第01讲 二次根式的乘除（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课

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二次根式的定义：
形如 的式子叫做二次根式。
二次根式有意义的条件：
二次根式有意义的条件是被开方数 大于等于0 。即 。
二次根式的性质：
二次根式的双重非负性：①二次根式本身 大于等于0 。即 。
②二次根式的被开方数 大于等于0 。即 。
一个非负数的算术平方根的平方等于 它本身 。即 。
一个数的平方的算术平方根等于 这个数的绝对值 。即 。
最简二次根式：
最简二次根式满足的三个条件：①不含开方 开的尽 的数或式子；
②分母中不含有 根号 ；
③根号中不能含有 分母 。
二次根式的乘除法运算法则：
； ；
推广： ； ；
积与商的算术平方根：
；（2） 。
分母有理数： ；= 。
1．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可．
【解答】解：A、当﹣x﹣2＜0，它不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、当x＜0时，则它无意义，故本选项不符合题意；
C、由于x2+1＞0，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D、当x2﹣2＜0时，它无意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．若二次根式在实数范围内意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x≤3D．x≥3
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故选：D．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判定即可．
【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．5B．﹣5C．2a﹣15D．无法确定
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：5＜a＜10，
∴a﹣5＞0，a﹣10＜0，
∴原式＝|a﹣5|﹣|a﹣10|
＝a﹣5+（a﹣10）
＝2a﹣15，
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据算术平方根与立方根的意义逐项判断即可．
【解答】解：A． ，故该选项正确，符合题意；
B． ＝2，故该选项错误，不符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选：A．
6．计算：＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：＝﹣．
故选：B．
7．下列等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．
【解答】解：A．÷＝2，故此选项不合题意；
B．×＝6，故此选项不合题意；
C．＝2，故此选项不合题意；
D．＝，故此选项符合题意．
故选：D．
8．设x＝，y＝，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x≥yC．x＜yD．x＝y
【分析】把x的值分母有理化，再比较．
【解答】解：∵x＝＝3﹣＞0，y＝＜0．
∴x＞y，
故选：A．
9．等式有意义，则x的取值范围为（ ）
A．3＜x≤4B．3＜x＜4C．3≤x＜4D．3≤x≤4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的除法运算法则，进而分析得出答案．
【解答】解：等式有意义，
则，
解得：3≤x＜4．
故选：C．
10．式子成立的x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x＞1C．﹣1≤x≤1D．﹣1＜x＜1
【分析】利用二次根式的性质得到不等式组，求解即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
解得：x≥1，
故选：A．
11．计算：＝ ．
【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝10，
故答案为：10．
12．如果实数x、y满足，则x+3y的平方根为 ．
【分析】根据算术平方根的非负性，求得x的值，进而得出y＝2，代入代数式，然后再求平方根即可求解．
【解答】解：∵实数x、y满足，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
∴x＝3，y＝2，
∴x+3y＝3+6＝9，
∴x+3y的平方根为±3，
故答案为：±3．
13．已知ab≠0且a＜b，化简二次根式的结果是 ．
【分析】直接利用二次根式的性质得出a，b的符号，进而化简即可．
【解答】解：∵有意义，ab≠0，
∴﹣a3b＞0，
∴a3b＜0，
∵a＜b，
∴a＜0＜b，
∴，
故答案为：．
14．若a，b，c是△ABC的三边长，化简的值为 ．
【分析】由于a、b、c为△ABC的三边长，依此可以得到a+b﹣c、a﹣b﹣c的正负情况，然后利用绝对值的定义即可化简求解．
【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0、a﹣b﹣c＜0，
∴
＝a+b﹣c﹣a+b+c
＝2b．
故答案为：2b．
15．阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，
那么便有：（a＞b），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，
∴．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；
（2）；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（3）根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，
即12+（）2＝6，1×＝，
所以：
＝
＝
＝1+；
（2）首先把化为，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，
即（）2+（）2＝13，×＝，
所以
＝
＝
＝
＝﹣
＝2﹣；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
所以，
所以，