所属成套资源:【暑假提升】人教版初中数学八年级(八升九)暑假自学
第09讲 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性-初中人教版八升九数学暑假衔接(教师版+学生版)试卷
展开
这是一份第09讲 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性-初中人教版八升九数学暑假衔接(教师版+学生版)试卷,文件包含第09讲二次函数yax2+bx+ca≠0的图象与性质教师版-八升九数学暑假衔接人教版docx、第09讲二次函数yax2+bx+ca≠0的图象与性质学生版-八升九数学暑假衔接人教版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共57页, 欢迎下载使用。
一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h,k),所以我们称为顶点式,将顶点式去括号,合并同类项就可化成一般式.
2.一般式化成顶点式
.
对照,可知,.
∴ 抛物线的对称轴是直线,顶点坐标是.
要点诠释:
1.抛物线的对称轴是直线,顶点坐标是,可以当作公式加以记忆和运用.
2.求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.
二、二次函数的图象的画法
1.一般方法:列表、描点、连线;
2.简易画法:五点定形法.
其步骤为:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标和对称轴,在直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴.
(2)求抛物线与坐标轴的交点,
当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C关于对称轴的对称点D,将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
要点诠释:
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D,由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图;如果需要画出比较精确的图象,可再描出一对对称点A、B,然后顺次用平滑曲线连结五点,画出二次函数的图象,
三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
四、求二次函数的最大(小)值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大(或最小)值,即当时,.
要点诠释:
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2,那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内,若在此范围内,则当时,,若不在此范围内,则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x=x2时,;当x=x1时,,如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x=x1时,;当x=x2时,,如果在此范围内,y值有增有减,则需考察x=x1,x=x2,时y值的情况.
【考点剖析】
题型一、二次函数的图象与性质
例1.求抛物线的对称轴和顶点坐标.
【答案与解析】
解法1(配方法):
.
∴ 顶点坐标为,对称轴为直线.
解法2(公式法):∵ ,,,∴ ,
.
∴ 顶点坐标为,对称轴为直线.
解法3(代入法):∵ ,,,
∴ .
将代入解析式中得,.
∴ 顶点坐标为,对称轴为直线.
【总结升华】所给二次函数关系是一般式,求此类抛物线的顶点有三种方法:(1)利用配方法将一般式化
成顶点式;(2)用顶点公式直接代入求解;(3)利用公式先求顶点的横坐标,然后代入
解析式求出纵坐标.这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.
【变式1】把一般式化为顶点式.
(1)写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标;
(2)分别求出它与y轴的交点C,与x轴的交点A、B的坐标.
【答案】(1)向下;x=2;D (2,2).
(2)C(0,-6);A(1,0);B(3,0).
例2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是( )
A.B.
C.D.
【思路点拨】由y=ax2+bx+c的图象判断出a>0,b>0,于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一,二,四象限,即可得到结论.
【答案】A.
【解析】解:∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴的左侧,
∴b>0,
∴一次函数y=ax+b的图象经过一,二,三象限.
故选A.
【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象,解题的关键是明确二次函数的性质,由函数图象可
以判断a、b的取值范围.
【变式1】 抛物线与y轴交于(0,3)点:
(1)求出m的值并画出这条抛物线;
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;
(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?
(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?
【答案与解析】
(1)由抛物线与y轴交于(0,3)可得m=3.
∴ 抛物线解析式为,如图所示.
(2)由得,.
∴ 抛物线与x轴的交点为(-1,0)、(3,0).
∵ ,
∴ 抛物线的顶点坐标为(1,4).
(3)由图象可知:当-1<x<3时,抛物线在x轴上方.
(4)由图象可知:当x≥1时,y的值随x值的增大而减小.
【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来,借助于图象的直观性求解更形象与简洁.
(1)将点(0,3)代入解析式中便可求出m的值,然后用描点法或五点作图法画抛物线;
(2)令y=0可求抛物线与x轴的交点,利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标;
(3)、(4)均可利用图象回答,注意形数结合的思想,
【变式2】某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出了下面的表格:
由于粗心,他算错了其中一个y值,则这个错误的数值是( )
-11 B. -2 C. 1 D. -5
【答案】D.
提示:由函数图象关于对称轴对称,得
(﹣1,﹣2),(0,1),(1,2)在函数图象上,
把(﹣1,﹣2),(0,1),(1,﹣2)代入函数解析式,得
,
解得,
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11,故选:D.
题型二、二次函数的最值
例3.求二次函数的最小值.
【答案与解析】
解法1(配方法):∵
,
∴ 当x=-3时,.
解法2(公式法):∵ ,b=3,
∴ 当时,
.
解法3(判别式法):∵ ,∴ .
∵ x是实数,∴ △=62-4(1-2y)≥0,∴ y≥-4.
∴ y有最小值-4,此时,即x=-3.
【总结升华】在求二次函数最值时,可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑,根据个人熟练程度
灵活去选择.
【变式1】用总长60m的篱笆围成矩形场地.矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化.当L是多少时,矩
形场地的面积S最大?
【答案】
(0
相关试卷
这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第11课 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质(教师版),共21页。
这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第11课 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质(教师版),共21页。
这是一份人教版九年级数学上册同步讲义专题第11课 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质(学生版),共8页。