第12讲 一次函数的几何变换、与方程及不等式（原卷版+解析版）-初中数学人教版八年级（八升九）暑假自学课

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一次函数的平移变换：
（1）一次函数的左右平移：
函数在进行左右平移时，平移变换规律为在 自变量 上加减平移单位。左 加 右 减 。
= 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I：若函数向左平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。
= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II：若函数向右平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。
（2）一次函数的上下平移：
函数在进行上下平移时，平移变换规律为在 函数解析式 上加减平移单位。上 加 下 减 。
= 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I：若函数向上平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。
= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II：若函数向下平移个单位长度，则平移后得到的函数解析式为 。
一次函数的对称变换：
①函数关于轴对称：
若函数关于轴对称，函数的自变量 不发生变化 ，函数值变为原来的 相反数 。即
关于轴对称的函数解析式为 。
②函数关于轴对称：
若函数关于轴对称，函数的函数值 不发生变化 ，自变量变为原来的 相反数 。即关于轴对称的函数解析式为 。
一次函数与一元一次方程：
①若一次函数的图像经过点，则一元一次方程的解为
。
②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则一元一次方程的解为 。
一次函数与二元一次方程组：
若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则二元一次方程组的解为 。
一次函数与不等式：
①若一次函数的图像经过点，则不等式的解集为点 上方 所在图像所对应的自变量范围；不等式的解集为点 下方 所在图像所对应的自变量范围。
②若一次函数的图像与一次函数的图像的交点坐标为，则不等式的解集取函数的图像在图像 上方 的部分所对应的自变量的范围；不等式的解集取函数的图像在图像 下方 的部分所对应的自变量的范围。这两部分都是以两个函数的交点为分界点存在。
求两个交点坐标：
求函数与函数的交点坐标，只需建立方程 求解即可得到两函数交点的 横坐标 ，将所得的值带入任意函数值求得交点的 纵坐标 。

1．将直线y＝3x向下平移2个单位长度，所得直线的关系式为（ ）
A．y＝3x+2B．y＝3（x+2）C．y＝3（x﹣2）D．y＝3x﹣2
【分析】根据一次函数图象向下平移的性质：左加右减、上加下减的特点，再结合题意求解析式即可．
【解答】解：直线y＝3x向下平移2个单位长度，
∴y＝3x﹣2，
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向下平移4个单位长度后经过点（2，3），则b的值为（ ）
A．4B．3C．2D．﹣5
【分析】根据题目先求得一次函数平移后的解析式是y＝2x+b﹣4，将点（2，3）代入即可求出答案．
【解答】解：∵将一次函数y＝2x+b的图象向下平移4个单位得到y＝2x+b﹣4，且经过点（2，3），
∴把点（2，3）代入y＝2x+b﹣4中得，3＝2×2+b﹣4，
∴b＝3．
故选：B．
3．一次函数y＝x+3与一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象关于直线x＝﹣1对称，k与b的值分别是（ ）
A．k＝﹣3，b＝﹣1B．k＝3，b＝﹣1C．k＝﹣1，b＝1D．k＝1，b＝1
【分析】先在直线y＝x+3上任意取两点（0，3），（﹣3，0），然后根据关于直线x＝﹣1对称的点，横坐标的和为﹣2，纵坐标相同求出这两点的对应点的坐标，然后代入y＝kx+b计算即可求出k、b的值．
【解答】解：由直线y＝x+3可知，直线y＝x+3经过点（0，3），（﹣3，0），
∵关于直线x＝﹣1对称的点，横坐标的和为﹣2，纵坐标相同，
∴点（0，3），（﹣3，0），关于直线x＝﹣1对称的点分别为（﹣2，3），（1，0），
将（﹣2，3），（1，0）代入y＝kx+b，得，
解得，
故选：C．
4．已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】先把点P（m，3）代入直线y＝﹣3x求出m的值，故可得出P点坐标，再根据交点坐标进行解答即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣3x和直线y＝kx+2的图象相交于点P（m，3），
∴3＝﹣3m，解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，3），
∴关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是为x＝﹣1，
故选：A．
5．已知方程kx+b＝0的解是x＝，则函数y＝kx+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据方程的解得出函数y＝kx+b与x轴的交点坐标，然后判断即可．
【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是，
∴函数y＝kx+b与x轴的交点坐标是，
满足条件的只有D．
故选：D．
6．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
【分析】先利用y＝x+2求得交点P的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．
【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，
所以一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象的交点P为（2，4），
所以关于x的方程kx+b＝4的解是x＝2．
故选：B．
7．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点A（﹣1，4）在该函数的图象上，则不等式kx+b＞4的解集为（ ）
A．x≥﹣1B．x＜﹣1C．x≤﹣1D．x＞﹣1
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＞4，
所以不等式kx+b＞4的解集为x＜﹣1，
故选：B．
8．已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+b的图象上，则m与n的大小关系为（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m≤nD．无法判断
【分析】由题意k＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜3，即可得出m＞n．
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣2＜3，
∴m＞n．
故选：A．
9．一次函数y1＝kx﹣1（k≠0）与y2＝﹣x+2的图象如图所示，当x＜1时，y1＜y2，则满足条件的k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1，且k≠0B．﹣1≤k≤2，且k≠0
C．k＜2，且k≠0D．k＜﹣1或k＞2
【分析】计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝﹣x+2的下方确定k的范围．
【解答】解：当x＝1时，y＝﹣1+2＝1，
把（1，1）代入y1＝kx﹣1得k﹣1＝1，
解得：k＝2，
当y1与y2平行，即k＝﹣1时，y1＜y2，
∴由图象可知当﹣1≤k≤2且k≠0，y1＜y2．
故选：B．
10．一次函数y1＝ax+b与y2＝mx+n在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．﹣2＜x＜3
C．x＞3D．以上答案都不对
【分析】根据两个一次函数的图象可得不等式的解集，进一步可得不等式组的解集．
【解答】解：观察函数图象得到：
不等式ax+b＞0的解集为x＞﹣2，
不等式mx+n＜0的解集为x＞3；
所以不等式组的解集为x＞3．
故选：C．
11．在平面直角坐标系中，将y＝﹣2x+1向下平移3个单位，所得函数图象过（a，3），则a的值为 ．
【分析】先得到平移后的函数表达式，再代入（a，3），解方程即可得到答案．
【解答】解：将y＝﹣2x+1向下平移3个单位得到y＝﹣2x﹣2，把（a，3）代入得到
3＝﹣2a﹣2，
解得，
故答案为：．
12．直线y＝ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则关于x的方程ax+b＝0的解是 ．
【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（﹣3，0），
∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣3，
故答案为：x＝﹣3．
13．新定义：[k，b]为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“双减点”．若[3，a﹣2]是某正比例函数y＝kx（k≠0）的“双减点”，则关于y的不等式组的解集为 ．
【分析】根据新定义求得a＝2，然后解不等式组即可．
【解答】解：∵[3，a﹣2]是某正比例函数y＝kx（k≠0）的“双减点”，
∴k＝3，a﹣2＝0，
∴a＝2，
∴不等式组为，
由不等式①得y＞3，
由不等式②得y＜8，
∴不等式组的解集为3＜y＜8，
故答案为：3＜y＜8．
14．已知一次函数y＝﹣x+2．
（1）求该直线与坐标轴的交点坐标；
（2）画出一次函数的图象；
（3）由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 ．
【分析】（1）令x＝0和y＝0，求出y和x，即可求出直线与坐标轴的交点坐标；
（2）过点（4，0）与点（0，2）作直线，即为一次函数y＝﹣x+2的图象；
（3）观察图象即可得出结论．
【解答】解：（1）x＝0时，y＝2，
y＝0时，x＝4，
则直线与x轴交点为（4，0），与y轴交点为（0，2）；
（2）过点（4，0）与点（0，2）作直线，即为一次函数y＝﹣x+2的图象；
（3）从图象上可知一次函数y＝﹣x+2与x轴的交点坐标为（4，0），
则关于x的方程﹣x+2＝0的解为的解是x＝4．
故答案为：x＝4．
15．如图，已知一次函数y1＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为线段AB的中点，一次函数y2＝x+b与x轴交于点D．
（1）当一次函数y2＝x+b经过点C时，若y1≤y2，请直接与写出x的取值范围；
（2）当x＜3时，若y1＞y2，结合图象直接写出b的取值范围．
【分析】（1）先求A、B的坐标，再根据待定系数法求解；
（2）先求出当x＝3时，y1的值，再结合图形求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，则y1＝8，
∴B（0，8），
当﹣2x+8＝0时，则x＝4，
∴A（4，0），
∵点C为线段AB的中点，
∴C（2，4），
根据图象可得：当y1≤y2时，x≥2；
（2）当x＝3时，y1＝2，
当（3，2）在y2上时，3+b＝2，
解得：b＝﹣1，
所以当y1＞y2时，b＜﹣1．

16．已知直线L：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B，将直线L向右平移4个单位后得到直线L′，L′与x轴交于点A′，与y轴交于点B′，若AB⊥A′B，则k的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【分析】由平移的性质得出A′（2，0），从而得出OA＝OA′＝2，由AB⊥A′B，得出△ABA′是等腰直角三角形，即可得出OB＝OA＝2，即2k＝2，解得k＝1．
【解答】解：直线L：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），将直线L向右平移4个单位后得到直线L′，L′与x轴交于点A′，则A′（2，0），
∴OA＝OA′＝2，
∵AB⊥A′B，
∴△ABA′是等腰直角三角形，
∴OB＝OA＝2，
∵直线L：y＝kx+2k（k＞0）与y轴交于点B，
∴B（0，2k），
∴OB＝2k，
∴2k＝2，
∴k＝1，
故选：B．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（2，1），C（6，3），且AB∥x轴，可移动的直线l：y＝2x+b，从直线y＝2x+1的位置出发，沿x轴正方向平移，平移距离为m，有以下结论：①当m＝2时，直线l的表达式为y＝2x﹣3；②若矩形的四个顶点分别在直线l的两侧，则1≤m≤6；③当m＝时，点D和点B关于直线l对称．其中正确的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据平移的规律求得平移后的直线的解析式即可判断①；把x＝2代入y＝2（x﹣m）+1得y＝5﹣2m，把x＝6代入y＝2（x﹣m）+1得y＝13﹣6m，根据题意得到，解得1＜m＜2，即可判断②；求得平移后的直线与AB、CD的交点M、N，求得DM和BN的长度即可判断③．
【解答】解：①从直线y＝2x+1的位置出发，沿x轴正方向平移，平移距离为2时，直线l的表达式为y＝2（x﹣2）+1＝2x﹣3；故①正确；
②∵矩形ABCD的顶点A（2，1），C（6，3），
∴D（2，3），B（6，1），
从直线y＝2x+1的位置出发，沿x轴正方向平移，平移距离为m时，直线l的表达式为y＝2（x﹣m）+1，
把x＝2代入y＝2（x﹣m）+1得y＝5﹣2m，把x＝6代入y＝2（x﹣m）+1得y＝13﹣6m，
∵矩形的四个顶点分别在直线l的两侧，
∴，
∴1＜m＜2，故②错误；
③当m＝时，则直线l的表达式为y＝2（x﹣）+1，
把y＝1代入y＝2（x﹣）+1得1＝2（x﹣）+1，解得x＝，
∴直线l与AB的交点为M（，1），
∴MB＝6﹣＝，
把y＝3代入y＝2（x﹣）+1得3＝2（x﹣）+1，解得x＝，
∴直线l与CD的交点为N（，3），
∴DN＝﹣2＝，
∵DM＝＝，BN＝＝，
∴DM＝BM＝BN＝DN，
∴当m＝时，点D和点B关于直线l对称，故③正确．
故选：B．