第16讲 重难点04（双）角平分线模型-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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（双）角平分线模型
1.双内角平分线
2.双外角平分线
3.内角平分线+外角平分线
三角形三个内角的和等于180°
三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.
【考点剖析】
题型1.双内角平分线
例1.如图，△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝70°，则∠BOC＝ 度．
【解答】解：如图，延长AO交于BC于点D，
∵∠B和∠C的平分线交于点O
∴∠ACB＝2∠2，∠ABC＝2∠1，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴2∠1+2∠2+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2＝（180°﹣∠BAC）÷2＝（180°﹣70°）÷2＝55°．
∵∠BOD＝∠1+∠BAO，∠DOC＝∠2+∠OAC，
又∵∠BAO+∠CAO＝∠BAC，∠BOD+∠COD＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠1+∠2+∠BAC＝55°+70°＝125°．
故答案为：125．
例2．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．
（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝ °；
（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝ （用含∠A的式子表示），并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠A＝68°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，
∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，
故答案为：124°；
（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A
故答案为：90°+∠A．
例3.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件求∠BIC的度数，
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BIC＝ ；
（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BIC＝ ；
（3）若∠A＝56°，则∠BIC＝ ；
（4）若∠BIC＝100°，则∠A＝ ；
（5）通过以上计算，探索出您所发现规律：∠A与∠BIC之间的数量关系是 ．
【解答】解：（1）∠ICB＝＝40°＝25°∠CIB＝180°﹣40°﹣25°＝115°；
（2）∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝58°，∠CIB＝180°﹣58°＝122°；
（3）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝112°，∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，∠CIB＝180°﹣56°＝118°；
（4）∠ICB+∠IBC＝180°﹣∠CIB＝80°，∠ABC+∠ACB＝2（∠ICB+∠IBC）＝160°，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；
（5）∠BIC＝180°﹣（∠ICB+∠IBC）而∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）；∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A所以∠BIC＝180°﹣（180﹣∠A）＝90°+∠A．
例4．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．
（1）若∠ABC＝40°、∠ACB＝50°，则∠BOC＝ ；
（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BOC＝ ；
（3）若∠A＝76°，则∠BOC＝ ；
（4）若∠BOC＝120°，则∠A＝ ；
（5）请写出∠A与∠BOC之间的数量关系 （不必写出理由）．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），
（1）当∠ABC＝40°、∠ACB＝50°时，
∠OBC+∠OCB＝×（40°+50°）＝45°，
∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°．
故答案是：135°；
（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠OBC+∠OCB＝×116°＝58°，
∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝122°．
故答案是：122°；
（3）在△ABC中，∠A＝76°，则∠ABC+∠ACB＝180°﹣76°＝104°．
∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝52°，
∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝128°．
故答案是：128°；
（4）若∠BOC＝120°，则∠OBC+∠OCB＝60°，
∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝120°，
∴在△ABC中，∠A＝180°﹣120°＝60°．
故填：60°；
（5）设∠BOC＝α，
∴∠OBC+OCB＝180°﹣α，
∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+OCB）＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，
∴∠A＝180°﹣（ABC+∠ACB）＝180°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣180°，
故∠BOC与∠A之间的数量关系是：∠A＝2∠BOC﹣180°．
故答案是：∠A＝2∠BOC﹣180°．
题型2.双外角平分线
例5.（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC的度数．
（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．
（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则
∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．
故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；
（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，
△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，
根据三角形的外角和等于360°，
所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，
∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；
（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；
证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，
∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，
∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，
∴当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．
例6.（2022秋·八年级课时练习）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．
（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为 ；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【答案】（1）70°（2） （3）①见解析 ②不成立；或
【详解】解：（1）如图1，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，
∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°；
（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A ，
∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A ）＝90°﹣∠A，
又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，
∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，
∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
故答案为：α+β﹣∠A＝90°；
（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：
如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．
分两种情况：
如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，
∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，
即β﹣α﹣∠A＝90°；
如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，
∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，
即α﹣β﹣∠A＝90°；
综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．
题型3.内角平分线+外角平分线
例7．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014＝ ．
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∠A2＝∠A1＝∠A，…，
以此类推可知∠A2014＝∠A＝°．
故答案为：°．
例8.（2021秋•利辛县月考）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）
＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+A；
（2）猜想：
证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∵∠PCE＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，
又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴，
∴∠P＝ACE﹣ABC
＝（∠ACE﹣∠ABC）
＝A．
【过关检测】
一．选择题（共8小题）
1．（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5
【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，利用角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，然后根据三角形面积公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC．
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB•OD）：（OE•BC）：（OF•AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式．
2．（2022秋•黄冈期中）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．110°B．115°C．120°D．130°
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．
3．（2022秋•上杭县校级期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．80°C．70°D．45°
【分析】根据BF平分∠ABC可得，∠FBC＝∠ABC，同理，然后根据∠BFC＝125°，利用三角形内角和可得∠∠FBC+∠FCB＝55°，从而得到∠ABC+∠ACB＝110°，再根据三角形内角和得到∠A＝70°．
【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．
∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．
∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．
∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
4．（2022秋•西陵区校级期中）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1B．1：2：3C．3：4：5D．2：3：4
【分析】过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：OD＝OE＝OF，利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
在△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝15，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB•DO：BC•EO：AC•OF＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得OD＝OE＝OF是解题的关键．
5．（2021秋•冷水滩区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∠A＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．110°B．120°
C．130°D．140°第6题图
【分析】在△ABC中，求得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，根据∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，求得∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝40°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，
在△DBC中，
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练应用三角形内角和定理是解题的关键．
6．（2021秋•新兴县期中）如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．90°C．100°D．140°
【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠BOC＝140°，
∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°＝100°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
7．（2022•峨边县模拟）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+AF+FC
＝AB+AC
＝14，
∴△AEF的周长为：14，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．
8．（2022秋•东光县校级月考）如图，D是△ABC的角平分线BD和CD的交点，过点D作△BCD的高，交BC于点E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，则∠DBE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．20°D．25°
【分析】利用三角形的内角和定理先求出∠BCD，再求出∠ABC，通过角平分线的定义得结论．
【解答】解：∵DE⊥BC
∴∠CED＝90°．
∴∠DCB+∠CDE＝90°．
∵∠CDE＝65°，
∴∠BCD＝25°
∵BD、CD分别是∠CBA、∠BCA的平分线，
∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．
∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，
∴∠CBA+∠BCA＝110°．
∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．
∴∠DBE＝∠DBC＝30°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．（2021秋•岷县期中）如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于点E，F．当EF＝6，CF＝4时，BE的长为 2 ．
【分析】利用平行和角平分线得到BE＝OE，OF＝CF，可得出结论EF＝BE+CF，由此即可求得BE的长．
【解答】解：如图，∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO；
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴BE＝OE；
同理可证CF＝OF，
∴EF＝BE+CF，
∵EF＝6，CF＝4，
∴OE＝EF﹣OF＝EF﹣C＝2，
∴BE＝OE＝2，
故答案为2．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，结合平行得到BE＝EO，CF＝OF是解题的关键．
10．（2022秋•安陆市期中）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 ②③④ ．
【分析】①先根据角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；
②根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H可得出∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH，再由EF∥BC可知∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，故可得出BE＝EH，HF＝CF，由此可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④根据已知条件可以得到△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解，①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，
∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A），
∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，故①错误；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，
∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH．
∵EF∥BC，
∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，
∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF，
∴BE＝EH，HF＝CF，
∴EF＝EH+HF＝BE+CF，
∴EF﹣BE＝CF，故②正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，
∴点H是△ABC的内心，
∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确；
④若B，H，D三点共线时，则BD⊥AC，且BD平分∠ABC，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC一定为等腰三角形，故④正确．
故答案为：②③④；
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．
11．（2022秋•武昌区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，则△CDE的周长为 2 ．
【分析】延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N，根据ASA定理可得△BOE≌△BON，△AOD≌△AOM，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的对应边相等可得出结论．
【解答】解：延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N
∵OB是∠ABC的平分线，
∴∠OBE＝∠OBN．
∵OE⊥OB，
∴∠BOE＝∠BON＝90°．
在△BOE与△BON中，
，
∴△BOE≌△BON（ASA）．
同理可得，△AOD≌△AOM，
∴OE＝ON，OD＝OM，BE＝BN，AD＝AM．
在△EOD与△NOM中，
，
∴△EOD≌△NOM（SAS），
∴DE＝MN．
∴CE+CD+DE
＝BC﹣BE+AC﹣AD+MN
＝BC﹣（BM+MN）+AC﹣（AN+MN）+MN
＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN﹣MN+MN
＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN
＝BC﹣（BM+MN+AN）+AC
＝BC+AC﹣AB
＝4+3﹣5
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
12．（2021秋•道里区期末）如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点D，且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，则EF的长为 7 ．
【分析】根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答．
【解答】解：∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED＝3，FD＝FC＝4，
∴EF＝ED+DF＝3+4＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键．
13．（2022秋•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC＝ 122 °．
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再利用角平分线的定义求出∠OBC与∠OCB的和，最后利用三角形的内角和定理求出∠O．
【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝64°，
∴∠ABC+∠ACB＝116°．
∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB．
∴∠OBC+∠OCB＝ABC+ACB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝58°．
∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠O＝180°﹣58°＝122°．
故答案为：122°．
【点评】本题考查了角平分线的定义及三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．
14．（2021秋•天山区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2008BC的平分线与∠A2008CD的平分线交于点A2009，得∠A2009，则∠A2009＝ ．
【分析】读懂题意，根据角平分线的定义找规律，按规律作答．利用外角的平分线表示∠ACA1，再根据角平分线和三角形内角和定理求出∠A1等于∠A的一半，同理，可以此类推，后一个是前一个的一半，而2的次数与脚码相同．
【解答】解：∵∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD＝（∠A+∠ABC），
又∵∠ABA1＝∠A1BD＝∠ABD，
∠A1CD＝∠A1BD+∠A1，
∴∠A1＝∠A＝α．
同理∠A2＝∠A1，…
即每次作图后，角度变为原来的．
故∠A2009＝．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三．解答题（共8小题）
15．（2021秋•呼和浩特期中）（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF和BE、CF的数量关系 EF＝BE+CF ．
（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由．
【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．
【解答】解：（1）EF＝BE+CF．
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝BE+CF．
（2）EF＝BE﹣CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝BE﹣CF．
【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是推出BE＝OE，CF＝OF．
16．（2022秋•新乡期末）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．
（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝ 8 ；
（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，即可得出答案；
（2）与（1）同理可证．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，
∴EF＝EO+FO＝8，
故答案为：8；
（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EO∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴EB＝EO，
同理可得FO＝FC，
∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．
17．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．
（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝ 124 °；
（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝ 90°+∠A （用含∠A的式子表示），并说明理由．
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB＝112°，再由角平分线定义得：∠PBC+∠PCB＝56°，从而得出∠BPC的度数；
（2）与（1）同理可得：∠BPC＝90°+∠A．
【解答】解：（1）∵∠A＝68°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，
∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，
故答案为：124°；
（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A
故答案为：90°+∠A．
【点评】本题主要考查了内角平分线和外角平分线的定义，与三角形内角和相结合，得出内角平分线的夹角和外角平角线的夹角与第三个角的关系．
18．（2021秋•双台子区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系： EF＝BE+CF ．
（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．
【分析】（1）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；
（2）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．
【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴EB＝EO，FC＝FO，
∵EF＝EO+FO，
∴EF＝EB+FC，
故答案为：EF＝EB+FC；
（2）EF＝BE﹣CF，
理由是：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EB＝EO，
同理可得：FO＝CF，
∵EF＝EO﹣FO，
∴EF＝BE﹣CF．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．
19．（2023春•永春县期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与直线CD交于点G（不与点C重合）．
（1）如图，点E在线段AD上运动，若∠B＝50°，∠ACB＝30°，求∠EGC的度数；
（2）若点E在线段DB的延长线上时，设∠A＝α，求∠EGC的度数（答案可用含α的代数式表示）．
​
【分析】（1）由角平分线的性质及平行线的性质可得：∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，再利用三角形的外角可得结果；
（2）先求得∠EGD＝90°﹣α，再由平角可得∠EGC．
【解答】解：（1）EF∥BC，
∴∠B＝∠FEB＝50°，∠EFD＝∠BCD，
∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线，
∴∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，
∴∠EGC＝∠FEG+∠EFG＝45°，
（2）当点E在射线DB上时，如图，
∵∠EGD＝∠FEG+∠EFG
＝（∠FED+∠ACB）
＝（∠ACB+∠B）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣α，
∴∠EGC＝180°﹣∠EGD
＝180°﹣90°+∠α
＝90°+∠α．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
20．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．
（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；
（2）利用（1）的方法解答即可；
（3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论．
【解答】解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
（2）第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
∴第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在．
（3）图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO，此时EF＝BE﹣CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
∴△BEO是等腰三角形，
同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键．
21．（2022秋•滨海新区期中）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义得出∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，根据三角形内角和定理得出∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC），再求出答案即可；
（2）根据三角形外角性质得出∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P＝∠PCE﹣∠PBC，根据角平分线的定义得出，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）
＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+A；
（2）猜想：
证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∵∠PCE＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，
又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴，
∴∠P＝ACE﹣ABC
＝（∠ACE﹣∠ABC）
＝A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于180°和角平分线的定义是解此题的关键．
22．（2021秋•北流市校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O．
求证：∠BOC＝90°+∠A．
【分析】根据角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．
【解答】证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，
即：∠BOC＝90°+∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键