第10讲 二次函数与一元二次方程-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）试卷

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一．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
二．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
三．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
【考点剖析】
一．抛物线与x轴的交点（共9小题）
1．（2023春•江都区月考）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣2x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 ﹣＜m＜﹣4 ．
​​
【分析】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线y＝﹣2x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．
【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝3，
则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y＝﹣2x+m经过点A（﹣2，0）时，4+m＝0，解得m＝﹣4；
当直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣2x+m有相等的实数解，
解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣＜m＜﹣4．
故答案为：﹣＜m＜﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
2．（2023•余杭区校级模拟）已知，二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）．若图象上另有一点P（m，n），则（ ）
A．当n＞0时，m＜x1B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0D．当n＜0时，x1＜m＜x2
【分析】根据抛物线开口方向及与x轴交点判断m的取值范围与n的关系，从而求解．
【解答】解：∵y＝x2+2x+c的图象开口向上，
由题意可知，当x＞x2或x＜x1时，y＞0；
当x1＜x＜x2时，y＜0；
故当n＞0时，m＜x1或m＞x2，A、B都错；
当n＜0时，x1＜m＜x2，C错误，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
3．（2023•碑林区校级模拟）已知y＝ax2+6ax+4（a≠0）是关于x的二次函数，当自变量x的取值范围为﹣4≤x≤1时，函数y有最大值，最大值为13，则下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线与x轴有两个交点
B．当抛物线开口向下时，a＝﹣1
C．对称轴在y轴的左侧
D．当抛物线开口向上时，
【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
【解答】解：由题意得，y＝ax+6ax+4有最大值是13
∵у＝ax²+6ax+4＝a（x+3）²+4﹣9a，
∴4﹣9a＝13，解得a＝﹣1，
∴B选项正确．
抛物线解析式为：y＝﹣（x+3）2+13，即对称轴是：直线x＝﹣3，
∴C选项正确，
又当y＝0时，﹣（x+3）2+13＝0，
Δ＝（﹣6）2﹣4×（﹣1）×4＞0，
∴﹣（x+3）2+13＝0有两个不等的实数根，
∴A选项正确，
∵a＝﹣1，开口向下，
∴D选项不正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
4．（2023•雨山区校级二模）抛物线y＝ax2﹣4x+2的顶点坐标为（2，n）．
（1）a＝ 1 ；
（2）若抛物线y＝ax2﹣4x+2向下平移m（m＞0）个单位后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 2≤m＜7 ．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式求解即可；
（2）根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标结合图象求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣4x+2的对称轴是直线x＝﹣＝．
∵抛物线y＝ax2﹣4x+2的顶点坐标为（2，n），
∴抛物线y＝ax2﹣4x+2的对称轴是直线x＝2．
∴＝2．
则a＝1．
故答案为：1；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2，
平移后抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2﹣m，
如图，
当直线x＝﹣1与抛物线交点在x轴上方，直线x＝4与抛物线交点在x轴上或x轴下方满足题意．
即，
解得2≤m＜7．
故答案为：2≤m＜7．
【点评】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握性质是解题关键．
5．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 9 ．
【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
6．（2023•城阳区校级一模）已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 ﹣1≤x≤5 ．
【分析】根据解析式，得抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），结合图形即可求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
则（﹣1，0）关于x＝2对称的点为（5，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（5，0），
所以y≤0时，x的取值范围是﹣1≤x≤5．
故答案为：﹣1≤x≤5．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
7．（2023•陇南模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）观察函数图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围；
（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知了抛物线过A、B两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式．
（2）观察图象即可解决问题；
（3）本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接BC，直线BC与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得．
∴所求解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，
故答案为x＜﹣1或x＞3．
（3）在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，
∵点A关于对称轴直线x＝1的对称点是（3，0），
∴Q是直线BC与对称轴直线x＝1的交点，
设过点B，C的直线的解析式y＝kx﹣3，把B（3，0）代入，
∴3k﹣3＝0，
∴k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
把x＝1代入上式，
∴y＝﹣2，
∴Q点坐标为（1，﹣2）．
【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
8．（2023•无为市四模）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（2，2）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（3，0），求二次函数的解析式；
（3）当a＜0时，该函数图象上的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．
【分析】（1）将点（2，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2可得答案；
（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（3，0）代入y＝ax2﹣ax+2，即可解决问题；
（3）由（1）得，b＝﹣a，则二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线．再分别可得答案．
【解答】解：（1）将点（2，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2，得4a+2b+2＝2，
∴b＝﹣2a．
（2）由（1）得y＝ax2﹣2ax+2，
再将（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+2，
得9a﹣6a+2＝0，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为．
（3）由（1）得b＝﹣2a，
∴二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线．
∵a＜0，
∴x2＜﹣2．∵x1＝﹣2，y1＞y2，
∴x2＜﹣2，
∴二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，
∵a＜0，
∴当x＜时，y随x的增大而增大，
∵x1＝﹣2，y1＞y2，
∴x2＜﹣2，
当x＞时，y随x的增大而减小，
∵P（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点坐标为（3，y1），
∴x2＞4．
综上所述，x2＜﹣2或x2＞4．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．
9．（2023•玄武区二模）已知函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）．
（1）若m＝4，n＝3，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离；
（2）若函数y＝x2+mx+n的图象与x轴有两个交点，将该函数的图象向右平移k（k＞0）个单位长度得到新函数y′的图象，且这两个函数图象与x轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等．
①若函数y＝x2+mx+n的图象如图所示，直接写出新函数y′的表达式；
②若函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），当k＝1时，求m，n的值．
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再求出与x轴的交点坐标，二者相减取绝对值即可；
（2）①利用待定系数法求出函数解析式，并写成关于x的完全平方形式，新函数的对称轴是将原函数的对称轴向右平移与x轴的两个交点之间距离的倍或2倍；
②k值为函数与x轴的两个交点之间距离的倍或2倍，再将点（1，3）代入函数求解方程组即可．
【解答】解：（1）若m＝4，n＝3，则有y＝x2+4x+3．
当y＝x2+4x+3＝（x+1）（x+3）＝0时，解得：x＝﹣1或x＝﹣3．
∴该函数图象与x轴的两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4．
（2）①将（0，0）和（4，0）代入y＝x2+mx+n，得，
解得：m＝﹣4，n＝0．
∴y＝x2﹣4x，整理得y＝（x﹣2）2﹣4．
若k＝2，则y'的对称轴为x＝4，
∴y'＝（x﹣4）2﹣4，即y'＝x2﹣8x+12．
若k＝8时，则y'的对称轴为x＝10，
∴y'＝（x﹣10）2﹣4，即y'＝x2﹣20x+96．
②将点（1，3）代入y＝x2+mx+n，得m+n＝2．
设x1和x2分别为函数y＝x2+mx+n与x轴的交点坐标，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝n．
∴＝﹣4x1x2＝m2﹣4n，
∴|x1﹣x2|＝．
当k＝|x1﹣x2|＝1时，有＝1，
∴m2﹣4n﹣4＝0．
∴，
解得：m＝2，n＝0；m＝﹣6，n＝8．
当k＝2|x1﹣x2|＝1时，有2＝1，
∴4m2﹣16n﹣1＝0．
∴，
解得：m＝，n＝；m＝﹣，n＝．
【点评】本题通过几何变换，考查了二次函数与x轴的交点、性质等，综合性较强，难度不小，注意分情况讨论．
二．图象法求一元二次方程的近似根（共10小题）
10．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：
关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，函数图象从左到右上升
B．抛物线开口向上
C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间
D．当x＝2时，y＝1
【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D．
【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，
∴抛物线的顶点为（0，3），
∴y＝3是函数的最大值，
∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降，
所以A错误，B错误；
∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，
所以C正确，D错误．
综上所述：其中正确的结论有C．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
11．（2022秋•兴县期末）我们可以用二次函数y＝x2+3x﹣3的图象（如图所示）估计一元二次方程x2+3x﹣3＝0的根的情况，由图象可知x2+3x﹣3＝0有1个根在﹣4和﹣3之间，另一个根在0和1之间，体现的数学思想主要是（ ）
A．数形结合思想B．方程思想
C．转化思想D．分类思想
【分析】用二次函数图象的交点解释一元二次方程根的意义，体现了数形结合的数学思想，进而可得答案．
【解答】解：二次函数图象体现了形，一元二次方程的根体现了数，将二者联系，体现了数形结合的思想，
故选：A．
【点评】本题考查了数形结合的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
12．（2023•北海二模）小李同学在求一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象，利用图象得到方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根为x1≈﹣0.3，x2≈3.3，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（ ）
A．类比思想B．数形结合思想
C．整体思想D．分类讨论思想
【分析】根据图象解答题目，属于数形结合的数学思想的利用．
【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，利用图象得到方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根为x1≈﹣0.3，x2≈3.3，属于数形结合的数学思想．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确利用图象法进行求解，求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，也可以令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标是解题关键．
13．（2023•杜尔伯特县一模）|x2﹣3|＝a有四个解，则a的取值范围是 0＜a＜3 ．
【分析】作函数y＝|x2﹣3|的图象，如图．由图象知直线y＝a与y＝|x2﹣3|的图象应有四个交点，于是得到结论．
【解答】解：方程|x2﹣3|﹣a＝0⇔方程|x2﹣3|＝a，
作函数y＝|x2﹣3|的图象，如图．
由图象知直线y＝a与y＝|x2﹣3|的图象应有四个交点，
当1＜a＜3时，有4个交点．
故答案为：0＜a＜3．
【点评】此题主要考查了函数图象与方程的解，根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决根的存在性及根的个数判断问题．
14．（2022秋•兴隆县期末）下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是 1.2 ；
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2．
故答案为：1.2．
【点评】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
15．（2023•咸安区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝时，对应的函数值y＜0，有以下结论：①abc＞0；②当x≤0时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+c＝0有异号两实根的，而且负实数根在和0之间；④3m﹣n＜．其中正确的结论是（ ）
A．②③B．③⑤C．②③④D．①②③④
【分析】由x＝0时，c＝2，x＝1时，a+b+2＝2，得出a+b＝0，即可判断①；求得对称轴和开口方向即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在﹣至0之间，即可判断③；由对称轴公式得出b＝﹣a，则y＝ax2﹣ax+2，即可得出m＝n＝2a+2，得出3m﹣n＝4a+4，由当x＝时，y＝a﹣a+2＜0，求得a＜﹣，即可得出m+n＜﹣，即可判断④．
【解答】解：当x＝0时，c＝2，
当x＝1时，a+b+2＝2，
∴a+b＝0，
∴abc＜0，
①错误；
∵x＝0时，y＝2，x＝1时，y＝2，
∴对称轴为：x＝＝，
∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜时，y随x的增大而增大，
∴当x≤0时，y随x的增大而增大，
②正确；
∵x＝1时，y＝2，x＝时，y＜0，
∴抛物线与x轴的交点在1至之间，
∵对称轴为x＝，
∴抛物线与x轴的另一个交点在﹣至0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有异号两实根，而且负实数根在和0之间；
③正确；
∵﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴y＝ax2﹣ax+2，
∴m＝n＝2a+2，
∴3m﹣n＝4a+4，
∵当x＝时，y＝a﹣a+2＜0，
∴a＜﹣，
∴m+n＜﹣，
④正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键．
16．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x＝m
D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3
【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意；
由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小，
∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5，
∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1，
∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意；
由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间，
故对应的x的值在﹣1与0之间，
故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在．
17．（2023•泰安一模）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数y＝ax2+bx+2中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
下列结论：①点B的坐标是（2，2）；②这个函数的最大值大于5；③ax2+bx＝﹣1有一个根在4与5之间；④当0＜x1＜1，4＜x2＜5时，y1＞y2．其中正确的为 ②③④ ．（将所有正确结论的序号都填入）
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解．
【解答】解：将（﹣1，﹣3），（1，5）代入y＝ax2+bx+2得，
解得，
∴y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（2，6），
∴对称轴为直线x＝2，函数的最大值为6，
∴①错误，②正确．
把x＝4代入y＝﹣x2+4x+2得，y＝2，
把x＝5代入y＝﹣x2+4x+2得，y＝﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝1交点的横坐标在4与5之间，
∴ax2+bx＝﹣1有一个根在4与5之间，③正确；
∵0＜x1＜1，4＜x2＜5，
∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
∴y1＞y2．④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
18．（2022秋•确山县期中）某班“数学兴趣小组”对函数；y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ 3 ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴 ．
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，求得y值便可；
（2）用光滑的曲线连接所描的点便可；
（3）根据函数图象即可求解；
（4）通过观察函数图象，即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，
∴m＝3，
故答案为：3；
（2）描点，连线得出函数图象如图：
（3）函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴，
故答案为：函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴；
（4）由图象可知方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解为x1＝0.4，x2＝2.6．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
19．（2022秋•林州市月考）已知：由函数y＝x2﹣2x﹣2的图象知道，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程x2﹣2x﹣2＝0有一个根在﹣1和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
【分析】（1）计算x＝2和x＝3时，y的值，确定其x2所在范围是2＜x2＜3；
（2）根据题意得到，解得即可．
【解答】解：（1）利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知，
当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，
所以方程的另一个根在2和3之间；
（2）函数y＝x2﹣2x+c的图象的对称轴为直线x＝1，
由题意，得，
解得0＜c＜1．
【点评】本题主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．
三．二次函数与不等式（组）（共11小题）
20．（2023•白碱滩区二模）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4，上述五个结论中，其中正确的结论是 ①⑤ （填写序号即可）．
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到﹣＝1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；结合函数图象可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵当1＜x＜4时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．所以⑤正确．
故答案为：①⑤．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
21．（2023•渠县校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点（﹣2，0），下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b＝0；
③点（x1，y1）和（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2≥时，y1＞y2；
④不等式ax2+bx+c≥0的解集是x≤﹣2或；
⑤一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为，x2＝1．
其中错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝﹣可判断①，由抛物线与x轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断③，由抛物线经过（2，0）及抛物线的对称性可判断④，由抛物线开口方向及对称轴可判断⑤．
【解答】解：由图可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴a＝b＞0，
∴a﹣b＝0，故②正确；
∵抛物线和y轴交点在负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
∴①正确；
当x1＞x2≥﹣时，两点都在对称石侧．图象部分．y随x增大而增大，
∴y1＞y2，
∴③正确；
不等式ax2+bx+c≥0，抛物线在x轴上方时，x取值范围，而抛物线和x轴交点为（﹣2，0）和（1，0），
∴解集是x≤﹣2或x≥1；
∴④不正确．
∵ax2+bx+c＝0的两个根x1＝1，x2＝﹣2，
∴a+b（）+c＝0的两个根x1＝1，x2＝﹣2，
∴cx2+bx+a＝0的两个根x1＝1，，
∴⑤正确．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22．（2023•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣，a＝﹣，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a﹣+c＜0，
∴2a﹣c＞0，
∴﹣a﹣c﹣c＞0，
∴﹣2a﹣3c＜0，
∴2a+3c＞0，
∴③错误．
如图：
设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，
由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
23．（2023•乡宁县二模）在解答“如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝mx+n相交于A（﹣1，0），B（﹣4，3）两点，结合图形求不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集”的问题时，用到的数学思想是（ ）
A．分类讨论思想B．整体思想
C．数形结合思想D．公理化思想
【分析】把解不等式的问题转化为解一元二次方程的问题，然后画出二次函数y＝ax2+bx+c与y＝mx+n图象后利用数形结合的思想解决问题．
【解答】解：由图象可知在A的右侧与B的左侧时，二次函数图象高于一次函数图象．
∴平面直角坐标系的引入，使得我们可以用几何方法研究代数问题，又可以用代数方法研究几何问题，主要体现的数学思想是数形结合思想．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
24．（2023•云梦县校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠c），且a﹣b+c＝0，a＞0．下列四个结论，正确的有（ ）个．
①抛物线与x轴一定有两个交点；②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；③若a+b＝0，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2；④一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c有一个根x＝1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由于b＝a+c，a≠c，所以Δ＝（a﹣c）2＞0，则根据根的判别式的意义可判断抛物线与x轴一定有两个交点，于是可对①进行判断；抛物线经过点（﹣1，0），若抛物线的对称轴在点（﹣1，0）的右侧，当x＞﹣1时，y随x的增大先减小后增大，则可对②进行判断；利用a+b＝0得到抛物线的对称轴为直线x＝，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），则抛物线在x轴所的下方所对应的自变量的范围为﹣1＜x＜2时，y＜0，从而可对③进行判断；先把方程a（x﹣2）2+bx＝2x﹣c整理为a（x﹣2）2+（b﹣2）x+c＝0，再利用ax2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣1得到x﹣2＝﹣1，解得x＝1，从而可得一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2x﹣c有一个根x＝1，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵a﹣b﹣c＝0，
∴b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2，
∵a≠c，
∴Δ＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个交点，所以①正确；
∵a﹣b+c＝0，
∴抛物线经过点（﹣1，0），
若抛物线的对称轴在点（﹣1，0）的右侧，当x＞﹣1时，y随x的增大先减小后增大，所以②错误；
∵a+b＝0，
∴b＝﹣a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），
∵a＞0．抛物线开口向上，
∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，
即不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜2，所以③正确；
方程a（x﹣2）2+bx＝2x﹣c整理为方程a（x﹣2）2+（b﹣2）x+c＝0，
∵ax2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣1，
∴x﹣2＝﹣1，
解得x＝1，
即一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2x﹣c有一个根x＝1，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．也考查了一元二次方程的解的定义．
25．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax2+bx﹣3相交于点A，B．结合图象，判断下列结论：①当﹣2＜x＜3时，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是抛物线上的两点，则t1＜t2；④对于抛物线y2＝ax2+bx﹣3，当﹣2＜x＜3时，y2的取值范围是0＜y2＜5．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①根据函数的图象特征即可得出结论．
②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论．
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出结论．
④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出y得取值范围．
【解答】解：①∵直线y1＝mx+n与抛物线y2＝ax+bx﹣3相交于点A，B，
∴由图象可知：当﹣2＜x＜3时，直线y1＝mx+n在抛物线y2＝ax+bx﹣3的上方，
∴y1＞y2，
∴①正确．
②由图象可知：抛物线y2＝ax+bx﹣3有两个交点，
∴方程ax2+bx﹣3＝0有两个不相等的实数根．
∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一个解，
∴②正确．
③将点（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝，
当x＝﹣1时，t1＝﹣，
当x＝4时，t2＝5，
∴t1＜t2，
∴③正确．
④由③可知（﹣2，5）与点（4，5）关于对称轴x对称，
∴对称轴x＝＝1．
将x＝1代入抛物线解析式得y＝﹣，
∴当﹣2＜x＜1时，﹣＜y＜5．
当1＜x＜3时，﹣＜y＜0．
∴④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，利用数形结合的思想是解决此类问题的关键．
26．（2023•官渡区二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）和直线y＝kx（k＞0）交于点O和点A，则不等式ax2+bx＜kx的解集为 0＜x＜3 ．
【分析】通过抛物线与直线的交点即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx（a＞0）和直线y＝kx（k＞0）交于点O和点A，
∴0＜x＜3时，直线在抛物线的上方，
∴不等式ax2+bx＜kx的解集为：0＜x＜3．
故答案为：0＜x＜3．
【点评】本题考查二次函数和不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解．
27．（2023•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，其中a＞0）经过（﹣1，0），（t，0）两点（1＜t＜3）．下列结论：
①2a+b＜0；
②b＜0；
③3a+c＞0；
④不等ax2+bx＞cx的解集是x＜﹣1或x＞0；
其中正确的结论是 ②③④ （填写序号）．
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c易得方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝t，则可知其对称轴x为，根据1＜t＜3，a＞0，可得①错误，②正确．
由x1x2＝＝﹣t且1＜t＜3可得出③正确，
由ax2+bx＞cx，可得ax2+bx+c＞cx+c，确定直线y＝cx+c＝c（x+1）与x轴、y轴得交点，再确定抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点，画出图象即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，其中a＞0）经过（﹣1，0），（t，0）两点．
∴方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝﹣1，x2＝t．
∴对称轴x＝＝，
∵1＜t＜3，a＞0，
∴＞0，
即b＜0，2a+b＞0；
∴①错误，②正确．
∵x1x2＝＝﹣t，
又∵1＜t＜3，
∴1＜﹣＜3，
∵a＞0，．
∴3a+c＞0
∴③正确．
∵ax2+bx＞cx，
∴ax2+bx+c＞cx+c，
直线y＝cx+c＝c（x+1），
当x＝﹣1是，直线y＝0；当x＝0时，直线y＝c．
∴结合图象可知不等ax2+bx＞cx的解集是x＜﹣1或x＞0，
∴④正确．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
28．（2023•张家港市校级二模）如图，抛物线与直线y2＝mx+n相交于点A（3，0）和B（0，3），抛物线还经过C（1，0）．
（1）求：抛物线和直线的解析式；
（2）若y1＞y2，则x的取值范围是 x＞3或x＜0 ．
【分析】（1）先设抛物线的交点式，再列方程求解；
（2）先求出D的坐标，再根据图象求解．
【解答】解：（1）由题意设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝ax2﹣4ax+3a，
∵抛物线的图象过B（0，3），
∴3＝3a，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
∵y2＝mx+n过点A（3，0）和B（0，3），
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3；
（2）由图象得：当x＞3或x＜0时，y1＞y2，
故答案为：x＞3或x＜0．
【点评】本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
29．（2023•宁波模拟）已知：一次函数y1＝x的图象与抛物线 为常数）的一个交点为（3，p）．
（1）求p，b的值．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
（3）若将抛物线 为常数）的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位，且平移后的抛物线的顶点落在直线y1＝x上，求m关于n的函数表达式．
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）先求交点坐标，再根据图象求解；
（3）根据平移的规律求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
所以：p＝3，b＝﹣2；
（2）一次函数y1＝x的图象与抛物线y2＝x2﹣2x的图象在同一坐标系中，如图所示：
解得：或，
∴A（3，3），
由图象得；当y1＞y2时，x＜0或x＞3；
（3）∵y2＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴y2＝x2﹣2x的顶点为（1，﹣1），
由题意得：1+m＝﹣1+n，
∴m﹣n＝﹣2．
【点评】本题考查了函数与不等式的关系，数形结合思想是解题的关键．
30．（2023•余姚市一模）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标．
（2）若一次函数y2＝kx+3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
【分析】（1）设函数的交点式为y1＝a（x+1）（x+3），化为一般式，比较系数求解；
（2）根据数形结合思想求解．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），
∴函数表达式可设为y1＝a（x+1）（x+3），
即．
又∵，
∴a＝1，b＝4，
∴所求二次函数表达式为．
∵，
∴其图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
（2）直线y2与抛物线y1相交于（﹣2．﹣1）和（0，3），
根据图象可知：x的取值范围为x＜﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，理解数形结合思想是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2020秋·广东广州·九年级执信中学校考期中）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的图象与x轴的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围．
【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，
函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：在与之间，
∴对应的x的值在3.23与3.24之间，
即．
故选：B．
【点睛】此题主要考查方程的近似解，解题的关键是熟知方程近似解的判定方法．
2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）关于抛物线下列说法中错误的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线C．顶点坐标D．与y轴交点坐标
【答案】D
【分析】根据的图象与性质解答．
【详解】中，
抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
所以选项A、B、C均正确．
令，得
抛物线与y轴的交点坐标为．
因此选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（2023·江苏淮安·校考三模）关于的方程的两根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】将，代入方程，求得，的值，得到二次函数解析式，进而求得点和点的坐标，即可求得答案．
【详解】解：将，代入方程，得
解得
二次函数解析式为．
点坐标为．
将代入二次函数，得
，
解得，．
点坐标为．
的长为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，以及二次函数的图象和性质，牢记一元二次方程及二次函数的有关知识是解题的关键．
4．（2023·浙江·一模）已知二次函数的图象与轴相交于两点，将函数图像向上平移后与轴交于另外两点、，那么下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图像对称轴为直线，平移后对称轴不变，算出和的值，与分别是两函数图像与轴交点之间的距离，由图像可容易判断．
【详解】解：如图，

∵的对称轴是直线，平移后的抛物线对称轴不变，
，，
，，
，
∵与分别是两函数图像与轴交点之间的距离，
由图像可知，
故选： A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是灵活运用二次函数图像对称轴及与x轴交点相关的性质，注意数形结合．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与轴的交点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解．
【详解】解：根据函数图象，可得当时，，故①正确；
∵在上，
∴是方程的一个解；故②正确；
∵，在抛物线上，
∴
解得：
∴
当时，
解得：
∴当时，，
当时，，
∴若，是抛物线上的两点，则；故③正确；
∵，顶点坐标为，
∴对于抛物线，，当时，的取值范围是，故④错误．
故正确的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·广东深圳·校考二模）二次函数的图象如图所示，其与x轴交于点A（）、点B，下列4个结论：
①；②；③有两个不相等的实数根：④．其中正确的是（ ）

A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口向下、对称轴、时，，结合二次函数图象性质确定待定参数取值范围．
【详解】由图知抛物线开口向下，故，对称轴
∴
∴，故①正确；
点A，B关于对称，故点B的横坐标
∴
∴，故②错误；
由得
由图知，抛物线与直线恒有两个交点，所以有两个不相等实数根，故③正确；
时，
∴
∴
∴，
故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线图象性质，对称轴，方程组解与图象的关系；观察图形，灵活运用关键点及数形结合的思想是解题的关键．
8．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确．
∵当时，，
∴，故②错误．
∵抛物线与x轴交于两点，其中，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴，
∴，故③正确；
设，，如图：

由图得，时，，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．
9．（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴，
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴解得；
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，有最小值，
∴当时，，
∴解得，
∴，
∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
10．（2023·四川·统考中考真题）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线过和两点得到对称轴为直线，且，所以得到，进而判断的符号，得到，；抛物线过点和，代入可得和，解得，又由，得；对称轴为直线，，开口向下，所以有最大值为，且，无法判断关于x的方程是否有实数根．
【详解】解：已知抛物线过和两点，则对称轴为直线，
∵，所以，即，，则，
当时，，则，所以，故结论①错误；
因为，所以，，即，故结论②正确；
抛物线过和两点，代入可得和，两式相减解得，由可得，解得，故结论③正确；
对称轴为直线，，开口向下，
∵，
∴所以有最大值为，
∵不一定成立，
∴关于x的方程有实数根无法确定，故结论④错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据题意判断a，b，c与0的关系，再借助点的坐标得出结论．
二、填空题
11．（2020秋·广东中山·九年级中山市华侨中学校考期中）如下图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若的面积为5，则点的坐标为______．

【答案】或
【分析】求出点C坐标，得到的长，设，再根据三角形面积公式列出方程，求出a值，即可得到结果．
【详解】解：在中，
令，则，
∴，
∴，
设，
则，
∴，解得：或，
当时，，即；
当时，，即；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标表示出三角形的面积．
12．（2023春·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，若，则b的取值范围是 ____________________．
【答案】＜
【分析】设的两个根为、，则，再结合根的判别式列出不等式即可得解．
【详解】解：根据题意设的两个根为、，
则，．
，
．
①当时，，
．
又的判别式，
．
．
②当时，，
．
．
综上，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及根的判别式、不等关系间的推导，需要熟练掌握知识间的联系．
13．（2020秋·广东广州·九年级执信中学校考期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是___________．

【答案】或
【分析】由图象判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解．
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线，
与x轴一个交点坐标，
由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是，
∴的解集为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键．
14．（2023·四川绵阳·统考二模）二次函数的部分对应值如列表所示：则一元二次方程的解为______ ．
【答案】，
【分析】利用抛物线与轴的交点问题得到一元二次方程的解为，，再把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：由表值值数据得或时，，
一元二次方程的解为，，
把方程看作关于的一元二次方程，
或，
解得，，
即一元二次方程的解为，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数的性质．
15．（2023春·福建泉州·九年级校联考期中）已知抛物线与直线分别交于A，C两点，直线与直线关于抛物线的对称轴对称，且直线与抛物线分别交于B，D两点，其中A，D两点在x轴上方，B，C两点在x轴下方．若，则m的值为______．
【答案】
【分析】由题意可得：，即可得出，设，，则，，得出，由解析式联立可得：，整理可得，由根与系数的关系可得，，由勾股定理得到，即，即可求解．
【详解】解：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为：，
∵直线与直线关于抛物线的对称轴对称，
∴两点关于直线对称，两点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，
由解析式联立可得：，
∴，
由根与系数的关系可得，，
∴，即
∴
解得：
故答案为：
【点睛】此题考查了抛物线的性质，一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，根与系数的关系，函数与方程的关系，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活利用相关性质得到关于的方程．
16．（2023·四川南充·统考二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则__________．
【答案】
【分析】根据梯形面积求出，结合一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式之间关系化简即可得到答案；
【详解】四边形是梯形，下底，高为3，
由，得，设，，
则，，
∵，
∴．
∴．∴①，
又顶点纵坐标②，
①÷②，得，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查二次函数性质与几何图形应用，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数的性质．
17．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________．

【答案】或
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
18．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）抛物线（为常数，其中）经过，两点，下列结论：
①；
②；
③；
④不等式的解集是或．
其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】
【分析】易得方程的根为，，即对称轴为：，结合，，可得①②正确；根据，，，可得，，即可判断③正确；由，可得，确定直线与x轴交于点，与y轴交于点，再确定抛物线与y轴交于点，画出图形，即可判断④正确．
【详解】∵抛物线（为常数，其中）经过，，
∴方程的根为，，
∴对称轴为：，
∵，，
∴，
∴，
即：，，故①错误，②正确；
∵，，，
∴，，
∴，故③正确；
∵，
∴，
直线，
当时，，
当时，，
即直线与x轴交于点，与y轴交于点，
抛物线，当时，，
即抛物线与y轴交于点，
画出图形，如下：

由图可知：不等式的解集为：或，
即不等式的解集是或，故④正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，利用图解法解关于x的不等式的解集等知识，注重数形结合，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
三、解答题
19．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数与的图象关于轴对称，求的值．
【答案】20
【分析】先求出二次函数与x轴交于点，，得到关于对称后的二次函数解析式为，可得到，代入即可得到答案．
【详解】解；当时，，解得，
∴二次函数与x轴交于点，，
∵点，关于y轴对称点分别为，，
∴关于对称后的二次函数解析式为，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，求出二次函数关于对称后的二次函数解析式是解题的关键．
20．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点，）、（，）、（，），且与轴交于、两点．
(1)试确定该二次函数的解析式；
(2)判定点，是否在这个图象上，并说明理由；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)在，理由见解析
(3)6
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）将代入解析式，得，即可得出结论；
（3）令，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）设二次函数为，把，、，、，代入二次函数解析式，
得：，
解得．
∴二次函数的解析式为：；
（2）把代入解析式，可得：，所以点，在函数图象上．
（3）当，，
解得：，
∴，
又，，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考三模）如图，抛物线交x轴于A、B两点，点P为x轴下方抛物线上任意一点，点C是抛物线对称轴与x轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点M、N．

(1)求A、B两点坐标．
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)8
【分析】（1）根据A、B是抛物线与x轴的交点，将代入求解即可；
（2）根据抛物线的解析式求得对称轴和点的坐标，设，待定系数法求得直线解析式为，求得，待定系数法求得直线解析式为，求得，即可求得．
【详解】（1）解：抛物线交x轴于A、B两点，
令，即，
解得：，，
∴，．
（2）解：抛物线的解析式为，，，
∴对称轴为直线，，
设，
∵点P为x轴下方抛物线上任意一点，
∴，
设直线解析式为，将，代入得，
，
解得：，
∴直线解析式为；
∴当时，，
∴；
同理可得：直线的解析式为：，
∴当时，，
∴；
∴
∴．
故的值为8．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，二次函数的性质，求一次函数的解析式等，根据一次函数的解析式求出M，N的坐标是解题的关键．
22．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，，二次函数的图象过A，两点．

(1)求点A，的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点且以为一边的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）在中，令得，令得，即可求得A、的坐标；
（2）由可求出，，代入二次函数即得二次函数解析式为；
（3）由二次函数可得其对称轴为直线，设，，而与关于直线对称，可得，分情况：当、为对角线时，同理可得；当以、为对角线，同理可得．
【详解】（1）在中，
令得，
令得，解得，
，；
（2）二次函数图象过A、两点，
，
解得，
二次函数解析式为；
（3）存在，理由如下：
由二次函数可得其对称轴为直线，
设，，而，
与关于直线对称，
，
、为对角线时，如图：

同理、中点重合，可得，
解得，
当，时，四边形是平行四边形，
由，，可得，
四边形是菱形，
此时；
以、为对角线，如图：

、中点重合，可得，
解得，
，时，四边形是平行四边形，
由，，可得，
四边形是菱形，
此时；
综上所述，的坐标为：或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，掌握待定系数法、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定及中点坐标、两点间距离公式等知识，分类画出图形，利用对角线互相平分列方程是解题的关键．
23．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线经过点，、，、，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当为何值时，？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解．
（2）当时，当抛物线与直线交于点，根据抛物线的开口向下，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）把，、，、，代入二次函数解析式，可得：
，解得．
所以抛物线的解析式为：；
（2）解：由，当时，
解得：
∴当抛物线与直线交于点，
根据二次函数的图象可得，时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
24．（2023·广东广州·广州市第八十九中学校考三模）已知抛物线：经过点．
(1)用含的代数式表示；
(2)若抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，求点的坐标；
(3)当时，自变量x的取值范围是：或，若点在抛物线上，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据题意，将点代入解析式即可求解；
（2）根据（1）的结论得出，令，即，根据一元二次方程根与系数的关键，结合题意，得出关于的一元二次方程，解方程得出或，然后分类讨论，即可求解；
（3）根据已知条件得出对称轴为直线，则，得出抛物线解析式为，得出抛物线与轴交点坐标为，；根据与有2个不等实数根求得，进而令求得当在抛物线上时的的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线：经过点．
∴
∴；
（2）解：∵
∴，
令，即
∴
∵抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，即①
∴
解得：或
当，即②
由①②得，
∴
当，即③
由①③得
∴
综上所述，或
（3）解：∵当时，自变量x的取值范围是：或
∴当时，的两个根为或，且，
对称轴为直线
∴
即
∴抛物线解析式为
令，即
解得：，则抛物线与轴交点坐标为，；
∵时，，
∴，又，
解得：；
当时，解析式为
∵在抛物线上，
∴
解得：或
∵，抛物线开口随着的绝对值的增大开口越小，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（2023·山西大同·校联考三模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．

(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)3
(3)存在，或或或
【分析】（1）令和求解即可；
（2）过点C作交的延长线于F，首先求出，求出直线BC的函数表达式为：，得到，，然后根据列方程求解即可；
（3）首先得到，然后设，，然后根据题意分3种情况讨论：是平行四边形的边，是平行四边形的边，是平行四边形的对角线，分别根据平行四边形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）由，得．
解，得，．
∴点A，B的坐标分别为，，
由，得．
∴点C的坐标为．
（2）如图，过点D作轴于E，交BC于G，

过点C作交的延长线于F．
∵点A的坐标为，点C的坐标为．
∴，．
∴．
∴．
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线BC的函数表达式为．则．解得
∴直线BC的函数表达式为：．
∵点D的横坐标为，
∴点D的坐标为，点G的坐标为：．
∴，，．
∴
∴．
解得：（不合题意舍去），，
∴m的值为3．
（3）将代入
∴，
设，，
∵，
∴如图所示，当是平行四边形的边时，


∴由平行四边形的性质可得，
，解得或
∴点M的坐标为或；
当是平行四边形的边时，

∴由平行四边形的性质可得，
，解得或（不合题意，应舍去）
∴点M的坐标为；
如图所示，当是平行四边形的对角线时，

∴由平行四边形的性质可得，
，解得或（不合题意，应舍去）
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
3
2
？
…
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m﹣4.5
m﹣2
m﹣0.5
m
m﹣0.5
m﹣2
m﹣4.5
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
…
y＝ax2+bx+2
…
﹣10
﹣3
2
5
5
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
4
m
0
﹣5
…
3.23
3.24
3.25
3.26
0.02
0.03
0.09