2024年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学五模试卷-普通用卷

这是一份2024年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学五模试卷-普通用卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家.若零上8℃记作+8℃，则零下5℃可记作( )
A. 5℃B. 0℃C. −5℃D. −10℃
2.如图，AB/​/CD，AD⊥AC，若∠1=54°，则∠2的度数为( )
A. 36°
B. 46°
C. 54°
D. 126°
3.下列计算正确的是( )
A. 20= 2B. 2 3+3 3=5 6
C. 8=4 2D. 3(2 3−2)=6−2 3
4.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE=2，S△ABD= 5，则CE=( )
A. 5−1
B. 3−1
C. 1
D. 32
6.若直线l1经过(0,4)，l2经过点(2,6)，且l1与l2关于y轴对称，则l1与l2的交点坐标是( )
A. (3,2)B. (2,3)C. (0,4)D. (4,0)
7.如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC.若AB=8，CD=2，则CE的长为( )
A. 8
B. 2 13
C. 3 13
D. 2 15
8.若抛物线y=x2−2x+m−1(m是常数)的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是( )
A. m>1B. m≥1C. 1≤m<2D. m≤2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.比较大小：3 ______ 10.(填“>”、“<”或“=”)
10.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______度.
11.如图，点P是▱ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF/​/BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE=2，PF=8，∠ABC=60°，则图中阴影部分面积为______．
12.如图，将腰长为4的等腰Rt△ABC放置在平面直角坐标系中，斜边AB在y轴上，直角边BC的中点D在x轴正半轴上，则过点C的反比例函数的解析式为______．
13.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=4 3，∠B=60°，∠D=120°，当四边形ABCD面积最大时，作AE平分该四边形ABCD面积交BC于点E，则此时线段BE的长为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：3−27+| 12−4|−2cs30°．
15.(本小题5分)
求满足不等式x+1≥6(x−1)−8的正整数解．
16.(本小题5分)
解方程：x+1x−1−4x2−1=1．
17.(本小题5分)
已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.请利用尺规作图的方法在边BC上取一点D，使得S△ABD=2S△ACD.(保留作图痕迹，不用写作法)
18.(本小题5分)
在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
19.(本小题5分)
某公司今年10月份的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，问该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是多少．
20.(本小题5分)
小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负．
(1)若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为______；
(2)求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率．
21.(本小题6分)
小清和小华练习射箭，第一局12支箭射完后，两人的成绩依次统计如下(单位：环)：
成绩统计表
分析数据如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表格中：a= ______，b= ______，请根据折线统计图判断小清和小华本次射击成绩方差的大小关系是S12 ______S22(填“>”“<”或“=”)；
(2)求小清成绩的平均数(结果保留一位小数)；
(3)你认为小清和小华相比，谁的射击成绩整体表现更好？并说明理由．
22.(本小题7分)
为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式.设某人一年内去动物园的次数为x，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示：
甲：按照次数收费，门票每人每次20元；
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次按一定折扣优惠．
(1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，y关于x的函数表达式；
(2)洋洋准备利用暑假多次去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？请说明理由．
23.(本小题7分)
为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向3 2km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．
24.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF/​/BC，交AB的延长线于点F，连接BD．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC=4，AF=6，求BC的长．
25.(本小题8分)
如图①：是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图②：所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部(原点O处)，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB，已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是(50,25)，OC=5m，OD=75m，AD=12m，AB=9m；

(1)求石块运动轨迹所在抛物线的表达式；
(2)请判断石块能否飞越城墙AB，并说明理由．
26.(本小题10分)
【问题提出】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
(1)如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为______；
【问题探究】
(2)如图2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠EDF=90°，AB=6，DE=3，EF在直线AC上运动时，求BE+BD的最小值；
【拓展应用】
(3)如图3，是某公园的示意图，AB、AC、BD是三处栅栏，CD是该公园附近的一条道路(宽度不计)，半圆AM及其内部是一个带舞台的广场.已知∠BAC=∠ABD=90°，CD所对的圆心角为120°，AC与CD所在的圆相切于点C，点E、G在AC上，点F、H在BD上，点M在AB上，矩形EFHG是一条河流在该公园内的一段(EF//AB)，其中半圆AM的直径为300m，AB=600m，AC=700 3m，河岸EF离AB的距离为200 3m，河宽EG为200 3m，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥QS，使得PQ、QS与ST之和最短，求出此时EQ购长.(结果保留根号)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：零上8℃记作+8℃，则零下5℃可记作−5℃，
故选：C．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵AB/​/CD，AD⊥AC，
∴∠1+∠2+90°=180°，
∵∠1=54°，
∴∠2=90°−54°=36°，
故选：A．
根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠2+90°=180°，进而解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠2+90°=180°解答．
3.【答案】D
【解析】解：A.( 2)0=1，故本选项不符合题意；
B.2 3+3 3=5 3，故本选项不符合题意；
C. 8=2 2，故本选项不符合题意；
D. 3(2 3−2)= 3×2 3− 3×2=6−2 3，故本选项符合题意；
故选：D．
先根据零指数幂，二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点C．
故选：B．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
5.【答案】A
【解析】解：∵AE是△ABC中BC边上的高，且AE=2，S△ABD= 5，
∴S△ABD=12×BD×AE= 5，
∵AE=2，
∴BD= 5，
∵AD是Rt△ABC中BC边上的中线，
∴DC=BD=AD= 5，
BC=2BD=2 5，
在Rt△ADE中，DE= AD2−AE2=1，
∴CE=CD−DE= 5−1．
故选：A．
首先利用S△ABD= 5，AE=2，求出BD的长，由AD是边BC上的中线即可得出BC和DC的长，最后利用勾股定理求出DE即可求解．
此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与y轴的交点是解题关键．
【解答】
解：∵直线l1经过点(0,4)，l2经过点(2,6)，且l1与l2关于y轴对称，
∴两直线相交于y轴上，
∴l1与l2的交点坐标是(0,4)；
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：∵OD⊥AB，AB=8，
∴AC=12AB=12×8=4，
设⊙O的半径OA=r，
∴OC=OD−CD=r−2，
在Rt△OAC中，
r2=(r−2)2+42，
解得：r=5，
连接BE，如图，
∵OD=5，CD=2，
∴OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE= CB2+BE2= 42+62=2 13．
故选：B．
先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
本题考查了垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵y=x2−2x+m−1=(x−1)2+m−2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点为(1,m−2)，
∵抛物线y=x2−2x+m−1(m是常数)的图象只经过第一、二、四象限，
∴m−1≥0m−2<0，
解得1≤m<2，
故选：C．
由y=x2−2x+m−1=(x−1)2+m−2可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点为(1,m−2)，根据题意得到m−1≥0m−2<0，然后求出不等式组的解集即可．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，根据题意得到关于m的不等式组是解题的关键．
9.【答案】<
【解析】解：∵9<10，
∴3< 10，
故答案为：<．
根据算术平方根的性质进行比较即可．
本题考查实数的大小比较及算术平方根，熟练掌握比较实数大小的方法是解题的关键．
10.【答案】45
【解析】解：∵五边形的内角和为(5−2)×180°=540°，
∴∠B=∠BAE=108°，
由图形的折叠可知，∠BAM=∠EAM=12∠BAE=54°，
∠BAF=∠FAB′=12∠BAM=27°，
∠AFB′=∠AFB=180°−∠B−∠BAF=180°−108°−27°=45°．
故答案为：45．
由多边形的内角和及轴对称的性质和三角形内角和可得出结论．
本题考查了多边形的内角和，三角形的内角和定理，图形的折叠的性质，掌握这些知识点是解题的关键．
11.【答案】8 3
【解析】解：作MN//AB交AD于点M，交BC于点N．
得平行四边形AMNB，平行四边形AMPE，平行四边形DMPF，平行四边形AEFD，平行四边形EPNB，
∴平行四边形EPNB的面积=平行四边形DMPF的面积，
∴三角形EPB的面积=三角形DPF的面积，
∴图中阴影部分面积=平行四边形DMPF的面积，
过点M作MG⊥EF于点G，
∵PM=AE=2，∠MPG=∠ABC=60°，
∴PG=12PM=1，
∴MG= 3MG= 3，
∴图中阴影部分面积=平行四边形DMPF的面积=PF⋅MG=8× 3=8 3，
故答案为：8 3．
作MN//AB交AD于点M，交BC于点N.可得三角形EPB的面积=三角形DPF的面积，所以可得图中阴影部分面积=平行四边形DMPF的面积，过点M作MG⊥EF于点G，得MG= 3MG= 3，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质得到图中阴影部分面积=平行四边形DMPF的面积，
12.【答案】y=4x
【解析】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠OBD=45°，
∴∠CDM=∠ODB=90°−45°=45°．
∴△OBD和△CDM都是等腰直角三角形．
∵BC=4，且点D为BC的中点，
∴BD=CD=2，
∴OD=DM=CM= 2，
∴OM= 2+ 2=2 2，
∴点C的坐标为(2 2, 2).
设反比例函数的解析式为y=kx，
将点C坐标代入反比例函数解析式得，
k=2 2× 2=4．
∴反比例函数的解析式为y=4x．
故答案为：y=4x．
过点C作x轴的垂线，求出点C坐标即可解决问题．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰直角三角形，熟知待定系数法及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】83 3
【解析】解：如图，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=BC=4 3，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=4 3，BF=12BC=2 3．
当AD=CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，
过点D作DG⊥AC于点G，则AG=12AC=2 3．
∵∠D=120°，
∴∠DAG=30°．
∴DG=AG 3=2．
∴S△ADC=12⋅AC⋅DG=12×4 3×2=4 3．
∵sinB=AFAB，
∴AF=AB⋅sin60°=4 3× 32=6．
∴S△ABE=12⋅BE⋅AF=12×BE×6=3BE．
S△AEC=12⋅EC⋅AF=12×(BC−BE)×6=3(4 3−BE)．
∵AE平分四边形ABCD的面积，
∴S△ABE=S△AEC+S△ADC．
∴3BE=3(4 3−BE)+4 3．
∴BE=83 3．
故答案为：83 3．
依据题意，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，由AB=BC=4 3，∠B=60°，得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质求出AC=4 3，BF=2 3，当AD=CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，过点D作DG⊥AC于点G，则AG=2 3，进而求出S△ADC=4 3，S△ABE=3BE，S△AEC=3(BC−BE)，由AE平分四边形ABCD的面积，得出3BE=3(4 3−BE)+4 3，即可求出BE值．
本题主要考查了勾股定理，掌握等边三角形判定的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
14.【答案】解：3−27+| 12−4|−2cs30°
=−3+4− 12−2× 32
=−3+4−2 3− 3
=1−3 3．
【解析】根据立方根、绝对值、特殊角的三角函数值分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根、绝对值、特殊角的三角函数值是解题的关键．
15.【答案】解：x+1≥6(x−1)−8，
∴x+1≥6x−6−8，
∴5x≤15，
∴x≤3，
∴满足不等式的正整数解为：1，2，3．
【解析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
16.【答案】解：方程两边乘以(x+1)(x−1)得：(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，
解这个方程得：x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
原方程无解．
【解析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．
本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
17.【答案】解：如图：点D即为所求．

【解析】作∠BAC的角平分线即可．
本题考查了复杂作图，掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵BD=DC，DE=DF，
∴△BDE≌△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】根据中点的定义可得到BD=DC，再根据HL即可判定△BDE≌△CDF，从而可得到∠B=∠C，根据等角对等边可得到AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用．
19.【答案】解：设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x．
根据题意得2500(1+x)2=3600，
解得x1=0.2，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是20%．
【解析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率).即可表示出二月与三月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9100万元，即可列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用．解与变化率有关的实际问题时：(1)主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；(2)可直接套公式：原有量×(1+增长率)n=现有量，n表示增长的次数．
20.【答案】14
【解析】解：(1)由题意可得，若小亮出“A”牌，小明亮出的牌有4种等可能性，
∴小亮获胜的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的结果有8种，
∴小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率为816=12．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的结果有8种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】8 7 <
【解析】解：(1)小清成绩的众数a=8(环)；
先将小华成绩按从小到大进行排列，其中位数b=6+82=7(环)；
从折线图可以看出，小华成绩波动要比小清成绩波动大，且更不稳定，
∴S12故答案为：8；7；<．
(2)小清成绩的平均数=6+8+8+9+7+8+7+7+8+9+8+712≈7.7(环)，
答：小清成绩的平均数为7.7环．
(3)小清的射击成绩整体表现更好．(答案不唯一，合理即可)
理由：从平均数角度来看，小清成绩的平均数为7.7环，小华成绩的平均数为6.6环，7.7>6.6，
∴小清的射击成绩整体表现更好．
(1)根据众数，中位数和方差的定义求解即可；
(2)根据平均数的公式进行计算即可；
(3)从平均数角度进行对比，即可得出结果．
本题考查的是折线统计图，近似数，加权平均数，中位数，众数和方差，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
22.【答案】解：(1)根据题意，得甲种购票方式y甲关于x的函数表达式y甲=20x；
设乙种购票方式y乙关于x的函数表达式y乙=kx+b(k、b为常数，且k≠0)．
将坐标(0,80)和(12,200)代入y乙=kx+b，
得b=8012k+b=200，
解得k=10b=80，
∴y乙=10x+80．
(2)当洋洋去动物园少于8次时，选择甲种购票方式更划算；等于8次时，选择甲、乙两种购票方式同样划算；多于8次时，选择乙种购票方式更划算．理由如下：
当y甲当y甲=y乙时，即20x=10x+80，解得x=8；
当y甲>y乙时，即20x>10x+80，解得x>8；
∴当洋洋去动物园少于8次时，选择甲种购票方式更划算；等于8次时，选择甲、乙两种购票方式同样划算；多于8次时，选择乙种购票方式更划算．
【解析】(1)根据“甲种购票方式的费用=每人每次的票价×次数”求出甲种购票方式y关于x的函数表达式，利用待定系数法求出乙种购票方式y关于x的函数表达式即可；
(2)分别求出当y甲y乙时三种情况下x对应的取值范围即可．
本题考查一次函数的应用，求出甲、乙两种购票方式y关于x的函数表达式是本题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意得：∠NAC=80°，∠BAS=25°，
∴∠CAB=180°−∠NAC−∠BAS=75°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=60°，
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB=3 2km，∠ABC=45°，
∴AD=AB⋅sin45°=3 2× 22=3(km)，
BD=AB⋅cs45°=3 2× 22=3(km)，
在Rt△ADC中，∠ACB=60°，
CD=ADtan60∘=3 3= 3(km)，
∴BC=BD+CD=(3+ 3)km，
∴检查点B和C之间的距离(3+ 3)km．
【解析】(1)根据题意可得：∠NAC=80°，∠BAS=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
即∠ABC+∠CBD=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ABC=∠ADB，
∵BC/​/DF，
∴∠CBD=∠FDB，
∴∠ADB+∠FDB=90°，
即∠ADF=90°，
∴AD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=AC=4，AF=6，
∴BF=AF−AB=2，
∵∠F=∠F，∠FBD=∠FDA=90°，
∴△FBD∽△FDA，
∴BF：DF=DF：AF，
∴DF2=BF×AF=2×6=12，
∴DF=2 3，
∵DF是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，
∴AD⊥DF，
∵DF/​/BC，
∴BC⊥AD，
∴BC=2BE，
∵BE/​/DF，
∴△ABE∽△AFD，
∴BEDF=ABAF，
∴BE2 3=46，
∴BE=4 33，
∴BC=2BE=8 33．
【解析】(1)由圆周角定理得∠ABD=90°，即∠ABC+∠CBD=90°，再由等腰三角形的性质和圆周角定理得∠ABC=∠C，∠ADB=∠C，则∠ABC=∠ADB，然后由平行线的性质得∠CBD=∠FDB，则∠ADB+∠FDB=90°，即∠ADF=90°，即可得出结论；
(2)根据相似三角形的判定和性质定理得到DF=2 3，根据切线的性质得到AD⊥DF，求得BC⊥AD，得到BC=2BE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质，证明∠ABD=90°是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线的顶点坐标是(50,25)，
∴设抛物线的表达式为：y=a(x−50)2+25，
将点C(0,5)代入得：5=a(0−50)2+25，解得：a=−1125，
∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：y=−1125(x−50)2+25．
(2)当x=75时，y=−1125(75−50)2+25=20，
∴当到城墙时，石块高度为20m，BD=AD+AB=12+9=21(m)，
∵20m<21m，
∴石块不能飞越城墙AB．
【解析】(1)根据OC=5m可得点C(0,5)，根据抛物线的顶点坐标，设表达式为y=a(x−50)2+25，代入点C的坐标求解即可；
(2)先求出AD的长度，再求出BD，最后求出当x=75时的函数值，于BD的长度进行比较即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握根据二次函数的顶点求出表达式，以及明确在实际问题中二次函数的实际应用．
26.【答案】 10
【解析】解：(1)如图所示，过点E作ED⊥AC于D，作点A关于BC的对称点A′，连接A′P，A′E，
∴PA′=PA，A′C=AC=2，
∴PA+PE=PA′+PE，
∴当P、A′、E三点共线时，PA′+PE最小，即此时PA+PE最小，最小值为A′E的长，
∵∠C=90°，ED⊥AC，
∴DE/​/BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ADAC=DEBC=AEAB，
∵E是AB的中点，
∴ADAC=DEBC=AEAB=12，
∴DE=12BC=1，AD=12AC=1，
∴CD=1，
∴A′D=3，
∴A′E= A′D2+DE2= 10，
∴PA+PE的最小值为 10，
故答案为： 10；
(2)如图所示，连接BE，BD，过点D作DG⊥EF于G，DB′//BC交直线AB于B′，
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠EDF=9°，AB=6，DE=3，
∴∠BAC=∠DEF=45°，DG=DE⋅sin∠DEG=3 22，
∴DE/​/AB，
∴四边形BEDB′是平行四边形，
∴B′D=BE，BB′=DE=3，
∴AB′=3；
∵DG=3 22，即点D到直线AC的距离为定值3 22，
∴点D在与AC平行，且与AC之间的距离为3 22的直线上，
过点D作MN//AC分别交直线AB、BC于M、N，则点D在直线MN上运动，
∴∠BMN=BAC=45°，
∵DE//AM，AE//DM，
∴四边形AEDM是平行四边形，
∴AM=DE=3，
∴B′M=6，BM=9，
如图所示，作点B关于直线MN的对称点B″，连接B″D，B″B′，
∴B″M=BM=9，B″D=BD，∠DMB″=∠DMB=45°，
∴∠B′MB″=90°，
∵BE+BD=B′D+B″D，
∴当B′、D、B″三点共线时，B′D+B″D最小，即此时BE+BD最小，最小值为B″B′，
∴BE+BD的最小值为 B′M2+B″M2= 92+62=3 13；
(3)如图所示，过点M作MR⊥EF于R，则四边形AMRE是矩形，
∴ER=AM=300m，MR=AE=200 3m，
将点P沿着垂直于EF的方向平移到P′，使得PP′=QS=200 3m，
∴四边形P′PQS是平行四边形，
∴PQ=P′S；
如图所示，以ER为直径画圆，圆心设为O，连接ON，OP′，
∴OR=MN，
又∵OR//MN，
∴四边形ONMR是平行四边形，
∴ON=MR=QS=PP′，ON//MR，
∴ON//QS//MR//PP′，
∴四边形ONPP′是平行四边形，
∴OP′=NP=150m；
过点C作CI⊥BD交BD延长线于I，在CI上取一点O′使得∠CO′D=120°，
∵AC与CD所在的圆相切于点C，
∴CD的圆心在射线CI上，
又∵CD所对的圆心角为120°，
∴O′即为CD所在圆圆心，
∵∠ABI=∠BAC=90°，CI⊥BI，
∴四边形ABIC是矩形，
∴CI=AB=600m，
设O′D=O′C=rm，则O′I=(600−r)m，
∵∠IO′D=180°−120°=60°，
∴O′I=O′D⋅cs60°=12rm，
∴12r=600−r，
∴r=400；
如图所示，连接OO′，
∵PQ+QS+ST=P′S+ST+200 3，
∴当P′S+ST最小时，PQ+QS+ST最小，
∵P′S+ST≥P′T≥P′O′−O′T，P′O′≥OO′−OP′，
∴P′S+ST≥OO′−OP′−O′T，
∴当O、P′、S、T、O′五点共线时P′S+ST有最小值，最小值为OO′−OP′−O′T；
过点O作OK⊥CT于K，则四边形OECK是矩形，
∴OK=CE=AC−AE=500 3m，CK=OE=150m，
∴O′K=250m，
∴OO′= O′K2+OK2=250 13m，
∴PQ+QS+ST的最小值为(250 13+200 3−550)米．
设此时OO′与GH交于V，OK与GH交于W，
∵WV//O′K，
∴△OWV∽△OKO′，
∴WVO′K=OWOK，即WV250=200 3500 3，
∴WV=100，
∴GV=250m，
∴EQ=GV=250m．
(1)如如图所示，过点E作ED⊥AC于D，作点A关于BC的对称点A′，连接A′P，A′E，则PA′=PA，A′C=AC=2，故当P、A′、E三点共线时，PA′+PE最小，此时PA+PE最小，最小值为A′E的长，证明AED∽△ABC，求出DE=12BC=1，AD=12AC=1，则CD=1，A′D=3，由勾股定理可得A′E= A′D2+DE2= 10，即PA+PE的最小值为 10，
(2)如图所示，连接BE，BD，过点D作DG⊥EF于G，DB′//BC交直线AB于B′，先得到BAC=∠DEF=45°，DG=DE⋅sin∠DEG=3 22，可证明四边形BEDB′是平行四边形，得到B′D=BE，BB′=DE=3，则AB′=3；再证明点D在与AC平行，且与AC之间的距离为3 22的直线上．过点D作MN//AC分别交直线AB、BC于M、N，则点D在直线MN上运动，证明四边形AEDM是平行四边形，得到AM=DE=3，B′M=6，BM=9，如图所示，作点B关于直线MN的对称点B″，连接B″D，B″B′，则B″M=BM=9，B″D=BD，可得当B′、D、B″三点共线时，B′D+B″D最小，即此时BE+BD最小，最小值为B″B′，即可得到BE+BD的最小值为 B′M2+B″M2= 92+62=3 13；
(3)如图所示，过点M作MR⊥EF于R，则四边形AMRE是矩形，可得ER=AM=300m，MR=AE=200 3m，将点P沿着垂直于EF的方向平移到P′，使得PP′=QS=200 3m，则四边形P′PQS是平行四边形，可得PQ=P′S；如图所示，以ER为直径画圆，圆心设为O，连接ON，OP′，可得四边形ONMR是平行四边形，根据ON=MR=QS=PP′，ON//MR，可证明四边形ONPP′是平行四边形，
因此OP′=NP=150m；过点C作CI⊥BD交BD延长线于I，在CI上取一点O′使得∠CO′D=120°，则O′即为CD所在圆圆心，
证明四边形ABIC是矩形，得到CI=AB=600m，解直角三角形得到r=400；如图所示，连接OO′，可得当P′S+ST最小时，PQ+QS+ST最小，进而推出当O、P′、S、T、O′五点共线时P′S+ST有最小值，最小值为OO′−OP′−O′T；过点O作OK⊥CT于K，则四边形OECK是矩形，则OK=CE=AC−AE=500 3m，CK=OE=150m，O′K=250m，得到OO′= O′K2+OK2=250 13m，则PQ+QS+ST的最小值为(250 13+200 3−550)米．设此时OO′与GH交于V，OK与GH交于W，证明△OWV∽△OKO′，根据WVO′K=OWOK，可得WV=100，则GV=250m，即EQ=GV=250m．
本题主要考查了矩形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定等等，解题的关键在于构造将军饮马模型，确定取得最值的情形．编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
小清
6
8
8
9
7
8
7
7
8
9
8
7
小华
9
6
2
6
9
10
4
8
6
8
2
9
平均数
中位数
众数
方差
小清
x−
8
a
S12
小华
6.6
b
6或9
S22