【暑假复习】人教版初中七年级（七升八）数学第01讲 相交线（原卷版+解析版）

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邻补角的性质：邻补角 互补 ；
对顶角的性质：对顶角 相等 ；
垂直：
定义：与垂直表示为 ；把叫做的 垂线 或叫做的 垂线 。
垂线的性质：在同一平面内，过一点作已知直线的垂线， 有且只有1 条直线与已知直线垂直。
垂线段：
垂线段的定义：过直线外一点作已知直线的 垂线 ，点到 垂足 之间的部分叫做垂线段。
垂线段的性质：直线外一点连接直线上所有点的连线中， 垂线段 最短。
点到直线的距离：垂线段的 长度 是直线外一点到该直线的距离。
三线八角：
同位角：用大写字母 F 进行判断。
内错角：用大写字母 N 进行判断。
同旁内角：用大写字母 U 进行判断。
1．如图，两条直线交于点O，若∠1＝40°，则∠2的度数为​（ ）
A．40°B．80°C．100°D．140°
【分析】根据对顶角的定义解决此题．
【解答】解：由图可得，∠2＝∠1＝40°．
故选：A．
2．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1：∠2＝2：7，则∠1的度数是（ ）
A．20°B．40°C．60°D．70°
【分析】根据邻补角的和等于180°即可求解．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1：∠2＝2：7，
∴∠1＝180°×＝40°．
故选：B．
3．如图，AO⊥CO，且∠BOC＝30°，则∠AOB的度数是（ ）
A．45°B．60°C．55°D．50°
【分析】根据垂直的定义，由AO⊥CO，得∠AOC＝90°．由∠BOC＝30°，根据角的和差关系得到∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°．
【解答】解：∵AO⊥CO，
∴∠AOC＝90°．
∵∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°．
故选：B．
4．如图，要将水渠l中的水引到P点，在什么地方开挖，才能使沟最短，理由是（ ）
A．A点，两点间线段最短B．B点，垂线段最短
C．D点，垂线段最短D．C点，两点确定一条直线
【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：要将水渠l中的水引到P点，在D点开挖，才能使沟最短，理由是垂线段最短．
故选：C．
5．如图，AC⊥BC，且BC＝5，AC＝12，AB＝13，则点A到BC的距离是（ ）
A．5B．12C．13D．17
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度．
【解答】解：∵AC⊥BC，AC＝12，
∴点A到BC的距离即为线段AC的长度，即为12．
故选：B．
6．如图，关于图中角与角的位置关系，描述有误的是（ ）
A．∠1与∠3是对顶角B．∠3与∠4是内错角
C．∠1与∠5是同旁内角D．∠2与∠5是同位角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义进行判断即可．
【解答】解：A．∠1和∠3是对顶角，原说法正确，
故此选项不符合题意；
B．∠3与∠4内错角，原说法正确，
故此选项不符合题意；
C．∠1与∠5不是同旁内角，原说法错误，
故此选项符合题意；
D．∠2和∠5是同位角，原说法正确，
故此选项不符合题意；
故选：C．
7．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE，若∠DOE＝50°，则∠BOF的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】根据邻补角的定义，由∠DOE＝50°，得∠COE＝180°﹣∠DOE＝130°．根据角平分线的定义，由OA平分∠COE，得∠AOC＝∠COE＝65°．再根据对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝65°．根据垂直的定义，由OE⊥OF，得∠EOF＝90°，那么∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣50°＝40°，进而推断出∠BOF＝∠BOD﹣∠DOF＝65°﹣40°＝25°．
【解答】解：∵∠DOE＝50°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝130°．
∵OA平分∠COE，
∴∠AOC＝∠COE＝65°．
∴∠BOD＝∠AOC＝65°．
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°．
∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣50°＝40°．
∴∠BOF＝∠BOD﹣∠DOF＝65°﹣40°＝25°．
故选：B．
8．如图，直线AB，CD交于点O，∠AOC＝80°，OE把∠BOD分为两部分，且∠BOE：∠DOE＝1：3，则∠COE的度数为（ ）
A．120°B．140°C．108°D．126°
【分析】根据对顶角相等得出∠BOD＝80°，再根据∠BOE：∠DOE＝1：3，求出∠DOE＝60°，再利用邻补角求出∠COE的度数即可．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝80°，∠BOE：∠DOE＝1：3，
∴，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝120°．
故选：A．
9．如图，直线AB与直线CD相交于点O，若OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∠BOF＝40°，则∠COE＝（ ）
A．40°B．50°C．30°D．60°
【分析】B根据角平分线的定义表示出∠COE和∠COF，然后根据∠EOF＝∠COE+∠COF计算，再根据∠COE＝90°﹣∠COF即可求解．
【解答】解：∵OE平分∠AOC，
∴，
∵OF平分∠BOC，
∴，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝90°，
∵∠BOF＝40°，
∴∠BOF＝∠COF＝40°，
∴∠COE＝90°﹣∠COF＝50°．
故选：B．
10．如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．∠BOC＝48°，则∠EOF的度数是（ ）
​
A．56°B．66°C．72°D．90°
【分析】由角平分线定义推出∠EOF＝∠AOB，即可求出∠EOF的度数．
【解答】解：∵∠AOD，∠BOD的平分线分别是OE，OF，
∴∠EOD＝∠AOD，∠FOD＝∠BOD，
∴∠EOD+∠FOD＝（∠AOD+∠BOD），
∴∠EOF＝∠AOB＝×180°＝90°．
故选：D．
11．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOE＝110°，OF为过点O的一条射线，使得∠BOF＝∠COF，则∠AOF的度数为 ．
【分析】根据垂直的条件和对顶角相等求出∠AOC＝20°，再根据平角的定义得出∠BOC＝160°，然后根据题意画出图形，分两种情况讨论即可．
【解答】解：∵OE⊥OC，
∴∠EOC＝90°，
∵∠AOE＝110°，
∴∠AOC＝110°﹣90°＝20°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣20°＝160°，
①当OF与OE在CD的同侧时，如图，
∵∠BOF＝∠COF，
∴，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝20°+80°＝100°，
②当OF与OE在CD的异侧时，如图，
∵∠BOF＝∠COF，
∴，
∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝100°﹣20°＝80°，
综上所述，∠AOF的度数为100°或80°，
故答案为：100°或80°．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，∠AOE＝24°，则∠DOF的度数是（ ）
A．24°B．33°C．54°D．66°
【分析】根据OE⊥CD，可得∠EOD＝90°，从而得到∠BOD的度数，再由OF平分∠BOD，即可求解．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠AOE＝24°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOE﹣∠DOE＝66°．
又∵OF平分∠BOD，
∴．
故选：B．
13．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：
①当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；
②OD为∠EOG的平分线；
③与∠BOD相等的角有三个；
④∠COG＝∠AOB﹣2∠EOF．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3D．4个
【分析】由余角的性质得到∠AOF＝∠DOE，由角平分线定义，对顶角的性质，余角的性质即可得到与∠BOD相等的角有三个，由平角定义推出∠COG＝∠AOB﹣2∠EOF．
【解答】解：①∠AOF+∠EOF＝∠DOE+∠EOF＝90°，因此∠AOF＝∠DOE，当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°，正确，故①符合题意；
②OB平分∠GOD，因此∠GOD＝2∠BOD，而∠DOE＝90°﹣∠BOD，所以∠DOE不一定等于∠GOD，因此OD不一定是∠EOG的平分线，故②不符合题意；
③∠EOF+∠EOD＝∠BOD+∠EOD＝90°，因此∠EOF＝∠BOD，由OB平分∠GOD得到∠GOB＝∠BOD，又∠AOC＝∠BOD，因此与∠BOD相等的角有三个，正确，故③符合题意；
④∠COG＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠GOB＝∠AOB﹣2∠EOF，正确，故④符合题意．
其中正确的结论有3个．
故选：C．
14．已知点O在直线AB上，OC⊥OD，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝20°，则∠DOE的度数是 ．
（2）如图2，若∠DOE＝α，则∠AOC的度数是 （用含α的代数式表示）．
【分析】（1）根据补角的性质，可得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC可得∠BOC的度数，由垂线的性质可得∠DOC＝90°，由DOE＝∠DOC﹣∠EOC代入计算即可得出答案；
（2）设∠COE＝x，根据OE平分∠BOC可得∠BOE＝∠COE＝x，根据垂线的性质可得∠DOC＝90°，则x+α＝90°可计算出x的度数，由∠BOC＝2∠COE＝2x＝180°﹣2α进行解答即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣∠AOC＝160°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝80°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝10°；
故答案为：10°；
（2）设∠COE＝x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE＝x，
又∵CO⊥DO，
∴∠DOC＝90°，
∴x+α＝90°，
∴x＝90°﹣α，
∴∠BOC＝2∠COE＝2x＝180°﹣2α，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣180°+2α＝2α．
故答案为：2α．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；
（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠AOF＝∠DOF，利用∠COF＝∠COA+∠AOF计算即可得解；
（2）根据∠AOC：∠COE＝2：3与∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，求出∠AOC，再利用∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°解答即可．
【解答】解：（1）∵OF平分∠AOD，∠BOD＝40°，
∴∠AOF＝∠DOF＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵∠COA＝40°，
∴∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°；
（2）∵∠AOC：∠COE＝2：3，
设∠AOC＝x，则∠COE＝x，
∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，
∴x+x+90°＝180°，
解得：x＝36°，
∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF，
∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°，
∴2∠DOF+36°＝180°，
解得：∠DOF＝72°．
16．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；n条直线两两相交，最多有 个交点．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有 个交点，代入即可求解．
【解答】解：∵三条直线两两相交，最多有3个交点，即＝3；
4条直线两两相交，最多有6个交点，即＝6；
5条直线两两相交，最多有10个交点，即＝10，
∴n条直线两两相交，则最多有 个交点，
故答案为：．
17．已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ ．
【分析】分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已知条件求得∠BOE的度数，再根据∠MOB＝90°，即可得到∠MOE的度数．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+70°+70°﹣α＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；
综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．
故答案为：110°或70°．