第20讲 重难点08全等三角形中“截长补短”模型-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：
截长法：
⑴过某一点作长边的垂线；
⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法：
⑴延长短边。
⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。
【考点剖析】
例1如图，在中，，于D，求证：．
例2.如图，在中，，的平分线交于点．求证：．
【变式1】如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD
【变式2】如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.
【变式3】如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.
【变式4】如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC.
【变式5】如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，求证：．

【变式6】已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，．
求证：．

例4．已知：在中，，，求证：．
【变式1】如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.
【变式2】已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-12∠ADC
例5.正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、
CF又有什么数量关系？
【变式1】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？
【变式2】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、
DE、BF又有什么数量关系？
【过关检测】
一、解答题
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．
求证：BC=AB+CD．

2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，分别平分和，，相交于点，．
（1）求的度数；
（2）判断，，之间的等量关系，并证明你的结论．
7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接．
（1）探究、、之间的关系，并说明理由；
（2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若．
①直接写出的大小；
②求证：．
（2）若图2，若，求证：．
9．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
10．（2023·全国·九年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
【解决问题】
如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．
证明：延长CD到G，使，
在与中，
∴理由：（SAS）
进而证出：___________，理由：（__________）
进而得．
【变式探究】
如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在边BC、CD上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系________________时，仍有．请证明你的猜想．
【拓展延伸】
如图，若，，，但，，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系．
11．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
13．（2023秋·山西朔州·八年级校考期末）（1）问题背景：如图①：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；
（2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形中，，，连接．
①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．
15．（2022秋·全国·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
16．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE 于E交AF于点F，连结 CF．
（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
17．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，平分平分；
（1）求与的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．
18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
在线段上截取
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
延长，使得