人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第1课时随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第1课时随堂练习题，共17页。试卷主要包含了设F为抛物线C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
基础篇
1．(5分)抛物线y2＝4px(p>0)上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为( )
A．a－pB．a＋p
C．a－eq \f(p,2)D．a＋2p
2．(5分)双曲线my2－x2＝1的一个顶点在抛物线的y＝eq \f(1,2)x2的准线上，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5)B．2eq \r(5)
C．2eq \r(3)D.eq \r(3)
3．(5分)(多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－\f(\r(2),4)))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，－\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4)))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
4.(5分)抛物线y2＝ax上有一点P(3，m)，它到焦点的距离等于4，则a＝________，m＝________.
5．(5分)(多选)顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝6yB．y2＝－6x
C．x2＝12yD．x2＝－12y
6．(5分)已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝2xB．y2＝4x
C．y2＝8xD．y2＝16x
7.(5分)边长为1的等边三角形AOB中，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是____________．
8.(5分)设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．
9．(5分)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4)B.eq \f(9\r(3),8)
C.eq \f(63,32)D.eq \f(9,4)
10．(5分)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，则k＝( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \r(2)D．2
11.(5分)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
提升篇
12．(5分)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A.eq \f(4,3)B.eq \f(7,5)
C.eq \f(8,5)D．3
13．(5分)(多选)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0可能的取值是( )
A．0B．2
C．4D．6
14．(5分)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝eq \f(3,2)xB．y2＝3x
C．y2＝eq \f(9,2)xD．y2＝9x
15.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________.
16.(5分)抛物线的焦点为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为________．
17.(5分)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝________.
18.(5分)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．
19.(10分)抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2eq \r(5)，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
3.3.2 抛物线的简单几何性质（练习）(第2课时)
(60分钟 90分)
基础篇
1．(5分)过点(2，4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条B．2条
C．3条D．4条
2．(5分)过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2eq \r(13)B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17)D．2eq \r(19)
3.(5分)直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是____________．
4．(5分)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝eq \r(3)x无交点，则离心率e的取值范围是( )
A．(1，2)B．(1，2]
C．(1，eq \r(5))D．(1，eq \r(5)]
5．(5分)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2B．3
C.eq \f(17\r(2),8)D.eq \r(10)
6．(5分)过点M(－2，0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝4交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于( )
A．－2B．2
C.eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
7.(5分)已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．
提升篇
8．(5分)(多选)过点(0，1)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是( )
A．x＝0B．y＝0
C．x＝1D．y＝1
9．(5分)(多选)已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4eq \r(5)，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝4yB．x2＝－4y
C．x2＝2yD．x2＝－2y
10．(5分)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0)
D．(－2，0)
11．(5分)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16B．14
C．12D．10
12.(5分)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
13.(5分)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
14.(12分)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
15.(13分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．
(1)若直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,4)，证明：直线l过定点；
(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－eq \f(1,4)x2(－2eq \r(2)0且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a＝m2，,3＋\f(a,4)＝4，))所以a＝4，m＝±2eq \r(3).
5．(5分)(多选)顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝6yB．y2＝－6x
C．x2＝12yD．x2＝－12y
CD 解析：由题意设抛物线方程为x2＝±2py，且eq \f(p,2)＝3，所以p＝6，因此抛物线的标准方程为x2＝±12y.
6．(5分)已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝2xB．y2＝4x
C．y2＝8xD．y2＝16x
D 解析：设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，因为|MF| ＝2＋ eq \f(p,2) ＝6，所以p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝16x.
7.(5分)边长为1的等边三角形AOB中，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是____________．
y2＝±eq \f(\r(3),6)x 解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，解得a＝±eq \f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq \f(\r(3),6)x.
8.(5分)设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．
y2＝8x或y2＝－16x 解析：当m>0时，准线方程为x＝－eq \f(m,4)＝－2，所以m＝8，
此时抛物线方程为y2＝8x；
当m0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
eq \f(1,3) 解析：由题意可得焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，故直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(p,2)，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－eq \f(\r(3),3)p，xB＝eq \r(3)p，
故Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)p，\f(1,6)p))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)p，\f(3,2)p))，
所以|AF|＝eq \f(2,3)p，|BF|＝2p，
所以eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(1,3).
提升篇
12．(5分)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )
A.eq \f(4,3)B.eq \f(7,5)
C.eq \f(8,5)D．3
A 解析：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq \f(|4m－3m2－8|,5)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(2,3)))\s\up12(2)＋\f(20,3))),5)，当m＝eq \f(2,3)时，取得最小值为eq \f(4,3).
13．(5分)(多选)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0可能的取值是( )
A．0B．2
C．4D．6
CD 解析：由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0，2)，准线方程y＝－2.
由抛物线定义，|MF|＝y0＋2，因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0，2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，从而y0＞2.
14．(5分)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝eq \f(3,2)xB．y2＝3x
C．y2＝eq \f(9,2)xD．y2＝9x
B 解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得，|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＝3＋3a，从而得a＝1，因为BD∥FG，所以eq \f(|DB|,|FG|)＝eq \f(|BC|,|FC|).即eq \f(1,p)＝eq \f(2,3)，解得p＝eq \f(3,2)，因此抛物线方程为y2＝3x.
15.(5分)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________.
6 解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
16.(5分)抛物线的焦点为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为________．
x2＝－4eq \r(5)y 解析：由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(5).所以抛物线焦点坐标为(0，－eq \r(5))，所以抛物线方程为x2＝－4eq \r(5)y.
17.(5分)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝________.
8 解析：因为△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6.
又因为圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝eq \f(p,2)，
所以eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝6，所以p＝8.
18.(5分)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．
eq \r(5)－1 解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为eq \f(|2＋3|,\r(22＋（－1）2))＝eq \r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值为eq \r(5)－1.
19.(10分)抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2eq \r(5)，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
解：由题意，抛物线方程为x2＝2ay (a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|＝|AN|，而|AN|＝eq \r(5).
因为|ON|＝3，所以|OA|＝eq \r(32－（\r(5)）2)＝2，所以N(eq \r(5)，±2)．
因为N点在抛物线上，所以5＝2a·(±2)，即2a＝±eq \f(5,2)，
故抛物线的方程为x2＝eq \f(5,2)y或x2＝－eq \f(5,2)y.
抛物线x2＝eq \f(5,2)y的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,8)))，准线方程为y＝－eq \f(5,8).
抛物线x2＝－eq \f(5,2)y的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,8)))，准线方程为y＝eq \f(5,8).
3.3.2 抛物线的简单几何性质（练习）(第2课时)
(60分钟 90分)
基础篇
1．(5分)过点(2，4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条B．2条
C．3条D．4条
B 解析：因为点(2，4)在抛物线y2＝8x上，
所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
2．(5分)过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2eq \r(13)B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17)D．2eq \r(19)
B 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知直线AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝－2x＋2，)) 得x2－4x＋1＝0，
所以x1＋x2＝4，x1·x2＝1.
所以|AB|＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])
＝eq \r(（1＋4）（16－4）)＝eq \r(5×12)＝2eq \r(15).
3.(5分)直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是____________．
(3，2) 解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，
得x1＋x2＝6，eq \f(x1＋x2,2)＝3，
所以eq \f(y1＋y2,2)＝eq \f(x1＋x2－2,2)＝eq \f(6－2,2)＝2.
所以所求点的坐标为(3，2)．
4．(5分)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝eq \r(3)x无交点，则离心率e的取值范围是( )
A．(1，2)B．(1，2]
C．(1，eq \r(5))D．(1，eq \r(5)]
B 解析：由题意可知，eq \f(b,a)≤eq \r(3)，
故e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))≤eq \r(1＋3)＝2.
又e>1，故e∈(1，2]．
5．(5分)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2B．3
C.eq \f(17\r(2),8)D.eq \r(10)
B 解析：如图，设直线AB的方程为x＝ny＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2，所以x1x2＋y1y2＝2.
又yeq \\al(2,1)＝x1，yeq \\al(2,2)＝x2，所以y1y2＝－2.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝x，,x＝ny＋m，))得y2－ny－m＝0，
所以y1y2＝－m＝－2，
所以m＝2，即点M(2，0)．
又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO
＝eq \f(1,2)|OM||y1|＋eq \f(1,2)|OM||y2|＝y1－y2，
S△AFO＝eq \f(1,2)|OF|·|y1|＝eq \f(1,8)y1，
所以S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋eq \f(1,8)y1
＝eq \f(9,8)y1＋eq \f(2,y1)≥2eq \r(\f(9,8)y1·\f(2,y1))＝3，
当且仅当y1＝eq \f(4,3)时，等号成立．
6．(5分)过点M(－2，0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝4交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于( )
A．－2B．2
C.eq \f(1,2)D．－eq \f(1,2)
D 解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．过点M的直线l的方程为y－0＝k1(x＋2)，与椭圆方程联立可得
(2keq \\al(2,1)＋1)x2＋8keq \\al(2,1)x＋8keq \\al(2,1)－4＝0.
据此可知x1＋x2＝eq \f(－8keq \\al(2,1),2keq \\al(2,1)＋1)，
则点P的横坐标为eq \f(－4keq \\al(2,1),2keq \\al(2,1)＋1)，
点P的纵坐标为k1(x1＋2)＝eq \f(2k1,2keq \\al(2,1)＋1).
据此得k2＝－eq \f(1,2k1).综上可得k1k2＝－eq \f(1,2).
7.(5分)已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．
±1 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,x2－\f(y2,2)＝1，))
消去y，得x2－2mx－m2－2＝0，
Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，
所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．
又因为点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，
所以5m2＝5，所以m＝±1.
提升篇
8．(5分)(多选)过点(0，1)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是( )
A．x＝0B．y＝0
C．x＝1D．y＝1
AD 解析：点(0，1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条，其中两条是抛物线的切线，一条平行于抛物线的对称轴．直线x＝0是过(0，1)且与抛物线相切的直线，直线y＝1是过(0，1)且平行于抛物线的对称轴的直线，BC选项的直线不满足条件．
9．(5分)(多选)已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4eq \r(5)，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝4yB．x2＝－4y
C．x2＝2yD．x2＝－2y
CD 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝2py，,y＝2x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4p，,y＝8p，))
即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则eq \r(（4p）2＋（8p）2)＝4eq \r(5)，得p＝±1，故抛物线C的方程为x2＝±2y.
10．(5分)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0)
D．(－2，0)
A 解析：因为直线与圆相切，所以eq \f(|t＋1|,\r(1＋k2))＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.
11．(5分)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16B．14
C．12D．10
A 解析：因为抛物线的焦点为(1，0)，由题意可得两条直线都有斜率，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，直线l2的方程为y＝－eq \f(1,k) (x－1)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝4x))消去y整理得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝eq \f(2（k2＋2）,k2)，x1·x2＝1，
所以弦长|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1·x2)＝eq \r(1＋k2)eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2（k2＋2）,k2)))2－4×1)＝eq \f(4（k2＋1）,k2)，
同理可得弦长|DE|＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))2＋1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))2)＝4(k2＋1)，所以|AB|＋|DE|＝eq \f(4（k2＋1）,k2)＋4(k2＋1)＝eq \f(4（k2＋1）2,k2)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)＋k2＋2))≥4(2＋2)＝16，当且仅当k2＝1时取等号，|AB|＋|DE|的最小值为16.
12.(5分)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
48 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－3，,y2＝4x，))得x2－10x＋9＝0，
所以x1＋x2＝10，|y1－y2|＝8，
即|AP|＋|BQ|＝x1＋x2＋p＝10＋2＝12，
|PQ|＝|y1－y2|＝8，
所以S梯形APQB＝eq \f(|AP|＋|BQ|,2)·|PQ|＝48.
13.(5分)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
2 1 解析：由题意得eq \f(p,2)＝1，所以p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.假设直线l是过F且与x轴垂直的直线，则|AF|＝|BF|＝p＝2，所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝1.
14.(12分)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
解：设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2)，由题设可得x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq \f(12（t－1）,9).
从而－eq \f(12（t－1）,9)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8).
所以l的方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
(2)由eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3).
故|AB|＝eq \f(4\r(13),3).
15.(13分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．
(1)若直线OA，OB的斜率之积为－eq \f(1,4)，证明：直线l过定点；
(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－eq \f(1,4)x2(－2eq \r(2)