第08讲 正方形（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课

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正方形的定义：
四条边都 ，四个角都是 的四边形是正方形。
正方形的性质：
正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形，所以包含平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
对边 且四条边都 且邻边 。
对角 ，邻角 且四个角都是 。
对角线 且对角线 且对角线 每一组对角。
正方形既是一个 图形又是一个 图形。
正方形的面积等于 或 。
正方形的判定：
四条边都 且四个角都是 的四边形是正方形。
有一个角是 且邻边 的平行四边形是正方形。
有一个角是 且对角线 的平行四边形是正方形。
对角线 且邻边 的平行四边形是正方形。
对角线 且对角线 的平行四边形是正方形。
注意：在（2）-（5）的证明过程中，可先证明菱形在证明矩形。

1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等
B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角
D．四边相等
2．满足下列条件的四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的菱形
C．对角线相等的矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形
3．正方形ABCD的对角线长为，则其周长为（ ）
A．8B．C．D．16
4．如图，以正方形ABCD的边AD为一边，在正方形内部作等边△ADE，连接BE，则∠ABE的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
5．已知正方形ABCD的边长为2，点A在原点，点B在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点，若△CEF的周长为18，则OF的长为（ ）
第6题 第7题
A．3B．C．4D．
7．如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
8．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形．
下列判断正确的是（ ）
第8题 第10题
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确
9．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A，B重合）．连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE．下列四个结论中：①四边形AECF始终是平行四边形；②若∠ABC＞90°，则存在点E，使得四边形AECF是矩形；③若AB＞AD，则存在点E，使得四边形AECF是菱形；④若∠BAC＝45°，则存在点E，使得四边形AECF是正方形．正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连接ED，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．15°C．45°D．15°或45°
11．正方形ABCD的边长为3，点E、F分别是对角线上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，则图中阴影部分的面积等于 ．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E是边AD的中点，连接BE，在DC边上有一点F，满足∠FEB＝∠AEB，则EF的长为 ．
第12题 第13题
13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若∠EGF＝45°，则GF的长为 ．
14．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线L上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：
①∠COD＝45°；
②AE＝5；
③CF＝BD＝；
④S△CFO＝3．
其中正确的序号为 ①② ．
15．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，与BC相交点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：四边形CEDG的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
16．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．连接DE，EF，DF，AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上下列条件 后，能使四边形ADEF为正方形，请从①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC；④AE＝DF这四个条件中任选两个填空（填序号），并加以证明．

17．如图，正方形OABC中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线AC，BO交于点D，作以下操作：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BO，AB于点E，F两点；②分别以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG，交AC于点M，交OA于点N．若点N的坐标为（2，0），则点M的坐标为（ ）
A．B．C．D．
18．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：△AMB≌△ENB；
（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．