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2023-2024学年山东省烟台一中高一（下）月考数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年山东省烟台一中高一（下）月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足z(1+i)=1−i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z=( )
A. −iB. − 2iC. iD. 2i
2.为了估计某高中的在校学生人数，用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为45的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人.若高二年级有300人，则这所学校共约有高中学生( )
A. 1350人B. 675人C. 900人D. 450人
3.如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的( )
A. 四分位数B. 中位数C. 众数D. 均值
4.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
5.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名女生的概率是( )
A. 245B. 215C. 715D. 13
6.△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=c= 6+ 2，且A=75°，则b为( )
A. 2B. 4+2 3C. 4−2 3D. 6− 2
7.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α//平面A1BD，平面α∩平面ABCD=l，则直线l与直线CD1所成的角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上(含边界)一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P长度的取值范围是( )
A. [1, 52]B. [ 52,32]C. [1, 3]D. [ 2, 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若平面α，β垂直同一个平面，则α//β
B. 若l⊥α且m//α，则l⊥m
C. 若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线
D. 若l//m，且α//β，则l与α所成的角和m与β所成的角相等
10.一个盒子里装有2个白球、2个黑球，从中有放回地取两次球，每次取出1个.设事件A={第一次取出白球}，事件B={第二次取出黑球}，事件C={两次至少取出1个白球}，事件D={两次至少取出1个黑球}，事件E={两次取出的都是黑球}，则下列关系正确的是( )
A. A与B相互独立B. A与C互斥C. C与D互斥D. C与E互为对立
11.如图，把等腰Rt△ABC沿着其斜边BC上的中线AD折叠，将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面.下面四个结论中正确的是( )．
A. BD⊥平面ACD
B. △ABC为等边三角形
C. 平面ADC⊥平面ABC
D. 点D在平面ABC内的射影为△ABC的外接圆圆心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z1=a+i，z2=3−4i，其中i为虚数单位，若z1z2为纯虚数，则实数a的值为______．
13.已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α−2β)，则|2α+β|的值是 ．
14.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6 cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．
(1)求这组数据的平均数M；
(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
16.(本小题15分)
如图，多面体ABCDE中，BE//CD，BE⊥BC，AB=AC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点．
(1)若N是线段AE的中点，求证：MN//平面ACD；
(2)若BE=1，BC=2，CD=3，求证：DE⊥平面AME．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，设向量a=(csα,sinα)，b=(−sinβ,csβ)，c=(−12, 32)．
(1)若|a+b|=|c|，求sin(α−β)的值；
(2)设α=5π6，0<β<π，且a//(b+c)，求β的值．
18.(本小题17分)
在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E、F分别为BC、AP中点．
(1)求证：EF//平面PCD；
(2)若AD=AP=PB= 22AB=1，求三棱锥P−DEF的体积．
19.(本小题17分)
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
若n=19，求y与x的函数解析式；
(1)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(2)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
参考答案
1C
2C
3D
4B
5C
6A
7C
8D
9BD
10AD
11ABD
1243
13 10
14500 3π27
15解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知：90～100分的频率为0.1，100～110分的频率为0.25，110～120分的频率为0.45，120～130分的频率为0.15，130～140分的频率为0.05；
∴这组数据的平均数M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113(分);
(Ⅱ)∵第五组130～140分数段的人数为2人，频率为0.05，
故参加的总人数为2÷0.05=40(人)．
第一组共有40×0.01×10=4(人)，记作A1、A2、A3、A4；
第五组共有2人，记作B1、B2.
从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1,A2}、{A1,A3}、
{A1,A4}、{A2,A3}、{A2,A4}、{A3,A4}；{A1,B1}、{A2,B1}、{A3,B1}、
{A4,B1}；{A1,B2}、{A2,B2}、{A3,B2}、{A4,B2}；{B1,B2}.共有15种结果，
设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．
若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，
故P(A)=815．
16证明：(1)取AB的中点P，连接MP，NP，由N是AE的中点，得NP//BE，
又BE//CD，得NP//CD，NP⊄平面ACD，
所以NP//平面ACD，
同理可证，MP//平面ACD，
而MP∩NP=P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，
所以平面MNP//平面ACD，又MN⊂平面MNP
从而MN//平面ACD；
(2)连接AM，DM，EM，由AB=AC，M为BC的中点，得AM⊥BC，
又平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AM⊂平面ABC，
所以AM⊥平面BCDE，DE⊂ 平面BCDE，
则AM⊥DE，
由勾股定理，在Rt△EBM中，BE=1，BM=12BC=1，得EM= 2，
在Rt△DCM中，CD=3，CM=12BC=1，得DM= 10，
在直角梯形BCDE中，由平面几何知识计算得DE= (CD−BE)2+BC2= 4+4=2 2，
所以EM2+DE2=DM2，即EM⊥DE，
而AM∩EM=M，AM⊂平面AEM,EM⊂平面AEM，
所以DE⊥平面AME．
17解：(1)因为a=(csα,sinα)，b=(−sinβ,csβ)，c=(−12, 32)．
所以|a|=|b|=|c|=1，
且a⋅b=−csαsinβ+sinαcsβ=sin(α−β)．
因为|a+b|=|c|，所以|a+b|2=c2，即a2+2a⋅b+b2=1，
所以1+2sin(α−β)+1=1，即sin (α−β)=−12.
(2)因为α=5π6，所以a=(− 32,12)．
故b+c=(−sinβ−12,csβ+ 32).
因为a//(b+c)，所以− 32( csβ + 32 )−12( −sinβ−12 )=0．
化简得，12sinβ− 32csβ=12，所以sin( β−π3 )=12.
因为0<β<π，所以−π3<β−π3<2π3.所以β−π3=π6，即β=π2.
18(1)证明：取PD中点G，连接GF，GC．
在△PAD中，有
G，F分别为PD、AP中点，
∴GF−//12AD
在矩形ABCD中，E为BC中点，
∴CE−//12AD，∴GF−//EC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴GC//EF
∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
∴EF//平面PCD．
解：(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD//BC，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB，BC//平面PAD，
∵AD=AP=PB= 22AB=1，∴AB= 2，满足AP2+PB2=AB2，
∴AP⊥PB，∴BP⊥平面PAD，
∵BC//平面PAD，∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离．
∵S△PDF=12×PF×AD=12×12×1=14，
∴VP−DEF=13S△PDF⋅BP=13×14×1=112，
∴三棱锥P−DEF的体积为112．
19解：(1)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x−19)=500x−5700．
所以y与x的函数解析式为y=3800,x≤19500x−5700,x>19(x∈N∗)…(3分)
由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19.…(6分)
(3)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的
平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.…(9分)
若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的
平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050.…(11分)
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．…(12分)
1.若复数z满足z(1+i)=1−i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z=( )
A. −iB. − 2iC. iD. 2i
2.为了估计某高中的在校学生人数，用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为45的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人.若高二年级有300人，则这所学校共约有高中学生( )
A. 1350人B. 675人C. 900人D. 450人
3.如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的( )
A. 四分位数B. 中位数C. 众数D. 均值
4.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
5.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名女生的概率是( )
A. 245B. 215C. 715D. 13
6.△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=c= 6+ 2，且A=75°，则b为( )
A. 2B. 4+2 3C. 4−2 3D. 6− 2
7.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α//平面A1BD，平面α∩平面ABCD=l，则直线l与直线CD1所成的角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上(含边界)一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P长度的取值范围是( )
A. [1, 52]B. [ 52,32]C. [1, 3]D. [ 2, 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若平面α，β垂直同一个平面，则α//β
B. 若l⊥α且m//α，则l⊥m
C. 若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线
D. 若l//m，且α//β，则l与α所成的角和m与β所成的角相等
10.一个盒子里装有2个白球、2个黑球，从中有放回地取两次球，每次取出1个.设事件A={第一次取出白球}，事件B={第二次取出黑球}，事件C={两次至少取出1个白球}，事件D={两次至少取出1个黑球}，事件E={两次取出的都是黑球}，则下列关系正确的是( )
A. A与B相互独立B. A与C互斥C. C与D互斥D. C与E互为对立
11.如图，把等腰Rt△ABC沿着其斜边BC上的中线AD折叠，将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面.下面四个结论中正确的是( )．
A. BD⊥平面ACD
B. △ABC为等边三角形
C. 平面ADC⊥平面ABC
D. 点D在平面ABC内的射影为△ABC的外接圆圆心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z1=a+i，z2=3−4i，其中i为虚数单位，若z1z2为纯虚数，则实数a的值为______．
13.已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α−2β)，则|2α+β|的值是 ．
14.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6 cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．
(1)求这组数据的平均数M；
(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
16.(本小题15分)
如图，多面体ABCDE中，BE//CD，BE⊥BC，AB=AC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点．
(1)若N是线段AE的中点，求证：MN//平面ACD；
(2)若BE=1，BC=2，CD=3，求证：DE⊥平面AME．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，设向量a=(csα,sinα)，b=(−sinβ,csβ)，c=(−12, 32)．
(1)若|a+b|=|c|，求sin(α−β)的值；
(2)设α=5π6，0<β<π，且a//(b+c)，求β的值．
18.(本小题17分)
在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E、F分别为BC、AP中点．
(1)求证：EF//平面PCD；
(2)若AD=AP=PB= 22AB=1，求三棱锥P−DEF的体积．
19.(本小题17分)
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
若n=19，求y与x的函数解析式；
(1)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(2)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
参考答案
1C
2C
3D
4B
5C
6A
7C
8D
9BD
10AD
11ABD
1243
13 10
14500 3π27
15解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知：90～100分的频率为0.1，100～110分的频率为0.25，110～120分的频率为0.45，120～130分的频率为0.15，130～140分的频率为0.05；
∴这组数据的平均数M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113(分);
(Ⅱ)∵第五组130～140分数段的人数为2人，频率为0.05，
故参加的总人数为2÷0.05=40(人)．
第一组共有40×0.01×10=4(人)，记作A1、A2、A3、A4；
第五组共有2人，记作B1、B2.
从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1,A2}、{A1,A3}、
{A1,A4}、{A2,A3}、{A2,A4}、{A3,A4}；{A1,B1}、{A2,B1}、{A3,B1}、
{A4,B1}；{A1,B2}、{A2,B2}、{A3,B2}、{A4,B2}；{B1,B2}.共有15种结果，
设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．
若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，
故P(A)=815．
16证明：(1)取AB的中点P，连接MP，NP，由N是AE的中点，得NP//BE，
又BE//CD，得NP//CD，NP⊄平面ACD，
所以NP//平面ACD，
同理可证，MP//平面ACD，
而MP∩NP=P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，
所以平面MNP//平面ACD，又MN⊂平面MNP
从而MN//平面ACD；
(2)连接AM，DM，EM，由AB=AC，M为BC的中点，得AM⊥BC，
又平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AM⊂平面ABC，
所以AM⊥平面BCDE，DE⊂ 平面BCDE，
则AM⊥DE，
由勾股定理，在Rt△EBM中，BE=1，BM=12BC=1，得EM= 2，
在Rt△DCM中，CD=3，CM=12BC=1，得DM= 10，
在直角梯形BCDE中，由平面几何知识计算得DE= (CD−BE)2+BC2= 4+4=2 2，
所以EM2+DE2=DM2，即EM⊥DE，
而AM∩EM=M，AM⊂平面AEM,EM⊂平面AEM，
所以DE⊥平面AME．
17解：(1)因为a=(csα,sinα)，b=(−sinβ,csβ)，c=(−12, 32)．
所以|a|=|b|=|c|=1，
且a⋅b=−csαsinβ+sinαcsβ=sin(α−β)．
因为|a+b|=|c|，所以|a+b|2=c2，即a2+2a⋅b+b2=1，
所以1+2sin(α−β)+1=1，即sin (α−β)=−12.
(2)因为α=5π6，所以a=(− 32,12)．
故b+c=(−sinβ−12,csβ+ 32).
因为a//(b+c)，所以− 32( csβ + 32 )−12( −sinβ−12 )=0．
化简得，12sinβ− 32csβ=12，所以sin( β−π3 )=12.
因为0<β<π，所以−π3<β−π3<2π3.所以β−π3=π6，即β=π2.
18(1)证明：取PD中点G，连接GF，GC．
在△PAD中，有
G，F分别为PD、AP中点，
∴GF−//12AD
在矩形ABCD中，E为BC中点，
∴CE−//12AD，∴GF−//EC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴GC//EF
∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，
∴EF//平面PCD．
解：(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD//BC，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB，BC//平面PAD，
∵AD=AP=PB= 22AB=1，∴AB= 2，满足AP2+PB2=AB2，
∴AP⊥PB，∴BP⊥平面PAD，
∵BC//平面PAD，∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离．
∵S△PDF=12×PF×AD=12×12×1=14，
∴VP−DEF=13S△PDF⋅BP=13×14×1=112，
∴三棱锥P−DEF的体积为112．
19解：(1)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x−19)=500x−5700．
所以y与x的函数解析式为y=3800,x≤19500x−5700,x>19(x∈N∗)…(3分)
由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19.…(6分)
(3)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的
平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.…(9分)
若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的
平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050.…(11分)
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．…(12分)
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