第09讲 函数的认识（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课

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变量与常量：
会 的量叫做变量， 的量叫做常量。
函数的概念：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 的值与之对应，那么我们就说是 ，是的 。若存在时，则就是自变量为时的 。
函数的三种表达方式：
（1）函数解析式表达：
函数解析式即用式子来表达的函数关系。
通常情况下在等式右边的字母是函数关系的 ，等式左边的字母是自变量的 。
①自变量的取值范围：
在函数解析式中必须使式子成立。
= 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I：分母不能等于 ；
= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II：被开方数 0；
= 3 \* ROMAN \* MERGEFORMAT III：无意义。即中，与不能 。
在实际应用中必须满足实际意义。
②函数值：
将自变量的值带入 求解得函数值。自变量确定则函数值确定且唯若函数值确
定，可对应一个自变量，也可对应对个自变量。
（2）列表法表达：
利用表格表达函数关系的方法。
（3）图像法表达：
利用画图像表达函数关系的方法。

1．要画一个面积为30cm2长方形，其长为xcm，宽为ycm，在这一变化过程中，常量与变量分别为（ ）
A．常量为30，变量为x、yB．常量为30、y，变量为x
C．常量为30、x，变量为yD．常量为x、y，变量为30
2．下列选项中y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．y＝|x|D．x+y＝5
3．油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2tB．Q＝40﹣0.2tC．Q＝0.2t+40D．Q＝0.2t﹣40
4．在函数中，自变量x的取值可以是（ ）
A．0B．2C．4D．8
5．如图是一个运算程序的示意图，若输出y的值为2，则输入x的值可能为（ ）

A．3B．±1C．1或3D．±1或3
6．早上李奶奶从家出发去超市买菜，付完钱后发现提不动，于是叫了滴滴打车回家．若设李奶奶离开家的距离为y（米），离家时间为x（分钟），则反映该情景的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点E从BC的中点出发，沿矩形的边逆时针运动至边AD的中点时停止．设点E运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板顶部下滑的时间t与支撑物的高度h，得到如表所示的数据．下列结论不正确的是（ ）
A．这个实验中，木板的支撑物高度是自变量
B．支撑物高度h每增加10cm，下滑时间就会减少0.24s
C．当h＝40cm时，t为2.66s
D．随着支撑物高度h的增加，下滑时间越来越短
9．某天早晨，小明骑车上学途中，自行车突然“爆胎”，恰好路边有便民服务点．几分钟后车修好了，他加快速度骑车到校．如图，我们根据小明的这段经历画出图象（全程），该图描绘了小明所行路程s（千米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系．下列说法错误的是（ ）
A．小明家到学校的距离是8千米
B．小明修车用了5分钟
C．小明骑车的总时间是25分钟
D．小明修车前后骑车的速度相同
10．某容器由上下两段圆柱体组成（如图①），现以速度v（单位：cm3/s）匀速向容器注水、直至注满为止，图②是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间（（单位：s）的函数图象，根据图象信息，上面小圆柱体与下面大圆柱体的半径之比是（ ）
A．9：13B．4：9C．3：D．2：3
11．某影剧院观众席的座位数按下列方式设置：
根据表格中两个变量之间的关系，当x＝7时，座位数y＝ ．
12．已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是 ．
①张强从家到体育场用了15min
②体育场离文具店1.5km
③张强在文具店停留了20min
④张强从文具店回家用了35min
13．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为 ．
14．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．
（1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；
（2）观察表中数据，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请写出每月利润y（元）与每月的乘车人数x（人）之间的关系式；
（4）当每月乘车人数为5000人时，每月利润为多少元？
（5）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达多少人？
15．如图，圆柱的高是4cm，当圆柱底面半径r（cm）变化时，圆柱的体积V（cm3）也随之变
化．
（1）在这个变化过程中，自变量，因变量各是什么？
（2）写出圆柱的体积V与底面半径r的关系式；
（3）当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体积由多少cm3变化到多少cm3．

16．关于x的新函数定义如下：
（1）当x＝0时，y＝1：
（2）当（p是正整数，q是整数，q≠0，且p，q不含除1以外的公因数）时，；
（3）当x为无理数时，y＝0．
例：当x＝时，y＝；当x＝﹣时，y＝．
以下结论：①当x＝时，y＝0；
②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当x＝a时，函数值记为y1，当x＝b时，函数值记为y2，当x＝a•b时，函数值记为y3，则一定有y1y2＝y3：
③若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值；
④若2022≤x≤2023，则满足的自变量x的取值共有12个．
正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．探索函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察、分析图象特征，概括函数图象与性质的过程．结合自己已有的学习经验，画出函数y＝的图象（部分画图步骤已写出来，补写没有完成的步骤），研究该函数的图象性质，并解答后面的问题：
（1）列表．表中a＝ ，b＝ ．
（2）描点、连线，画出函数图象．
（3）分析图象，概括函数的性质．下列关于该函数的性质，正确的为 ①② （填序号）．
①函数的图象关于直线x＝1对称．②自变量x的取值范围是全体实数，函数y取值范围是0＜y≤4．③函数y随自变量x的增大而增大．④当x＝1时，函数y取得最小值，其最小值为4．⑤当x＝0时，函数表达式无意义，所以x≠0．
（4）若关于x的方程＝m有两个实数解，则m的取值范围为 0＜m＜4 ．
本板的支撑物高度h（cm）
10
20
30
40
50
…
下滑时间t（s）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
排数（x）
1
2
3
4
……
座位数（y）
30
33
36
39
……
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
1
2
4
2
a
1
b
…