第07讲 菱形（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课

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菱形的定义：
邻边相等 的平行四边形是菱形。
菱形的性质：
对边 平行 且四条边都 相等 。
对角 相等 ，邻角 互补 。
对角线 相互平分 且对角线 相互垂直 ，且对角线 平分 每一组对角。
菱形既是一个 中心对称 图形又是一个 轴对称 图形。
菱形的面积等于 底×高 或 对角线乘积的一半 。
菱形的判定：
四条边都 相等 的四边形是菱形。
邻边 相等 的平行四边形是菱形。
对角线 相互垂直 的平行四边形是菱形。

1．关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相平分
【分析】由菱形的性质可求解．
【解答】解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，
故选：C．
2．一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据菱形的判定定理可得出答案．
【解答】解：∵用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，
∴可设直角三角形的三边为a，a，2a，
A．四边形的四条边长都为2a，故四边形为菱形，不符合题意；
B．四边形的四条边为2a，故四边形为菱形，不符合题意；
C．四边形的四边长为2a，故四边形是菱形，不符合题意；
D．四边形的四条边长为a，2a，a，2a，故四边形不是菱形，符合题意．
故选：D．
3．在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝ACB．AC⊥BDC．∠A＝90°D．AC＝BD
【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由AB＝AC，不能判定▱ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、由AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、由∠A＝90°，不能判定▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、由AC＝BD，能判定▱ABCD为矩形，不能判定▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1．OB＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【分析】由菱形的性质得AC＝2OA＝2，BD＝2OB＝4，AC⊥BD，再由菱形面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2OA＝2，BD＝2OB＝4，AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×2×4＝4．
故选：A．
5．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，H为AB中点，连接OH，若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为（ ）
A．16B．8C．4D．2
【分析】先根据菱形的性质可得OB＝OD，AD＝8，再根据三角形中位线定理即可得．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为32，
∴OB＝OD，AD＝32÷4＝8，
∵H为AB中点，
∴，
故选：C．
6．如图，点E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE＝∠B＝70°，那么∠CDE的度数为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．10°
【分析】依据题意得出AE＝AB＝AD，∠ADE＝55°，又因为∠B＝70°，可推出∠ADC＝70°，∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE，从而求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠B＝70°，
∴AE＝AB＝AD，
在△AED中，AE＝AD，∠DAE＝70°，
∴∠ADE＝55°，
又∵∠B＝70°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°；
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点C的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，）C．D．
【分析】求出OC＝1，根据直角三角形的性质得出OA的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可．
【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，AD∥BC，
∴OB＝AB，
∵C（﹣1，0），
∴OC＝1，
设BC＝AB＝x，
∴OB＝x﹣1，
∴x﹣1＝x，
解得x＝2，
∴BC＝AD＝2，
∴OA＝＝＝，
∴D（﹣2，）
故选：B．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝16，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（ ）
A．B．4C．8D．
【分析】由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出BD的长度，再根据直角三角形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴BD＝8，
∵DH⊥AB，
在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴．
故选：B．
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC⊥BD，垂足为O，OA＝OC．
求证：四边形ABCD是菱形．
其中，“……”表示的是（ ）
A．BC＝CDB．AB＝BC
C．AB＝BC，AD＝CDD．OB＝OD
【分析】由和已知条件推知：四边形ABCD的四条边相等，继而证得四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：AC⊥BD，OA＝OC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴AB＝BC，AD＝CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；
②与△DEG全等的三角形共有5个；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
其中一定成立的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④
【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确；
先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确；
由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确；
由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
11．如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是 ．
【分析】根据菱形的性质和点的坐标求出OB，DC＝AB＝BC＝5，根据勾股定理求出OC，再求出点D的坐标即可．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（3，0），四边形ABCD是菱形，
∴OB＝3，DC＝BC＝AB＝3﹣（﹣2）＝5，
∴OC＝＝＝4，
∴点D的坐标为：（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
12．如图，四边形ABCD是菱形，BE为高，AE＝3，ED＝2，则对角线BD长为 ．
【分析】由菱形的性质得AB＝AD＝5，再由勾股定理得BE＝4，然后由勾股定理求出BD的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BE为高，
∴AB＝AD＝AE+ED＝3+2＝5，BE⊥AD，
∴∠BEA＝∠BED＝90°，
∴BE＝＝＝4，
∴BD＝＝＝2，
故答案为：2．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E点，若AD＝BD，则BE与AD的数量关系是 ．
【分析】由菱形邻边相等结合，AD＝AB，OB＝BD，可判断△ABD是等边三角形，继而得到∠ABD＝60°，再由直角三角形的两个锐角互余即可求得∠BOE＝90°﹣60°＝30°，从而可得答案．
【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝AB，OB＝BD，
∵AD＝BD，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴OB＝2BE，
∴AD＝4BE，
故答案为：AD＝4BE．
14．已知A（0，3），B（6，0），点C是x轴正半轴上一点，D是同一平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．
【分析】分两种情况讨论，由菱形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：当AB为菱形的对角线时，如图1，设菱形的边长为m，
∵A（0，3），B（6，0），
∴OA＝3，OB＝6，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA＝AD＝BC，AD∥BC，
∴CA＝CB＝6﹣m，
在Rt△AOC中，32+（6﹣m）2＝m2，解得m＝，
∴D（，3）；
当AB为菱形的边时，如图2，
AB＝＝3，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AB＝AD＝3，AD∥BC，
∴D（3，3），
综上所述，D点坐标为（3，3）或（，3），
故答案为：（3，3）或（，3）．
15．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，过点E作EF∥CD交BC于点F，连接DF交CE于点O．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若OG⊥CF于点G，且CE＝8，DF＝6，求OG的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF＝CD＝DE，可证得结论；
（2）在Rt△COF中，可求得CF的长，根据三角形的面积公式即可求得OG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠EDF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CD＝CF，
同理可得CD＝DE，
∴CF＝DE，且CF∥DE，
∴四边形CDEF为菱形；
（2）解：∵CE＝8，DF＝6，且四边形CDEF为菱形，
∴EO＝CO＝4，DO＝FO＝3，CE⊥DE，
在Rt△COF中，
CF＝＝＝5，
∵OG⊥CF，
∴S△COF＝CO•FO＝CF•OG，
∴OG＝＝＝．
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF．
（1）求证：四边形CDEF为菱形；
（2）连接DF交EC于G，若DF＝6，CD＝5，求四边形CDEF的面积．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得EF＝AB，EF∥AB，CF＝BC，可得AB∥CD∥EF，EF＝CF＝CD，由菱形的判定可得结论；
（2）由菱形的性质可得DG＝3，DF⊥CE，EG＝GC，由勾股定理可得EG＝GC＝8，得到CE的长后，根据菱形的面积公式可得答案．
【解答】（1）证明：∵E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，
∴EF＝AB，EF∥AB，CF＝BC，AE＝CE，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∵AB＝BC＝2CD，
∴EF＝CF＝CD，
∵AB∥CD∥EF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴四边形CDEF为菱形；
（2）解：如图，DF与EC交于点G，
∵四边形CDEF为菱形，DF＝6，
∴DF⊥CE，DG＝DF＝3，EG＝GC，
∵CD＝5，
在Rt△CDG中，GC＝＝＝4，
∴CE＝2GC＝8，
∴四边形CDEF的面积为：CE•DF＝×8×6＝24．

17．如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为（ ）
A．1+B．C．1D．2
【分析】连接AC，交BD于点O，连接ON，易得ON是△BDM的中位线，得到ON∥BM，取OD的中点E，连接CE，NE，得到CN≤CE+NE，得到当C，N，E三点共线时，CN最长，进行求解即可．
【解答】解：连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长，
∴AC⊥BD，，，
∴，
∵N为MD中点，
∴ON∥BM，
∵BM⊥DM，
∴ON⊥DM，
∴∠OND＝90°，
取OD的中点E，连接CE，NE，
则：，
∵CN≤CE+NE，
∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为；
故选：A．
18．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．
（1）证明▱ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝BD＝5．
证明：AC⊥BD，OA＝OC，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴……
∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．