人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制学案，共8页。学案主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
二．每日一练
一、单选题
1．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．一个圆心角为的扇形，它的弧长是，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“4-78”，1周角等于6000密位，记作1周角.如果一个扇形的半径为2，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为（ ）
A．25-00B．35-00C．42-00D．70-00
4．如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（ ）
A．84B．63C．42D．21
5．装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（ ）
A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米
6．若一个扇形的半径变为原来的3倍，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的（ ）
A．3倍B．2倍C．倍D．倍
7．半径为2，中心角为的扇形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
8．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
二、多选题
9．已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．若该扇形的半径为1，则该扇形的面积为1B．该扇形面积的最大值为1
C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2D．的最小值为9
10．设扇形的圆心角为，半径为，弧长为l，面积为S，周长为L，则（ ）
A．若，r确定，则L，S唯一确定 B．若，l确定，则L，S唯一确定
C．若S，L确定，则，r唯一确定 D．若S，l确定，则，r唯一确定
11．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（ ）
A．1、4B．1、2C．2、1D．2、4
12．若角满足，则的终边可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴非负半轴上D．y轴非正半轴上
三、填空题
13．用长的铁丝围成一个扇形，则围成扇形的面积最大是________．
14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ （弦 矢＋），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为___________平方米（精确到1平方米，参考数据
15．某时钟时针长3cm，则在本场考试时间120分钟内，该时针顶点走过的路程为____cm2．
16．若一扇形的圆心角为144°，半径为cm，则扇形的面积为______cm2．
四、解答题
17．已知扇形的面积为，求扇形周长的最小值，并求此时圆心角的弧度数．
18．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
（1）若，求扇形的弧长和面积；
（2）若扇形的周长为20，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
19．已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R．
（1）若，求扇形的弧长及扇形的面积；
（2）若扇形的周长是，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？
20．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
（1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
（2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
21．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限．
（1）﹣1725°；
（2）﹣60°+360°k（）．
22．将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
（1），（2），（3），（4），（5），（6）．
参考答案
1．B解：扇形的圆心角为，弧长为，扇形的面积．
2．B如图所示，设扇形内切圆的半径为，扇形所在圆的半径为，过点作，
在直角中，可得，所以扇形的半径为，又由扇形的弧长公式，可得，解得，即扇形的内切圆的半径等于.
3．B设扇形的圆心角为，则，则，
由题意可知，其密位大小为密位，用密位制表示为35-00.
4．D设扇环的圆心角为，小圆弧的半径为，由题可得且，解得，，从而扇环面积.
5．B因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为(厘米）．
6．C设变化前后的圆心角分别为，变化前的扇形弧长和半径为，根据题意，，
则.
7．C解：因为扇形的半径，中心角，所以扇形的面积，
8．B解：扇环的面积为．
9．ABC由题意知：，，，对于选项A：当时，，可得，故选项A正确；对于选项B、C：，当时取等，此时，，故选项B、C正确；对于选项D：当时，，，故选项D不正确．
10．ABD解：依题意可得，，
对于A：若、确定，显然，唯一确定，故A正确；
对于B：若、确定，由，则确定，所以，唯一确定，故B正确；对于C：若、确定，则， 与需要解三次方程，所以、不唯一确定，故C错误；对于D：若、确定，则， 即可唯一的求出与，所以、唯一确定，故D正确；
11．AC设扇形半径为，圆心角弧度数为，由题意得，或.
12．ABD当时，，此时的终边在第一象限，故A正确；当时，，此时的终边在第二象限，故B正确；若的终边在x轴非负半轴上，则，即，故C错；若的终边在y轴非正半轴上，则，即，故D正确.
13．400设扇形半径为，则弧长l为，，故扇形面积，，当时，扇形面积最大为．
14．9根据题意 ,，则 ， ，
则弦为 ，矢为 ,
所以弧田面积约为 .
15．；因为本场考试时间120分钟，所以时针转过了
则时针顶点走过的路程为
16．．扇形的圆心角为144°，半径为，所以扇形的面积为．
17．；弧度数为2设扇形半径为r，圆心角为，则扇形面积，扇形周长，即，代入面积表达式得：，即，当且仅当时等号成立.故周长的最小值为16cm，此时圆心角的弧度数为2.
18．（1），；（2）时，这个扇形的面积最大.
（1）因为，所以扇形的弧长，
扇形的面积为，
（2）因为扇形的周长为，所以，可得
所以扇形的面积为，
所以当时，扇形的面积最大为，此时，，
所以当扇形的圆心角弧度时，这个扇形的面积最大.
19．（1）cm，；（2）当时，扇形的面积最大值是.
（1）因为，所以扇形的弧长cm，
扇形的面积；
（2）设扇形的弧长cm，因此，因为扇形的周长是，所以，
设扇形的面积为，则，当时，扇形的面积有最大值，此时有，所以当时，扇形的面积最大值是.
20．（1）；（2）.
解：（1）由题意得，解得(舍去)，.故扇形圆心角为.
（2）由已知得，.所以，所以当时，取得最大值25，此时，.
21．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
解：（1）化为弧度制为，因为 ，而为第一象限角，所以﹣1725°为第一象限角.
（2）﹣60°+360°k（）互为弧度制为，因为为第四象限角，故﹣60°+360°k（）为第四象限角.
22．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
（1）弧度弧度，（2）弧度弧度，
（3）弧度弧度．（4）弧度，
（5）弧度，（6）弧度．
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180)rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57°18′
弧长公式
l＝|α|·r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)|α|·r2