第03讲 三角形的内角-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
【考点剖析】
题型一、三角形的内角和定理证明
例1．证明：三角形的内角和为180°.
题型二：利用三角形内角和定理求角的度数
例2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
【变式1】已知，如图 ，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
例3.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?
【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．
题型三：直角三角形两个锐角互余
例3．（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）在中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023春·湖南怀化·八年级统考期中）直角三角形的一锐角是，那么另一锐角是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？
题型四、利用三角形内角和判定三角形的形状
例4．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，试判断该三角形的形状．
题型五：与平行线有关的三角形内角和问题
例5．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）已知直线，一个含角的直角三角尺如图叠放在直线上，斜边交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式】．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，平分交于点，过点作交于点．若，，则______．
题型六：三角形折叠中的角度问题
例6．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，将沿着平行于的直线折叠，得到，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式】．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A．B．
C．D．
题型七：与角平分线有关的三角形内角和问题
例7．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是高，已知，，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式】．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，平分，若，，则的度数为_____________．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）在中，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·重庆渝北·八年级统考期末）如图，在中，于点，．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）在中，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·广西贵港·八年级统考期中）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ）度．
A．60B．75C．45D．30
7．（2023秋·重庆忠县·八年级统考期末）如图所示，将沿着折叠到所在平面内，点A的对应点是，若，则 （ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．
10．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为___________．
11．（2023秋·甘肃定西·八年级校考期末）如图，中，，点、在、上，沿向内折叠，得，则图中等于 _____．
12．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，在中，沿折叠，点落在三角形所在的平面内的处， 若，，则_________．
13．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图所示，将三角形纸片沿折叠，点A落在点P处，已知，则是_________度．
14．（2023秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）如图，D，E分别为的边，上的点，，将沿折叠，使点A落在边上的点F处．若，则的度数为________°．
三、解答题
15．（2023秋·八年级课时练习）如图，点为的内角平分线与的交点，求证：．
16．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期中）为的高，相交于H点，，求．
17．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在中，是的平分线，高与相交于点．若，．求：
(1)的度数；
(2)的度数．
18．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”
已知：，，是的内角．
求证：，，中至少有一个内角小于或等于．
19．（2023秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，在中，平分，平分，，求的度数．
20．（2023春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程．
已知：如图，，求证：．
证明：过点A作直线…
21．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B=34°，且∠ACD=47°，求∠3的度数．
22．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，于点D，于点G，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．（2023秋·八年级单元测试）如图，是的高，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．