【暑假复习】人教版初中七年级（七升八）数学第08讲 二元一次方程（组）（原卷版+解析版）

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二元一次方程的概念：
方程中含有 2 个未知数，且含有未知数的项次数为 1 的 整式方程 是二元一次方程。
二元一次方程的解：
使二元一次方程左右两边成立的 未知数 的两个值是二元一次方程的一组解。二元一次方程有 无数 组解。
二元一次方程组的概念：
方程组中只含有 2 个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程组。
二元一次方程组的解：
一般地，二元一次方程组的两个方程的 公共解 ，叫做二元一次方程组的解。
1．下列各方程中是二元一次方程的是（ ）
A．x+5y＝2B．3xy+xz＝4C．2x2+xy＝3D．x+5＝3
【分析】根据二元一次方程的定义，从未知数的个数、次数、整式方程等方面进行辨别即可．整式方程是指等号两边都是整式的方程．
【解答】解：A、方程x+5y＝2中，符合二元一次方程的定义，该方程是二元一次方程，符合题意；
B、方程3xy+xz＝4中，含有未知数的项的最高次数是2，且含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x2+xy＝3中，含有未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意；
D、方程x+5＝3中，只含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意．
故选：A．
2．如果3x3m﹣2n﹣4yn﹣m+12＝0 是二元一次方程，那么m、n的值分别为（ ）
A．2、3B．2、1C．﹣1、2D．3、4
【分析】根据二元一次方程组的定义得出方程组，再求出方程组的解即可．
【解答】解：∵3x3m﹣2n﹣4yn﹣m+12＝0 是二元一次方程，
∴，
解得：，
故选：D．
3．已知3x|m|+（m+1）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的值为（ ）
A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m＝2
【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得|m|＝1且m+1≠0，
所以m＝1或m＝﹣1且m≠﹣1，
所以m＝1．
故选：A．
4．下面4组数值中，哪组是二元一次方程x+2y＝5的解（ ）
A．B．C．D．
【分析】二元一次方程x+2y＝5的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【解答】解：A．把代入方程，左边＝1+2≠右边，所以不是方程的解；
B．把代入方程，左边＝右边＝5，所以是方程的解；
C．把代入方程，左边＝6≠右边，所以不是方程的解；
D．把代入方程，左边＝﹣5≠右边，所以不是方程的解．
故选：B．
5．若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a的值等于（ ）
A．0B．1C．3D．5
【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【解答】解：将代入方程ax+y＝3得：
a﹣2＝3，
解得：a＝5，故D正确．
故选：D．
6．对于方程x﹣2y＝5，用含x的代数式表示y是（ ）
A．y＝B．x＝5﹣2yC．x＝5+2yD．y＝
【分析】先移项，再根据等式的性质求出y即可．
【解答】解：x﹣2y＝5，
x﹣5＝2y，
即2y＝x﹣5，
y＝，
故选：D．
7．下列等式的变形正确的是（ ）
A．如果s＝ab，那么a＝B．如果x＝8，那么x＝4
C．如果﹣x﹣1＝y﹣1，那么x＝yD．如果a＝b，那么a+3＝3+b
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．当b＝0时，不能从s＝ab得出a＝，故本选项不符合题意；
B．∵x＝8，
∴两边都乘以2得：x＝16，故本选项不符合题意；
C．∵﹣x﹣1＝y﹣1，
∴方程两边都加1得：﹣x＝y，故本选项不符合题意；
D．∵a＝b，
∴a+3＝b+3，故本选项符合题意；
故选：D．
8．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程组是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．方程组是二元一次方程组，故本选项符合题意；
故选：D．
9．下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
①②③④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【解答】解：①④是二元一次方程组，②是二元二次方程组，③是三元一次方程组，
所以方程组是二元一次方程组的有2个．
故选：C．
10．已知是方程组的解，则（m+n）2023的值为（ ）
A．22023B．﹣1C．1D．0
【分析】根据题意把代入，可解得m、n的值，然后把m、n的值代入要求值的代数式，计算即可．
【解答】解：∵是方程组的解，
∴把代入，
得，
∴把代入（m+n）2023，
得（m+n）2023＝（1+0）2023＝1，故C正确．
故选：C．
11．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，则k的值为 ．
【分析】先把两方程相加，再利用整体代入法得到方程，然后解关于k的一元一次方程即可．
【解答】解：
①+②得：5x+5y＝2k+1，
即，
解得：．
故答案为：．
12．若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式3a+2b的值是 ．
【分析】将x＝1，y＝﹣1代入方程组，整体相加可得答案．
【解答】解：将代入方程组得：，
①+②得：3a+2b＝1．
故答案为：1．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则a＝ ．
【分析】根据相反数的定义，得x+y＝0，从而求得x与y，进而求得a．
【解答】解：由题意得，x+y＝0．
∵2x﹣y＝1，
∴3x＝1．
∴x＝．
∴y＝﹣．
∴．
∴a＝6．
故答案为：6．
14．已知方程组和有相同的解．则的值是 ．
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求．
【解答】解：联立得：，
①+②得：6x＝6，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得1﹣2y＝3，
解得：y＝﹣1，
把代入原方程组得：，
解得：，
∴＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．辨析探究题已知方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能求出a，b的值吗？
【分析】根据题意，将代入②即可求得b＝10，将代入①即可求得a＝﹣1．
【解答】解：将代入②，
得4×（﹣3）﹣（﹣1）b＝﹣2，
解得b＝10，
将代入①，
得5a+5×4＝15，
解得a＝﹣1．
即a，b的值分别为﹣1，10．

16．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
【分析】（1）将方程x+2y﹣6＝0化为y＝3﹣二分之一x，再由x，y为正整数，即可得出结论；
（2）将x+y＝0与x+2y﹣6＝0组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：x﹣2y+mx+5＝0中，可得m的值；
（3）根据方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解．
【解答】解：（1）∵x+2y﹣6＝0，
∴y＝3﹣x，
又因为x，y为正整数，
∴3﹣x＞0，
即：x只能取2或4；
∴方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解：，；
（2）由题意得：，解得
把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m＝﹣；
（3）∵方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，
∴x＝0，
把x＝0代入x﹣2y+mx+5＝0中得：y＝2.5，
∴x＝0，y＝2.5．
17．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y＝＝4﹣x（x、y为正整数）．要使y＝4﹣x为正整数，则x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4﹣x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 ．
（2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有 ．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
【分析】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可；
（2）根据题意得出x﹣3＝6或3或2或1，求出即可；
（3）先求出y的值，即可求出k的值．
【解答】解：（1）方程3x+2y＝8的正整数解为，
故答案为；
（2）正整数有9，6，5，4，共4个，
故选B；
（3）
①×2﹣②得：（4﹣k）y＝8，
解得：y＝，
∵x，y是正整数，k是整数，
4﹣k＝1，2，4，8，
∴k＝3，2，0，﹣4，
但k＝3时，x不是正整数，故k＝2，0，﹣4．