第03讲 解一元二次方程（公式法）-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）试卷

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一、公式引入
一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．
对上面这个方程进行讨论：因为，所以
当时，
利用开平方法，得：，即：
当时，
这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．
二、求根公式
一元二次方程（），当时，有两个实数根：
，这就是一元二次方程（）的求根公式．
三、用公式法解一元二次方程一般步骤
把一元二次方程化成一般形式（）；
确定a、b、c的值；
求出的值（或代数式）；
若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．
根的判别式
1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．
2.一元二次方程，
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
五、根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
【考点剖析】
题型1用公式法解一元二次方程
例1.用公式法解下列方程：
（1）；（2）．
例2.用公式法解下列方程：
（1）；（2）．
例3.用公式法解下列方程：
（1）；（2）．
例4.用公式法解下列方程：
（1）；（2）．
例5.用公式法解下列方程：
（1）；（2）．
题型2解系数中有字母的一元二次方程
例6.用配方法解下列关于x的方程：（）．
例7.用公式法解下列关于x的方程：
（1）；（2）．
题型3根的判别式
例8.选择：
下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）
（A）（B）
（C）（D）
不解方程，判别方程的根的情况是（）
（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根
（C）只有一个实数根（D）没有实数根
方程的根的情况是()
（A）有两个相等实根（B）有两个不等实根
（C）没有实根 （D）无法确定
一元二次方程的根的情况为（）
（A）有两个不相等的实数根（B）有两个相等的实数根
（C）只有一个实数根（D）没有实数根
例9.不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
例10.关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？
例11.已知关于的一元二次方程根的判别式的值为4，求的值．
例12.已知方程组的解是，试判断关于的方程的根的情况．
例13.当取何值时，关于的方程，
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
例14.当为何值时，关于的方程有实数根？并求出这时方程的根（用含的代数式表示）．
题型5根的判别式的应用
例15.证明：方程有两个不相等的实数根．
例16.当为何值时，方程，
（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．
例17.已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
例18.如果是实数，且不等式的解集是，那么关于的一元二次方程的根的情况如何?
例19.已知关于的方程总有实数根，求的取值范围．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·贵州黔东南·统考二模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·广东潮州·九年级潮州市金山实验学校校考期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a满足条件是（ ）
A．B．且C．且D．
3．（2023·浙江温州·统考三模）若关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根，则正数b的值是（ ）
A．8B．C．4D．
4．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期末）一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（ ）
A．12B．16C．20D．24
5．（2023·安徽安庆·校考三模）如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的值可以为（ ）
A．10B．9C．8D．7
6．（2023·河南商丘·统考三模）方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有一个实数根D．有两个不相等的实数根
7．（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（ ）
A．一切实数B．C．D．
8．（2022·浙江·九年级自主招生）满足方程的整数对有（ ）
A．0对B．2对C．4对D．6对
二、填空题
9．（2023·上海杨浦·统考三模）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是________．
10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，这个一次项可以是______．
11．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是________．
12．（2023·山东东营·校考二模）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________．
13．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于的一元二次方程．两实数根分别为，且满足，则实数的值为_____________．
三、解答题
14．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）解方程：
15．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法）
16．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
17．（2023·北京西城·校考模拟预测）关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
18．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）不解方程，判断方程的根的情况．
19．（2023春·河南三门峡·九年级统考阶段练习）已知关于的方程没有实数根，试判断关于的方程实数根的情况，并说明理由．
20．（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
21．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB