第01讲 一元二次方程 -初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）试卷

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一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
【考点剖析】
一．一元二次方程的定义（共6小题）
1．（2023春•瑶海区期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．
B．ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数）
C．x（3x+2）＝5
D．（2x+1）2＝4x2﹣3
2．（2023•大连一模）若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≠0C．k＜0D．k为实数
3．（2022秋•宜阳县期末）关于x的方程mx2﹣3x＝2x2+x﹣1是一元二次方程，则m应满足的条件是（ ）
A．m≠0B．m≠﹣2C．m≠2D．m＝2
4．（2023春•沙坪坝区校级期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
5．（2022秋•河池期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
6．（2022秋•青云谱区校级月考）若关于x的方程（k﹣1）x|k﹣3|+2x＝3是一元二次方程，求k的值．
二．一元二次方程的一般形式（共10小题）
7．（2023春•拱墅区校级期中）方程3x2﹣2x﹣6＝0，一次项系数为（ ）
A．﹣2B．﹣2xC．﹣6D．6
8．（2023•东莞市校级模拟）将方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．4，8，25B．4，2，﹣25C．4，8，﹣25D．1，2，25
9．（2022秋•泸溪县期末）一元二次方程2x2﹣x+1＝0的二次项系数是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
10．（2022秋•林州市期末）方程2x2﹣3x＝1化为一般形式后，常数项为（ ）
A．2B．﹣3C．1D．﹣1
11．（2022秋•简阳市期末）把一元二次方程x2﹣9＝8x化成一般形式后，一次项系数的一半为（ ）
A．8B．4C．﹣8D．﹣4
12．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a＝1，b＝﹣2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝6
13．（2021秋•南江县校级月考）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．
14．（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；
（2）．
15．（2022秋•海东市期中）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
16．（2022秋•同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
三．一元二次方程的解（共10小题）
17．（2023春•鄞州区校级期中）已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．4B．5C．﹣4D．﹣5
18．（2023•南沙区一模）若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2 的值是（ ）
A．4046B．﹣4046C．﹣2023D．0
19．（2023•陇南模拟）关于x的一元二次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（ ）
A．9B．8C．6D．4
20．（2023春•沙坪坝区校级期中）已知x＝2是关于x的一元二次方程mx2﹣nx+3＝0的一个解，则8m﹣4n的值为 ．
21．（2023•天河区二模）已知代数式．
（1）化简A；
（2）若m是方程x2﹣2x＝0的根，求A的值．
22．（2023•兴庆区校级一模）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
23．（2023•佛冈县二模）先化简，再求值：，若x是方程x2﹣2x＝0的正整数解．
24．（2023•广陵区一模）先化简再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的一个根．
25．（2023•越秀区一模）已知．
（1）化简P；
（2）若a为方程的一个解，求P的值．
26．（2022秋•梁山县期末）已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，1，3B．2，，3C．2，，D．2，，1
2．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）把一元二次方程化成一般形式后，一次项系数的一半为（ ）
A．8B．4C．D．-4
3．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程化成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．（2022春·甘肃兰州·九年级校考阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是( )
A．B．C．D．不能确定
5．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（ ）
A．B．1C．或D．0
6．（2023·广东惠州·统考一模）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．1或C．D．0.5
7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）若a是方程的一个解，则的值是（ ）
A．10B．5C．D．
8．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）一元二次方程的一次项系数为______．
10．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）用公式法解一元二次方程时，应先将其化成“一般形式”为________．
11．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____．
12．（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程，则__________．
13．（2023·山东东营·统考一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．
14．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若是方程的一个解，则代数式的值是___________．
三、解答题
15．（2022秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．
16．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
17．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程的解，求式子的值．
18．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是倍根方程，则___________．
19．（2023秋·重庆永川·九年级统考期末）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．
20．（2023·北京西城·统考一模）已知a是方程的一个根，求代数式的值．
21．（2021秋·江苏·九年级专题练习）设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值．
22．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数：
(2)设．
①请用含的代数式表示与的长；
②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
23．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知等腰直角中，，，点为边上动点，连接，过点作，交于点，拖动点．
（1）若，垂足为点，求证：
（2）若且，求的长度
24．（2022秋·九年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．