第05讲 平行四边形（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课

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平行四边形的定义：
两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质：
对边 平行且相等 ；
对角 相等 ，邻角 互补 ；
对角线 相互平分 ；
平行四边形是一个 中心对称 图形；
平行四边形的面积等于 底×高 。
平行四边形的判定：
一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形。
两组对边分别 平行或相等 的四边形是平行四边形。
对角线 相互平分 的四边形是平行四边形。
三角形的中位线定理：
连接三角形任意两边的 中点 得到的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线 平行 第三边且等于第三边的 一半 。
平行线间的距离：
平行线间的距离 处处相等 。

1．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AB＝CDB．AO＝COC．∠BAC＝∠DCAD．AC＝BD
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，结论正确，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，结论正确，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，结论正确，故本选项不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC＝BD，结论错误，故本选项符合题意；
故选：D．
2．在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠C的度数为（ ）
A．60°B．80°C．100°D．160°
【分析】由平行四边形的对角相等即可求得．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
又∠A+∠C＝200°，
所以，
故选：C．
3．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E，AD＝3，EC＝2，则DC的长为（ ）
A．5B．3C．4D．6
【分析】根据角平分线的定义和平行四边形的性质，可以得到AD＝DE＝3，再根据EC＝2，即可得到DC的长．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
∵AD＝3，EC＝2，
∴DE＝3，
∴DC＝DE+EC＝3+2＝5，
故选：A．
4．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）
A．CD＝AB，AB∥CDB．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝BC，AD＝CDD．AD＝BC，AB∥CD
【分析】由平行四边形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，那么CD＝AB，AB∥CD，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A符合题意；
B、由A＝∠B，∠C＝∠D，得到∠A+∠D＝180°，得到AB∥CD，但AD和BC不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、AB＝BC，AD＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、AD＝BC，AB∥CD，但AD和BC不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选：A．
5．如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘A，B两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点O，然后取线段OA，OB的中点D，E，测量出DE＝10m，于是可以计算出池塘A，B两点间的距离是​（ ）
A．10mB．20mC．30mD．40m
【分析】根据三角形中位线定理求解即可．
【解答】解：由题意知，点D、E分别是OA、OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴AB＝2DE＝2×10＝20（m），
故选：B．
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，∠ACB的角平分线交DE于点F，连结AF，若AF⊥FC，AC＝5，BC＝8，则DF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2.5D．3
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF，进而求出DF．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，BC＝8，
∴DE＝BC＝×8＝4，
在Rt△AFC中，点E是AC的中点，
则EF＝AC＝×5＝2.5，
∴DF＝DE﹣EF＝4﹣2.5＝1.5，
故选：B．
7．在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【分析】由AB＝CD，BC＝AD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对边平行，易得∠A+∠D＝180°，由∠D＝120°，即可求得∠A的度数为60°．
【解答】解：∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠D＝120°，
∴∠A＝60°．
故选：A．
8．在平行四边形ABCD中对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝10，则边AB长的取值范围是（ ）
A．4≤AB≤5B．2＜AB＜18C．1＜AB＜9D．1≤AB≤9
【分析】利用平行四边形的对角线互相平分和三角形的三边关系进行求解即可．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵AC＝8，BD＝10，
∴AO＝4，BO＝5，
∴5﹣4＜AB＜5+4，
解得1＜AB＜9．故选：C．
9．如图，将▱OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点B，C在第一象限，若点A（3，0），点C（2，3），则点B的坐标为（ ）
A．（3，3）B．（4，3）C．（5，3）D．（3，5）
【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝BC，再根据点A（3，0），点C（2，3），即可得出结果．
【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，
∵点A（3，0），点C（2，3），
∴B（5，3），故选：C．
10．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件如下：①AE＝CF；②BF＝DE；③AE⊥BD，CF⊥BD；④∠1＝∠2；⑤∠3＝∠4．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB；
添加AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，
∴不能证明AE∥CF，
故不能证明四边形AECF是平行四边形，故①不符合题意；
添加BF＝DE，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
即BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE；
∴AE∥CF；
∴四边形AECF是平行四边形，故②符合题意；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故③符合题意；
∵∠1＝∠2，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠3＝∠4，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故④符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CFD，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故⑤符合题意；
故选：D．
11．如图，△ABC的周长为12，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则△DEF的周长是 ．
【分析】根据三角形中位线定理得出DF＝，DE＝，EF＝，即可推出结果．
【解答】解：∵D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，
∴DF、DE、EF都是△ABC的中位线，
∴DF＝，DE＝，EF＝，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝＝，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+AC+BC＝12，
∴△DEF的周长＝6，
故答案为：6．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝11，则EF的长为 ．
【分析】证出∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE，同理DF＝CD，则AE＝DF，进而得出EF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD∥BC，AD＝BC＝11，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝6，
同理DF＝CD，
∴AE＝DF，
即AE﹣EF＝DF﹣EF，
∴AF＝DE，
∵AB＝6，BC＝11，
∴DE＝AD﹣AE＝11﹣6＝5，
∴EF＝DF﹣DE＝6﹣5＝1．
故答案为：1．
13．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为．在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与A，B，C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标为 ．
【分析】分三种情况：①当AB为对角线时，②当BC为对角线时，③当AC为对角线时，分别由平行四边形的判定以及中点坐标公式即可得出结论．
【解答】解：如图，分三种情况：
①当AB为对角线，AD∥BC，AC∥BD时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），
∴把B向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得D点坐标为（1，﹣1），
②当BC为对角线，AB∥CD'，AC∥BD'时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），D（1，﹣1），
∴由线段中点坐标公式得：D'的坐标为（5，3）；
③当AC为对角线，AB∥CD''，AD''∥BC时，
∴由线段中点坐标公式得D''的坐标为（﹣3，5）；
综上所述，符合要求的点D的坐标为（1，﹣1）或（5，3）或（﹣3，5），
故答案为：（1，﹣1）或（5，3）或（﹣3，5）．
14．如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD，E、F、G分别是BO、CO、AD的中点，连接EF、GE、GF，BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，则△EFG的周长为 ．
【分析】如图，连接DF，设EC交AF于点T．证明DF⊥OC，再利用直角三角形斜边中线定理求出FG，再利用三角形中位线定理求出EF，再证明FT⊥EG，利用勾股定理求出ET，可得结论．
【解答】解：如图，连接DF，设EC交AF于点T．
在△AOD和△COB中，
，
△AOD≌△COB（ASA），
∴OD＝OB，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝15，
∵BD＝2AB，
∴CD＝DO，
∵OF＝CF，
∴DF⊥AC，
∵AG＝DG，
∴FG＝AD＝GA＝GD＝，
∴∠GAF＝∠GFA，
∵OE＝EB，OF＝FC，
∴EF＝BC＝，EF∥BC，
∴EF＝FG，∠OFE＝∠OCB＝∠OAD，
∴∠OFE＝∠OFG，
∴FT⊥EG，
∵∠ATG＝∠FTE，∠GAT＝∠EFT，AG＝EF，
∴△AGT≌△FET（AAS），
∴AT＝FT＝（AC﹣CF）＝6，
∴ET＝GT＝＝＝，
∴EG＝9，
∴△EFG的周长＝9+2×＝24．
解法二：证明四边形EFDG是平行四边形，可得EG＝DF，利用勾股定理求出DF＝9，可得结论．
故答案为：24．
15．如图，在▱ABCD中，点E是CD延长线上的一点，∠EAD＝∠DBC，连结BE交AD于点F．
（1）求证：线段AD，BE互相平分；
（2）若∠BAD＝4∠EAD，∠BDC＝50°，求∠C的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ADC＝∠DBC，根据平行四边形的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，于是得到线段AD，BE互相平分；
（2）根据平角的定义得到∠BDE＝180°﹣50°＝130°，根据平行四边形的性质得到∠BAE＝∠BDE＝130°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADC＝∠DBC，
∵∠EAD＝∠DBC，
∴∠EAD＝∠ADC，
∴AE∥BD，
∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴线段AD，BE互相平分；
（2）解：∵∠BDC＝50°，
∴∠BDE＝180°﹣50°＝130°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BDE＝130°，
∵∠BAD＝4∠EAD，
∴∠EAB＝5∠DAE＝130°，
∴∠DAE＝26°，
∴∠DBC＝26°，
∴∠C＝∠BDE﹣∠DBC＝104°．

16．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）
A．6sB．6s或10sC．8sD．8s或12s
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，由∠A＝45°，可得△ADG是等腰直角三角形，过点F作FH⊥AB于点H，得矩形DGHF，利用勾股定理得EH＝6cm，由题意可得AE＝2tcm，CF＝tcm，然后列方程求出t的值即可．
【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，
如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵∠A＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DG＝AD＝8，
过点F作FH⊥AB于点H，
得矩形DGHF，
∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，
∵EF＝10cm，
∴EH＝＝6cm，
由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，
∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE＝EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，
∴2t﹣2＝22﹣t，
解得t＝8，
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，
故选：C．