坐标别为五个根，，，，，
由结合可得在轴上方，
由得，所以，，与交点坐标为，，得直线在轴上方，点下方，所以，
故答案为：．
解：方法
（利用二次函数的根分布）
由题意得分别在，的两根之间，
所以，
即，解得；
因为得，
由得：得代入，
解得，所以；
因为，得，
再由，，得代入得，
解得，，
综合得，
故答案为：．
变式11．(2023•定海区校级开学）设关于的方程和的实根分别为，和，．若，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：由，
当时，方程不成立，所以，
所以方程可化简为，
，得，
作出函数与函数图
由，得
，
，
，
，
，
，
解得，，2，
因为，且当时，，
所以由图可知，，
故答案为：．
变式12．(2023秋•湖州期末）已知函数，若函数有三个互异的零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：令，
则条件等价于与直线的图象有3个不同的交点，作出函数的图象如图：
根据图象，则，，
故答案为．
变式13．(2023秋•台州期末）设函数，若不等式的解集为，，则是下列说法中，正确的序号是 ②③ ．
①；②；③函数在上有零点；④函数在上单调递增．
【解析】解：由不等式的解集为，，
由的单调性结合图形可得的两根为，，，，
即，解得，
所以得①不正确；故②正确；
显然当时，，，故在上有零点，所以③正确；
因为，，所以为减函数，为增函数，故为减函数，
所以④不正确．
故答案为：②③．
题型四：分类讨论思想
例10．(2023秋•湖州期末）已知函数，则满足的实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：先观察图象，有个初步的印象，
（1）当时，即，显然成立；
（2）当时，即时，，此时不等式显然成立；
（3）当时，，要成立，只要，即，则，
综上所述：满足题意的实数的取值范围为，
故选：．
例11．(2023•汕头三模）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】解：当时，，
当时，，当时，，
所以当时，在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，
所以根据周期为1可得：当时的图象，故的图象如图所示：
将方程，转化为方程有四个不同的实根，
令，其图象恒过，
因为与的图象有四个不同的交点，
所以或，
又由，，，，，
故，，，，
所以或，
即或．
故选：．
例12．(2023•天津）如果函数且在区间，上是增函数，那么实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：函数且可以看作是关于的二次函数，
若，则是增函数，原函数在区间，上是增函数，
则要求对称轴，矛盾；
若，则是减函数，原函数在区间，上是增函数，
则要求当时，
在上为减函数，
即对称轴，
，
实数的取值范围是，
故选：．
变式14．(2023•西湖区校级模拟）已知函数且若对任意，恒有，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：设，
①若，当时，易知，
故问题可转化为在上恒成立，
则有，（1），解得：；
当时，，此时不等式可转化为在，上恒成立，
（1），即，
，
，
，
②若，
当时，，故恒成立，
但，故不成立；
由此可知当时，不等式不可能恒成立．
综上可知．
故选：．
变式15．(2023春•黄陵县校级期中）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：，
令得，
令得或，
恰好有三个零点，
，即．
故选：．
变式16．(2023秋•湖州期中）已知函数且若对任意，恒有，则的取值范围是 ．
【解析】解：设，
①若，当时，易知，故问题可转化为在上恒成立，
则有，（1），解得：；
当时，，此时不等式可转化为在，上恒成立，
（1），即，
，
，
，
②若，
当时，，故恒成立，
但，故不成立；
由此可知当时，不等式不可能恒成立．
综上可知．
故答案为：．
变式17．已知函数，．
（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2）若，设函数在，上的最大值为（a），求（a）的最小值．
【解析】解：（1）不等式对恒成立，
即对恒成立，
①当时，显然成立，此时；
②当时，可变形为，令，
因为当时，，当时，，所以，故此时．
综合①②，得所求实数的取值范围是．
（2），
，
对称轴，
①当时，即，
（2）
，
，
②当时，即，
（1），
（1），（2），，
此时，
③时，，（1），（1），
此时，
综上：，
（a）．
变式18．(2023秋•颍州区校级期中）已知函数，若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：设函数，在，时的最小值为（a），
则①当对称轴，即时，（a），得，又，此时不成立．
②当时，即时，（a），得，故此时．
③当，即时，（a）（2），解得，此时．
综上：．
变式19．(2023秋•诸暨市期末）已知．
（1）若和有相同的值域，求的取值范围；
（2）若（a），且，设在，上的最大值为（a），求（a）的取值范围．
【解析】解：（1），
当的最小值在对称轴的左侧（或对称轴位置）时，的值域也是，，
，解得或，
故实数的取值范围为，，；
（2）（a），，
，
△，
分情况讨论：
①当时，（a）（1），（4），；
②当时，（a）（1），（a），（4），，，
又，，，，
当时，（a）（a）；
当时，（a）（a）；
当时，（a）（4）；
当时，（a）（4）；
综上，，
故（a）的取值范围为．
【过关测试】
一．选择题
1．(2023•浙江模拟）函数的定义域为，，值域为，，当变动时，函数（a）的图象可以是
A．B．
C．D．
【解析】解：根据选项可知，
当变动时，函数的定义域为，，值域为，，
，．
故选：．
2．(2023秋•杨浦区期中）若实数，满足，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：实数，满足，
可得，由，解得，则，
设，，可得为最小值；
为最大值，
可得的取值范围是，．
故选：．
3．(2023秋•下城区校级期末）已知函数是上的增函数，且，其中是锐角，并且使得在，上单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：①若，则；
是上的增函数；，；
符合；
是锐角；；
②若，则；
，显然与已知矛盾，即这种情况不存在；
由；
由已知条件知，在，上恒成立；
函数的周期；
；；
由得，，
联立： 解得：．
．
的取值范围为．
故选：．
4．(2023•广东模拟）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是
A．，B．C．，D．
【解析】解：因为，分别是函数和的零点，
则，分别是和的解，
所以，分别是函数与函数和函数交点的横坐标，
所以交点分别为，
因为，
所以，，
由于函数与函数和函数都关于对称，
所以点与点关于对称，
因为关于对称的点坐标为，
所以，
即，且，
所以，
由于所以不能取等号，
因为，
所以，
即，
故选：．
5．(2023秋•台州期末）已知是定义在，，上的偶函数，若在上单调递减，且，则不等式的解集为
A．B．C．或D．
【解析】解：是定义在，，上的偶函数在上单调递减，且．
不妨设，，．
如图或，
即不等式的解集为或，
故选：．
6．(2023秋•思南县校级期中）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A．B．，C．，D．，
【解析】解：由得
作出函数，的图象，
当时，两个函数的交点有3个，不满足条件，
当时，两个函数的交点最多有2个，不满足条件，
当时，当时，两个函数一定有2个交点，
要使两个函数有4个交点，则只需要当时，两个函数有2个交点即可，
当时，此时与有三个交点，
要使与有4个交点，
则，
故选：．
7．(2023•苍南县校级模拟）已知实数，设方程的两个实根分别为，，则下列关系中恒成立的是
A．B．C．D．
【解析】解：方程即为，
，
令，
，则
（a），
（b），
（c），
根据零点存在性定理得出在，上函数各有零点，所以．
故选：．
8．(2023秋•杭州期末）已知，在函数图象上存在一点，，使，则实数的取值范围是
A．，B．C．D．
【解析】解：在函数图象上存在一点，，使，，
①若，则图象存在与的交点，即在，上有解，显然，即，，，；
②若，则，，且在，上无解，由①可知，此时，而，即，两式相减结合化简可得，
显然不是该方程的解，故当，时，有解，
令，，则函数与函数的图象有交点，
作出图象如图所示，
由图可知，，即，这与矛盾，舍去；
综上，实数的取值范围为．
故选：．
二．填空题
9．函数的定义域为，，值域为，，当变动时，函数（a）的图象可以是 ．
【解析】解：根据所给的选项可知，．
变动时，函数的定义域为，，值域为，，
，，
故答案为 ②．
10．(2023秋•湘西州期末）若实数，满足，则的取值范围是 ．
【解析】解：实数，满足，
可得，
由，解得，
则，
设，，
可得为最小值；
为最大值，
可得的取值范围是，．
故答案为：，．
11．(2023秋•衢州期末）已知函数，
①若不等式的解集为，则 ；
②若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：①若不等式的解集为，可得1，为方程的两根，
即，，，可得；
②若对任意，不等式恒成立，
即为，可得，
时，上式显然成立；
时，，
设，由在，递减，可得（2），
则，
故答案为：7，，．
12．(2023秋•绍兴期末）设函数，，若关于的方程恰好有三个根，，，则 ．
【解析】解：由，得，
，
由，得，
，
，
故答案为．
13．(2023秋•长安区校级期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则 ．
【解析】解：由为奇函数，
则，①
由为偶函数，
则，②
由①可得：（2），
由②可得：（3）（1），
又（3），
则，
即，
由①，令，则（1），
即，
即，
又由①②可得：，
即函数为周期为4的周期函数，
即，
故答案为：．
三．解答题
14．(2023秋•桐乡市校级月考）设函数．
（1）若，解不等式；
（2）是否存在常数，时，使函数在，上的值域为，，
若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）函数，
当时，函数，
不等式，即，
所以，即，即，
解得或，
则的解集为，，；
（2）由，在递增，
在递减，
可得在递减，
假设存在常数，时，使函数在，上的值域为，，
所以，
即有，，
可得方程在内有两个不等的实根，．
设，
则，即，
解得．
所以存在常数，，此时的范围为．
15．(2023秋•滕州市校级月考）设，函数．
（1）若函数在上存在最小值，求的取值范围；
（2）若不等式在，上恒成立，求的取值范围．
【解析】解：当时，；
当时，．
所以，，
（1）当时，函数在区间，上单调递减，无最小值，不合乎题意．
所以，，即．
此时，函数的对称轴为直线．
若，则函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，则（1），合乎题意；
若时，函数在区间，上的最小值为，
此时，函数在上的最小值为，合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是，；
（2）（1），要使得不等式在，上恒成立，
函数须在，上单调递減，且在，上不为減函数，且，（2），
所以，，解得．
因此，实数的取值范围是，．
16．(2023秋•台州期末）已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）若对于任意的，，恒成立，求实数的最大值．
【解析】解：（1）（单调性定义）在上是增函数．
证明：取任意的，，且，
则，
又，，
则，，
则，故在上是增函数．
（2）（奇偶性单调性）
因为，则为奇函数，则，
由（1）可知，在上是增函数，
则，
则原问题等价于对于任意的，，恒成立，求实数的最大值．
即，，恒成立，
易知当，时，，
故的最大值为4．
17．(2023春•浙江月考）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的，，都有不等式成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ），
由图可知，在上单调递减，
在，上单调递增．
（Ⅱ），，
在，上恒成立，
①当时，恒成立，
，只需，
，，即，
②当时，恒成立，
，只需，
，，，
③当时，恒成立，
，只需，
，，
，，
综上①②③，，
的取值范围为．
18．(2023秋•衢州期末）已知函数．
（1）若，求函数的单调增区间；
（2）当时，解不等式；
（3）当时，若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）若，则
，当时，，可得增区间为；
当时，，可得增区间为，，
综上可得，函数的增区间为和，；
（2）不等式即为，
可得或，
即为或，
当时，；当时，或；当时，，
综上可得，当时，不等式的解集为，；当时，不等式的解集为，，；
（3）对恒成立，
由，可分如下几种情况讨论：
①时，即对，恒成立，
由在，上递增，则取得最小值，所以只需，可得，又，则；
②时，，可得对，恒成立，
由①可得在，递减，
所以只需即，可得或，由，由①可得；
③时，即对恒成立，
由函数在递增，
所以只需，即，解得或，由②可得；
综上可得，的范围是，．
19．(2023秋•下城区校级期末）已知为正数，函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意的实数，总存在，，，使得对任意，恒成立，求实数的最小值．
【解析】解：令，则不等式，
，，，．
不等式的解集为，．
令，则，，．
对任意的实数，总存在，，，使得．
，由对称性知，只需考虑的情形，
当，即时，则，
，，
当，即时，
，
，，，
综上，实数，其最小值为．
20．(2023秋•温州期末）已知函数，．
（1）判断的单调性，并证明之；
（2）若存在实数，，使得函数在区间，上的值域为，，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）函数的定义域为，，在，上为增函数，在，上为减函数；
证明如下：任取，则
，
，
，
，即，
在区间，上为减函数，
同理可证在，上为增函数，
综上所述，在，上为增函数，在，上为减函数；
（2）由（1）知，为偶函数，且在，上为增函数，
①若存在，使得函数在区间，上的值域为，，则，
则方程，即在区间，上有两个不同的实数根，
设，则，解得；
②因为偶函数，则在区间，上存在实数，，
使得函数在区间，上的值域为，，则有；
③若存在，使得函数在区间，上的值域为，，
则有，（a）或（b），
，则，
且（a）或（b），则或，
当时，则，此时；
当时，则，则，解得；
综上，实数的取值范围为．