西宁市第十四中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷(含答案)

这是一份西宁市第十四中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
二、选择题
2．设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
三、选择题
3．已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是( )
A.B.C.D.
四、选择题
4．如图，是水平放置的直观图，其中，轴，轴，则( )
A.B.2C.D.4
五、选择题
5．12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是( )
六、选择题
6．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S之间的距离为( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
七、选择题
7．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为( )
A.B.C.D.
八、选择题
8．在锐角三角形ABC中，，，则AC边上的高的取值范围是( )
A.B.C.D.
九、多项选择题
9．下列命题中，正确的是( )
A.在中，，
B.在锐角中，不等式恒成立
C.在中，若，则必是等腰直角三角形
D.在中，若，，则必是等边三角形
一十、多项选择题
10．某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则( )
A.在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取
B.抽样比为
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
一十一、多项选择题
11．已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.向量与的夹角为D.向量在上的投影向量为
一十二、多项选择题
12．在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，若点P，A，B，C均在球O的球面上，M为球面上的一个动点，则( )
A.球O的表面积为
B.O到平面ABC的距离为
C.三棱锥体积的最大值为
D.存在点M，使平面ABC
一十三、填空题
13．某学校有男生400人，女生600人.为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为_____________.
一十四、填空题
14．若向量，满足，，，则______.
一十五、填空题
15．如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______.
一十六、填空题
16．若，且满足，则的最大值为______.
一十七、解答题
17．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线.
（1）求实数λ的值；
（2）若，，点，A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
一十八、解答题
18．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.
（1）证明:直线平面;
（2）若面积为，求四棱锥的体积.
一十九、解答题
19．某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）.
（1）求居民月收入在的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？
二十、解答题
20．三角形三内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）若的面积等于，D为边的中点，当中线的长最短时，求边的长.
二十一、解答题
21．如图，在堑堵中（注：堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体，即两底面为直角三角形的直三棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》商功章），已知平面，，，点M、N分别是线段、的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
二十二、解答题
22．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若P是的“费马点”，，.
（1）求角A，若，求的周长；
（2）在（1）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
2．答案：B
解析：A：若，，则或相交，故A错误；
B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确；
C：若，，则或，故C错误；
D：若，，则或或，故D错误；
故选：B.
3．答案：A
解析：若，，不能构成一组空间基底，则，，共面，
所以存在唯一实数x，y，使得，
对A：因为，则，
整理得，所以，无解.
即，，不共面，所以，与构成一个基底，故A正确；
对B：因为，所以，故B错误；
对C：因为，所以，故C错误；
对D：因为，所以，故D错误.
故答案为：A.
4．答案：C
解析：在，，，
由余弦定理可得：，
即，而，解得，
由斜二测画法可知：中，，，，
故.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题意，将12名学生的成绩，从小到大排序：1.55，1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70，1.72，1.74，1.758，1.78，又由，所以这组数据的第75%分位数是.
6．答案：B
解析：，，，，
则，即，，
故选：B
7．答案：C
解析：依题意，设半球的半径为R，
连接，交于点O，连接，如图所示：
则有，易得，
所以正四棱锥的体积为：
，解得：，
所以半球的体积为：.故选：C.
8．答案：D
解析：由可得:，
所以，又因为，所以，
所以，，
又因为三角形ABC为锐角三角形，所以，所以，
在中，由正弦定理可得：，即，
故有，
因为，所以，所以，所以，
又因为AC边上的高，所以.
9．答案：ABD
解析：对于A，将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；
对于B，当这两个平行截面与底面平行时正确，
当这两个平行截面不与圆柱的底面平行时，
夹在圆柱的两个平行截面间的几何体就不是旋转体，所以B错误；
对于C，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，所以，C正确.
对于D，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.故选：ABD.
10．答案：BCD
解析：因每一种型号的轿车数量较多，不适合用抽签法，故A错误；
在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比为，故B正确；
在按比例分配的分层随机抽样中，三种型号的轿车应依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；
在按比例分配的分层随机抽样中，每一辆被抽到的概率是相等的，故D正确.
故选：BCD
11．答案：BCD
解析：，所以，A错误；
，B正确；
，因为，，故，，所以向量与的夹角为60°，C正确；
向量在上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：BCD
解析：如图，将三棱锥补成正方体，则该三棱锥的外接球与该正方体的外接球相同，
所以球O的半径为，则球O的表面积为，A错误；
由正方体的性质可知，，又，
可得平面，故，同理可得，又，
可得平面，设P到平面ABC的距离为h，因为，
所以由，得，得，
所以O到平面ABC的距离为，B正确；
由题可知O到平面PAB的距离为1，故M到平面PAB的距离最大值为，
所以三棱锥体积的最大值为，C正确；
因为平面ABC，若平面ABC，则.
因为AO不垂直于PD，所以MA可以平行于PD，D正确.
故选：BCD.
13．答案：0.76
解析：由题意，总体的均值为，
根据分层抽样的性质，可得总体的方差为：
.
14．答案：
解析：由，有，即，得.
又，得.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图所示，沿着正三棱柱的侧棱剪开，
把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为，宽为一个矩形，
可矩形的对角线长为，即最短路线的长为.
故答案为：.
16．答案：3
解析：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得.
因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以解得，.
（2）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.
设，则，
因为，所以，
解得，即点A的坐标为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：
19．答案：（1）0.15
（2）2400
（3）25人
解析：
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由正弦定理得，.
因为，，所以，
所以，即，
又，则，
所以.
（2）由（1）得，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时，
故.
21．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：连接，
因为且，故四边形为平行四边形，
因为M为的中点，则M为的中点，
又因为N为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取中点H，由题意可知，所以，且，
因为平面，平面，所以，
又，所以，
因为，、平面，所以平面.
连接，则是直线与平面所成的角.
由题意，同理可得，
则，
因为平面，平面，则，则，
因为，，即直线与平面所成角的余弦值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：